《生活中的平面圖形》教學(xué)實(shí)錄

教學(xué)目標(biāo)  經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出平面圖形的過程，感受圖形世界的豐富多彩；認(rèn)識(shí)多邊形，探索多邊形的某些性質(zhì)；在活動(dòng)中感受歸納思想；在活動(dòng)中發(fā)展有條理地思考（感受分類思想）。
重點(diǎn)和難點(diǎn) 感受歸納思想和分類思想；歸納。
教具 賀卡

教學(xué)過程 實(shí)錄 

（上課鈴響，眼保健操）
[師]上課！
[值日班長(zhǎng)]起立！
[師]同學(xué)們好！
[生]老師好！
[師]請(qǐng)坐。
[生]謝謝老師！
[師]請(qǐng)同學(xué)們把書翻到第22頁。
同學(xué)們都看到了，我們今天要討論的內(nèi)容呢，是“生活中的平面圖形”。
前面呢，我們?cè)��?jīng)討論過生活中有很多實(shí)物，我們可以從中抽象出許多幾何圖形，比如說……？
[生]長(zhǎng)方體、圓錐、棱柱、圓柱……還有球
[師]很好！大家說得都很好！這說明同學(xué)們都很聰明，學(xué)習(xí)也都很認(rèn)真。不過呢，我們今天要討論的幾何圖形和前面討論過的幾何圖形有點(diǎn)不一樣，有沒有同學(xué)知道有什么不同嗎？
[生1]……平面圖形！
[生2]前面是空間的，今天是平面的。
[師]很好！
我們前面討論的比如象長(zhǎng)方體呀、圓柱或圓錐呀、還有球呀什么的，這些呢都是立體圖形，而我們今天將要討論的圖形呢，都是平面圖形。
大家請(qǐng)看書。
書上有幾幅照片，我們可以從中看到哪些平面圖形？
[生]有五邊形。
[師]很好！有五邊形。還有呢？
[生]有六邊形。
[師]對(duì)！這些蜂窩的造型是六邊形。
[生]有圓。
[師]嗯！奧運(yùn)五環(huán)，是由5個(gè)圓組成的。
[生]長(zhǎng)方形、三角形。
[師]對(duì)，很好！那棟建筑的主體建筑中有長(zhǎng)方形，還有三角形的裝飾圖案。有沒有同學(xué)知道這棟建筑的名稱？
[生]……
[師]沒有同學(xué)知道？如果我沒記錯(cuò)的話，這張照片中的建筑應(yīng)該是香港的，1997年香港回歸的時(shí)候曾有過介紹，至于這棟建筑的名字我忘記了。
[師]昨天是教師節(jié)，有幾位同學(xué)給我送了幾張賀卡，我拿了幾張過來。
（出示賀卡1）漂亮吧？很漂亮哦？大家看，我們可以找出哪些平面圖形（圖1）？

[生]荷蘭風(fēng)車。
[師]不錯(cuò)，非常富有異國情調(diào)的一座磨房。我們可以從中抽象出哪些幾何圖形呢？
[生]有長(zhǎng)方形。
[生]有梯形。
[生]看不清楚。
[師]這張卡片基調(diào)比較素淡，坐在后面的同學(xué)可能不太看得清楚，待會(huì)兒下課的時(shí)候再傳看一下，好不好？
[師]我們?cè)倏催@張。
（出示賀卡2）漂亮吧？這張色調(diào)比較深，坐在后面的同學(xué)應(yīng)該都看得清楚吧？（圖1）
我們可以從這張卡片中抽象出哪些幾何圖形呢？
[生]長(zhǎng)方形。
[生]三角形。
[生]圓。
[生]半圓。
[師]很好！剛才同學(xué)們提到的象三角形、長(zhǎng)方形和圓等等圖形，和我們前幾天討論過的棱柱、圓錐等圖形一樣，都是幾何圖形。只不過長(zhǎng)方體等這些圖形是立體圖形，而我們今天所討論的這些圖形呢？
[生]平面圖形。
[師]哎，很好！
[生]什么叫幾何圖形呀？
[師]噢，幾何圖形也就是說：我們不管它是什么材料做的，也不管它是重還是輕、什么顏色的、派什么用場(chǎng)等等……
[生]形狀和大小。
[師]對(duì)！只考慮它的形狀和大小，以及它們相互之間的位置關(guān)系。
[師]接下來，我們一起來討論一下一些平面圖形有些什么性質(zhì)。
請(qǐng)大家準(zhǔn)備好練習(xí)本。
[生]（準(zhǔn)備）
[師]請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上分別畫一個(gè)三角形、一個(gè)四邊形、一個(gè)五邊形、一個(gè)六邊形。
[生]（活動(dòng)）
[師]畫好了嗎？
[生]好了。
[師]請(qǐng)看黑板。
（在黑板上各畫一個(gè)三角形、四邊形、五邊形、六邊形，見圖2）

