算術平均數與幾何平均數（二）
第一課時
一、教材分析
（一）教材所處的地位和作用
“算術平均數與幾何平均數”是全日制普通高級中學教科書（試驗修訂本·必修）數學第二冊（上）“不等式”一章的內容，是在學完不等式性質的基礎上對不等式的進一步研究.本節內容具有變通靈活性、應用廣泛性、條件約束性等特點，所以本節內容是培養學生應用數學知識，靈活解決實際問題，學數學用數學的好素材二同時本節知識又滲透了數形結合、化歸等重要數學思想，所以有利于培養學生良好的思維品質.
（二）教學目標
1.知識目標：理解兩個實數的平方和不小于它們之積的2倍的重要不等式的證明及其幾何解釋；掌握兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數定理的證明及其幾何解釋；掌握應用平均值定理解決一些簡單的應用問題.
2.能力目標：培養學生數形結合、化歸等數學思想.
（三）教學重點、難點、關鍵
重點：用平均值定理求某些函數的最值及有關的應用問題.
難點：定理的使用條件，合理地應用平均值定理.
關鍵：理解定理的約束條件，掌握化歸的數學思想是突破重點和難點的關鍵.
（四）教材處理
依據新大綱和新教材，本節分為二個課時進行教學.第一課時講解不等式（兩個實數的平方和不小于它們之積的2倍）和平均值定理及它們的幾何解釋.掌握應用定理解決某些數學問題.第二課時講解應用平均值定理解決某些實際問題.為了講好平均值定理這節內容，在緊扣新教材的前提下，對例題作適當的調整，適當增加例題.
二、教法分析
（－）教學方法
為了激發學生學習的主體意識，又有利于教師引導學生學習，培養學生的數學能力與創新能力，使學生能獨立實現學習目標.在探索結論時，采用發現法教學；在定理的應用及其條件的教學中采用歸納法；在訓練部分，主要采用講練結合法進行.
（二）教學手段
根據本節知識特點，為突出重點，突破難點，增加教學容量，利用計算機輔導教學.
三、教學過程 設計
6.2算術平均數與幾何平均數（第一課時）
（一）導入 新課
（教師活動）1.教師打出字幕（提出問題）；2.組織學生討論，并點評.
（學生活動）學生分組討論，解決問題.
[字幕] 某種商品分兩次降價，降價的方案有三種：方案甲是第一次9折銷售，第二次再8折銷售；方案乙是第一次8折銷售，第二次再9折銷售；方案丙是兩次都是 折銷售.試問降價最少的方案是哪一種？
［討論］
①設物價為t元，三種降價方案的銷售物價分別是：
方案甲： （元）；
方案乙： （元）；
方案丙： （元）.
故降價最少的方案是丙.
②若將問題變為第一次a折銷售，第二次b折銷售.顯然可猜想有不等式 成立，即 ，當 時，
設計意圖：提出一個商品降價問題，要求學生討論哪一種方案降價最少.學生對問題的背景較熟悉，可能感興趣，從而達到說明學習本節知識的必要，激發學生求知欲望，合理引出新課.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）打出字幕（重要不等式），引導學生分析、思考，講解重要不等式的證明.點評有關問題.
（學生活動）參與研究重要不等式的證明，理解有關概念.
［字幕］如果 ，那么 （當且僅當 時取“=”號）.
證明：見課本
［點評］
①強調 的充要條件是
②解釋“當且僅當”是充要條件的表達方式（“當”表示條件是充分的，“僅當”表示條件是必要的）.
③幾何解釋，如圖。
[字幕]定理 如果a，b是正數，那么 （當且僅當 時取“=”號）.
證明：學生運用“ ”自己證明.
［點評］
①強調；
②解釋“算術平均數”和“幾何平均數”的概念，并敘述它們之間的關系；
②比較上述兩個不等式的特征（強調它們的限制條件）；
④幾何解釋（見課本）；
＠指出定理可推廣為“n個（ ）正數的算術平均數不小干它們的幾何平均數”.
設計意圖：加深對重要不等式的認識和理解；培養學生數形結合的思想方法和對比的數學思想，多方面思考問題的能力.
【例題示范，學會應用】
（教師活動）教師打出字幕（例題），引導學生分析，研究問題，點撥正確運用定理，構建證題思路.
（學生活動）與教師一道完成問題的論證.
［字幕］例題已知 a，b，c，d都是正數，求證：
［分析］
①應用定理證明；
②研究問題與定理之間的聯系；
③注意應用定理的條件和應用不等式的性質.
證明：見課本.
設計意圖：鞏固對定理的理解，學會應用定理解決某些數學問題.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；巡視學生解題情況，對正確的解法給予肯定和鼓勵，對偏差給予糾正；請甲、乙兩學生板演；點評練習解法.
（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、動兩位同學板演.
