下學期 4．6 兩角和與差的正弦、余弦、正切1

4.6兩角和與差的正弦、余弦、正切（第一課時）

（一）教具準備

直尺、圓規、投影儀

（二）教學目標 

1.掌握 公式的推導，并能用賦值法，求出公式 .

2.應用公式 ，求三角函數值.

（三）教學過程 

1.設置情境

上一單元我們學習了同一個角的三角函數的性質以及各三角函數之間的相互關系.本節開始討論兩個角的三角函數，已知任意角 的三角函數值，如何求出 ， 或 的三角函數值，這一節課我們將研究 、 .

2.探索研究

（1）公式 、 推導.

請大家考慮，如果已知 、 ，怎樣求出 ？

是否成立.

生：不成立， ， 等式就不成立.

師：很好，把 寫成 是想應用乘法對加法的分配律，可是 是角 的余弦值，并不是“ ”乘以 ，不能應用分配律.

事實上如果 都是銳角，那么總有 .

考慮兩組數據

① ，        這時 ， 而

② ，      這時 ， 而

從這組數據我們發現不能由 、 直接得出 .師：如果我們再算出 ， ，試試看能否找到什么關系.

生：① ， ， ， ，

而

② ， ， ， ，

  而

由（1）、（2）可得出，

師：這位同學用具體的例子得到的一個關系式：

只有通過嚴格的理論證明才行.下面給出證明：為了證明它，首先給出兩點間的距離，圖1(也可以利用多媒體課件演示).考慮坐標平面內的任意兩點 ， 過點 分別作 軸的垂線 ， ，與 軸交于點 ， ；同理 ，

那么 ， ，由勾股定理 ，由此得到平面內 兩點間的距離公式

師：（可以用課件演示）如右圖2，在直角坐標系 內作單位圓 ，并作出角 、 與 請同學們把坐標系中 ， ， ， 各點的坐標用三角函數表示出來.

生： ， ， ，

師：線段 與 有什么關系？為什么？

生：因為△ ≌△ ，所以 .

師：請同學們用兩點間的距離公式把 表示出來并加以整理.

展開并整理，得

所以 （記為 ）

這個公式對任意的 ， 均成立，如果我們把公式中的 都換成 ，又會得到什么？

生：

即     

（記為 ）

（2）例題分析

【例1】不查表，求 及 的值.

因為題目要求不查表，所以要想辦法用特殊角計算，為此 化成 ， 化成 ，請同學們自己利用公式計算.

注：拆角方法并不惟一.事實上，如果求出 ，那么 ，再者， 也可寫成 ，甚至 等均可以.

【例2】已知 ， ， ， ，求 的值.

分析：觀察公式 要算 應先求出 ， .

解：由 ， 得

又由 ， 得

【例3】 不查表，求下列各式的值：

（1） ；

（2） ；

（3） .

解：（1）

（2）

（3）

【例4】  證明公式：

（1） ；（2）

證明：（1）利用       可得

∴

（2）因為上式中 為任意角，故可將 換成 ，就得

即                

練習（投影、學生板演）

（1）

（2）已知 ， ，求

解答：

（1）逆用公式

（2）湊角：∵ ，∴ ，故

.

說明：請同學們很好體會一下，上述湊角的必然性和技巧性，并能主動嘗試訓練，以求熟練。

3.演練反饋

（1） 的值是（ ）

A. B. C. D.

（2） 等于（ ）

A.0 B. C. D.2

（3）已知銳角 滿足 ， ，則 為（      ）

A. B. C. 或 D. ，

參考答案：（1）B； （2）B； （3）A.

4.總結提煉

（1）牢記公式“ ”結構，不符合條件的要能通過誘導公式進行變形，使之符合公式結構，即創造條件用公式.

（2）在“給值求值”題型中，要能靈活處理已、未知關系，如已知角 、 的值，求 ，應視 、 分別為已知角， 為未知角，并實現“ ”與“ ”及“ ”之間的溝通： .

（3）利用特值代換證明 ， ，體會 的強大功能.

（四）板書設計