下學(xué)期 4．6 兩角和與差的正弦、余弦、正切2

4.6兩角和與差的正弦、余弦、正切（第二課時）

（一）教學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀

（二）教學(xué)目標(biāo) 

1.掌握利用 得到的兩角和與差的正弦公式.

2.運用 公式進行三角式的求值、化簡及證明.

（三）教學(xué)過程 

1.已知 兩角，我們可以利用 的三角函數(shù)去計算復(fù)合角 的余弦，那么，我們能否用 的三角函數(shù)去表達復(fù)合角 的正弦呢？本節(jié)課將研究這一問題.

2.探索研究

（1）請一位同學(xué)在黑板上寫出 ， 的展開式.

.

由于公式中的 是任意實數(shù)，故我們對 實施特值代換后并不影響等號成立，為此我們曾令 ，得到 ，

兩個熟悉的誘導(dǎo)公式，請同學(xué)們嘗試一下，能否在 中對 選取特殊實數(shù)代換，使 誘變成 呢？或者說能否把 改成用余弦函數(shù)來表示呢？請同學(xué)回答.

生：可以，因為

該同學(xué)的思路非常科學(xué)，這樣就把新問題 問題化歸為老問題： .

事實上：    （視“ ”為 ）

這樣，我們便得到公式.

簡化為 .

由于公式中的 仍然是一切實數(shù)，請同學(xué)們再想一下，如何獲得 的展開式呢？請同學(xué)回答.

生：只要在公式 中用 代替 ，就可得到：

即     

師：由此得到兩個公式：

對于公式 還可以這樣來推導(dǎo)：

說明：

（1）上述四個公式 ，雖然形式、結(jié)構(gòu)不同，但它們本質(zhì)是相同的，因為它們同出一脈：

這樣我們只要牢固掌握“中心”公式 的由來及表達方式，就掌握了其他三個公式了.這要作為一種數(shù)學(xué)思想、一個數(shù)學(xué)方法來仔細(xì)加以體會.

（2） 、 是用 的單角函數(shù)表達復(fù)合角 的正、余弦.反之，我們不得不注意，作為公式的逆用，我們也可以用復(fù)合角 的三角函數(shù)來表達單角三角函數(shù).諸如： ， ， 及 四種表達式，實質(zhì)上是方程思想的體現(xiàn)：

由 得：

①

由 得

②

由 ，得：

③

由 得：

④

等式①、②、③、④在求值、證明恒等式中無疑作用是十分重大的.

（2）例題分析

【例1】  不查表，求 ， 的值.

解：

說明：我們也可以用 系統(tǒng)來做：

【例2】已知， ， ， ， 求， .

分析：觀察公式 和本題的條件，必須先算出 ，

解：由 ， 得

又由 ， 得

∴

【例3】不查表求值：

（1） ；

（2） .

解：（1）

（2）

練習(xí)（投影）

（1） ， ，則 .

（2）在△ 中，若 ，則△ 是___________.

參考答案：

（1）∴

∴

（2）由 ，

∴

∴ ， 為鈍角，即△ 是鈍角三角形.

【例4】求證： .

分析：我們從角入手來分析，易見左邊有復(fù)角（即兩角和與差）右邊全是單角，所以思路明確，就是要把復(fù)角變單角.

證明：

左邊

右             ∴原式成立

如果我們本著逆用公式來看待本題，那么還可這樣想：

由

令 ， 則

           ①

至于        

我們可這樣分析：

∵

令 得

同理

∴①可進一步改寫為：

∴ ……②

又∵

……③

由②、③得

本題還可以從函數(shù)名稱來分析，左邊是正、余弦函數(shù)，右邊是正切函數(shù)，故可考慮從右邊入手用化弦法，請同學(xué)們自己把上面過程反過來，從右邊推出左邊.

【例5】求證：

師：本題我們可以從角的形式來分析，左邊是單角，右邊是復(fù)角，如果從右邊證左邊則要把復(fù)角變單角（即利用和角公式）；如果從左邊證右邊則須配一個角 ，所以本題起碼有兩種證法.

證法1：右邊

左邊

∴原式成立

師：另一種證法根據(jù)剛才的分析要配出角 ，怎樣配？大家仔細(xì)觀察證法一就不難發(fā)現(xiàn)了.

證法2：（學(xué)生板書）

左邊

右邊       ∴原式成立

3.演練反饋（投影）

（1）化簡

（2）已知 ，則 的值（      ）

A.不確定，可在［0、1］內(nèi)取值 B.不確定，可在［－1、1］中取值

C.確定，等于1 D.確定，等于1或－1

參考答案：

（1）原式

（2）C

4.總結(jié)提煉

（1）利用“拆角”“湊角”變換是進行三角函數(shù)式求值、證明、化簡的常用技巧，如： ， ， .在三角形中， ， 等變換技巧，同學(xué)們應(yīng)十分熟悉.

（2）本節(jié)課的例5，代表著一類重要題型，同學(xué)們要學(xué)習(xí)它的湊角方法，一般地 ，其中 .

（3）在恒等式中，實施特值代換，是一類重要的數(shù)學(xué)方法——母函數(shù)法，這種方法在數(shù)學(xué)的其他學(xué)科中，均有用武之地。它反映的是特殊與一般的辨證統(tǒng)一關(guān)系.

（四）板書設(shè)計