算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（精選15篇）

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇1

　　第一課時

　　一、教材分析

　　（一）教材所處的地位和作用

　　“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究.本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識，靈活解決實際問題，學數(shù)學用數(shù)學的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學思想，所以有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì).

　　（二）教學目標 

　　1.知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題.

　　2.能力目標：培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想.

　　（三）教學重點、難點、關(guān)鍵

　　重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應用問題.

　　難點：定理的使用條件，合理地應用平均值定理.

　　關(guān)鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學思想是突破重點和難點的關(guān)鍵.

　　（四）教材處理

　　依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學.第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋.掌握應用定理解決某些數(shù)學問題.第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題.為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當?shù)恼{(diào)整，適當增加例題.

　　二、教法分析

　　（－）教學方法

　　為了激發(fā)學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新能力，使學生能獨立實現(xiàn)學習目標.在探索結(jié)論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結(jié)合法進行.

　　（二）教學手段

　　根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機輔導教學.

　　三、教學過程 設(shè)計

　　6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）

　　（一）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（提出問題）；2.組織學生討論，并點評.

　　（學生活動）學生分組討論，解決問題.

　　[字幕] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售.試問降價最少的方案是哪一種？

　　［討論］

　　①設(shè)物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：

　　方案甲： （元）；

　　方案乙： （元）；

　　方案丙： （元）.

　　故降價最少的方案是丙.

　　②若將問題變?yōu)榈谝淮蝍折銷售，第二次b折銷售.顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時，

　　設(shè)計意圖：提出一個商品降價問題，要求學生討論哪一種方案降價最少.學生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學習本節(jié)知識的必要，激發(fā)學生求知欲望，合理引出新課.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　　（教師活動）打出字幕（重要不等式），引導學生分析、思考，講解重要不等式的證明.點評有關(guān)問題.

　　（學生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關(guān)概念.

　　［字幕］如果 ，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：見課本

　　［點評］

　　①強調(diào) 的充要條件是

　　②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）.

　　③幾何解釋，如圖。

　　[字幕]定理 如果a，b是正數(shù)，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：學生運用“ ”自己證明.

　　［點評］

　　①強調(diào)；

　　②解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系；

　　②比較上述兩個不等式的特征（強調(diào)它們的限制條件）；

　　④幾何解釋（見課本）；

　　＠指出定理可推廣為“n個（ ）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”.

　　設(shè)計意圖：加深對重要不等式的認識和理解；培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學思想，多方面思考問題的能力.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）教師打出字幕（例題），引導學生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構(gòu)建證題思路.

　　（學生活動）與教師一道完成問題的論證.

　　［字幕］例題已知 a，b，c，d都是正數(shù)，求證：

　　［分析］

　　①應用定理證明；

　　②研究問題與定理之間的聯(lián)系；

　　③注意應用定理的條件和應用不等式的性質(zhì).

　　證明：見課本.

　　設(shè)計意圖：鞏固對定理的理解，學會應用定理解決某些數(shù)學問題.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；巡視學生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學生板演；點評練習解法.

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、動兩位同學板演.

　　［字幕］練習：已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1） ；

　　（2）

　　設(shè)計意圖：掌握定理及應用，反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用定理解決有關(guān)數(shù)學問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.

　　1.重要不等式可以用來證明某些不等式.

　　2.應用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結(jié)構(gòu)特征：①滿足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式.

　　3.用重要不等式證明有關(guān)不等式時注意與不等式性質(zhì)結(jié)合.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握應用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學問題的方

　　法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.

　　1.本節(jié)課學習了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學問題中的應用.

　　2.注意：①兩個重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號成立的條件.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ；習題 .1，3

　　2.思考題：已知 ，求證：

　　3.研究性題：設(shè)正數(shù) ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式.

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生完成，靈活掌握重要不等式的應用；研究性題是一道結(jié)論開放性題，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.

　　（五）課后點評

　　1.導入  新課采用學生比較熟悉的問題為背景，容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　2.在建立新知過程中，教師力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解難確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　3.通過變式訓練，使學生在對知識初步理解和掌握后，得到進一步深化，對所學的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調(diào)整課堂教學.

　　4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　作業(yè) 答案

　　思考題 證明：因為 ，所以

　　.又因為 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性題  ① .由條件得 ，…（A）  利用公式 …（B）. 得 ，即 . ② .由（A）、（B）之和即得.③ .可利用 .再利用①，即可得. ④ .利用立方和公式得到： .利用①可得 .利用①②可得 .還有 ……

　　第二課時

　　（－）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（引例）； 2.設(shè)置問題，引導學生思考，啟發(fā)學生應用平均值定理解決有關(guān)實際問題.

　　（學生活動）思考、回答教師設(shè)置的問題，構(gòu)建應用平均值定理解決實際問題的思路.

　　［字幕］引例.如圖，用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最省？此時，籬笆墻長為多少米？

　　[設(shè)問]

　　①這是一個實際問題，如何把它轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學問題？

　　（學生口答：設(shè)籬笆墻長為y，則 （ ）.問

　　題轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時的 的值.）

　　②求這個函數(shù)的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值？

　　（學生口答：利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法，也可用平均值定理.）

　　設(shè)計意圖：從學生熟悉的實際問題出發(fā)，激發(fā)學生應用數(shù)學知識解決問題的興趣，通過設(shè)問，引導和啟發(fā)學生用所學的平均值定理解決有關(guān)實際問題，引入課題.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師打出字幕（課本例題1），引導學生研究和解決問題，幫助學生建立用平均值定理求函數(shù)最值的知識體系.

　　（學生活動）嘗試完成問題的論證，構(gòu)建應用平均值定理求函數(shù)最值的方法.

　　[字幕]已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P，那么當 時，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么當 時，積 有最大值

　　證明：運用 ，證明（略）.

　　［點評］

　　①（l）的結(jié)論即 ，（2）的結(jié)論即

　　②上述結(jié)論給出了一類函數(shù)求最值的方法，即平均值定理求最值法.

　　③應用平均值定理求最值要特別注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當 ，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同時成立.

　　設(shè)計意圖：引導學生分析和研究問題，建立新知——應用平均值定理求最值的方法.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）打出字幕（例題），引導學生分析問題，研究問題的解法.

　　（學生活動）分析、思考，嘗試解答問題.

　　[字幕]例題1 求函數(shù) （ ）的最小值，并求相應的 的值.

　　［分析］因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且 又 與的積也不是常數(shù)，所以不能直接用定理求解.但把函數(shù)變形為 后，正數(shù) ， 的積是常數(shù)1，可以用定理求得這個函數(shù)的最小值.

　　解： ，由 ，知 ， ，且 .當且僅當 ，即 時， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[點評] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi).

　　[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150元，池壁每1 的造價為 120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　［分析］ 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為y，建立y關(guān)干 的函數(shù).然后用定理求函數(shù)y的最小值.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價為y元，根據(jù)題意，得

　　（ ）

　　所以          

　　當 ，即 時，y有最小值297600.因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時.水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　設(shè)計意圖：加深理解應用平均值定理求最值的方法，學會應用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想.培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學思想.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請三位同學板演；巡視學生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習.

　　（學生活動）在筆記本且完成練習、板演.

　　［字幕〕練習

　　A組

　　1.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　2求函數(shù) （ ）的最值.

　　3.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　B組

　　1.設(shè) ，且 ，求 的最大值.

　　2.求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？

　　解： ，因為 ，則 .所以

　　[講評] A組 1. ； 2. ； 3.

　　B組 1. ； 2.不正確  ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值.

　　設(shè)計意圖；A組題訓練學生掌握應用平均值定理求最值.B組題訓練學生掌握平均值定理的綜合應用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意.同時反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最值問題和實際問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.

　　1.應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題.

　　2.應用定理時注意以下幾個條件：（ⅰ）兩個變量必須是正變量.（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值.（iii）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值，即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　3.在求某些函數(shù)的最值時，會恰當?shù)暮愕茸冃巍�—分析變量、配置系�?shù).

　　4.應用平均值定理解決實際問題時，應注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù).（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域.（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.

　　這節(jié)課學習了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題.現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法.這是平均值定理的一個重要應用，也是本節(jié)的重點內(nèi)容，同學們要牢固掌握.

　　應用定理時要注意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個條件同時成立，且會靈活轉(zhuǎn)化問題，達到化歸的目的.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ：P ，6，7.

　　2.思考題：設(shè) ，求函數(shù) 的最值.

　　3.研究性題：某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路、汽車費用9千元；汽車的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增.問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生練習，使學生能靈活運用定理解決某些數(shù)學問題；研究性題培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

　　（五）課后點評

　　1.關(guān)于新課引入設(shè)計的想法：

　　導入  這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)學生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點明課題.事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點.

　　2.關(guān)于課堂練習設(shè)計的想法：

　　正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學難點 .為突破難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，設(shè)計解法正誤討論能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　3.培養(yǎng)應用意識.

　　教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學.本節(jié)課中設(shè)計了兩道應用問題，用剛剛學過的數(shù)學知識解決了問題，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　作業(yè) 解答

　　思考題：

　　.當且僅當 ，即 時，上式取等號.所以當 時，函數(shù)y有最小值9，無最大值.

　　研究性題：設(shè)使用 年報廢最合算，由題意有；

　　年平均費用

　　當且僅當 ，即 時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3萬元.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇2

　　第一課時

　　一、教材分析

　　（一）教材所處的地位和作用

　　“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究.本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識，靈活解決實際問題，學數(shù)學用數(shù)學的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學思想，所以有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì).

　　（二）教學目標 

　　1.知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題.

　　2.能力目標：培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想.

　　（三）教學重點、難點、關(guān)鍵

　　重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應用問題.

　　難點：定理的使用條件，合理地應用平均值定理.

　　關(guān)鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學思想是突破重點和難點的關(guān)鍵.

　　（四）教材處理

　　依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學.第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋.掌握應用定理解決某些數(shù)學問題.第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題.為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當?shù)恼{(diào)整，適當增加例題.

　　二、教法分析

　　（－）教學方法

　　為了激發(fā)學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新能力，使學生能獨立實現(xiàn)學習目標.在探索結(jié)論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結(jié)合法進行.

　　（二）教學手段

　　根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機輔導教學.

　　三、教學過程 設(shè)計

　　6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）

　　（一）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（提出問題）；2.組織學生討論，并點評.

　　（學生活動）學生分組討論，解決問題.

　　[字幕] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售.試問降價最少的方案是哪一種？

　　［討論］

　　①設(shè)物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：

　　方案甲： （元）；

　　方案乙： （元）；

　　方案丙： （元）.

　　故降價最少的方案是丙.

　　②若將問題變?yōu)榈谝淮蝍折銷售，第二次b折銷售.顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時，

　　設(shè)計意圖：提出一個商品降價問題，要求學生討論哪一種方案降價最少.學生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學習本節(jié)知識的必要，激發(fā)學生求知欲望，合理引出新課.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　　（教師活動）打出字幕（重要不等式），引導學生分析、思考，講解重要不等式的證明.點評有關(guān)問題.

　　（學生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關(guān)概念.

　　［字幕］如果 ，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：見課本

　　［點評］

　　①強調(diào) 的充要條件是

　　②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）.

　　③幾何解釋，如圖。

　　[字幕]定理 如果a，b是正數(shù)，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：學生運用“ ”自己證明.

　　［點評］

　　①強調(diào)；

　　②解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系；

　　②比較上述兩個不等式的特征（強調(diào)它們的限制條件）；

　　④幾何解釋（見課本）；

　　＠指出定理可推廣為“n個（ ）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”.

　　設(shè)計意圖：加深對重要不等式的認識和理解；培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學思想，多方面思考問題的能力.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）教師打出字幕（例題），引導學生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構(gòu)建證題思路.

　　（學生活動）與教師一道完成問題的論證.

　　［字幕］例題已知 a，b，c，d都是正數(shù)，求證：

　　［分析］

　　①應用定理證明；

　　②研究問題與定理之間的聯(lián)系；

　　③注意應用定理的條件和應用不等式的性質(zhì).

　　證明：見課本.

　　設(shè)計意圖：鞏固對定理的理解，學會應用定理解決某些數(shù)學問題.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；巡視學生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學生板演；點評練習解法.

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、動兩位同學板演.

　　［字幕］練習：已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1） ；

　　（2）

　　設(shè)計意圖：掌握定理及應用，反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用定理解決有關(guān)數(shù)學問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.

　　1.重要不等式可以用來證明某些不等式.

　　2.應用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結(jié)構(gòu)特征：①滿足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式.

　　3.用重要不等式證明有關(guān)不等式時注意與不等式性質(zhì)結(jié)合.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握應用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學問題的方

　　法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.

　　1.本節(jié)課學習了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學問題中的應用.

　　2.注意：①兩個重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號成立的條件.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ；習題 .1，3

　　2.思考題：已知 ，求證：

　　3.研究性題：設(shè)正數(shù) ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式.

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生完成，靈活掌握重要不等式的應用；研究性題是一道結(jié)論開放性題，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.

　　（五）課后點評

　　1.導入  新課采用學生比較熟悉的問題為背景，容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　2.在建立新知過程中，教師力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解難確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　3.通過變式訓練，使學生在對知識初步理解和掌握后，得到進一步深化，對所學的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調(diào)整課堂教學.

　　4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　作業(yè) 答案

　　思考題 證明：因為 ，所以

　　.又因為 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性題  ① .由條件得 ，…（A）  利用公式 …（B）. 得 ，即 . ② .由（A）、（B）之和即得.③ .可利用 .再利用①，即可得. ④ .利用立方和公式得到： .利用①可得 .利用①②可得 .還有 ……

　　第二課時

　　（－）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（引例）； 2.設(shè)置問題，引導學生思考，啟發(fā)學生應用平均值定理解決有關(guān)實際問題.

　　（學生活動）思考、回答教師設(shè)置的問題，構(gòu)建應用平均值定理解決實際問題的思路.

　　［字幕］引例.如圖，用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最省？此時，籬笆墻長為多少米？

　　[設(shè)問]

　　①這是一個實際問題，如何把它轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學問題？

　　（學生口答：設(shè)籬笆墻長為y，則 （ ）.問

　　題轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時的 的值.）

　　②求這個函數(shù)的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值？

　　（學生口答：利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法，也可用平均值定理.）

　　設(shè)計意圖：從學生熟悉的實際問題出發(fā)，激發(fā)學生應用數(shù)學知識解決問題的興趣，通過設(shè)問，引導和啟發(fā)學生用所學的平均值定理解決有關(guān)實際問題，引入課題.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師打出字幕（課本例題1），引導學生研究和解決問題，幫助學生建立用平均值定理求函數(shù)最值的知識體系.

　　（學生活動）嘗試完成問題的論證，構(gòu)建應用平均值定理求函數(shù)最值的方法.

　　[字幕]已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P，那么當 時，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么當 時，積 有最大值

　　證明：運用 ，證明（略）.

　　［點評］

　　①（l）的結(jié)論即 ，（2）的結(jié)論即

　　②上述結(jié)論給出了一類函數(shù)求最值的方法，即平均值定理求最值法.

　　③應用平均值定理求最值要特別注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當 ，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同時成立.

　　設(shè)計意圖：引導學生分析和研究問題，建立新知——應用平均值定理求最值的方法.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）打出字幕（例題），引導學生分析問題，研究問題的解法.

　　（學生活動）分析、思考，嘗試解答問題.

