算術平均數與幾何平均數1
教學目標(1)把握“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”這一重要定理;
(2)能運用定理證實不等式及求一些函數的最值;
(3)能夠解決一些簡單的實際問題;
(4)通過對不等式的結構的分析及特征的把握把握重要不等式的聯系;
(5)通過對重要不等式的證實和等號成立的條件的分析,培養學生嚴謹科學的熟悉習慣,進一步滲透變量和常量的哲學觀;
教學建議
1.教材分析
(1)知識結構
本節根據不等式的性質推導出一個重要的不等式: ,根據這個結論,又得到了一個定理: ,并指出了 為 的算術平均數, 為 的幾何平均數后,隨后給出了這個定理的幾何解釋。
(2)重點、難點分析
本節課的重點內容是把握“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”;把握兩個正數的和為定值時積有最大值,積為定值時和有最小值的結論,教學難點是正確理解和使用平均值定理求某些函數的最值.為突破重難點,教師單方面強調是遠遠不夠的,只有讓學生通過自己的思考、嘗試,注重到平均值定理中等號成立的條件,發現使用定理求最值的三個條件“一正,二定,三相等”缺一不可,才能大大加深學生對正確使用定理的理解,教學中要注重培養學生分析歸納問題的能力,幫助學生形成知識體系,全面深刻地把握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.
㈠定理教學的注重事項
在公式 以及算術平均數與幾何平均數的定理的教學中,要讓學生注重以下兩點:
(1) 和 成立的條件是不同的:前者只要求 都是實數,而后者要求 都是正數。
例如 成立,而 不成立。
(2)這兩個公式都是帶有等號的不等式,因此對其中的“當且僅當……時取‘=’號”這句話的含義要搞清楚。教學時,要提醒學生從以下兩個方面來理解這句話的含義:
當 時取等號,其含義就是:
僅當 時取等號,其含義就是:
綜合起來,其含義就是: 是 的充要條件。
(二)關于用定理證實不等式
當用公式 , 證實不等式時,應該使學生熟悉到:
它們本身也是根據不等式的意義、性質或用比較法(將在下一小節學習)證出的。因此,凡是用它們可以獲證的不等式,一般也可以直接根據不等式的意義、性質或用比較法證實。
(三)應用定理求最值的條件
應用定理時注重以下幾個條件:
(1)兩個變量必須是正變量;
(2)當它們的和為定值時,其積取得最大值;當它們的積是定值時,其和取得最小值;
(3)當且僅當兩個數相等時取最值.
即必須同時滿足“正數”、“定值”、“相等”三個條件,才能求得最值.
在求某些函數的最值時,還要注重進行恰當的恒等變形、分析變量、配置系數.
(四)應用定理解決實際問題的分析