算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（一）

教學(xué)目標 

（1）掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”這一重要定理；
（2）能運用定理證明不等式及求一些函數(shù)的最值；
（3）能夠解決一些簡單的實際問題；
（4）通過對不等式的結(jié)構(gòu)的分析及特征的把握掌握重要不等式的聯(lián)系；
（5）通過對重要不等式的證明和等號成立的條件的分析，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹科學(xué)的認識習(xí)慣，進一步滲透變量和常量的哲學(xué)觀；

教學(xué)建議

1.教材分析

（1）知識結(jié)構(gòu)

本節(jié)根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出一個重要的不等式： ，根據(jù)這個結(jié)論，又得到了一個定理： ，并指出了 為 的算術(shù)平均數(shù)， 為 的幾何平均數(shù)后，隨后給出了這個定理的幾何解釋。

（2）重點、難點分析

本節(jié)課的重點內(nèi)容是掌握“兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)”；掌握兩個正數(shù)的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值的結(jié)論，教學(xué)難點 是正確理解和使用平均值定理求某些函數(shù)的最值.為突破重難點，教師單方面強調(diào)是遠遠不夠的，只有讓學(xué)生通過自己的思考、嘗試，注意到平均值定理中等號成立的條件，發(fā)現(xiàn)使用定理求最值的三個條件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深學(xué)生對正確使用定理的理解，教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，幫助學(xué)生形成知識體系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解決實際問題的方法.

㈠定理教學(xué)的注意事項

在公式 以及算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理的教學(xué)中，要讓學(xué)生注意以下兩點：

（1） 和 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù)。

例如 成立，而 不成立。

（2）這兩個公式都是帶有等號的不等式，因此對其中的“當(dāng)且僅當(dāng)……時取‘=’號”這句話的含義要搞清楚。教學(xué)時，要提醒學(xué)生從以下兩個方面來理解這句話的含義：

當(dāng) 時取等號，其含義就是：

僅當(dāng) 時取等號，其含義就是：

綜合起來，其含義就是： 是 的充要條件。

（二）關(guān)于用定理證明不等式

當(dāng)用公式 ， 證明不等式時，應(yīng)該使學(xué)生認識到：

它們本身也是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法（將在下一小節(jié)學(xué)習(xí)）證出的。因此，凡是用它們可以獲證的不等式，一般也可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或用比較法證明。

（三）應(yīng)用定理求最值的條件

應(yīng)用定理時注意以下幾個條件：

（1）兩個變量必須是正變量；

（2）當(dāng)它們的和為定值時，其積取得最大值；當(dāng)它們的積是定值時，其和取得最小值；

（3）當(dāng)且僅當(dāng)兩個數(shù)相等時取最值.

即必須同時滿足“正數(shù)”、“定值”、“相等”三個條件，才能求得最值.

在求某些函數(shù)的最值時，還要注意進行恰當(dāng)?shù)暮愕茸冃巍⒎治鲎兞俊⑴渲孟禂?shù).

（四）應(yīng)用定理解決實際問題的分析

在應(yīng)用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理解決這類實際問題時，要讓學(xué)生注意；

（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

（4）正確寫出答案。

2.教法建議

（1）導(dǎo)入  新課建議采用學(xué)生比較熟悉的問題為背景，這樣容易被學(xué)生接受，產(chǎn)生興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動機.使得學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課知識自然且合理.
（2）在新授知識過程中，教師應(yīng)力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步回憶所學(xué)的知識，并應(yīng)用它們來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu).對有關(guān)概念使學(xué)生理解準確，盡量以多種形式反映知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在比較中得到深刻理解.
（3）教學(xué)方法建議采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識必須通過學(xué)生自己一系列思維活動完成，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質(zhì).
（4）可以設(shè)計解法的正誤討論，這樣能夠使學(xué)生嘗試失敗，并從失敗中找到錯誤原因，加深對正確解法的理解，真正把新知識納入到原有認知結(jié)構(gòu)中.
（5）注意培養(yǎng)應(yīng)用意識.教學(xué)中應(yīng)不失時機地使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)源于客觀世界并反作用干客觀世界.為增強學(xué)生的應(yīng)用意識，在平時教學(xué)中就應(yīng)適當(dāng)增加解答應(yīng)用問題的教學(xué)，使學(xué)生不禁感到“數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)”.