　　[字幕]例題1 求函數(shù) （ ）的最小值，并求相應的 的值.

　　［分析］因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且 又 與的積也不是常數(shù)，所以不能直接用定理求解.但把函數(shù)變形為 后，正數(shù) ， 的積是常數(shù)1，可以用定理求得這個函數(shù)的最小值.

　　解： ，由 ，知 ， ，且 .當且僅當 ，即 時， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[點評] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi).

　　[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150元，池壁每1 的造價為 120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　［分析］ 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為y，建立y關(guān)干 的函數(shù).然后用定理求函數(shù)y的最小值.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價為y元，根據(jù)題意，得

　　（ ）

　　所以          

　　當 ，即 時，y有最小值297600.因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時.水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　設(shè)計意圖：加深理解應用平均值定理求最值的方法，學會應用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想.培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學思想.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請三位同學板演；巡視學生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習.

　　（學生活動）在筆記本且完成練習、板演.

　　［字幕〕練習

　　A組

　　1.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　2求函數(shù) （ ）的最值.

　　3.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　B組

　　1.設(shè) ，且 ，求 的最大值.

　　2.求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？

　　解： ，因為 ，則 .所以

　　[講評] A組 1. ； 2. ； 3.

　　B組 1. ； 2.不正確  ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值.

　　設(shè)計意圖；A組題訓練學生掌握應用平均值定理求最值.B組題訓練學生掌握平均值定理的綜合應用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意.同時反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最值問題和實際問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.

　　1.應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題.

　　2.應用定理時注意以下幾個條件：（ⅰ）兩個變量必須是正變量.（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值.（iii）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值，即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　3.在求某些函數(shù)的最值時，會恰當?shù)暮愕茸冃巍�—分析變量、配置系�?shù).

　　4.應用平均值定理解決實際問題時，應注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù).（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域.（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.

　　這節(jié)課學習了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題.現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法.這是平均值定理的一個重要應用，也是本節(jié)的重點內(nèi)容，同學們要牢固掌握.

　　應用定理時要注意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個條件同時成立，且會靈活轉(zhuǎn)化問題，達到化歸的目的.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ：P ，6，7.

　　2.思考題：設(shè) ，求函數(shù) 的最值.

　　3.研究性題：某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路、汽車費用9千元；汽車的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增.問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生練習，使學生能靈活運用定理解決某些數(shù)學問題；研究性題培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

　　（五）課后點評

　　1.關(guān)于新課引入設(shè)計的想法：

　　導入  這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)學生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點明課題.事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點.

　　2.關(guān)于課堂練習設(shè)計的想法：

　　正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學難點 .為突破難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，設(shè)計解法正誤討論能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　3.培養(yǎng)應用意識.

　　教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學.本節(jié)課中設(shè)計了兩道應用問題，用剛剛學過的數(shù)學知識解決了問題，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　作業(yè) 解答

　　思考題：

　　.當且僅當 ，即 時，上式取等號.所以當 時，函數(shù)y有最小值9，無最大值.

　　研究性題：設(shè)使用 年報廢最合算，由題意有；

　　年平均費用

　　當且僅當 ，即 時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3萬元.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇3

　　第一課時

　　一、教材分析

　　（一）教材所處的地位和作用

　　“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究.本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識，靈活解決實際問題，學數(shù)學用數(shù)學的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學思想，所以有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì).

　　（二）教學目標 

　　1.知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題.

　　2.能力目標：培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想.

　　（三）教學重點、難點、關(guān)鍵

　　重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應用問題.

　　難點：定理的使用條件，合理地應用平均值定理.

　　關(guān)鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學思想是突破重點和難點的關(guān)鍵.

　　（四）教材處理

　　依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學.第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋.掌握應用定理解決某些數(shù)學問題.第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題.為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當?shù)恼{(diào)整，適當增加例題.

　　二、教法分析

　　（－）教學方法

　　為了激發(fā)學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新能力，使學生能獨立實現(xiàn)學習目標.在探索結(jié)論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結(jié)合法進行.

　　（二）教學手段

　　根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機輔導教學.

　　三、教學過程 設(shè)計

　　6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）

　　（一）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（提出問題）；2.組織學生討論，并點評.

　　（學生活動）學生分組討論，解決問題.

　　[字幕] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售.試問降價最少的方案是哪一種？

　　［討論］

　　①設(shè)物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：

　　方案甲： （元）；

　　方案乙： （元）；

　　方案丙： （元）.

　　故降價最少的方案是丙.

　　②若將問題變?yōu)榈谝淮蝍折銷售，第二次b折銷售.顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時，

　　設(shè)計意圖：提出一個商品降價問題，要求學生討論哪一種方案降價最少.學生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學習本節(jié)知識的必要，激發(fā)學生求知欲望，合理引出新課.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　　（教師活動）打出字幕（重要不等式），引導學生分析、思考，講解重要不等式的證明.點評有關(guān)問題.

　　（學生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關(guān)概念.

　　［字幕］如果 ，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：見課本

　　［點評］

　　①強調(diào) 的充要條件是

　　②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）.

　　③幾何解釋，如圖。

　　[字幕]定理 如果a，b是正數(shù)，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：學生運用“ ”自己證明.

　　［點評］

　　①強調(diào)；

　　②解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系；

　　②比較上述兩個不等式的特征（強調(diào)它們的限制條件）；

　　④幾何解釋（見課本）；

　　＠指出定理可推廣為“n個（ ）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”.

　　設(shè)計意圖：加深對重要不等式的認識和理解；培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學思想，多方面思考問題的能力.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）教師打出字幕（例題），引導學生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構(gòu)建證題思路.

　　（學生活動）與教師一道完成問題的論證.

　　［字幕］例題已知 a，b，c，d都是正數(shù)，求證：

　　［分析］

　　①應用定理證明；

　　②研究問題與定理之間的聯(lián)系；

　　③注意應用定理的條件和應用不等式的性質(zhì).

　　證明：見課本.

　　設(shè)計意圖：鞏固對定理的理解，學會應用定理解決某些數(shù)學問題.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；巡視學生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學生板演；點評練習解法.

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、動兩位同學板演.

　　［字幕］練習：已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1） ；

　　（2）

　　設(shè)計意圖：掌握定理及應用，反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用定理解決有關(guān)數(shù)學問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.

　　1.重要不等式可以用來證明某些不等式.

　　2.應用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結(jié)構(gòu)特征：①滿足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式.

　　3.用重要不等式證明有關(guān)不等式時注意與不等式性質(zhì)結(jié)合.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握應用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學問題的方

　　法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.

　　1.本節(jié)課學習了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學問題中的應用.

　　2.注意：①兩個重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號成立的條件.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ；習題 .1，3

　　2.思考題：已知 ，求證：

　　3.研究性題：設(shè)正數(shù) ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式.

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生完成，靈活掌握重要不等式的應用；研究性題是一道結(jié)論開放性題，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.

　　（五）課后點評

　　1.導入  新課采用學生比較熟悉的問題為背景，容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　2.在建立新知過程中，教師力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解難確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　3.通過變式訓練，使學生在對知識初步理解和掌握后，得到進一步深化，對所學的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調(diào)整課堂教學.

　　4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　作業(yè) 答案

　　思考題 證明：因為 ，所以

　　.又因為 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性題  ① .由條件得 ，…（A）  利用公式 …（B）. 得 ，即 . ② .由（A）、（B）之和即得.③ .可利用 .再利用①，即可得. ④ .利用立方和公式得到： .利用①可得 .利用①②可得 .還有 ……

　　第二課時

　　（－）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（引例）； 2.設(shè)置問題，引導學生思考，啟發(fā)學生應用平均值定理解決有關(guān)實際問題.

　　（學生活動）思考、回答教師設(shè)置的問題，構(gòu)建應用平均值定理解決實際問題的思路.

　　［字幕］引例.如圖，用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最省？此時，籬笆墻長為多少米？

　　[設(shè)問]

　　①這是一個實際問題，如何把它轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學問題？

　　（學生口答：設(shè)籬笆墻長為y，則 （ ）.問

　　題轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時的 的值.）

　　②求這個函數(shù)的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值？

　　（學生口答：利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法，也可用平均值定理.）

　　設(shè)計意圖：從學生熟悉的實際問題出發(fā)，激發(fā)學生應用數(shù)學知識解決問題的興趣，通過設(shè)問，引導和啟發(fā)學生用所學的平均值定理解決有關(guān)實際問題，引入課題.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師打出字幕（課本例題1），引導學生研究和解決問題，幫助學生建立用平均值定理求函數(shù)最值的知識體系.

　　（學生活動）嘗試完成問題的論證，構(gòu)建應用平均值定理求函數(shù)最值的方法.

　　[字幕]已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P，那么當 時，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么當 時，積 有最大值

　　證明：運用 ，證明（略）.

　　［點評］

　　①（l）的結(jié)論即 ，（2）的結(jié)論即

　　②上述結(jié)論給出了一類函數(shù)求最值的方法，即平均值定理求最值法.

　　③應用平均值定理求最值要特別注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當 ，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同時成立.

　　設(shè)計意圖：引導學生分析和研究問題，建立新知——應用平均值定理求最值的方法.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）打出字幕（例題），引導學生分析問題，研究問題的解法.

　　（學生活動）分析、思考，嘗試解答問題.

　　[字幕]例題1 求函數(shù) （ ）的最小值，并求相應的 的值.

　　［分析］因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且 又 與的積也不是常數(shù)，所以不能直接用定理求解.但把函數(shù)變形為 后，正數(shù) ， 的積是常數(shù)1，可以用定理求得這個函數(shù)的最小值.

　　解： ，由 ，知 ， ，且 .當且僅當 ，即 時， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[點評] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi).

　　[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150元，池壁每1 的造價為 120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　［分析］ 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為y，建立y關(guān)干 的函數(shù).然后用定理求函數(shù)y的最小值.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價為y元，根據(jù)題意，得

　　（ ）

　　所以          

　　當 ，即 時，y有最小值297600.因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時.水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　設(shè)計意圖：加深理解應用平均值定理求最值的方法，學會應用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想.培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學思想.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請三位同學板演；巡視學生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習.

　　（學生活動）在筆記本且完成練習、板演.

　　［字幕〕練習

　　A組

　　1.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　2求函數(shù) （ ）的最值.

　　3.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　B組

　　1.設(shè) ，且 ，求 的最大值.

　　2.求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？

　　解： ，因為 ，則 .所以

　　[講評] A組 1. ； 2. ； 3.

　　B組 1. ； 2.不正確  ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值.

　　設(shè)計意圖；A組題訓練學生掌握應用平均值定理求最值.B組題訓練學生掌握平均值定理的綜合應用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意.同時反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最值問題和實際問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.

　　1.應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題.

　　2.應用定理時注意以下幾個條件：（ⅰ）兩個變量必須是正變量.（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值.（iii）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值，即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　3.在求某些函數(shù)的最值時，會恰當?shù)暮愕茸冃巍�—分析變量、配置系�?shù).

　　4.應用平均值定理解決實際問題時，應注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù).（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域.（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.

　　這節(jié)課學習了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題.現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法.這是平均值定理的一個重要應用，也是本節(jié)的重點內(nèi)容，同學們要牢固掌握.

　　應用定理時要注意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個條件同時成立，且會靈活轉(zhuǎn)化問題，達到化歸的目的.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ：P ，6，7.

　　2.思考題：設(shè) ，求函數(shù) 的最值.

　　3.研究性題：某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路、汽車費用9千元；汽車的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增.問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生練習，使學生能靈活運用定理解決某些數(shù)學問題；研究性題培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

　　（五）課后點評

　　1.關(guān)于新課引入設(shè)計的想法：

　　導入  這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)學生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點明課題.事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點.

　　2.關(guān)于課堂練習設(shè)計的想法：

　　正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學難點 .為突破難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，設(shè)計解法正誤討論能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　3.培養(yǎng)應用意識.

　　教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學.本節(jié)課中設(shè)計了兩道應用問題，用剛剛學過的數(shù)學知識解決了問題，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　作業(yè) 解答

　　思考題：

　　.當且僅當 ，即 時，上式取等號.所以當 時，函數(shù)y有最小值9，無最大值.

　　研究性題：設(shè)使用 年報廢最合算，由題意有；

　　年平均費用

　　當且僅當 ，即 時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3萬元.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇4

　　第一課時

　　一、教材分析

　　(一)教材所處的地位和作用

　　“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學教科書(試驗修訂本·必修)數(shù)學第二冊(上)“不等式”一章的內(nèi)容,是在學完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究.本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點,所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識,靈活解決實際問題,學數(shù)學用數(shù)學的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學思想,所以有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì).

　　(二)教學目標

　　1.知識目標:理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證實及其幾何解釋;把握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證實及其幾何解釋;把握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題.

　　2.能力目標:培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想.

　　(三)教學重點、難點、關(guān)鍵

　　重點:用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應用問題.

　　難點:定理的使用條件,合理地應用平均值定理.

　　關(guān)鍵:理解定理的約束條件,把握化歸的數(shù)學思想是突破重點和難點的關(guān)鍵.

　　(四)教材處理

　　依據(jù)新大綱和新教材,本節(jié)分為二個課時進行教學.第一課時講解不等式(兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍)和平均值定理及它們的幾何解釋.把握應用定理解決某些數(shù)學問題.第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題.為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容,在緊扣新教材的前提下,對例題作適當?shù)恼{(diào)整,適當增加例題.

　　二、教法分析

　　(-)教學方法

　　為了激發(fā)學生學習的主體意識,又有利于教師引導學生學習,培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新能力,使學生能獨立實現(xiàn)學習目標.在探索結(jié)論時,采用發(fā)現(xiàn)法教學;在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法;在練習部分,主要采用講練結(jié)合法進行.

　　(二)教學手段

　　根據(jù)本節(jié)知識特點,為突出重點,突破難點,增加教學容量,利用計算機輔導教學.

　　三、教學過程設(shè)計

　　6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(第一課時)

　　(一)導入新課

　　(教師活動)1.教師打出字幕(提出問題);2.組織學生討論,并點評.

　　(學生活動)學生分組討論,解決問題.

　　[字幕] 某種商品分兩次降價,降價的方案有三種:方案甲是第一次9折銷售,第二次再8折銷售;方案乙是第一次8折銷售,第二次再9折銷售;方案丙是兩次都是 折銷售.試問降價最少的方案是哪一種?

　　[討論]

　　①設(shè)物價為t元,三種降價方案的銷售物價分別是:

　　方案甲: (元);

　　方案乙: (元);

　　方案丙: (元).

　　故降價最少的方案是丙.

　　②若將問題變?yōu)榈谝淮蝍折銷售,第二次b折銷售.顯然可猜想有不等式 成立,即 ,當 時,

　　設(shè)計意圖:提出一個商品降價問題,要求學生討論哪一種方案降價最少.學生對問題的背景較熟悉,可能感愛好,從而達到說明學習本節(jié)知識的必要,激發(fā)學生求知欲望,合理引出新課.

　　(二)新課講授

　　嘗試探索,建立新知

　　(教師活動)打出字幕(重要不等式),引導學生分析、思考,講解重要不等式的證實.點評有關(guān)問題.

　　(學生活動)參與研究重要不等式的證實,理解有關(guān)概念.

　　[字幕]假如 ,那么 (當且僅當 時取“=”號).