[師]我們來看一下哦，我們把三角形、四邊形、五邊形、六邊形等這些圖形都稱為多邊形。
請(qǐng)同學(xué)們討論一下：這些多邊形都有些什么共同特點(diǎn)？
[生]都有線段。
[師]很好，都由線段組成。（板書：由線段組成）
[生]都有頂點(diǎn)。
[師]對(duì)！有頂點(diǎn)。（板書：頂點(diǎn)）
[生]都是包牢的。
[師]哇！太好了！它們都是封閉的。你看，有沒有哪個(gè)圖形在什么地方開了一個(gè)口子？（畫示意圖，圖3）
[生]沒有！
[師]（板書：封閉）
[生]這些線段都不在同一條直線上。
（原教材見附圖）
[師]對(duì)呀！構(gòu)成多邊形的幾條線段都不在同一條直線位置上。
（將板書中“由線段組成”改寫成“由不在同一直線上的線段組成”）
[生]它們的邊都是連牢的。
[師]對(duì)！連牢的，而不是分開的。（板書：連牢）
[生]應(yīng)該是依次首尾相連。
[師]首尾相連？那么朱老師在這里有一個(gè)疑問噢，有沒有同學(xué)能夠給我說一說“首尾相連”是什么意思？
[生]就是頭和尾巴接牢的。
[師]頭和尾巴接牢的？是不是這個(gè)意思哦，你看朱老師這樣理解你看對(duì)不對(duì)：也就是說，如果我們把每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別看成是這條線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)，那么所謂的“依次首尾相連”也就是說第一條線段的終點(diǎn)恰好是第二條線段的起點(diǎn)，第二條線段的終點(diǎn)又恰好成為第三條線段的起點(diǎn)，依此類推：前一條線段的終點(diǎn)恰好是下一條線段的起點(diǎn)，直到最后一條線段的終點(diǎn)呢？（邊說邊在圖上比劃）
[生]第一條的起點(diǎn)。
[師]這就叫“依次首尾相連”。
[生]它是封閉的呀，那么肯定連牢的嘍。
[師]哎，好象是噢？既然是封閉的，那么應(yīng)該肯定是連牢的嘍？
[生]連牢么不一定是首尾連牢的嘍！
[師]還有其它連法是吧？我們來看一看。（畫圖4）
是不是連牢的？
[生]是！
[師]是不是封閉的？
[生]是！
[師]它是多邊形嗎？
[生]不是。
[師]那么根據(jù)我們探討出來的這些多邊形所共同具有的這些特點(diǎn)，我們能不能給多邊形下個(gè)定義？也就是說：什么叫多邊形？
[生]由不在同一直線上的幾條線段依次首尾相連而成的封閉圖形叫多邊形。
[師]很好！
這些多邊形呢，我們還可以給它們?nèi)∶�字。比如說這個(gè)三角形（見圖2），它有三個(gè)頂點(diǎn)，我們把它的三個(gè)頂點(diǎn)分別記為A、B、C（圖5），那么這個(gè)三角形就叫“三角形ABC”。