 第一課時

教學(xué)目標 ：

1.學(xué)會推導(dǎo)并掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理；
2.理解定理的幾何意義；
3.能夠簡單應(yīng)用定理證明不等式.

教學(xué)重點：均值定理證明

教學(xué)難點 ：等號成立條件

教學(xué)方法：引導(dǎo)式

教學(xué)過程 ：

一、復(fù)習(xí)回顧

上一節(jié)，我們完成了對不等式性質(zhì)的學(xué)習(xí)，首先我們來作一下回顧.

（學(xué)生回答）

由上述性質(zhì)，我們可以推導(dǎo)出下列重要的不等式.

二、講授新課

1.  重要不等式：

如果

證明：

當(dāng)

所以，

即

由上面的結(jié)論，我們又可得到

2.  定理：如果 是正數(shù)，那么

證明：∵

即

顯然，當(dāng)且僅當(dāng)

說明：ⅰ）我們稱 的算術(shù)平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

ⅱ） 成立的條件是不同的：前者只要求 都是實數(shù)，而后者要求 都是正數(shù).

ⅲ）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.

3.均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”.

以長為 的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C， .過點C作垂直于直徑AB的弦DD′,那么

即

這個圓的半徑為 ，顯然，它不小于CD，即 ，其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與圓心重合；即 時，等號成立.

在定理證明之后，我們來看一下它的具體應(yīng)用.

4.  例題講解：

例1 已知 都是正數(shù)，求證：

（1）如果積 是定值P,那么當(dāng) 時，和 有最小值

（2）如果和 是定值S,那么當(dāng) 時，積 有最大值 證明：因為 都是正數(shù)，所以

（1）積xy為定值P時，有

上式當(dāng) 時，取“=”號，因此，當(dāng) 時，和 有最小值 .

（2）和 為定值S時，有

上式當(dāng) 時取“=”號，因此，當(dāng) 時，積 有最大值 .

說明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個條件：

（1）函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);

（2）函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；

（3）等號成立條件必須存在.

接下來，我們通過練習(xí)來進一步熟悉均值定理的應(yīng)用.

三、課堂練習(xí)

課本P₁₁練習(xí)2，3

要求：學(xué)生板演，老師講評.

課堂小結(jié)：

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會應(yīng)用它證明一些不等式，但是在應(yīng)用時，應(yīng)注意定理的適用條件.

課后作業(yè) ：習(xí)題6.2   1，2，3，4

板書設(shè)計 ：

第二課時

教學(xué)目標 ：

1.進一步掌握均值不等式定理；
2.會應(yīng)用此定理求某些函數(shù)的最值；
3.能夠解決一些簡單的實際問題.

教學(xué)重點：均值不等式定理的應(yīng)用

教學(xué)難點 ：

解題中的轉(zhuǎn)化技巧

教學(xué)方法：啟發(fā)式

教學(xué)過程 ：

一、復(fù)習(xí)回顧

上一節(jié)，我們一起學(xué)習(xí)了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，首先我們來回顧一下定理內(nèi)容及其適用條件.

（學(xué)生回答）

利用這一定理，可以證明一些不等式，也可求解某些函數(shù)的最值，這一節(jié)，我們來繼續(xù)這方面的訓(xùn)練.

二、講授新課

例2 已知都是正數(shù)，求證：

分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.

證明：由 都是正數(shù)，得

即

例3  某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 ，深為3m，如果池底每 的造價為150元，池壁每 的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？

分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.

解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得

當(dāng)

因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.

評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件.

為了進一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應(yīng)用，我們來進行課堂練習(xí).

三、課堂練習(xí)

課本P₁₁練習(xí)1，4

要    求：學(xué)生板演，老師講評.

課堂小結(jié)：

通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進一步掌握利用均值不等式定理證明不等式及求函數(shù)的最值，并認識到它在實際問題中的應(yīng)用.

課后作業(yè) ：

習(xí)題6.2    5,6,7

板書設(shè)計 ：