　　證實:見課本

　　[點評]

　　①強調(diào) 的充要條件是

　　②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式(“當”表示條件是充分的,“僅當”表示條件是必要的).

　　③幾何解釋,如圖。

　　[字幕]定理 假如a,b是正數(shù),那么 (當且僅當 時取“=”號).

　　證實:學生運用“ ”自己證實.

　　[點評]

　　①強調(diào);

　　②解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念,并敘述它們之間的關(guān)系;

　　②比較上述兩個不等式的特征(強調(diào)它們的限制條件);

　　④幾何解釋(見課本);

　　@指出定理可推廣為“n個( )正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”.

　　設(shè)計意圖:加深對重要不等式的熟悉和理解;培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學思想,多方面思考問題的能力.

　　例題示范,學會應用

　　(教師活動)教師打出字幕(例題),引導學生分析,研究問題,點撥正確運用定理,構(gòu)建證題思路.

　　(學生活動)與教師一道完成問題的論證.

　　[字幕]例題已知 a,b,c,d都是正數(shù),求證:

　　[分析]

　　①應用定理證實;

　　②研究問題與定理之間的聯(lián)系;

　　③注重應用定理的條件和應用不等式的性質(zhì).

　　證實:見課本.

　　設(shè)計意圖:鞏固對定理的理解,學會應用定理解決某些數(shù)學問題.

　　課堂練習

　　(教師活動)打出字幕(練習),要求學生獨立思考,完成練習;巡視學生解題情況,對正確的解法給予肯定和鼓勵,對偏差給予糾正;請甲、乙兩學生板演;點評練習解法.

　　(學生活動)在筆記本上完成練習,甲、動兩位同學板演.

　　[字幕]練習:已知 都是正數(shù),求證:

　　(1) ;

　　(2)

　　設(shè)計意圖:把握定理及應用,反饋課堂教學效果,調(diào)節(jié)課堂教學.

　　分析歸納、小結(jié)解法

　　(教師活動)分析歸納例題和練習的解題過程,小結(jié)應用定理解決有關(guān)數(shù)學問題的解題方法.

　　(學生活動)與教師一道分析歸納,小結(jié)解題方法,并記錄在筆記本上.

　　1.重要不等式可以用來證實某些不等式.

　　2.應用重要不等式證實不等式時要注重不等式的結(jié)構(gòu)特征:①滿足定理的條件;②不等式一邊為和的形式,另一邊為積或常數(shù)的形式.

　　3.用重要不等式證實有關(guān)不等式時注重與不等式性質(zhì)結(jié)合.

　　設(shè)計意圖:培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力,把握應用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學問題的方

　　法.

　　(三)小結(jié)

　　(教師活動)教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　(學生活動)與教師一道小結(jié),并記錄在筆記本上.

　　1.本節(jié)課學習了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學問題中的應用.

　　2.注重:①兩個重要不等式使用的條件;②不等式中“=”號成立的條件.

　　設(shè)計意圖:培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力,鞏固所學知識.

　　(四)布置作業(yè)

　　1.課本作業(yè);習題 .1,3

　　2.思考題:已知 ,求證:

　　3.研究性題:設(shè)正數(shù) , ,試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式.

　　設(shè)計意圖:課本作業(yè)供學生鞏固基礎(chǔ)知識;思考題供學有余力的學生完成,靈活把握重要不等式的應用;研究性題是一道結(jié)論開放性題,培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.

　　(五)課后點評

　　1.導入新課采用學生比較熟悉的問題為背景,輕易被學生接受,產(chǎn)生愛好,激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　2.在建立新知過程中,教師力求引導、啟發(fā),讓學生逐步回憶所學的知識,并應用它們來分析問題、解決問題,以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解難確,盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu),使學生在比較中得到深刻理解.

　　3.通過變式練習,使學生在對知識初步理解和把握后,得到進一步深化,對所學的知識得到鞏固與提高,同時反饋信息,調(diào)整課堂教學.

　　4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導,講練結(jié)合的授課方式,發(fā)揮教師主導作用,體現(xiàn)學生主體地位,學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成,啟發(fā)誘導學生深入思考問題,有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　作業(yè)答案

　　思考題 證實:因為 ,所以

　　.又因為 , , ,所以 , ,所以

　　研究性題 ① .由條件得 ,…(a) 利用公式 …(b). 得 ,即 . ② .由(a)、(b)之和即得.③ .可利用 .再利用①,即可得. ④ .利用立方和公式得到: .利用①可得 .利用①②可得 .還有 ……

　　第二課時

　　(-)導入新課

　　(教師活動)1.教師打出字幕(引例); 2.設(shè)置問題,引導學生思考,啟發(fā)學生應用平均值定理解決有關(guān)實際問題.

　　(學生活動)思考、回答教師設(shè)置的問題,構(gòu)建應用平均值定理解決實際問題的思路.

　　[字幕]引例.如圖,用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻,問籬笆墻三邊分別長多少時,所用籬笆最省?此時,籬笆墻長為多少米?

　　[設(shè)問]

　　①這是一個實際問題,如何把它轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學問題?

　　(學生口答:設(shè)籬笆墻長為y,則 ( ).問

　　題轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時的 的值.)

　　②求這個函數(shù)的最小值可用哪些方法?能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值?

　　(學生口答:利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法,也可用平均值定理.)

　　設(shè)計意圖:從學生熟悉的實際問題出發(fā),激發(fā)學生應用數(shù)學知識解決問題的愛好,通過設(shè)問,引導和啟發(fā)學生用所學的平均值定理解決有關(guān)實際問題,引入課題.

　　(二)新課講授

　　嘗試探索、建立新知

　　(教師活動)教師打出字幕(課本例題1),引導學生研究和解決問題,幫助學生建立用平均值定理求函數(shù)最值的知識體系.

　　(學生活動)嘗試完成問題的論證,構(gòu)建應用平均值定理求函數(shù)最值的方法.

　　[字幕]已知 都是正數(shù),求證:

　　(1)假如積 是定值p,那么當 時,和 有最小值 ;

　　(2)假如和 是定值s,那么當 時,積 有最大值

　　證實:運用 ,證實(略).

　　[點評]

　　①(l)的結(jié)論即 ,(2)的結(jié)論即

　　②上述結(jié)論給出了一類函數(shù)求最值的方法,即平均值定理求最值法.

　　③應用平均值定理求最值要非凡注重:兩個變元都為正值;兩個變元之積(或和)為定值;當且僅當 ,這三個條件缺一不可,即“一正,二定,三相等”同時成立.

　　設(shè)計意圖:引導學生分析和研究問題,建立新知——應用平均值定理求最值的方法.

　　例題示范,學會應用

　　(教師活動)打出字幕(例題),引導學生分析問題,研究問題的解法.

　　(學生活動)分析、思考,嘗試解答問題.

　　[字幕]例題1 求函數(shù) ( )的最小值,并求相應的 的值.

　　[分析]因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且 又 與的積也不是常數(shù),所以不能直接用定理求解.但把函數(shù)變形為 后,正數(shù) , 的積是常數(shù)1,可以用定理求得這個函數(shù)的最小值.

　　解: ,由 ,知 , ,且 .當且僅當 ,即 時, ( )有最小值,最小值是 。

　　[點評] 要正確理解 的意義,即方程 要有解,且解在定義域內(nèi).

　　[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池,其容積為 4800 ,深為 3 m,假如池底每l 的造價為 150元,池壁每1 的造價為 120元,問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低,最低總造價是多少元?

　　[分析] 設(shè)水池底面一邊的長為 m,水池的總造價為y,建立y關(guān)干 的函數(shù).然后用定理求函數(shù)y的最小值.

　　解:設(shè)水池底面一邊的長度為 m,則另一邊的長度為 m,又設(shè)水池總造價為y元,根據(jù)題意,得

　　( )

　　所以

　　當 ,即 時,y有最小值297600.因此,當水池的底面是邊長為40 m的正方形時.水池的總造價最低,最低總造價是 297600元.

　　設(shè)計意圖:加深理解應用平均值定理求最值的方法,學會應用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題,并把握分析變量的構(gòu)建思想.培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力,化歸的數(shù)學思想.

　　課堂練習

　　(教師活動)打出字幕(練習),要求學生獨立思考,完成練習;請三位同學板演;巡視學生解題情況,對正確的給予肯定,對偏差進行糾正;講評練習.

　　(學生活動)在筆記本且完成練習、板演.

　　[字幕〕練習

　　a組

　　1.求函數(shù) ( )的最大值.

　　2求函數(shù) ( )的最值.

　　3.求函數(shù) ( )的最大值.

　　b組

　　1.設(shè) ,且 ,求 的最大值.

　　2.求函數(shù) 的最值,下面解法是否正確?為什么?

　　解: ,因為 ,則 .所以

　　[講評] a組 1. ; 2. ; 3.

　　b組 1. ; 2.不正確 ①當 時, ;②當 時, ,而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值.

　　設(shè)計意圖;a組題練習學生把握應用平均值定理求最值.b組題練習學生把握平均值定理的綜合應用,并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注重.同時反饋課堂教學效果,調(diào)節(jié)課堂教學.

　　分析歸納、小結(jié)解法

　　(教師活動)分析歸納例題和練習的解題過程,小結(jié)應用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最值問題和實際問題的解題方法.

　　(學生活動)與教師一道分析歸納,小結(jié)解題方法,并記錄筆記.

　　1.應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下,兩個正變量的和或積的最值問題.

　　2.應用定理時注重以下幾個條件:(ⅰ)兩個變量必須是正變量.(ⅱ)當它們的和為定值時,其積取得最大值;當它們的積是定值時,其和取得最小值.(iii)當且僅當兩個數(shù)相等時取最值,即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件,才能求得最值.

　　3.在求某些函數(shù)的最值時,會恰當?shù)暮愕茸冃巍�—分析變量、配置系�?shù).

　　4.應用平均值定理解決實際問題時,應注重:(l)先理解題意,沒變量,把要求最值的變量定為函數(shù).(2)建立相應的函數(shù)關(guān)系式,把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題,確定函數(shù)的定義域.(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最值,正確寫出答案.

　　設(shè)計意圖:培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力,幫助學生形成知識體系,全面深刻地把握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　(三)小結(jié)

　　(教師活動)教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　(學生活動)與教師一道小結(jié),并記錄筆記.

　　這節(jié)課學習了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題.現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法.這是平均值定理的一個重要應用,也是本節(jié)的重點內(nèi)容,同學們要牢固把握.

　　應用定理時要注重定理的適用條件,即“正數(shù)、定值、相等”三個條件同時成立,且會靈活轉(zhuǎn)化問題,達到化歸的目的.

　　設(shè)計意圖:培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力,鞏固所學知識.

　　(四)布置作業(yè)

　　1.課本作業(yè):p ,6,7.

　　2.思考題:設(shè) ,求函數(shù) 的最值.

　　3.研究性題:某種汽車購車時費用為10萬元,每年保險、養(yǎng)路、汽車費用9千元;汽車的維修費各年為:第一年2千元,第二年4千元,依每年2千元的增量逐年遞增.問這種汽車最多使用多少年報廢最合算(即使用多少年的平均費用最少)?

　　設(shè)計意圖:課本作業(yè)供學生鞏固基礎(chǔ)知識;思考題供學有余力的學生練習,使學生能靈活運用定理解決某些數(shù)學問題;研究性題培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

　　(五)課后點評

　　1.關(guān)于新課引入設(shè)計的想法:

　　導入這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學生學習的積極性,激發(fā)學生探究精神的重要環(huán)節(jié),本節(jié)課開始給出一個引例,通過探究解決此問題的各種解法,產(chǎn)生用平均值定理求最值,點明課題.事實上,在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點.

　　2.關(guān)于課堂練習設(shè)計的想法:

　　正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學難點.為突破難點,教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的,只有讓學生通過自己的思考、嘗試,發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可,才能大大加深學生對正確使用定理的理解,設(shè)計解法正誤討論能夠使學生嘗試失敗,并從失敗中找到錯誤原因,加深了對正確解法的理解,真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　3.培養(yǎng)應用意識.

　　教學中應不失時機地使學生熟悉到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識,在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學.本節(jié)課中設(shè)計了兩道應用問題,用剛剛學過的數(shù)學知識解決了問題,使學生不禁感到“數(shù)學有用,要用數(shù)學”.

　　作業(yè)解答

　　思考題:

　　.當且僅當 ,即 時,上式取等號.所以當 時,函數(shù)y有最小值9,無最大值.

　　研究性題:設(shè)使用 年報廢最合算,由題意有;

　　年平均費用

　　當且僅當 ,即 時,取得最小值,即使用XX年報廢最合算,年平均費用3萬元.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇5

　　教學目標 

　　（1）掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這一重要定理；

　　（2）能運用定理證明不等式及求一些函數(shù)的最值；

　　（3）能夠解決一些簡單的實際問題；

　　（4）通過對不等式的結(jié)構(gòu)的分析及特征的把握掌握重要不等式的聯(lián)系；

　　（5）通過對重要不等式的證明和等號成立的條件的分析，培養(yǎng)學生嚴謹科學的認識習慣，進一步滲透變量和常量的哲學觀；

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)根據(jù)不等式的性質(zhì)推導出一個重要的不等式： ，根據(jù)這個結(jié)論，又得到了一個定理： ，并指出了 為 的算術(shù)平均數(shù)， 為 的幾何平均數(shù)后，隨后給出了這個定理的幾何解釋。

　　（2）重點、難點分析

　　本節(jié)課的重點內(nèi)容是掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值的結(jié)論，教學難點 是正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值.為突破重難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號成立的條件，發(fā)現(xiàn)使用定理求最值的三個條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，教學中要注意培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　㈠定理教學的注意事項

　　在公式 以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學中，要讓學生注意以下兩點：

　　（1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù)。

　　例如 成立，而 不成立。

　　（2）這兩個公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當且僅當……時取‘=’號”這句話的含義要搞清楚。教學時，要提醒學生從以下兩個方面來理解這句話的含義：

　　當 時取等號，其含義就是：

　　僅當 時取等號，其含義就是：

　　綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。

　　（二）關(guān)于用定理證明不等式

　　當用公式 ， 證明不等式時，應該使學生認識到：

　　它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法（將在下一小節(jié)學習）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法證明。

　　（三）應用定理求最值的條件

　　應用定理時注意以下幾個條件：

　　（1）兩個變量必須是正變量；

　　（2）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值；

　　（3）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值.

　　即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　在求某些函數(shù)的最值時，還要注意進行恰當?shù)暮愕茸冃巍⒎治鲎兞俊⑴渲孟禂?shù).

　　（四）應用定理解決實際問題的分析

　　在應用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理解決這類實際問題時，要讓學生注意；

　　（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

　　（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

　　（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

　　（4）正確寫出答案。

　　2.教法建議

　　（1）導入  新課建議采用學生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　（2）在新授知識過程中，教師應力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解準確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　（3）教學方法建議采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　（4）可以設(shè)計解法的正誤討論，這樣能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　（5）注意培養(yǎng)應用意識.教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　第一課時

　　教學目標 ：

　　1.學會推導并掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理；

　　2.理解定理的幾何意義；

　　3.能夠簡單應用定理證明不等式.

　　教學重點：均值定理證明

　　教學難點 ：等號成立條件

　　教學方法：引導式

　　教學過程 ：

　　一、復習回顧

　　上一節(jié)，我們完成了對不等式性質(zhì)的學習，首先我們來作一下回顧.

