算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（一）

教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這一重要定理；
（2）能運(yùn)用定理證明不等式及求一些函數(shù)的最值；
（3）能夠解決一些簡單的實(shí)際問題；
（4）通過對不等式的結(jié)構(gòu)的分析及特征的把握掌握重要不等式的聯(lián)系；
（5）通過對重要不等式的證明和等號成立的條件的分析，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的認(rèn)識習(xí)慣，進(jìn)一步滲透變量和常量的哲學(xué)觀；

教學(xué)建議

1.教材分析

（1）知識結(jié)構(gòu)

本節(jié)根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出一個(gè)重要的不等式： ，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，又得到了一個(gè)定理： ，并指出了 為 的算術(shù)平均數(shù)， 為 的幾何平均數(shù)后，隨后給出了這個(gè)定理的幾何解釋。

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容是掌握“兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)積有最大值，積為定值時(shí)和有最小值的結(jié)論，教學(xué)難點(diǎn)是正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值.為突破重難點(diǎn)，教師單方面強(qiáng)調(diào)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，只有讓學(xué)生通過自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號成立的條件，發(fā)現(xiàn)使用定理求最值的三個(gè)條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學(xué)生對正確使用定理的理解，教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，幫助學(xué)生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實(shí)際問題的方法.

㈠定理教學(xué)的注意事項(xiàng)

在公式 以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學(xué)中，要讓學(xué)生注意以下兩點(diǎn)：

（1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實(shí)數(shù)，而后者要求 都是正數(shù)。

例如 成立，而 不成立。

（2）這兩個(gè)公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)取‘=’號”這句話的含義要搞清楚。教學(xué)時(shí)，要提醒學(xué)生從以下兩個(gè)方面來理解這句話的含義：

當(dāng) 時(shí)取等號，其含義就是：

僅當(dāng) 時(shí)取等號，其含義就是：

綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。

（二）關(guān)于用定理證明不等式

當(dāng)用公式 ， 證明不等式時(shí)，應(yīng)該使學(xué)生認(rèn)識到：

它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法（將在下一小節(jié)學(xué)習(xí)）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法證明。

（三）應(yīng)用定理求最值的條件

應(yīng)用定理時(shí)注意以下幾個(gè)條件：

（1）兩個(gè)變量必須是正變量；

（2）當(dāng)它們的和為定值時(shí)，其積取得最大值；當(dāng)它們的積是定值時(shí)，其和取得最小值；

（3）當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等時(shí)取最值.

即必須同時(shí)滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個(gè)條件，才能求得最值.

在求某些函數(shù)的最值時(shí)，還要注意進(jìn)行恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃�、分析變量、配置系�?shù).

（四）應(yīng)用定理解決實(shí)際問題的分析

在應(yīng)用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理解決這類實(shí)際問題時(shí)，要讓學(xué)生注意；

（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

（4）正確寫出答案。

2.教法建議

（1）導(dǎo)入  新課建議采用學(xué)生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學(xué)生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī).使得學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課知識自然且合理.
（2）在新授知識過程中，教師應(yīng)力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步回憶所學(xué)的知識，并應(yīng)用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學(xué)生理解準(zhǔn)確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在比較中得到深刻理解.
（3）教學(xué)方法建議采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì).
（4）可以設(shè)計(jì)解法的正誤討論，這樣能夠使學(xué)生嘗試失敗，并從失敗中找到錯(cuò)誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中.
（5）注意培養(yǎng)應(yīng)用意識.教學(xué)中應(yīng)不失時(shí)機(jī)地使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，在平時(shí)教學(xué)中就應(yīng)適當(dāng)增加解答應(yīng)用問題的教學(xué)，使學(xué)生不禁感到“數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)”.
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