算術平均數與幾何平均數（一）

教學目標

（1）掌握“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”這一重要定理；
（2）能運用定理證明不等式及求一些函數的最值；
（3）能夠解決一些簡單的實際問題；
（4）通過對不等式的結構的分析及特征的把握掌握重要不等式的聯系；
（5）通過對重要不等式的證明和等號成立的條件的分析，培養學生嚴謹科學的認識習慣，進一步滲透變量和常量的哲學觀；

教學建議

1.教材分析

（1）知識結構

本節根據不等式的性質推導出一個重要的不等式： ，根據這個結論，又得到了一個定理： ，并指出了 為 的算術平均數， 為 的幾何平均數后，隨后給出了這個定理的幾何解釋。

（2）重點、難點分析

本節課的重點內容是掌握“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”；掌握兩個正數的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值的結論，教學難點是正確理解和使用平均值定理求某些函數的最值.為突破重難點，教師單方面強調是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號成立的條件，發現使用定理求最值的三個條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，教學中要注意培養學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

㈠定理教學的注意事項

在公式 以及算術平均數與幾何平均數的定理的教學中，要讓學生注意以下兩點：

（1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數，而后者要求 都是正數。

例如 成立，而 不成立。

（2）這兩個公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當且僅當……時取‘=’號”這句話的含義要搞清楚。教學時，要提醒學生從以下兩個方面來理解這句話的含義：

當 時取等號，其含義就是：

僅當 時取等號，其含義就是：

綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。

（二）關于用定理證明不等式

當用公式 ， 證明不等式時，應該使學生認識到：

它們本身也是根據不等式的意義、性質或用比較法（將在下一小節學習）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據不等式的意義、性質或用比較法證明。

（三）應用定理求最值的條件

應用定理時注意以下幾個條件：

（1）兩個變量必須是正變量；

（2）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值；

（3）當且僅當兩個數相等時取最值.

即必須同時滿足“正數”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

在求某些函數的最值時，還要注意進行恰當的恒等變形、分析變量、配置系數.

（四）應用定理解決實際問題的分析

在應用兩個正數的算術平均數與幾何平均數的定理解決這類實際問題時，要讓學生注意；

（1）先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數；

（2）建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最大值或最小值問題；

（3）在定義域內，求出函數的最大值或最小值；

（4）正確寫出答案。

2.教法建議

（1）導入  新課建議采用學生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學生接受，產生興趣，激發學習動機.使得學生學習本節課知識自然且合理.
（2）在新授知識過程中，教師應力求引導、啟發，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統和完整的知識結構.對有關概念使學生理解準確，盡量以多種形式反映知識結構，使學生在比較中得到深刻理解.
（3）教學方法建議采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發誘導學生深入思考問題，有利于培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質.
（4）可以設計解法的正誤討論，這樣能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結構中.
（5）注意培養應用意識.教學中應不失時機地使學生認識到數學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學，使學生不禁感到“數學有用，要用數學”.

 第一課時

教學目標：

1.學會推導并掌握兩個正數的算術平均數與幾何平均數定理；
2.理解定理的幾何意義；
3.能夠簡單應用定理證明不等式.

教學重點：均值定理證明

教學難點：等號成立條件

教學方法：引導式

教學過程：

一、復習回顧

上一節，我們完成了對不等式性質的學習，首先我們來作一下回顧.

（學生回答）

由上述性質，我們可以推導出下列重要的不等式.

二、講授新課

1.  重要不等式：

如果

證明：

當

所以，

即

由上面的結論，我們又可得到

2.  定理：如果 是正數，那么

證明：∵

即

顯然，當且僅當

說明：ⅰ）我們稱 的算術平均數，稱 的幾何平均數，因而，此定理又可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

ⅱ） 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數，而后者要求 都是正數.

ⅲ）“當且僅當”的含義是充要條件.

3.均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”.

以長為 的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C， .過點C作垂直于直徑AB的弦DD′,那么

即

這個圓的半徑為 ，顯然，它不小于CD，即 ，其中當且僅當點C與圓心重合；即 時，等號成立.

在定理證明之后，我們來看一下它的具體應用.

4.  例題講解：

例1 已知 都是正數，求證：

（1）如果積 是定值P,那么當 時，和 有最小值

（2）如果和 是定值S,那么當 時，積 有最大值 證明：因為 都是正數，所以

（1）積xy為定值P時，有

上式當 時，取“=”號，因此，當 時，和 有最小值 .

（2）和 為定值S時，有

上式當 時取“=”號，因此，當 時，積 有最大值 .

說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應注意三個條件：

（1）函數式中各項必須都是正數;

（2）函數式中含變數的各項的和或積必須是常數；

（3）等號成立條件必須存在.

接下來，我們通過練習來進一步熟悉均值定理的應用.

三、課堂練習

課本P₁₁練習2，3

要求：學生板演，老師講評.

課堂小結：

通過本節學習，要求大家掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理，并會應用它證明一些不等式，但是在應用時，應注意定理的適用條件.

課后作業 ：習題6.2   1，2，3，4

板書設計：

第二課時

教學目標：

1.進一步掌握均值不等式定理；
2.會應用此定理求某些函數的最值；
3.能夠解決一些簡單的實際問題.

教學重點：均值不等式定理的應用

教學難點：

解題中的轉化技巧

教學方法：啟發式

教學過程：

一、復習回顧

上一節，我們一起學習了兩個正數的算術平均數與幾何平均數的定理，首先我們來回顧一下定理內容及其適用條件.

（學生回答）

利用這一定理，可以證明一些不等式，也可求解某些函數的最值，這一節，我們來繼續這方面的訓練.

二、講授新課

例2 已知都是正數，求證：

分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發生聯系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.

證明：由 都是正數，得

即

例3  某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 ，深為3m，如果池底每 的造價為150元，池壁每 的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

分析：此題首先需要由實際問題向數學問題轉化，即建立函數關系式，然后求函數的最值，其中用到了均值不等式定理.

解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據題意，得

當

因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數學語言的應用即函數解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件.

為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數最值中的應用，我們來進行課堂練習.

三、課堂練習

課本P₁₁練習1，4

要    求：學生板演，老師講評.

課堂小結：

通過本節學習，要求大家進一步掌握利用均值不等式定理證明不等式及求函數的最值，并認識到它在實際問題中的應用.

課后作業 ：

習題6.2    5,6,7

板書設計：