　　（學生回答）

　　由上述性質(zhì)，我們可以推導出下列重要的不等式.

　　二、講授新課

　　1.  重要不等式：

　　如果

　　證明：

　　當

　　所以，

　　即

　　由上面的結(jié)論，我們又可得到

　　2.  定理：如果 是正數(shù)，那么

　　證明：∵

　　即

　　顯然，當且僅當

　　說明：ⅰ）我們稱 的算術(shù)平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

　　ⅱ） 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù).

　　ⅲ）“當且僅當”的含義是充要條件.

　　3.均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”.

　　以長為 的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C， .過點C作垂直于直徑AB的弦DD′,那么

　　即

　　這個圓的半徑為 ，顯然，它不小于CD，即 ，其中當且僅當點C與圓心重合；即 時，等號成立.

　　在定理證明之后，我們來看一下它的具體應用.

　　4.  例題講解：

　　例1 已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P,那么當 時，和 有最小值

　　（2）如果和 是定值S,那么當 時，積 有最大值 證明：因為 都是正數(shù)，所以

　　（1）積xy為定值P時，有

　　上式當 時，取“=”號，因此，當 時，和 有最小值 .

　　（2）和 為定值S時，有

　　上式當 時取“=”號，因此，當 時，積 有最大值 .

　　說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：

　　（1）函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);

　　（2）函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；

　　（3）等號成立條件必須存在.

　　接下來，我們通過練習來進一步熟悉均值定理的應用.

　　三、課堂練習

　　課本P11練習2，3

　　要求：學生板演，老師講評.

　　課堂小結(jié)：

　　通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應用它證明一些不等式，但是在應用時，應注意定理的適用條件.

　　課后作業(yè) ：習題6.2   1，2，3，4

　　板書設(shè)計 ：

　　§6.2.1 ……

　　1.重要不等式   說明ⅰ）   4.例題……    學生

　　……                ⅱ）    ……         練習

　　ⅲ）    ……

　　2.均值定理       3.幾何意義

　　……

　　……

　　第二課時

　　教學目標 ：

　　1.進一步掌握均值不等式定理；

　　2.會應用此定理求某些函數(shù)的最值；

　　3.能夠解決一些簡單的實際問題.

　　教學重點：均值不等式定理的應用

　　教學難點 ：

　　解題中的轉(zhuǎn)化技巧

　　教學方法：啟發(fā)式

　　教學過程 ：

　　一、復習回顧

　　上一節(jié)，我們一起學習了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，首先我們來回顧一下定理內(nèi)容及其適用條件.

　　（學生回答）

　　利用這一定理，可以證明一些不等式，也可求解某些函數(shù)的最值，這一節(jié)，我們來繼續(xù)這方面的訓練.

　　二、講授新課

　　例2 已知都是正數(shù)，求證：

　　分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.

　　證明：由 都是正數(shù)，得

　　即

　　例3  某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 ，深為3m，如果池底每 的造價為150元，池壁每 的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得

　　當

　　因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應用，應注意不等式性質(zhì)的適用條件.

　　為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應用，我們來進行課堂練習.

　　三、課堂練習

　　課本P11練習1，4

　　要    求：學生板演，老師講評.

　　課堂小結(jié)：

　　通過本節(jié)學習，要求大家進一步掌握利用均值不等式定理證明不等式及求函數(shù)的最值，并認識到它在實際問題中的應用.

　　課后作業(yè) ：

　　習題6.2    5,6,7

　　板書設(shè)計 ：

　　均值不等式                  例2 §6.2.2      例3         學生

　　定理回顧                    ……           ……

　　……                        ……           ……         練習

　　……                        ……           ……

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇6

　　教學目標

　　（1）掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這一重要定理；

　　（2）能運用定理證明不等式及求一些函數(shù)的最值；

　　（3）能夠解決一些簡單的實際問題；

　　（4）通過對不等式的結(jié)構(gòu)的分析及特征的把握掌握重要不等式的聯(lián)系；

　　（5）通過對重要不等式的證明和等號成立的條件的分析，培養(yǎng)學生嚴謹科學的認識習慣，進一步滲透變量和常量的哲學觀；

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)根據(jù)不等式的性質(zhì)推導出一個重要的不等式： ，根據(jù)這個結(jié)論，又得到了一個定理： ，并指出了 為 的算術(shù)平均數(shù)， 為 的幾何平均數(shù)后，隨后給出了這個定理的幾何解釋。

　　（2）重點、難點分析

　　本節(jié)課的重點內(nèi)容是掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值的結(jié)論，教學難點是正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值.為突破重難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號成立的條件，發(fā)現(xiàn)使用定理求最值的三個條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，教學中要注意培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　㈠定理教學的注意事項

　　在公式 以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學中，要讓學生注意以下兩點：

　　（1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù)。

　　例如 成立，而 不成立。

　　（2）這兩個公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當且僅當……時取‘=’號”這句話的含義要搞清楚。教學時，要提醒學生從以下兩個方面來理解這句話的含義：

　　當 時取等號，其含義就是：

　　僅當 時取等號，其含義就是：

　　綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。

　　（二）關(guān)于用定理證明不等式

　　當用公式 ， 證明不等式時，應該使學生認識到：

　　它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法（將在下一小節(jié)學習）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法證明。

　　（三）應用定理求最值的條件

　　應用定理時注意以下幾個條件：

　　（1）兩個變量必須是正變量；

　　（2）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值；

　　（3）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值.

　　即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　在求某些函數(shù)的最值時，還要注意進行恰當?shù)暮愕茸冃巍⒎治鲎兞俊⑴渲孟禂?shù).

　　（四）應用定理解決實際問題的分析

　　在應用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理解決這類實際問題時，要讓學生注意；

　　（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

　　（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

　　（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

　　（4）正確寫出答案。

　　2.教法建議

　　（1）導入  新課建議采用學生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　（2）在新授知識過程中，教師應力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解準確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　（3）教學方法建議采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　（4）可以設(shè)計解法的正誤討論，這樣能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　（5）注意培養(yǎng)應用意識.教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇7

　　第一課時

　　一、教材分析

　　（一）教材所處的地位和作用

　　“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究.本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識，靈活解決實際問題，學數(shù)學用數(shù)學的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學思想，所以有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì).

　　（二）教學目標

　　1.知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題.

　　2.能力目標：培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想.

　　（三）教學重點、難點、關(guān)鍵

　　重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應用問題.

　　難點：定理的使用條件，合理地應用平均值定理.

　　關(guān)鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學思想是突破重點和難點的關(guān)鍵.

　　（四）教材處理

　　依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學.第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋.掌握應用定理解決某些數(shù)學問題.第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題.為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當?shù)恼{(diào)整，適當增加例題.

　　二、教法分析

　　（－）教學方法

　　為了激發(fā)學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新能力，使學生能獨立實現(xiàn)學習目標.在探索結(jié)論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結(jié)合法進行.

　　（二）教學手段

　　根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機輔導教學.

　　三、教學過程設(shè)計

　　6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）

　　（一）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（提出問題）；2.組織學生討論，并點評.

　　（學生活動）學生分組討論，解決問題.

　　[字幕] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售.試問降價最少的方案是哪一種？

　　［討論］

　　①設(shè)物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：

　　方案甲： （元）；

　　方案乙： （元）；

　　方案丙： （元）.

　　故降價最少的方案是丙.

　　②若將問題變?yōu)榈谝淮蝍折銷售，第二次b折銷售.顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時，

　　設(shè)計意圖：提出一個商品降價問題，要求學生討論哪一種方案降價最少.學生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學習本節(jié)知識的必要，激發(fā)學生求知欲望，合理引出新課.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　　（教師活動）打出字幕（重要不等式），引導學生分析、思考，講解重要不等式的證明.點評有關(guān)問題.

　　（學生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關(guān)概念.

　　［字幕］如果 ，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：見課本

　　［點評］

　　①強調(diào) 的充要條件是

　　②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）.

　　③幾何解釋，如圖。

　　[字幕]定理 如果a，b是正數(shù)，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：學生運用“ ”自己證明.

　　［點評］

　　①強調(diào)；

　　②解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系；

　　②比較上述兩個不等式的特征（強調(diào)它們的限制條件）；

　　④幾何解釋（見課本）；

　　＠指出定理可推廣為“n個（ ）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”.

　　設(shè)計意圖：加深對重要不等式的認識和理解；培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學思想，多方面思考問題的能力.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）教師打出字幕（例題），引導學生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構(gòu)建證題思路.

　　（學生活動）與教師一道完成問題的論證.

　　［字幕］例題已知 a，b，c，d都是正數(shù)，求證：

　　［分析］

　　①應用定理證明；

　　②研究問題與定理之間的聯(lián)系；

　　③注意應用定理的條件和應用不等式的性質(zhì).

　　證明：見課本.

　　設(shè)計意圖：鞏固對定理的理解，學會應用定理解決某些數(shù)學問題.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；巡視學生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學生板演；點評練習解法.

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、動兩位同學板演.

　　［字幕］練習：已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1） ；

　　（2）

　　設(shè)計意圖：掌握定理及應用，反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用定理解決有關(guān)數(shù)學問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.

　　1.重要不等式可以用來證明某些不等式.

　　2.應用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結(jié)構(gòu)特征：①滿足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式.

　　3.用重要不等式證明有關(guān)不等式時注意與不等式性質(zhì)結(jié)合.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握應用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學問題的方

　　法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.

　　1.本節(jié)課學習了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學問題中的應用.

　　2.注意：①兩個重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號成立的條件.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ；習題 .1，3

　　2.思考題：已知 ，求證：

　　3.研究性題：設(shè)正數(shù) ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式.

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生完成，靈活掌握重要不等式的應用；研究性題是一道結(jié)論開放性題，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.

　　（五）課后點評

　　1.導入  新課采用學生比較熟悉的問題為背景，容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　2.在建立新知過程中，教師力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解難確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　3.通過變式訓練，使學生在對知識初步理解和掌握后，得到進一步深化，對所學的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調(diào)整課堂教學.

　　4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　作業(yè) 答案

　　思考題 證明：因為 ，所以

　　.又因為 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性題  ① .由條件得 ，…（A）  利用公式 …（B）. 得 ，即 . ② .由（A）、（B）之和即得.③ .可利用 .再利用①，即可得. ④ .利用立方和公式得到： .利用①可得 .利用①②可得 .還有 ……

　　第二課時

　　（－）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（引例）； 2.設(shè)置問題，引導學生思考，啟發(fā)學生應用平均值定理解決有關(guān)實際問題.

　　（學生活動）思考、回答教師設(shè)置的問題，構(gòu)建應用平均值定理解決實際問題的思路.

　　［字幕］引例.如圖，用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最省？此時，籬笆墻長為多少米？

　　[設(shè)問]

　　①這是一個實際問題，如何把它轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學問題？

　　（學生口答：設(shè)籬笆墻長為y，則 （ ）.問

　　題轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時的 的值.）

　　②求這個函數(shù)的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值？

　　（學生口答：利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法，也可用平均值定理.）

　　設(shè)計意圖：從學生熟悉的實際問題出發(fā)，激發(fā)學生應用數(shù)學知識解決問題的興趣，通過設(shè)問，引導和啟發(fā)學生用所學的平均值定理解決有關(guān)實際問題，引入課題.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師打出字幕（課本例題1），引導學生研究和解決問題，幫助學生建立用平均值定理求函數(shù)最值的知識體系.

　　（學生活動）嘗試完成問題的論證，構(gòu)建應用平均值定理求函數(shù)最值的方法.

　　[字幕]已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P，那么當 時，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么當 時，積 有最大值

　　證明：運用 ，證明（略）.

　　［點評］

　　①（l）的結(jié)論即 ，（2）的結(jié)論即

　　②上述結(jié)論給出了一類函數(shù)求最值的方法，即平均值定理求最值法.

　　③應用平均值定理求最值要特別注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當 ，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同時成立.

　　設(shè)計意圖：引導學生分析和研究問題，建立新知——應用平均值定理求最值的方法.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）打出字幕（例題），引導學生分析問題，研究問題的解法.

　　（學生活動）分析、思考，嘗試解答問題.

　　[字幕]例題1 求函數(shù) （ ）的最小值，并求相應的 的值.

　　［分析］因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且 又 與的積也不是常數(shù)，所以不能直接用定理求解.但把函數(shù)變形為 后，正數(shù) ， 的積是常數(shù)1，可以用定理求得這個函數(shù)的最小值.

　　解： ，由 ，知 ， ，且 .當且僅當 ，即 時， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[點評] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi).

　　[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150元，池壁每1 的造價為 120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　［分析］ 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為y，建立y關(guān)干 的函數(shù).然后用定理求函數(shù)y的最小值.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價為y元，根據(jù)題意，得

　　（ ）

　　所以          

　　當 ，即 時，y有最小值297600.因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時.水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　設(shè)計意圖：加深理解應用平均值定理求最值的方法，學會應用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想.培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學思想.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請三位同學板演；巡視學生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習.

　　（學生活動）在筆記本且完成練習、板演.

　　［字幕〕練習

　　A組

　　1.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　2求函數(shù) （ ）的最值.

　　3.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　B組

　　1.設(shè) ，且 ，求 的最大值.

　　2.求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？

　　解： ，因為 ，則 .所以

　　[講評] A組 1. ； 2. ； 3.

　　B組 1. ； 2.不正確  ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值.

　　設(shè)計意圖；A組題訓練學生掌握應用平均值定理求最值.B組題訓練學生掌握平均值定理的綜合應用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意.同時反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最值問題和實際問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.

　　1.應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題.

　　2.應用定理時注意以下幾個條件：（ⅰ）兩個變量必須是正變量.（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值.（iii）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值，即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　3.在求某些函數(shù)的最值時，會恰當?shù)暮愕茸冃巍�—分析變量、配置系�?shù).

　　4.應用平均值定理解決實際問題時，應注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù).（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域.（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.

　　這節(jié)課學習了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題.現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法.這是平均值定理的一個重要應用，也是本節(jié)的重點內(nèi)容，同學們要牢固掌握.

　　應用定理時要注意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個條件同時成立，且會靈活轉(zhuǎn)化問題，達到化歸的目的.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ：P ，6，7.

　　2.思考題：設(shè) ，求函數(shù) 的最值.

　　3.研究性題：某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路、汽車費用9千元；汽車的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增.問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生練習，使學生能靈活運用定理解決某些數(shù)學問題；研究性題培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

　　（五）課后點評

　　1.關(guān)于新課引入設(shè)計的想法：

　　導入  這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)學生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點明課題.事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點.

　　2.關(guān)于課堂練習設(shè)計的想法：

　　正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學難點.為突破難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，設(shè)計解法正誤討論能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　3.培養(yǎng)應用意識.

　　教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學.本節(jié)課中設(shè)計了兩道應用問題，用剛剛學過的數(shù)學知識解決了問題，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　作業(yè) 解答

　　思考題：

　　.當且僅當 ，即 時，上式取等號.所以當 時，函數(shù)y有最小值9，無最大值.

