三角函數(shù)教案
湊根號下為完全平方式,化無理式為有理式
∵
∴ 原式=
∵ α∈(π,2π)
∴
∴
當(dāng) 時,
∴ 原式=
當(dāng) 時,
∴ 原式=
∴ 原式=
注:
1、本題利用了"1"的逆代技巧,即化1為 ,是欲擒故縱原則。一般地有 , , 。
2、三角函數(shù)式asinx bcosx是基本三角函數(shù)式之一,引進輔助角,將它化為 (取 )是常用變形手段。特別是與特殊角有關(guān)的sin±cosx,±sinx± cosx,要熟練掌握變形結(jié)論。
例3、 求 。
分析:
原式=
注:在化簡三角函數(shù)式過程中,除利用三角變換公式,還需用到代數(shù)變形公式,如本題平方差公式。
例4、已知00<α<β<900,且sinα,sinβ是方程 =0的兩個實數(shù)根,求sin(β-5α)的值。
分析:
由韋達定理得sinα sinβ= cos400,sinαsinβ=cos2400-
∴ sinβ-sinα=
又sinα sinβ= cos400
∴
∵ 00<α<β< 900
∴
∴ sin(β-5α)=sin600=
注:利用韋達定理變形尋找與sinα,sinβ相關(guān)的方程組,在求出sinα,sinβ后再利用單調(diào)性求α,β的值。
例5、(1)已知cos(2α β) 5cosβ=0,求tan(α β)·tanα的值;
(2)已知 ,求 的值。
分析:
(1) 從變換角的差異著手。
∵ 2α β=(α β) α,β=(α β)-α
∴ 8cos[(α β) α] 5cos[(α β)-α]=0
展開得:
13cos(α β)cosα-3sin(α β)sinα=0
同除以cos(α β)cosα得:tan(α β)tanα=
(2) 以三角函數(shù)結(jié)構(gòu)特點出發(fā)
∵
∴
∴ tanθ=2
∴
注;齊次式是三角函數(shù)式中的基本式,其處理方法是化切或降冪。
例6、已知函數(shù) (a∈(0,1)),求f(x)的最值,并討論周期性,奇偶性,單調(diào)性。
分析:
對三角函數(shù)式降冪
∴ f(x)=
令
則 y=au
∴ 0<a<1
∴ y=au是減函數(shù)
∴ 由 得 ,此為f(x)的減區(qū)間
由 得 ,此為f(x)增區(qū)間
∵ u(-x)=u(x)
∴ f(x)=f(-x)
∴ f(x)為偶函數(shù)
∵ u(x π)=f(x)
∴ f(x π)=f(x)
∴ f(x)為周期函數(shù),最小正周期為π
當(dāng)x=kπ(k∈z)時,ymin=1
當(dāng)x=kπ (k∈z)時,ynax=
注:研究三角函數(shù)性質(zhì),一般降冪化為y=asin(ωx φ)等一名一次一項的形式。
同步 (一) 選擇題
1、下列函數(shù)中,既是(0, )上的增函數(shù),又是以π為周期的偶函數(shù)是
a、y=lgx2 b、y=|sinx| c、y=cosx d、y=
2、 如果函數(shù)y=sin2x acos2x圖象關(guān)于直線x=- 對稱,則a值為
a、 - b、-1 c、1 d、
3、函數(shù)y=asin(ωx φ)(a>0,φ>0),在一個周期內(nèi),當(dāng)x= 時,ymax=2;當(dāng)x= 時,ymin=-2,則此函數(shù)解析式為
a、 b、
c、 d、
4、已知 =1998,則 的值為
a、1997 b、1998 c、1999 d、
5、已知tanα,tanβ是方程 兩根,且α,β ,則α β等于
a、 b、 或 c、 或 d、
6、若 ,則sinx·siny的最小值為
a、-1 b、- c、 d、
7、函數(shù)f(x)=3sin(x 100) 5sin(x 700)的最大值是