第二十八章“銳角三角函數”簡介

第28.2節“解直角三角形”是在第一節“銳角三角函數”的基礎上研究解直角三角形的方法及其在實際中的應用。本節開始，教科書設計了一個實際背景，其中包括兩個實際問題，這兩個實際問題抽象成數學問題分別是已知直角三角形的一個銳角和斜邊，求這個角的對邊和已知直角三角形的一條直角邊和斜邊，求這兩個邊的夾角的問題，解決這兩個問題需要用到第28.1節學習的有關正弦函數和余弦函數的內容。這兩個問題實際上屬于求解直角三角形的問題，設計這個實際問題的目的是要引出解直角三角形的內容。因此，教科書借助于這個實際問題背景，設計了一個“探究”欄目，要求學生探討在直角三角形中，根據兩個已知條件（其中至少有一個是邊）求解直角三角形，最后教科書歸納給出求解直角三角形常用的反映三邊關系的勾股定理，反映銳角之間關系的互余關系，以及反映邊角之間關系的銳角三角函數關系。這樣，教科書就結合實際問題背景，探討了解直角三角形的內容。接下去，教科書又結合四個實際問題介紹了解直角三角形的理論在實際中的應用。第一個實際問題是章前引言中提到的確定比薩斜塔傾斜程度的問題，這個問題實際上是已知直角三角形的斜邊和一個銳角的對邊，求這個銳角的問題，這要用到正弦函數；第二個問題是確定神舟5號變軌后，所能看到地面的最長距離，這個問題實際上是已知直角三角形的斜邊和一個銳角的鄰邊，求這個銳角的問題，這要用到余弦函數；第三個問題是確定樓房高度的問題，這個問題抽象成數學問題是已知直角三角形的一個銳角和它的鄰邊，求這個角的對邊，這要用到正切函數；第四個實際問題是在航海中確定輪船距離燈塔的距離，解決這個問題需要反復利用正弦函數。這樣教科書就通過四個實際問題體現了正弦、余弦和正切這幾個銳角三角函數在解決實際問題中的作用。本節最后，教科書采用將測量大壩的高度與測量山的高度相對比的方式，直觀形象地介紹了“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的微積分的基本思想。

（三）課程學習目標

對于本章內容，教學中應達到以下幾方面要求：

1. 了解銳角三角函數的概念，能夠正確應用sina 、cos a、tana表示直角三角形中兩邊的比；記憶、的正弦、余弦和正切的函數值，并會由一個特殊角的三角函數值說出這個角；

2. 能夠正確地使用計算器，由已知銳角求出它的三角函數值，由已知三角函數值求出相應的銳角；

3. 理解直角三角形中邊與邊的關系，角與角的關系和邊與角的關系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余、以及銳角三角函數解直角三角形，并會用解直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題；

4. 通過銳角三角函數的學習，進一步認識函數，體會函數的變化與對應的思想，通過解直角三角的學習，體會數學在解決實際問題中的作用，并結合實際問題對微積分的思想有所感受。

二、本章編寫特點

（一）加強與實際的聯系

本章主要包括銳角三角函數和解直角三角形兩大塊內容，這兩大塊內容是緊密聯系的。銳角三角函數是解直角三角形的基礎，解直角三角形的理論又為解決一些實際問題提供了強硬有力的工具，解直角三角形為銳角三角函數提供了與實際緊密聯系的沃土。因此本章編寫時，加強了銳角三角函數與解直角三角形兩大塊內容與實際的聯系。例如，在章前引言中利用確定山坡上所鋪設的水管的長度問題引出正弦函數；結合使用梯子攀登墻面問題引出解直角三角形的概念和方法等。再有，教科書利用背景豐富有趣的四個實際問題，從不同的角度展示了解直角三角形在實際中的廣泛應用。教科書這樣將銳角三角函數和解直角三角形的內容與實際問題緊密聯系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面可以讓學生體會銳角三角函數和解直角三角形的理論來源于實際，是實際的需要，另一方面也讓學生看到它們在解決實際問題中所起的作用，感受由實際問題抽象出數學問題，通過解決數學問題得到數學問題的答案，再將數學問題的答案回到實際問題的這種實踐----理論----實踐的認識過程，這個認識過程符合人的認知規律，有利于調動學生學習數學的積極性，豐富有趣的實際問題也能夠激發學生的學習興趣。