　　研究性題：設(shè)使用 年報廢最合算，由題意有；

　　年平均費用

　　當且僅當 ，即 時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3萬元.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇8

　　教學目標

　　（1）掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這一重要定理；

　　（2）能運用定理證明不等式及求一些函數(shù)的最值；

　　（3）能夠解決一些簡單的實際問題；

　　（4）通過對不等式的結(jié)構(gòu)的分析及特征的把握掌握重要不等式的聯(lián)系；

　　（5）通過對重要不等式的證明和等號成立的條件的分析，培養(yǎng)學生嚴謹科學的認識習慣，進一步滲透變量和常量的哲學觀；

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)根據(jù)不等式的性質(zhì)推導出一個重要的不等式： ，根據(jù)這個結(jié)論，又得到了一個定理： ，并指出了 為 的算術(shù)平均數(shù)， 為 的幾何平均數(shù)后，隨后給出了這個定理的幾何解釋。

　　（2）重點、難點分析

　　本節(jié)課的重點內(nèi)容是掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值的結(jié)論，教學難點是正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值.為突破重難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號成立的條件，發(fā)現(xiàn)使用定理求最值的三個條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，教學中要注意培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　㈠定理教學的注意事項

　　在公式 以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學中，要讓學生注意以下兩點：

　　（1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù)。

　　例如 成立，而 不成立。

　　（2）這兩個公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當且僅當……時取‘=’號”這句話的含義要搞清楚。教學時，要提醒學生從以下兩個方面來理解這句話的含義：

　　當 時取等號，其含義就是：

　　僅當 時取等號，其含義就是：

　　綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。

　　（二）關(guān)于用定理證明不等式

　　當用公式 ， 證明不等式時，應該使學生認識到：

　　它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法（將在下一小節(jié)學習）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法證明。

　　（三）應用定理求最值的條件

　　應用定理時注意以下幾個條件：

　　（1）兩個變量必須是正變量；

　　（2）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值；

　　（3）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值.

　　即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　在求某些函數(shù)的最值時，還要注意進行恰當?shù)暮愕茸冃巍⒎治鲎兞俊⑴渲孟禂?shù).

　　（四）應用定理解決實際問題的分析

　　在應用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理解決這類實際問題時，要讓學生注意；

　　（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

　　（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

　　（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

　　（4）正確寫出答案。

　　2.教法建議

　　（1）導入  新課建議采用學生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　（2）在新授知識過程中，教師應力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解準確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　（3）教學方法建議采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　（4）可以設(shè)計解法的正誤討論，這樣能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　（5）注意培養(yǎng)應用意識.教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

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算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇9

　　教學目標 

　　（1）掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這一重要定理；

　　（2）能運用定理證明不等式及求一些函數(shù)的最值；

　　（3）能夠解決一些簡單的實際問題；

　　（4）通過對不等式的結(jié)構(gòu)的分析及特征的把握掌握重要不等式的聯(lián)系；

　　（5）通過對重要不等式的證明和等號成立的條件的分析，培養(yǎng)學生嚴謹科學的認識習慣，進一步滲透變量和常量的哲學觀；

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)根據(jù)不等式的性質(zhì)推導出一個重要的不等式： ，根據(jù)這個結(jié)論，又得到了一個定理： ，并指出了 為 的算術(shù)平均數(shù)， 為 的幾何平均數(shù)后，隨后給出了這個定理的幾何解釋。

　　（2）重點、難點分析

　　本節(jié)課的重點內(nèi)容是掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值的結(jié)論，教學難點 是正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值.為突破重難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號成立的條件，發(fā)現(xiàn)使用定理求最值的三個條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，教學中要注意培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　㈠定理教學的注意事項

　　在公式 以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學中，要讓學生注意以下兩點：

　　（1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù)。

　　例如 成立，而 不成立。

　　（2）這兩個公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當且僅當……時取‘=’號”這句話的含義要搞清楚。教學時，要提醒學生從以下兩個方面來理解這句話的含義：

　　當 時取等號，其含義就是：

　　僅當 時取等號，其含義就是：

　　綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。

　　（二）關(guān)于用定理證明不等式

　　當用公式 ， 證明不等式時，應該使學生認識到：

　　它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法（將在下一小節(jié)學習）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法證明。

　　（三）應用定理求最值的條件

　　應用定理時注意以下幾個條件：

　　（1）兩個變量必須是正變量；

　　（2）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值；

　　（3）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值.

　　即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　在求某些函數(shù)的最值時，還要注意進行恰當?shù)暮愕茸冃巍⒎治鲎兞俊⑴渲孟禂?shù).

　　（四）應用定理解決實際問題的分析

　　在應用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理解決這類實際問題時，要讓學生注意；

　　（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

　　（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

　　（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

　　（4）正確寫出答案。

　　2.教法建議

　　（1）導入  新課建議采用學生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　（2）在新授知識過程中，教師應力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解準確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　（3）教學方法建議采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　（4）可以設(shè)計解法的正誤討論，這樣能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　（5）注意培養(yǎng)應用意識.教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　第一課時

　　教學目標 ：

　　1.學會推導并掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理；

　　2.理解定理的幾何意義；

　　3.能夠簡單應用定理證明不等式.

　　教學重點：均值定理證明

　　教學難點 ：等號成立條件

　　教學方法：引導式

　　教學過程 ：

　　一、復習回顧

　　上一節(jié)，我們完成了對不等式性質(zhì)的學習，首先我們來作一下回顧.

　　（學生回答）

　　由上述性質(zhì)，我們可以推導出下列重要的不等式.

　　二、講授新課

　　1.  重要不等式：

　　如果

　　證明：

　　當

　　所以，

　　即

　　由上面的結(jié)論，我們又可得到

　　2.  定理：如果 是正數(shù)，那么

　　證明：∵

　　即

　　顯然，當且僅當

　　說明：ⅰ）我們稱 的算術(shù)平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

　　ⅱ） 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù).

　　ⅲ）“當且僅當”的含義是充要條件.

　　3.均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”.

　　以長為 的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C， .過點C作垂直于直徑AB的弦DD′,那么

　　即

　　這個圓的半徑為 ，顯然，它不小于CD，即 ，其中當且僅當點C與圓心重合；即 時，等號成立.

　　在定理證明之后，我們來看一下它的具體應用.

　　4.  例題講解：

　　例1 已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P,那么當 時，和 有最小值

　　（2）如果和 是定值S,那么當 時，積 有最大值 證明：因為 都是正數(shù)，所以

　　（1）積xy為定值P時，有

　　上式當 時，取“=”號，因此，當 時，和 有最小值 .

　　（2）和 為定值S時，有

　　上式當 時取“=”號，因此，當 時，積 有最大值 .

　　說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：

　　（1）函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);

　　（2）函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；

　　（3）等號成立條件必須存在.

　　接下來，我們通過練習來進一步熟悉均值定理的應用.

　　三、課堂練習

　　課本P11練習2，3

　　要求：學生板演，老師講評.

　　課堂小結(jié)：

　　通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應用它證明一些不等式，但是在應用時，應注意定理的適用條件.

　　課后作業(yè) ：習題6.2   1，2，3，4

　　板書設(shè)計 ：

　　§6.2.1 ……

　　1.重要不等式   說明ⅰ）   4.例題……    學生

　　……                ⅱ）    ……         練習

　　ⅲ）    ……

　　2.均值定理       3.幾何意義

　　……

　　……

　　第二課時

　　教學目標 ：

　　1.進一步掌握均值不等式定理；

　　2.會應用此定理求某些函數(shù)的最值；

　　3.能夠解決一些簡單的實際問題.

　　教學重點：均值不等式定理的應用

　　教學難點 ：

　　解題中的轉(zhuǎn)化技巧

　　教學方法：啟發(fā)式

　　教學過程 ：

　　一、復習回顧

　　上一節(jié)，我們一起學習了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，首先我們來回顧一下定理內(nèi)容及其適用條件.

　　（學生回答）

　　利用這一定理，可以證明一些不等式，也可求解某些函數(shù)的最值，這一節(jié)，我們來繼續(xù)這方面的訓練.

　　二、講授新課

　　例2 已知都是正數(shù)，求證：

　　分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.

　　證明：由 都是正數(shù)，得

　　即

　　例3  某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 ，深為3m，如果池底每 的造價為150元，池壁每 的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得

　　當

　　因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應用，應注意不等式性質(zhì)的適用條件.

　　為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應用，我們來進行課堂練習.

　　三、課堂練習

　　課本P11練習1，4

　　要    求：學生板演，老師講評.

　　課堂小結(jié)：

　　通過本節(jié)學習，要求大家進一步掌握利用均值不等式定理證明不等式及求函數(shù)的最值，并認識到它在實際問題中的應用.

　　課后作業(yè) ：

　　習題6.2    5,6,7

　　板書設(shè)計 ：

　　均值不等式                  例2 §6.2.2      例3         學生

　　定理回顧                    ……           ……

　　……                        ……           ……         練習

　　……                        ……           ……

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇10

　　第一課時

　　一、教材分析

　　（一）教材所處的地位和作用

　　“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究.本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識，靈活解決實際問題，學數(shù)學用數(shù)學的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學思想，所以有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì).

　　（二）教學目標

　　1.知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題.

　　2.能力目標：培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想.

　　（三）教學重點、難點、關(guān)鍵

　　重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應用問題.

　　難點：定理的使用條件，合理地應用平均值定理.

　　關(guān)鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學思想是突破重點和難點的關(guān)鍵.

　　（四）教材處理

　　依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學.第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋.掌握應用定理解決某些數(shù)學問題.第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題.為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當?shù)恼{(diào)整，適當增加例題.

　　二、教法分析

　　（－）教學方法

　　為了激發(fā)學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新能力，使學生能獨立實現(xiàn)學習目標.在探索結(jié)論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結(jié)合法進行.

　　（二）教學手段

　　根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機輔導教學.

　　三、教學過程設(shè)計

　　6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）

　　（一）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（提出問題）；2.組織學生討論，并點評.

　　（學生活動）學生分組討論，解決問題.

　　[字幕] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售.試問降價最少的方案是哪一種？

　　［討論］

　　①設(shè)物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：

　　方案甲： （元）；

　　方案乙： （元）；

　　方案丙： （元）.

　　故降價最少的方案是丙.

　　②若將問題變?yōu)榈谝淮蝍折銷售，第二次b折銷售.顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時，

　　設(shè)計意圖：提出一個商品降價問題，要求學生討論哪一種方案降價最少.學生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學習本節(jié)知識的必要，激發(fā)學生求知欲望，合理引出新課.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　　（教師活動）打出字幕（重要不等式），引導學生分析、思考，講解重要不等式的證明.點評有關(guān)問題.

　　（學生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關(guān)概念.

　　［字幕］如果 ，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：見課本

　　［點評］

　　①強調(diào) 的充要條件是

　　②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）.

　　③幾何解釋，如圖。

　　[字幕]定理 如果a，b是正數(shù)，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：學生運用“ ”自己證明.

　　［點評］

　　①強調(diào)；

　　②解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系；

　　②比較上述兩個不等式的特征（強調(diào)它們的限制條件）；

　　④幾何解釋（見課本）；

　　＠指出定理可推廣為“n個（ ）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”.

　　設(shè)計意圖：加深對重要不等式的認識和理解；培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學思想，多方面思考問題的能力.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）教師打出字幕（例題），引導學生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構(gòu)建證題思路.

　　（學生活動）與教師一道完成問題的論證.

　　［字幕］例題已知 a，b，c，d都是正數(shù)，求證：

　　［分析］

　　①應用定理證明；

　　②研究問題與定理之間的聯(lián)系；

　　③注意應用定理的條件和應用不等式的性質(zhì).

　　證明：見課本.

　　設(shè)計意圖：鞏固對定理的理解，學會應用定理解決某些數(shù)學問題.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；巡視學生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學生板演；點評練習解法.

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、動兩位同學板演.

　　［字幕］練習：已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1） ；

　　（2）

　　設(shè)計意圖：掌握定理及應用，反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用定理解決有關(guān)數(shù)學問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.

　　1.重要不等式可以用來證明某些不等式.

　　2.應用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結(jié)構(gòu)特征：①滿足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式.

　　3.用重要不等式證明有關(guān)不等式時注意與不等式性質(zhì)結(jié)合.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握應用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學問題的方

　　法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.

　　1.本節(jié)課學習了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學問題中的應用.

　　2.注意：①兩個重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號成立的條件.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ；習題 .1，3

　　2.思考題：已知 ，求證：

　　3.研究性題：設(shè)正數(shù) ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式.

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生完成，靈活掌握重要不等式的應用；研究性題是一道結(jié)論開放性題，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.

　　（五）課后點評

　　1.導入  新課采用學生比較熟悉的問題為背景，容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　2.在建立新知過程中，教師力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解難確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　3.通過變式訓練，使學生在對知識初步理解和掌握后，得到進一步深化，對所學的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調(diào)整課堂教學.

　　4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　作業(yè) 答案

　　思考題 證明：因為 ，所以

　　.又因為 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性題  ① .由條件得 ，…（A）  利用公式 …（B）. 得 ，即 . ② .由（A）、（B）之和即得.③ .可利用 .再利用①，即可得. ④ .利用立方和公式得到： .利用①可得 .利用①②可得 .還有 ……

　　第二課時

　　（－）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（引例）； 2.設(shè)置問題，引導學生思考，啟發(fā)學生應用平均值定理解決有關(guān)實際問題.

　　（學生活動）思考、回答教師設(shè)置的問題，構(gòu)建應用平均值定理解決實際問題的思路.

　　［字幕］引例.如圖，用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最省？此時，籬笆墻長為多少米？

　　[設(shè)問]

　　①這是一個實際問題，如何把它轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學問題？

　　（學生口答：設(shè)籬笆墻長為y，則 （ ）.問

　　題轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時的 的值.）

　　②求這個函數(shù)的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值？

　　（學生口答：利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法，也可用平均值定理.）

　　設(shè)計意圖：從學生熟悉的實際問題出發(fā)，激發(fā)學生應用數(shù)學知識解決問題的興趣，通過設(shè)問，引導和啟發(fā)學生用所學的平均值定理解決有關(guān)實際問題，引入課題.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師打出字幕（課本例題1），引導學生研究和解決問題，幫助學生建立用平均值定理求函數(shù)最值的知識體系.

　　（學生活動）嘗試完成問題的論證，構(gòu)建應用平均值定理求函數(shù)最值的方法.

　　[字幕]已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P，那么當 時，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么當 時，積 有最大值

　　證明：運用 ，證明（略）.

　　［點評］

　　①（l）的結(jié)論即 ，（2）的結(jié)論即

　　②上述結(jié)論給出了一類函數(shù)求最值的方法，即平均值定理求最值法.

　　③應用平均值定理求最值要特別注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當 ，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同時成立.

　　設(shè)計意圖：引導學生分析和研究問題，建立新知——應用平均值定理求最值的方法.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）打出字幕（例題），引導學生分析問題，研究問題的解法.

　　（學生活動）分析、思考，嘗試解答問題.

　　[字幕]例題1 求函數(shù) （ ）的最小值，并求相應的 的值.

　　［分析］因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且 又 與的積也不是常數(shù)，所以不能直接用定理求解.但把函數(shù)變形為 后，正數(shù) ， 的積是常數(shù)1，可以用定理求得這個函數(shù)的最小值.

　　解： ，由 ，知 ， ，且 .當且僅當 ，即 時， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[點評] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi).

