算術平均數與幾何平均數1
以長為 的線段為直徑作圓,在直徑ab上取點c, .過點c作垂直于直徑ab的弦dd′,那么
即
這個圓的半徑為 ,顯然,它不小于cd,即 ,其中當且僅當點c與圓心重合;即 時,等號成立.
在定理證實之后,我們來看一下它的具體應用.
4. 例題講解:
例1 已知 都是正數,求證:
(1)假如積 是定值p,那么當 時,和 有最小值
(2)假如和 是定值s,那么當 時,積 有最大值 證實:因為 都是正數,所以
(1)積xy為定值p時,有
上式當 時,取“=”號,因此,當 時,和 有最小值 .
(2)和 為定值s時,有
上式當 時取“=”號,因此,當 時,積 有最大值 .
說明:此例題反映的是利用均值定理求最值的方法,但應注重三個條件:
(1)函數式中各項必須都是正數;
(2)函數式中含變數的各項的和或積必須是常數;
(3)等號成立條件必須存在.
接下來,我們通過練習來進一步熟悉均值定理的應用.
三、課堂練習
課本p11練習2,3
要求:學生板演,老師講評.
課堂小結:
通過本節學習,要求大家把握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的定理,并會應用它證實一些不等式,但是在應用時,應注重定理的適用條件.
課后作業:習題6.2 1,2,3,4
板書設計:
§6.2.1 ……
1.重要不等式 說明ⅰ) 4.例題…… 學生
…… ⅱ) …… 練習
ⅲ) ……
2.均值定理 3.幾何意義
……
……
第二課時
教學目標:
1.進一步把握均值不等式定理;
2.會應用此定理求某些函數的最值;
3.能夠解決一些簡單的實際問題.
教學重點:均值不等式定理的應用
教學難點:
解題中的轉化技巧
教學方法:啟發式
教學過程:
一、復習回顧
上一節,我們一起學習了兩個正數的算術平均數與幾何平均數的定理,首先我們往返顧一下定理內容及其適用條件.
(學生回答)
利用這一定理,可以證實一些不等式,也可求解某些函數的最值,這一節,我們來繼續這方面的練習.
二、講授新課
例2 已知都是正數,求證:
分析:此題要求學生注重與均值不等式定理的“形”上發生聯系,從而正確運用,同時加強對均值不等式定理的條件的熟悉.
證實:由 都是正數,得
即
例3 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池,其容積為 ,深為3m,假如池底每 的造價為150元,池壁每 的造價為120元,問怎樣設計水池能使總造價最低,最低總造價是多少元?