第一章集合與簡易邏輯章末總結
一、本章數學思想方法1、分類討論思想（1）分類討論問題已成為高考考查學生的知識與能力的熱點問題，這是因為：其一，分類討論問題一般都覆蓋知識點較多，有利于知識面的考查；其二，解分類討論問題需要有一定的分析能力，一定的分類思想與分類技巧，有利于對學生能力的考查；其三，分類思想與生產實踐和高等數學都緊密相關。（2）解分類討論問題的實質：整體問題化為若干個部分來解決，化成部分后從而增加了題設的條件，從而將問題解答進行到底，這正是我們要分類討論的根本原因。（3）分類討論要注意的幾點：(1)根據問題實際，做到分類不重不漏；(2)熟練地掌握基礎知識，做到融匯貫通，是解好分類討論問題的前提條件；(3)不斷地的總結經驗和教訓，克服分類討論中的主觀性和盲目性；(4)要注意簡化或避免分類討論，優化解題過程。【例1】 已知三元素集 ， 且a=b，求x與y的值。【解】∵0∈b，a=b，∴0∈a。又集合為3元素集，∴x≠xy,∴x≠0.又0∈b，y∈b,∴y≠0，從而x－y=0，即x=y這時 ， ，∴|x|=x2.則x=0(舍去)x=±1當x=1時，a={1，1，0}舍去；當x=－1時，a={－1，1，0}，b={0，1，－1}滿足a=b，∴x=y=－1.【點評】 此題若開始就討論x=0，xy=0，x－y=0則較繁瑣，故先分析，后討論.【例2】 解不等式 分析 將定義區域，劃分為三段，x<－9，－9≤x≤ ，x> 分別討論.解 (1)當x<－9時，－(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，2x－11＞0.x＞ ，與x＜－9矛盾，原不等式無解；(2)當－9≤x≤ 時，(x＋9)＋(3x－4)＋2＞0，得x＞ ，∴ ＜x≤ (3)當x＞ 時，(x＋9)－(3x－4)＋2＞0得x＜ ，∴ ＜x＜ 綜上可得原不等式解集為{x│ ＜x＜ }【點評】 例2中絕對值的存在是解題的一大障礙，因此必須去掉絕對值；如何去掉絕對值呢?須對問題的定義域劃分區間，分類討論，才能去掉絕對值符號，這正是解這個問題分類討論的原因.分點的確定、劃分區間至關重要，它是分類討論解題關鍵一環.2、數形結合思想數形結合既是數學學科的重要思想，又是數學研究的常用方法.縱觀歷年高考試題。以數形結合的思想方法巧妙運用解決的問題比比皆是.認清集合的特征，準確地轉化為圖形關系，借助圖形使問題直觀、具體、準確地得到解決，因此處理集合問題要重視數形結合思想方法的運用(如數軸、幾何圖形、文氏圖等).【例3】 設全集為u，在下列條件中，是b a的充要條件的有( )a.1個 b.2個 c.3個 d.4個（1） （2） （3） （4） 解析 本題可以利用文氏圖，化抽象為直觀，從而化難為易，選d.uab【例4】 已知 ，，且 ，求實數a的取值范圍.解： 方程組 有解圓 與直線 有公共點≤ ≤ ≤ 故 的取值范圍是 【點評】 將集合之間的運算轉化為圖形之間的運算，將集合語言轉化為圖形語言，然后用代數的方法解決.