　　[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150元，池壁每1 的造價為 120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　［分析］ 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為y，建立y關(guān)干 的函數(shù).然后用定理求函數(shù)y的最小值.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價為y元，根據(jù)題意，得

　　（ ）

　　所以          

　　當 ，即 時，y有最小值297600.因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時.水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　設(shè)計意圖：加深理解應用平均值定理求最值的方法，學會應用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想.培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學思想.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請三位同學板演；巡視學生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習.

　　（學生活動）在筆記本且完成練習、板演.

　　［字幕〕練習

　　A組

　　1.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　2求函數(shù) （ ）的最值.

　　3.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　B組

　　1.設(shè) ，且 ，求 的最大值.

　　2.求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？

　　解： ，因為 ，則 .所以

　　[講評] A組 1. ； 2. ； 3.

　　B組 1. ； 2.不正確  ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值.

　　設(shè)計意圖；A組題訓練學生掌握應用平均值定理求最值.B組題訓練學生掌握平均值定理的綜合應用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意.同時反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最值問題和實際問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.

　　1.應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題.

　　2.應用定理時注意以下幾個條件：（ⅰ）兩個變量必須是正變量.（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值.（iii）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值，即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　3.在求某些函數(shù)的最值時，會恰當?shù)暮愕茸冃巍�—分析變量、配置系�?shù).

　　4.應用平均值定理解決實際問題時，應注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù).（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域.（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.

　　這節(jié)課學習了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題.現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法.這是平均值定理的一個重要應用，也是本節(jié)的重點內(nèi)容，同學們要牢固掌握.

　　應用定理時要注意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個條件同時成立，且會靈活轉(zhuǎn)化問題，達到化歸的目的.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ：P ，6，7.

　　2.思考題：設(shè) ，求函數(shù) 的最值.

　　3.研究性題：某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路、汽車費用9千元；汽車的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增.問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生練習，使學生能靈活運用定理解決某些數(shù)學問題；研究性題培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

　　（五）課后點評

　　1.關(guān)于新課引入設(shè)計的想法：

　　導入  這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)學生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點明課題.事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點.

　　2.關(guān)于課堂練習設(shè)計的想法：

　　正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學難點.為突破難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，設(shè)計解法正誤討論能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　3.培養(yǎng)應用意識.

　　教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學.本節(jié)課中設(shè)計了兩道應用問題，用剛剛學過的數(shù)學知識解決了問題，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　作業(yè) 解答

　　思考題：

　　.當且僅當 ，即 時，上式取等號.所以當 時，函數(shù)y有最小值9，無最大值.

　　研究性題：設(shè)使用 年報廢最合算，由題意有；

　　年平均費用

　　當且僅當 ，即 時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3萬元.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇11

　　第一課時

　　一、教材分析

　　（一）教材所處的地位和作用

　　“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究.本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識，靈活解決實際問題，學數(shù)學用數(shù)學的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學思想，所以有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì).

　　（二）教學目標 

　　1.知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題.

　　2.能力目標：培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想.

　　（三）教學重點、難點、關(guān)鍵

　　重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應用問題.

　　難點：定理的使用條件，合理地應用平均值定理.

　　關(guān)鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學思想是突破重點和難點的關(guān)鍵.

　　（四）教材處理

　　依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學.第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋.掌握應用定理解決某些數(shù)學問題.第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題.為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當?shù)恼{(diào)整，適當增加例題.

　　二、教法分析

　　（－）教學方法

　　為了激發(fā)學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新能力，使學生能獨立實現(xiàn)學習目標.在探索結(jié)論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結(jié)合法進行.

　　（二）教學手段

　　根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機輔導教學.

　　三、教學過程 設(shè)計

　　6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）

　　（一）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（提出問題）；2.組織學生討論，并點評.

　　（學生活動）學生分組討論，解決問題.

　　[字幕] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售.試問降價最少的方案是哪一種？

　　［討論］

　　①設(shè)物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：

　　方案甲： （元）；

　　方案乙： （元）；

　　方案丙： （元）.

　　故降價最少的方案是丙.

　　②若將問題變?yōu)榈谝淮蝍折銷售，第二次b折銷售.顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時，

　　設(shè)計意圖：提出一個商品降價問題，要求學生討論哪一種方案降價最少.學生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學習本節(jié)知識的必要，激發(fā)學生求知欲望，合理引出新課.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　　（教師活動）打出字幕（重要不等式），引導學生分析、思考，講解重要不等式的證明.點評有關(guān)問題.

　　（學生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關(guān)概念.

　　［字幕］如果 ，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：見課本

　　［點評］

　　①強調(diào) 的充要條件是

　　②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）.

　　③幾何解釋，如圖。

　　[字幕]定理 如果a，b是正數(shù)，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：學生運用“ ”自己證明.

　　［點評］

　　①強調(diào)；

　　②解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系；

　　②比較上述兩個不等式的特征（強調(diào)它們的限制條件）；

　　④幾何解釋（見課本）；

　　＠指出定理可推廣為“n個（ ）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”.

　　設(shè)計意圖：加深對重要不等式的認識和理解；培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學思想，多方面思考問題的能力.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）教師打出字幕（例題），引導學生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構(gòu)建證題思路.

　　（學生活動）與教師一道完成問題的論證.

　　［字幕］例題已知 a，b，c，d都是正數(shù)，求證：

　　［分析］

　　①應用定理證明；

　　②研究問題與定理之間的聯(lián)系；

　　③注意應用定理的條件和應用不等式的性質(zhì).

　　證明：見課本.

　　設(shè)計意圖：鞏固對定理的理解，學會應用定理解決某些數(shù)學問題.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；巡視學生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學生板演；點評練習解法.

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、動兩位同學板演.

　　［字幕］練習：已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1） ；

　　（2）

　　設(shè)計意圖：掌握定理及應用，反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用定理解決有關(guān)數(shù)學問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.

　　1.重要不等式可以用來證明某些不等式.

　　2.應用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結(jié)構(gòu)特征：①滿足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式.

　　3.用重要不等式證明有關(guān)不等式時注意與不等式性質(zhì)結(jié)合.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握應用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學問題的方

　　法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.

　　1.本節(jié)課學習了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學問題中的應用.

　　2.注意：①兩個重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號成立的條件.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ；習題 .1，3

　　2.思考題：已知 ，求證：

　　3.研究性題：設(shè)正數(shù) ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式.

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生完成，靈活掌握重要不等式的應用；研究性題是一道結(jié)論開放性題，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.

　　（五）課后點評

　　1.導入  新課采用學生比較熟悉的問題為背景，容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　2.在建立新知過程中，教師力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解難確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　3.通過變式訓練，使學生在對知識初步理解和掌握后，得到進一步深化，對所學的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調(diào)整課堂教學.

　　4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　作業(yè) 答案

　　思考題 證明：因為 ，所以

　　.又因為 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性題  ① .由條件得 ，…（A）  利用公式 …（B）. 得 ，即 . ② .由（A）、（B）之和即得.③ .可利用 .再利用①，即可得. ④ .利用立方和公式得到： .利用①可得 .利用①②可得 .還有 ……

　　第二課時

　　（－）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（引例）； 2.設(shè)置問題，引導學生思考，啟發(fā)學生應用平均值定理解決有關(guān)實際問題.

　　（學生活動）思考、回答教師設(shè)置的問題，構(gòu)建應用平均值定理解決實際問題的思路.

　　［字幕］引例.如圖，用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最省？此時，籬笆墻長為多少米？

　　[設(shè)問]

　　①這是一個實際問題，如何把它轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學問題？

　　（學生口答：設(shè)籬笆墻長為y，則 （ ）.問

　　題轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時的 的值.）

　　②求這個函數(shù)的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值？

　　（學生口答：利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法，也可用平均值定理.）

　　設(shè)計意圖：從學生熟悉的實際問題出發(fā)，激發(fā)學生應用數(shù)學知識解決問題的興趣，通過設(shè)問，引導和啟發(fā)學生用所學的平均值定理解決有關(guān)實際問題，引入課題.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師打出字幕（課本例題1），引導學生研究和解決問題，幫助學生建立用平均值定理求函數(shù)最值的知識體系.

　　（學生活動）嘗試完成問題的論證，構(gòu)建應用平均值定理求函數(shù)最值的方法.

　　[字幕]已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P，那么當 時，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么當 時，積 有最大值

　　證明：運用 ，證明（略）.

　　［點評］

　　①（l）的結(jié)論即 ，（2）的結(jié)論即

　　②上述結(jié)論給出了一類函數(shù)求最值的方法，即平均值定理求最值法.

　　③應用平均值定理求最值要特別注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當 ，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同時成立.

　　設(shè)計意圖：引導學生分析和研究問題，建立新知——應用平均值定理求最值的方法.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）打出字幕（例題），引導學生分析問題，研究問題的解法.

　　（學生活動）分析、思考，嘗試解答問題.

　　[字幕]例題1 求函數(shù) （ ）的最小值，并求相應的 的值.

　　［分析］因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且 又 與的積也不是常數(shù)，所以不能直接用定理求解.但把函數(shù)變形為 后，正數(shù) ， 的積是常數(shù)1，可以用定理求得這個函數(shù)的最小值.

　　解： ，由 ，知 ， ，且 .當且僅當 ，即 時， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[點評] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi).

　　[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150元，池壁每1 的造價為 120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　［分析］ 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為y，建立y關(guān)干 的函數(shù).然后用定理求函數(shù)y的最小值.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價為y元，根據(jù)題意，得

　　（ ）

　　所以          

　　當 ，即 時，y有最小值297600.因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時.水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　設(shè)計意圖：加深理解應用平均值定理求最值的方法，學會應用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想.培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學思想.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請三位同學板演；巡視學生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習.

　　（學生活動）在筆記本且完成練習、板演.

　　［字幕〕練習

　　A組

　　1.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　2求函數(shù) （ ）的最值.

　　3.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　B組

　　1.設(shè) ，且 ，求 的最大值.

　　2.求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？

　　解： ，因為 ，則 .所以

　　[講評] A組 1. ； 2. ； 3.

　　B組 1. ； 2.不正確  ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值.

　　設(shè)計意圖；A組題訓練學生掌握應用平均值定理求最值.B組題訓練學生掌握平均值定理的綜合應用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意.同時反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最值問題和實際問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.

　　1.應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題.

　　2.應用定理時注意以下幾個條件：（ⅰ）兩個變量必須是正變量.（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值.（iii）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值，即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　3.在求某些函數(shù)的最值時，會恰當?shù)暮愕茸冃巍�—分析變量、配置系�?shù).

　　4.應用平均值定理解決實際問題時，應注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù).（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域.（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.

　　這節(jié)課學習了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題.現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法.這是平均值定理的一個重要應用，也是本節(jié)的重點內(nèi)容，同學們要牢固掌握.

　　應用定理時要注意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個條件同時成立，且會靈活轉(zhuǎn)化問題，達到化歸的目的.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ：P ，6，7.

　　2.思考題：設(shè) ，求函數(shù) 的最值.

　　3.研究性題：某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路、汽車費用9千元；汽車的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增.問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生練習，使學生能靈活運用定理解決某些數(shù)學問題；研究性題培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

　　（五）課后點評

　　1.關(guān)于新課引入設(shè)計的想法：

　　導入  這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)學生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點明課題.事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點.

　　2.關(guān)于課堂練習設(shè)計的想法：

　　正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學難點 .為突破難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，設(shè)計解法正誤討論能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　3.培養(yǎng)應用意識.

　　教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學.本節(jié)課中設(shè)計了兩道應用問題，用剛剛學過的數(shù)學知識解決了問題，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　作業(yè) 解答

　　思考題：

　　.當且僅當 ，即 時，上式取等號.所以當 時，函數(shù)y有最小值9，無最大值.

　　研究性題：設(shè)使用 年報廢最合算，由題意有；

　　年平均費用

　　當且僅當 ，即 時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3萬元.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇12

　　第一課時

　　一、教材分析

　　（一）教材所處的地位和作用

　　“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究.本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識，靈活解決實際問題，學數(shù)學用數(shù)學的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學思想，所以有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì).

　　（二）教學目標 

　　1.知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題.

　　2.能力目標：培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想.

　　（三）教學重點、難點、關(guān)鍵

　　重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應用問題.

　　難點：定理的使用條件，合理地應用平均值定理.

　　關(guān)鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學思想是突破重點和難點的關(guān)鍵.

　　（四）教材處理

　　依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學.第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋.掌握應用定理解決某些數(shù)學問題.第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題.為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當?shù)恼{(diào)整，適當增加例題.

　　二、教法分析

　　（－）教學方法

　　為了激發(fā)學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新能力，使學生能獨立實現(xiàn)學習目標.在探索結(jié)論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結(jié)合法進行.

　　（二）教學手段

　　根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機輔導教學.

　　三、教學過程 設(shè)計

　　6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）

　　（一）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（提出問題）；2.組織學生討論，并點評.

　　（學生活動）學生分組討論，解決問題.

　　[字幕] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售.試問降價最少的方案是哪一種？

　　［討論］

　　①設(shè)物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：

　　方案甲： （元）；

　　方案乙： （元）；

　　方案丙： （元）.

　　故降價最少的方案是丙.

　　②若將問題變?yōu)榈谝淮蝍折銷售，第二次b折銷售.顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時，

　　設(shè)計意圖：提出一個商品降價問題，要求學生討論哪一種方案降價最少.學生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學習本節(jié)知識的必要，激發(fā)學生求知欲望，合理引出新課.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　　（教師活動）打出字幕（重要不等式），引導學生分析、思考，講解重要不等式的證明.點評有關(guān)問題.

　　（學生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關(guān)概念.

　　［字幕］如果 ，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：見課本

　　［點評］

　　①強調(diào) 的充要條件是

　　②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）.

　　③幾何解釋，如圖。

　　[字幕]定理 如果a，b是正數(shù)，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：學生運用“ ”自己證明.

　　［點評］

　　①強調(diào)；

　　②解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系；

　　②比較上述兩個不等式的特征（強調(diào)它們的限制條件）；

　　④幾何解釋（見課本）；

　　＠指出定理可推廣為“n個（ ）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”.

　　設(shè)計意圖：加深對重要不等式的認識和理解；培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學思想，多方面思考問題的能力.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）教師打出字幕（例題），引導學生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構(gòu)建證題思路.

　　（學生活動）與教師一道完成問題的論證.

　　［字幕］例題已知 a，b，c，d都是正數(shù)，求證：

　　［分析］

　　①應用定理證明；

　　②研究問題與定理之間的聯(lián)系；

　　③注意應用定理的條件和應用不等式的性質(zhì).

　　證明：見課本.

　　設(shè)計意圖：鞏固對定理的理解，學會應用定理解決某些數(shù)學問題.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；巡視學生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學生板演；點評練習解法.

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、動兩位同學板演.

　　［字幕］練習：已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1） ；

　　（2）

　　設(shè)計意圖：掌握定理及應用，反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用定理解決有關(guān)數(shù)學問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.

　　1.重要不等式可以用來證明某些不等式.

　　2.應用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結(jié)構(gòu)特征：①滿足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式.

　　3.用重要不等式證明有關(guān)不等式時注意與不等式性質(zhì)結(jié)合.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握應用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學問題的方

　　法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.

　　1.本節(jié)課學習了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學問題中的應用.

　　2.注意：①兩個重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號成立的條件.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ；習題 .1，3

　　2.思考題：已知 ，求證：

　　3.研究性題：設(shè)正數(shù) ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式.

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生完成，靈活掌握重要不等式的應用；研究性題是一道結(jié)論開放性題，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.