［字幕］練習：已知 都是正數，求證：
（1） ；
（2）
設計意圖：掌握定理及應用，反饋課堂教學效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結應用定理解決有關數學問題的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄在筆記本上.
1.重要不等式可以用來證明某些不等式.
2.應用重要不等式證明不等式時要注意不等式的結構特征：①滿足定理的條件；②不等式一邊為和的形式，另一邊為積或常數的形式.
3.用重要不等式證明有關不等式時注意與不等式性質結合.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握應用重要不等式解決有關數學問題的方
法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識要點.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.
1.本節課學習了兩個重要不等式及它們在解決數學問題中的應用.
2.注意：①兩個重要不等式使用的條件；②不等式中“=”號成立的條件.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ；習題 .1，3
2.思考題：已知 ，求證：
3.研究性題：設正數 ， ，試盡可能多的給出含有a和b的兩個元素的不等式.
設計意圖：課本作業 供學生鞏固基礎知識；思考題供學有余力的學生完成，靈活掌握重要不等式的應用；研究性題是一道結論開放性題，培養學生創新意識.
（五）課后點評
1.導入 新課采用學生比較熟悉的問題為背景，容易被學生接受，產生興趣，激發學習動機.使得學生學習本節課知識自然且合理.
2.在建立新知過程中，教師力求引導、啟發，讓學生逐步回憶所學的知識，并應用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統和完整的知識結構.對有關概念使學生理解難確，盡量以多種形式反映知識結構，使學生在比較中得到深刻理解.
3.通過變式訓練，使學生在對知識初步理解和掌握后，得到進一步深化，對所學的知識得到鞏固與提高，同時反饋信息，調整課堂教學.
4.本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發誘導學生深入思考問題，有利于培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質.
作業 答案
思考題 證明：因為 ，所以
.又因為 ， ， ，所以 ， ，所以
研究性題 ① .由條件得 ，…（A） 利用公式 …（B）. 得 ，即 . ② .由（A）、（B）之和即得.③ .可利用 .再利用①，即可得. ④ .利用立方和公式得到： .利用①可得 .利用①②可得 .還有 ……
第二課時
（－）導入 新課
（教師活動）1.教師打出字幕（引例）； 2.設置問題，引導學生思考，啟發學生應用平均值定理解決有關實際問題.
（學生活動）思考、回答教師設置的問題，構建應用平均值定理解決實際問題的思路.
［字幕］引例.如圖，用籬笆圍一塊面積為50 的一邊靠墻的矩形籬笆墻，問籬笆墻三邊分別長多少時，所用籬笆最省？此時，籬笆墻長為多少米？
[設問]
①這是一個實際問題，如何把它轉化成為一個數學問題？
（學生口答：設籬笆墻長為y，則 （ ）.問
題轉化成為求函數y的最小值及取得最值時的 的值.）
②求這個函數的最小值可用哪些方法？能否用平均值定理求此函數的最小值？
（學生口答：利用函數的單調性或判別式法，也可用平均值定理.）
設計意圖：從學生熟悉的實際問題出發，激發學生應用數學知識解決問題的興趣，通過設問，引導和啟發學生用所學的平均值定理解決有關實際問題，引入課題.
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動）教師打出字幕（課本例題1），引導學生研究和解決問題，幫助學生建立用平均值定理求函數最值的知識體系.
（學生活動）嘗試完成問題的論證，構建應用平均值定理求函數最值的方法.
[字幕]已知 都是正數，求證：
（1）如果積 是定值P，那么當 時，和 有最小值 ；
（2）如果和 是定值S，那么當 時，積 有最大值
證明：運用 ，證明（略）.
［點評］
①（l）的結論即 ，（2）的結論即
②上述結論給出了一類函數求最值的方法，即平均值定理求最值法.
③應用平均值定理求最值要特別注意：兩個變元都為正值；兩個變元之積（或和）為定值；當且僅當 ，這三個條件缺一不可，即“一正，二定，三相等”同時成立.
設計意圖：引導學生分析和研究問題，建立新知——應用平均值定理求最值的方法.
【例題示范，學會應用】
（教師活動）打出字幕（例題），引導學生分析問題，研究問題的解法.
（學生活動）分析、思考，嘗試解答問題.
[字幕]例題1 求函數 （ ）的最小值，并求相應的 的值.
［分析］因為這個函數中的兩項不都是正數且 又 與的積也不是常數，所以不能直接用定理求解.但把函數變形為 后，正數 ， 的積是常數1，可以用定理求得這個函數的最小值.
解： ，由 ，知 ， ，且 .當且僅當 ，即 時， （ ）有最小值，最小值是 。
[點評] 要正確理解 的意義，即方程 要有解，且解在定義域內.