　　（五）課后點評

　　1.導入  新課采用學生比較熟悉的問題為背景，容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　2.在建立新知過程中，教師力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解難確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　3.通過變式訓練，使學生在對知識初步理解和掌握后，得到進一步深化，對所學的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調(diào)整課堂教學.

　　4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　作業(yè) 答案

　　思考題 證明：因為 ，所以

　　.又因為 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性題  ① .由條件得 ，…（A）  利用公式 …（B）. 得 ，即 . ② .由（A）、（B）之和即得.③ .可利用 .再利用①，即可得. ④ .利用立方和公式得到： .利用①可得 .利用①②可得 .還有 ……

　　第二課時

　　（－）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（引例）； 2.設(shè)置問題，引導學生思考，啟發(fā)學生應用平均值定理解決有關(guān)實際問題.

　　（學生活動）思考、回答教師設(shè)置的問題，構(gòu)建應用平均值定理解決實際問題的思路.

　　［字幕］引例.如圖，用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最省？此時，籬笆墻長為多少米？

　　[設(shè)問]

　　①這是一個實際問題，如何把它轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學問題？

　　（學生口答：設(shè)籬笆墻長為y，則 （ ）.問

　　題轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時的 的值.）

　　②求這個函數(shù)的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值？

　　（學生口答：利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法，也可用平均值定理.）

　　設(shè)計意圖：從學生熟悉的實際問題出發(fā)，激發(fā)學生應用數(shù)學知識解決問題的興趣，通過設(shè)問，引導和啟發(fā)學生用所學的平均值定理解決有關(guān)實際問題，引入課題.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師打出字幕（課本例題1），引導學生研究和解決問題，幫助學生建立用平均值定理求函數(shù)最值的知識體系.

　　（學生活動）嘗試完成問題的論證，構(gòu)建應用平均值定理求函數(shù)最值的方法.

　　[字幕]已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P，那么當 時，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么當 時，積 有最大值

　　證明：運用 ，證明（略）.

　　［點評］

　　①（l）的結(jié)論即 ，（2）的結(jié)論即

　　②上述結(jié)論給出了一類函數(shù)求最值的方法，即平均值定理求最值法.

　　③應用平均值定理求最值要特別注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當 ，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同時成立.

　　設(shè)計意圖：引導學生分析和研究問題，建立新知——應用平均值定理求最值的方法.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）打出字幕（例題），引導學生分析問題，研究問題的解法.

　　（學生活動）分析、思考，嘗試解答問題.

　　[字幕]例題1 求函數(shù) （ ）的最小值，并求相應的 的值.

　　［分析］因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且 又 與的積也不是常數(shù)，所以不能直接用定理求解.但把函數(shù)變形為 后，正數(shù) ， 的積是常數(shù)1，可以用定理求得這個函數(shù)的最小值.

　　解： ，由 ，知 ， ，且 .當且僅當 ，即 時， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[點評] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi).

　　[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150元，池壁每1 的造價為 120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　［分析］ 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為y，建立y關(guān)干 的函數(shù).然后用定理求函數(shù)y的最小值.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價為y元，根據(jù)題意，得

　　（ ）

　　所以          

　　當 ，即 時，y有最小值297600.因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時.水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　設(shè)計意圖：加深理解應用平均值定理求最值的方法，學會應用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想.培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學思想.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請三位同學板演；巡視學生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習.

　　（學生活動）在筆記本且完成練習、板演.

　　［字幕〕練習

　　A組

　　1.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　2求函數(shù) （ ）的最值.

　　3.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　B組

　　1.設(shè) ，且 ，求 的最大值.

　　2.求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？

　　解： ，因為 ，則 .所以

　　[講評] A組 1. ； 2. ； 3.

　　B組 1. ； 2.不正確  ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值.

　　設(shè)計意圖；A組題訓練學生掌握應用平均值定理求最值.B組題訓練學生掌握平均值定理的綜合應用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意.同時反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最值問題和實際問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.

　　1.應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題.

　　2.應用定理時注意以下幾個條件：（ⅰ）兩個變量必須是正變量.（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值.（iii）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值，即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　3.在求某些函數(shù)的最值時，會恰當?shù)暮愕茸冃巍�—分析變量、配置系�?shù).

　　4.應用平均值定理解決實際問題時，應注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù).（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域.（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.

　　這節(jié)課學習了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題.現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法.這是平均值定理的一個重要應用，也是本節(jié)的重點內(nèi)容，同學們要牢固掌握.

　　應用定理時要注意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個條件同時成立，且會靈活轉(zhuǎn)化問題，達到化歸的目的.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ：P ，6，7.

　　2.思考題：設(shè) ，求函數(shù) 的最值.

　　3.研究性題：某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路、汽車費用9千元；汽車的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增.問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生練習，使學生能靈活運用定理解決某些數(shù)學問題；研究性題培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

　　（五）課后點評

　　1.關(guān)于新課引入設(shè)計的想法：

　　導入  這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)學生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點明課題.事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點.

　　2.關(guān)于課堂練習設(shè)計的想法：

　　正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學難點 .為突破難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，設(shè)計解法正誤討論能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　3.培養(yǎng)應用意識.

　　教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學.本節(jié)課中設(shè)計了兩道應用問題，用剛剛學過的數(shù)學知識解決了問題，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　作業(yè) 解答

　　思考題：

　　.當且僅當 ，即 時，上式取等號.所以當 時，函數(shù)y有最小值9，無最大值.

　　研究性題：設(shè)使用 年報廢最合算，由題意有；

　　年平均費用

　　當且僅當 ，即 時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3萬元.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇13

　　第一課時

　　一、教材分析

　　（一）教材所處的地位和作用

　　“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數(shù)學第二冊（上）“不等式”一章的內(nèi)容，是在學完不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究.本節(jié)內(nèi)容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節(jié)內(nèi)容是培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識，靈活解決實際問題，學數(shù)學用數(shù)學的好素材二同時本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學思想，所以有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì).

　　（二）教學目標

　　1.知識目標：理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明及其幾何解釋；掌握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題.

　　2.能力目標：培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想.

　　（三）教學重點、難點、關(guān)鍵

　　重點：用平均值定理求某些函數(shù)的最值及有關(guān)的應用問題.

　　難點：定理的使用條件，合理地應用平均值定理.

　　關(guān)鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數(shù)學思想是突破重點和難點的關(guān)鍵.

　　（四）教材處理

　　依據(jù)新大綱和新教材，本節(jié)分為二個課時進行教學.第一課時講解不等式（兩個實數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋.掌握應用定理解決某些數(shù)學問題.第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題.為了講好平均值定理這節(jié)內(nèi)容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當?shù)恼{(diào)整，適當增加例題.

　　二、教法分析

　　（－）教學方法

　　為了激發(fā)學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力與創(chuàng)新能力，使學生能獨立實現(xiàn)學習目標.在探索結(jié)論時，采用發(fā)現(xiàn)法教學；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結(jié)合法進行.

　　（二）教學手段

　　根據(jù)本節(jié)知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機輔導教學.

　　三、教學過程設(shè)計

　　6.2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（第一課時）

　　（一）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（提出問題）；2.組織學生討論，并點評.

　　（學生活動）學生分組討論，解決問題.

　　[字幕] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售.試問降價最少的方案是哪一種？

　　［討論］

　　①設(shè)物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：

　　方案甲： （元）；

　　方案乙： （元）；

　　方案丙： （元）.

　　故降價最少的方案是丙.

　　②若將問題變?yōu)榈谝淮蝍折銷售，第二次b折銷售.顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時，

　　設(shè)計意圖：提出一個商品降價問題，要求學生討論哪一種方案降價最少.學生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學習本節(jié)知識的必要，激發(fā)學生求知欲望，合理引出新課.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索，建立新知】

　　（教師活動）打出字幕（重要不等式），引導學生分析、思考，講解重要不等式的證明.點評有關(guān)問題.

　　（學生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關(guān)概念.

　　［字幕］如果 ，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：見課本

　　［點評］

　　①強調(diào) 的充要條件是

　　②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）.

　　③幾何解釋，如圖。

　　[字幕]定理 如果a，b是正數(shù)，那么 （當且僅當 時取“=”號）.

　　證明：學生運用“ ”自己證明.

　　［點評］

　　①強調(diào)；

　　②解釋“算術(shù)平均數(shù)”和“幾何平均數(shù)”的概念，并敘述它們之間的關(guān)系；

　　②比較上述兩個不等式的特征（強調(diào)它們的限制條件）；

　　④幾何解釋（見課本）；

　　＠指出定理可推廣為“n個（ ）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小干它們的幾何平均數(shù)”.

　　設(shè)計意圖：加深對重要不等式的認識和理解；培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學思想，多方面思考問題的能力.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）教師打出字幕（例題），引導學生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構(gòu)建證題思路.

　　（學生活動）與教師一道完成問題的論證.

　　［字幕］例題已知 a，b，c，d都是正數(shù)，求證：

　　［分析］

　　①應用定理證明；

　　②研究問題與定理之間的聯(lián)系；

　　③注意應用定理的條件和應用不等式的性質(zhì).

　　證明：見課本.

　　設(shè)計意圖：鞏固對定理的理解，學會應用定理解決某些數(shù)學問題.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；巡視學生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學生板演；點評練習解法.

　　（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、動兩位同學板演.

　　［字幕］練習：已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1） ；

　　（2）

　　設(shè)計意圖：掌握定理及應用，反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用定理解決有關(guān)數(shù)學問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.

　　1.重要不等式可以用來證明某些不等式.

　　2.應用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結(jié)構(gòu)特征：①滿足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數(shù)的形式.

　　3.用重要不等式證明有關(guān)不等式時注意與不等式性質(zhì)結(jié)合.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握應用重要不等式解決有關(guān)數(shù)學問題的方

　　法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.

　　1.本節(jié)課學習了兩個重要不等式及它們在解決數(shù)學問題中的應用.

　　2.注意：①兩個重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號成立的條件.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ；習題 .1，3

　　2.思考題：已知 ，求證：

　　3.研究性題：設(shè)正數(shù) ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式.

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生完成，靈活掌握重要不等式的應用；研究性題是一道結(jié)論開放性題，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識.

　　（五）課后點評

　　1.導入  新課采用學生比較熟悉的問題為背景，容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　2.在建立新知過程中，教師力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解難確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　3.通過變式訓練，使學生在對知識初步理解和掌握后，得到進一步深化，對所學的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調(diào)整課堂教學.

　　4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　作業(yè) 答案

　　思考題 證明：因為 ，所以

　　.又因為 ， ， ，所以 ， ，所以

　　研究性題  ① .由條件得 ，…（A）  利用公式 …（B）. 得 ，即 . ② .由（A）、（B）之和即得.③ .可利用 .再利用①，即可得. ④ .利用立方和公式得到： .利用①可得 .利用①②可得 .還有 ……

　　第二課時

　　（－）導入  新課

　　（教師活動）1.教師打出字幕（引例）； 2.設(shè)置問題，引導學生思考，啟發(fā)學生應用平均值定理解決有關(guān)實際問題.

　　（學生活動）思考、回答教師設(shè)置的問題，構(gòu)建應用平均值定理解決實際問題的思路.

　　［字幕］引例.如圖，用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最省？此時，籬笆墻長為多少米？

　　[設(shè)問]

　　①這是一個實際問題，如何把它轉(zhuǎn)化成為一個數(shù)學問題？

　　（學生口答：設(shè)籬笆墻長為y，則 （ ）.問

　　題轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)y的最小值及取得最值時的 的值.）

　　②求這個函數(shù)的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數(shù)的最小值？

　　（學生口答：利用函數(shù)的單調(diào)性或判別式法，也可用平均值定理.）

　　設(shè)計意圖：從學生熟悉的實際問題出發(fā)，激發(fā)學生應用數(shù)學知識解決問題的興趣，通過設(shè)問，引導和啟發(fā)學生用所學的平均值定理解決有關(guān)實際問題，引入課題.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師打出字幕（課本例題1），引導學生研究和解決問題，幫助學生建立用平均值定理求函數(shù)最值的知識體系.

　　（學生活動）嘗試完成問題的論證，構(gòu)建應用平均值定理求函數(shù)最值的方法.

　　[字幕]已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P，那么當 時，和 有最小值 ；

　　（2）如果和 是定值S，那么當 時，積 有最大值

　　證明：運用 ，證明（略）.

　　［點評］

　　①（l）的結(jié)論即 ，（2）的結(jié)論即

　　②上述結(jié)論給出了一類函數(shù)求最值的方法，即平均值定理求最值法.

　　③應用平均值定理求最值要特別注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當 ，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同時成立.

　　設(shè)計意圖：引導學生分析和研究問題，建立新知——應用平均值定理求最值的方法.

　　【例題示范，學會應用】

　　（教師活動）打出字幕（例題），引導學生分析問題，研究問題的解法.

　　（學生活動）分析、思考，嘗試解答問題.

　　[字幕]例題1 求函數(shù) （ ）的最小值，并求相應的 的值.

　　［分析］因為這個函數(shù)中的兩項不都是正數(shù)且 又 與的積也不是常數(shù)，所以不能直接用定理求解.但把函數(shù)變形為 后，正數(shù) ， 的積是常數(shù)1，可以用定理求得這個函數(shù)的最小值.

　　解： ，由 ，知 ， ，且 .當且僅當 ，即 時， （ ）有最小值，最小值是 。

　　[點評] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內(nèi).

　　[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150元，池壁每1 的造價為 120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　［分析］ 設(shè)水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為y，建立y關(guān)干 的函數(shù).然后用定理求函數(shù)y的最小值.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設(shè)水池總造價為y元，根據(jù)題意，得

　　（ ）

　　所以          

　　當 ，即 時，y有最小值297600.因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時.水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　設(shè)計意圖：加深理解應用平均值定理求最值的方法，學會應用平均值定理解決某些函數(shù)最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構(gòu)建思想.培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，化歸的數(shù)學思想.

　　【課堂練習】

　　（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請三位同學板演；巡視學生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習.

　　（學生活動）在筆記本且完成練習、板演.

　　［字幕〕練習

　　A組

　　1.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　2求函數(shù) （ ）的最值.

　　3.求函數(shù) （ ）的最大值.

　　B組

　　1.設(shè) ，且 ，求 的最大值.

　　2.求函數(shù) 的最值，下面解法是否正確？為什么？

　　解： ，因為 ，則 .所以

　　[講評] A組 1. ； 2. ； 3.

　　B組 1. ； 2.不正確  ①當 時， ；②當 時， ，而函數(shù)在整個定義域內(nèi)沒有最值.

　　設(shè)計意圖；A組題訓練學生掌握應用平均值定理求最值.B組題訓練學生掌握平均值定理的綜合應用，并對一些易出現(xiàn)錯誤的地方引起注意.同時反饋課堂教學效果，調(diào)節(jié)課堂教學.

　　【分析歸納、小結(jié)解法】

　　（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結(jié)應用平均值定理解決有關(guān)函數(shù)最值問題和實際問題的解題方法.

　　（學生活動）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.

　　1.應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題.

　　2.應用定理時注意以下幾個條件：（ⅰ）兩個變量必須是正變量.（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值.（iii）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值，即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　3.在求某些函數(shù)的最值時，會恰當?shù)暮愕茸冃巍�—分析變量、配置系�?shù).

　　4.應用平均值定理解決實際問題時，應注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數(shù).（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題，確定函數(shù)的定義域.（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值，正確寫出答案.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　（三）小結(jié)

　　（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識要點.

　　（學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.

　　這節(jié)課學習了利用平均值定理求某些函數(shù)的最值問題.現(xiàn)在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數(shù)最值方法.這是平均值定理的一個重要應用，也是本節(jié)的重點內(nèi)容，同學們要牢固掌握.

　　應用定理時要注意定理的適用條件，即“正數(shù)、定值、相等”三個條件同時成立，且會靈活轉(zhuǎn)化問題，達到化歸的目的.

　　設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

　　（四）布置作業(yè) 

　　1.課本作業(yè) ：P ，6，7.

　　2.思考題：設(shè) ，求函數(shù) 的最值.

　　3.研究性題：某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、養(yǎng)路、汽車費用9千元；汽車的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增.問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？

　　設(shè)計意圖：課本作業(yè) 供學生鞏固基礎(chǔ)知識；思考題供學有余力的學生練習，使學生能靈活運用定理解決某些數(shù)學問題；研究性題培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

　　（五）課后點評

　　1.關(guān)于新課引入設(shè)計的想法：

　　導入  這一環(huán)節(jié)是調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)學生探究精神的重要環(huán)節(jié)，本節(jié)課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產(chǎn)生用平均值定理求最值，點明課題.事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點.

　　2.關(guān)于課堂練習設(shè)計的想法：

　　正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值是教學難點.為突破難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，發(fā)現(xiàn)使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，設(shè)計解法正誤討論能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　3.培養(yǎng)應用意識.

　　教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學.本節(jié)課中設(shè)計了兩道應用問題，用剛剛學過的數(shù)學知識解決了問題，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　作業(yè) 解答

　　思考題：

　　.當且僅當 ，即 時，上式取等號.所以當 時，函數(shù)y有最小值9，無最大值.

　　研究性題：設(shè)使用 年報廢最合算，由題意有；

　　年平均費用

　　當且僅當 ，即 時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3萬元.

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇14

　　教學目標 

　　（1）掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這一重要定理；

　　（2）能運用定理證明不等式及求一些函數(shù)的最值；

　　（3）能夠解決一些簡單的實際問題；

　　（4）通過對不等式的結(jié)構(gòu)的分析及特征的把握掌握重要不等式的聯(lián)系；

　　（5）通過對重要不等式的證明和等號成立的條件的分析，培養(yǎng)學生嚴謹科學的認識習慣，進一步滲透變量和常量的哲學觀；

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)根據(jù)不等式的性質(zhì)推導出一個重要的不等式： ，根據(jù)這個結(jié)論，又得到了一個定理： ，并指出了 為 的算術(shù)平均數(shù)， 為 的幾何平均數(shù)后，隨后給出了這個定理的幾何解釋。

　　（2）重點、難點分析

　　本節(jié)課的重點內(nèi)容是掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值的結(jié)論，教學難點 是正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值.為突破重難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號成立的條件，發(fā)現(xiàn)使用定理求最值的三個條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，教學中要注意培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　㈠定理教學的注意事項

　　在公式 以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學中，要讓學生注意以下兩點：

　　（1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù)。

　　例如 成立，而 不成立。

　　（2）這兩個公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當且僅當……時取‘=’號”這句話的含義要搞清楚。教學時，要提醒學生從以下兩個方面來理解這句話的含義：

　　當 時取等號，其含義就是：

　　僅當 時取等號，其含義就是：

　　綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。

　　（二）關(guān)于用定理證明不等式

　　當用公式 ， 證明不等式時，應該使學生認識到：

　　它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法（將在下一小節(jié)學習）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法證明。

　　（三）應用定理求最值的條件

　　應用定理時注意以下幾個條件：

　　（1）兩個變量必須是正變量；

　　（2）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值；

　　（3）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值.

　　即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　在求某些函數(shù)的最值時，還要注意進行恰當?shù)暮愕茸冃巍⒎治鲎兞俊⑴渲孟禂?shù).

　　（四）應用定理解決實際問題的分析

　　在應用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理解決這類實際問題時，要讓學生注意；

　　（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

　　（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

　　（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

　　（4）正確寫出答案。

　　2.教法建議

　　（1）導入  新課建議采用學生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　（2）在新授知識過程中，教師應力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解準確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　（3）教學方法建議采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　（4）可以設(shè)計解法的正誤討論，這樣能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　（5）注意培養(yǎng)應用意識.教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　第一課時

　　教學目標 ：

　　1.學會推導并掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理；

　　2.理解定理的幾何意義；

　　3.能夠簡單應用定理證明不等式.

　　教學重點：均值定理證明

　　教學難點 ：等號成立條件

　　教學方法：引導式

　　教學過程 ：

　　一、復習回顧

　　上一節(jié)，我們完成了對不等式性質(zhì)的學習，首先我們來作一下回顧.

　　（學生回答）

　　由上述性質(zhì)，我們可以推導出下列重要的不等式.

　　二、講授新課

　　1.  重要不等式：

　　如果

　　證明：

　　當

　　所以，

　　即

　　由上面的結(jié)論，我們又可得到

　　2.  定理：如果 是正數(shù)，那么

　　證明：∵

　　即

　　顯然，當且僅當

　　說明：ⅰ）我們稱 的算術(shù)平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

　　ⅱ） 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù).

　　ⅲ）“當且僅當”的含義是充要條件.

　　3.均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”.

　　以長為 的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C， .過點C作垂直于直徑AB的弦DD′,那么

　　即

　　這個圓的半徑為 ，顯然，它不小于CD，即 ，其中當且僅當點C與圓心重合；即 時，等號成立.

　　在定理證明之后，我們來看一下它的具體應用.

　　4.  例題講解：

　　例1 已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P,那么當 時，和 有最小值

　　（2）如果和 是定值S,那么當 時，積 有最大值 證明：因為 都是正數(shù)，所以

　　（1）積xy為定值P時，有

　　上式當 時，取“=”號，因此，當 時，和 有最小值 .

　　（2）和 為定值S時，有

　　上式當 時取“=”號，因此，當 時，積 有最大值 .

　　說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：

　　（1）函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);

　　（2）函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；

　　（3）等號成立條件必須存在.

　　接下來，我們通過練習來進一步熟悉均值定理的應用.

　　三、課堂練習

　　課本P11練習2，3

　　要求：學生板演，老師講評.

　　課堂小結(jié)：

　　通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應用它證明一些不等式，但是在應用時，應注意定理的適用條件.

　　課后作業(yè) ：習題6.2   1，2，3，4

　　板書設(shè)計 ：

　　§6.2.1 ……

　　1.重要不等式   說明ⅰ）   4.例題……    學生

　　……                ⅱ）    ……         練習

　　ⅲ）    ……

　　2.均值定理       3.幾何意義

　　……

　　……

　　第二課時

　　教學目標 ：

　　1.進一步掌握均值不等式定理；

　　2.會應用此定理求某些函數(shù)的最值；

　　3.能夠解決一些簡單的實際問題.

　　教學重點：均值不等式定理的應用

　　教學難點 ：

　　解題中的轉(zhuǎn)化技巧

　　教學方法：啟發(fā)式

　　教學過程 ：

　　一、復習回顧

　　上一節(jié)，我們一起學習了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，首先我們來回顧一下定理內(nèi)容及其適用條件.

　　（學生回答）

　　利用這一定理，可以證明一些不等式，也可求解某些函數(shù)的最值，這一節(jié)，我們來繼續(xù)這方面的訓練.

　　二、講授新課

　　例2 已知都是正數(shù)，求證：

　　分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.

　　證明：由 都是正數(shù)，得

　　即

　　例3  某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 ，深為3m，如果池底每 的造價為150元，池壁每 的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得

　　當

　　因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應用，應注意不等式性質(zhì)的適用條件.

　　為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應用，我們來進行課堂練習.

　　三、課堂練習

　　課本P11練習1，4

　　要    求：學生板演，老師講評.

　　課堂小結(jié)：

　　通過本節(jié)學習，要求大家進一步掌握利用均值不等式定理證明不等式及求函數(shù)的最值，并認識到它在實際問題中的應用.

　　課后作業(yè) ：

　　習題6.2    5,6,7

　　板書設(shè)計 ：

　　均值不等式                  例2 §6.2.2      例3         學生

　　定理回顧                    ……           ……

　　……                        ……           ……         練習

　　……                        ……           ……

算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 篇15

　　教學目標 

　　（1）掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這一重要定理；

　　（2）能運用定理證明不等式及求一些函數(shù)的最值；

　　（3）能夠解決一些簡單的實際問題；

　　（4）通過對不等式的結(jié)構(gòu)的分析及特征的把握掌握重要不等式的聯(lián)系；

　　（5）通過對重要不等式的證明和等號成立的條件的分析，培養(yǎng)學生嚴謹科學的認識習慣，進一步滲透變量和常量的哲學觀；

　　教學建議

　　1.教材分析

　　（1）知識結(jié)構(gòu)

　　本節(jié)根據(jù)不等式的性質(zhì)推導出一個重要的不等式： ，根據(jù)這個結(jié)論，又得到了一個定理： ，并指出了 為 的算術(shù)平均數(shù)， 為 的幾何平均數(shù)后，隨后給出了這個定理的幾何解釋。

　　（2）重點、難點分析

　　本節(jié)課的重點內(nèi)容是掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值的結(jié)論，教學難點 是正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值.為突破重難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號成立的條件，發(fā)現(xiàn)使用定理求最值的三個條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，教學中要注意培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

　　㈠定理教學的注意事項

　　在公式 以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學中，要讓學生注意以下兩點：

　　（1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù)。

　　例如 成立，而 不成立。

　　（2）這兩個公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當且僅當……時取‘=’號”這句話的含義要搞清楚。教學時，要提醒學生從以下兩個方面來理解這句話的含義：

　　當 時取等號，其含義就是：

　　僅當 時取等號，其含義就是：

　　綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。

　　（二）關(guān)于用定理證明不等式

　　當用公式 ， 證明不等式時，應該使學生認識到：

　　它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法（將在下一小節(jié)學習）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法證明。

　　（三）應用定理求最值的條件

　　應用定理時注意以下幾個條件：

　　（1）兩個變量必須是正變量；

　　（2）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值；

　　（3）當且僅當兩個數(shù)相等時取最值.

　　即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

　　在求某些函數(shù)的最值時，還要注意進行恰當?shù)暮愕茸冃巍⒎治鲎兞俊⑴渲孟禂?shù).

　　（四）應用定理解決實際問題的分析

　　在應用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理解決這類實際問題時，要讓學生注意；

　　（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

　　（2）建立相應的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

　　（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

　　（4）正確寫出答案。

　　2.教法建議

　　（1）導入  新課建議采用學生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學習動機.使得學生學習本節(jié)課知識自然且合理.

　　（2）在新授知識過程中，教師應力求引導、啟發(fā)，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學生理解準確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學生在比較中得到深刻理解.

　　（3）教學方法建議采用啟發(fā)引導，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導作用，體現(xiàn)學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導學生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).

　　（4）可以設(shè)計解法的正誤討論，這樣能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.

　　（5）注意培養(yǎng)應用意識.教學中應不失時機地使學生認識到數(shù)學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學，使學生不禁感到“數(shù)學有用，要用數(shù)學”.

　　第一課時

　　教學目標 ：

　　1.學會推導并掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理；

　　2.理解定理的幾何意義；

　　3.能夠簡單應用定理證明不等式.

　　教學重點：均值定理證明

　　教學難點 ：等號成立條件

　　教學方法：引導式

　　教學過程 ：

　　一、復習回顧

　　上一節(jié)，我們完成了對不等式性質(zhì)的學習，首先我們來作一下回顧.

　　（學生回答）

　　由上述性質(zhì)，我們可以推導出下列重要的不等式.

　　二、講授新課

　　1.  重要不等式：

　　如果

　　證明：

　　當

　　所以，

　　即

　　由上面的結(jié)論，我們又可得到

　　2.  定理：如果 是正數(shù)，那么

　　證明：∵

　　即

　　顯然，當且僅當

　　說明：ⅰ）我們稱 的算術(shù)平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

　　ⅱ） 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù).

　　ⅲ）“當且僅當”的含義是充要條件.

　　3.均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”.

　　以長為 的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C， .過點C作垂直于直徑AB的弦DD′,那么

　　即

　　這個圓的半徑為 ，顯然，它不小于CD，即 ，其中當且僅當點C與圓心重合；即 時，等號成立.

　　在定理證明之后，我們來看一下它的具體應用.

　　4.  例題講解：

　　例1 已知 都是正數(shù)，求證：

　　（1）如果積 是定值P,那么當 時，和 有最小值

　　（2）如果和 是定值S,那么當 時，積 有最大值 證明：因為 都是正數(shù)，所以

　　（1）積xy為定值P時，有

　　上式當 時，取“=”號，因此，當 時，和 有最小值 .

　　（2）和 為定值S時，有

　　上式當 時取“=”號，因此，當 時，積 有最大值 .

　　說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：

　　（1）函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);

　　（2）函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；

　　（3）等號成立條件必須存在.

　　接下來，我們通過練習來進一步熟悉均值定理的應用.

　　三、課堂練習

　　課本P11練習2，3

　　要求：學生板演，老師講評.

　　課堂小結(jié)：

　　通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應用它證明一些不等式，但是在應用時，應注意定理的適用條件.

　　課后作業(yè) ：習題6.2   1，2，3，4

　　板書設(shè)計 ：

　　§6.2.1 ……

　　1.重要不等式   說明ⅰ）   4.例題……    學生

　　……                ⅱ）    ……         練習

　　ⅲ）    ……

　　2.均值定理       3.幾何意義

　　……

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　　第二課時

　　教學目標 ：

　　1.進一步掌握均值不等式定理；

　　2.會應用此定理求某些函數(shù)的最值；

　　3.能夠解決一些簡單的實際問題.

　　教學重點：均值不等式定理的應用

　　教學難點 ：

　　解題中的轉(zhuǎn)化技巧

　　教學方法：啟發(fā)式

　　教學過程 ：

　　一、復習回顧

　　上一節(jié)，我們一起學習了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，首先我們來回顧一下定理內(nèi)容及其適用條件.

　　（學生回答）

　　利用這一定理，可以證明一些不等式，也可求解某些函數(shù)的最值，這一節(jié)，我們來繼續(xù)這方面的訓練.

　　二、講授新課

　　例2 已知都是正數(shù)，求證：

　　分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.

　　證明：由 都是正數(shù)，得

　　即

　　例3  某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 ，深為3m，如果池底每 的造價為150元，池壁每 的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

　　分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.

　　解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得

　　當

　　因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

　　評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應用，應注意不等式性質(zhì)的適用條件.

　　為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應用，我們來進行課堂練習.

　　三、課堂練習

　　課本P11練習1，4

　　要    求：學生板演，老師講評.

　　課堂小結(jié)：

　　通過本節(jié)學習，要求大家進一步掌握利用均值不等式定理證明不等式及求函數(shù)的最值，并認識到它在實際問題中的應用.

　　課后作業(yè) ：

　　習題6.2    5,6,7

　　板書設(shè)計 ：

　　均值不等式                  例2 §6.2.2      例3         學生

　　定理回顧                    ……           ……

　　……                        ……           ……         練習

　　……                        ……           ……