[字幕] 例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800 ，深為 3 m，如果池底每l 的造價為 150元，池壁每1 的造價為 120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？
［分析］ 設水池底面一邊的長為 m，水池的總造價為y，建立y關干 的函數.然后用定理求函數y的最小值.
解：設水池底面一邊的長度為 m，則另一邊的長度為 m，又設水池總造價為y元，根據題意，得
（ ）
所以
當 ，即 時，y有最小值297600.因此，當水池的底面是邊長為40 m的正方形時.水池的總造價最低，最低總造價是297600元.
設計意圖：加深理解應用平均值定理求最值的方法，學會應用平均值定理解決某些函數最值問題和實際問題，并掌握分析變量的構建思想.培養學生用數學知識解決實際問題的能力，化歸的數學思想.
【課堂練習】
（教師活動）打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請三位同學板演；巡視學生解題情況，對正確的給予肯定，對偏差進行糾正；講評練習.
（學生活動）在筆記本且完成練習、板演.
［字幕〕練習
A組
1.求函數 （ ）的最大值.
2求函數 （ ）的最值.
3.求函數 （ ）的最大值.
B組
1.設 ，且 ，求 的最大值.
2.求函數 的最值，下面解法是否正確？為什么？
解： ，因為 ，則 .所以
[講評] A組 1. ； 2. ； 3.
B組 1. ； 2.不正確 ①當 時， ；②當 時， ，而函數在整個定義域內沒有最值.
設計意圖；A組題訓練學生掌握應用平均值定理求最值.B組題訓練學生掌握平均值定理的綜合應用，并對一些易出現錯誤的地方引起注意.同時反饋課堂教學效果，調節課堂教學.
【分析歸納、小結解法】
（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程，小結應用平均值定理解決有關函數最值問題和實際問題的解題方法.
（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記.
1.應用平均值定理可以解決積為定值或和為定值條件下，兩個正變量的和或積的最值問題.
2.應用定理時注意以下幾個條件：（ⅰ）兩個變量必須是正變量.（ⅱ）當它們的和為定值時，其積取得最大值；當它們的積是定值時，其和取得最小值.（iii）當且僅當兩個數相等時取最值，即必須同時滿足“正數”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.
3.在求某些函數的最值時，會恰當的恒等變形——分析變量、配置系數.
4.應用平均值定理解決實際問題時，應注意：（l）先理解題意，沒變量，把要求最值的變量定為函數.（2）建立相應的函數關系式，把實際問題抽象為函數的最值問題，確定函數的定義域.（3）在定義域內，求出函數的最值，正確寫出答案.
設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，幫助學生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.
（三）小結
（教師活動）教師小結本節課所學的知識要點.
（學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.
這節課學習了利用平均值定理求某些函數的最值問題.現在我們又多了一種求正變量在定積或定和條件下的函數最值方法.這是平均值定理的一個重要應用，也是本節的重點內容，同學們要牢固掌握.
應用定理時要注意定理的適用條件，即“正數、定值、相等”三個條件同時成立，且會靈活轉化問題，達到化歸的目的.
設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.
（四）布置作業
1.課本作業 ：P ，6，7.
2.思考題：設 ，求函數 的最值.
3.研究性題：某種汽車購車時費用為10萬元，每年保險、養路、汽車費用9千元；汽車的維修費各年為：第一年2千元，第二年4千元，依每年2千元的增量逐年遞增.問這種汽車最多使用多少年報廢最合算（即使用多少年的平均費用最少）？
設計意圖：課本作業 供學生鞏固基礎知識；思考題供學有余力的學生練習，使學生能靈活運用定理解決某些數學問題；研究性題培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.
（五）課后點評
1.關于新課引入設計的想法：
導入 這一環節是調動學生學習的積極性，激發學生探究精神的重要環節，本節課開始給出一個引例，通過探究解決此問題的各種解法，產生用平均值定理求最值，點明課題.事實上，在解決引例問題的過程中也恰恰突出了教學重點.
2.關于課堂練習設計的想法：
正確理解和使用平均值定理求某些函數的最值是教學難點 .為突破難點，教師單方面強調是遠遠不夠的，只有讓學生通過自己的思考、嘗試，發現使用定理的三個條件缺一不可，才能大大加深學生對正確使用定理的理解，設計解法正誤討論能夠使學生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深了對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結構中.
3.培養應用意識.
教學中應不失時機地使學生認識到數學源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學生的應用意識，在平時教學中就應適當增加解答應用問題的教學.本節課中設計了兩道應用問題，用剛剛學過的數學知識解決了問題，使學生不禁感到“數學有用，要用數學”.
作業 解答
思考題：
.當且僅當 ，即 時，上式取等號.所以當 時，函數y有最小值9，無最大值.
研究性題：設使用 年報廢最合算，由題意有；
年平均費用
當且僅當 ，即 時，取得最小值，即使用10年報廢最合算，年平均費用3萬元.