[生]好不好叫它BCA的呀？
[師]哎，這個(gè)問題提得好！可不可以叫它三角形BCA？
[生]可以的。
[生]不可以，叫它三角形BCA么變成另外一個(gè)三角形了嘍！
[生]還是這個(gè)嘍，三角形沒變過呀！
[眾生]可以。
[師]很好！ΔABC和ΔBCA，都是指同一個(gè)三角形，也就是這個(gè)三角形。就好比這本書，我們叫它作“書”，美國人叫它“book”。
[師]現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們給你剛才所畫的這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)依次標(biāo)上字母A、B、C、D。請(qǐng)注意：字母要大寫，要按照順序依次書寫。
[師]現(xiàn)在，請(qǐng)看這個(gè)四邊形，它有四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D，我們?nèi)我膺x擇其中一個(gè)頂點(diǎn)，選哪一個(gè)？
[生]A好了。
[師]好！我們選擇頂點(diǎn)A。現(xiàn)在，我們把頂點(diǎn)A和其它三個(gè)頂點(diǎn)分別連結(jié)起來，得到三條線段AB、AC和AD。
在這三條線段中，AB和AD原來就是這個(gè)四邊形的兩條邊，而線段AC則是新增加的，我把它用虛線來表示（圖5）。
我們把新增加的這條線段AC，稱為這個(gè)四邊形的一條對(duì)角線。
請(qǐng)同學(xué)們觀察一下，在增加了這條對(duì)角線以后，圖形有什么變化？
[生]變成兩個(gè)三角形了。
[師]很好！四邊形的一條對(duì)角線將這個(gè)四邊形分割成了兩個(gè)三角形。
現(xiàn)在，請(qǐng)大家看自己剛才所畫的這個(gè)五邊形，
請(qǐng)選擇其中一個(gè)頂點(diǎn)，
請(qǐng)你畫出從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線。
[師]從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，一共有幾條對(duì)角線？
[生]2條。
[師]這2條對(duì)角線把這個(gè)五邊形分割成幾個(gè)三角形？
[生]3個(gè)。
[師]那么在六邊形中，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)應(yīng)該有幾條對(duì)角線？
[生]應(yīng)該有3條。
[師]如果是3條對(duì)角線，應(yīng)該把這個(gè)六邊形分割成幾個(gè)三角形？
[生]4個(gè)。
[師]請(qǐng)驗(yàn)證你的猜測(cè)。
[師]畫好了嗎？我們剛才猜得對(duì)不對(duì)？
[生]對(duì)的。
[師]請(qǐng)看黑板（畫出圖6）。
我們來看一下：從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有1條對(duì)角線，把這個(gè)四邊形分割成2個(gè)三角形；從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有2條對(duì)角線，把這個(gè)五邊形分割成3個(gè)三角形；從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有3條對(duì)角線，把這個(gè)六邊形分割成4個(gè)三角形。這其中是不是可能存在著某種規(guī)律？（列出表1）
表1 對(duì)角線 三角形
四邊形 1 2
五邊形 2 3
六邊形 3 4
[生]三角形比對(duì)角線多1個(gè)。
[師]是這樣嗎？
[生]是的。
[師]那么能不能對(duì)七邊形的情況作個(gè)驗(yàn)證？
[生]（活動(dòng)）
[生]（非常興奮地）對(duì)的。
[師]我們是否可以作如此猜想：對(duì)于任意一個(gè)多邊形，從其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)所得到的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分割成三角形的數(shù)目，總比從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)所得到的對(duì)角線的數(shù)目要多1個(gè)？
[生]是的！
[師]那么照這樣推測(cè)的話，一個(gè) 邊形，它有 條邊和 個(gè)頂點(diǎn)。
[生] 是什么？
[師] 是什么？它表示某一個(gè)多邊形的邊數(shù)。如果這個(gè)多邊形是四邊形，那么這個(gè) 它就是4；如果這個(gè)多邊形是100邊形，那么這個(gè) 就是100。
現(xiàn)在，我們先選擇這個(gè) 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，如果從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線恰好有 條，那么被分割成的三角形應(yīng)該有多少？
[生] 個(gè)。
[師]確定嗎？
[生]確定！
[師]同學(xué)們確實(shí)非常聰明！
（將表1改寫成表2）
邊數(shù) 對(duì)角線 三角形
4 1 2
5 2 3
6 3 4
… … …

[師]你知道嗎？同學(xué)們剛才所使用的這種推理的方法，是在科學(xué)研究中非常有用的一種方法，叫做“歸納法”。
有許多科學(xué)發(fā)現(xiàn)，就是科學(xué)家們從有限的、特殊的事例中分析總結(jié)出它們共同的規(guī)律或特點(diǎn)，得出某個(gè)結(jié)論，再用這個(gè)結(jié)論去指導(dǎo)后面的研究，從而獲得了許多發(fā)現(xiàn)。
當(dāng)然，用這種方法所獲得的結(jié)論有時(shí)候也可能會(huì)出錯(cuò)。由于結(jié)論是從特殊的、有限的事例中總結(jié)出來的，因此有時(shí)候它不一定能適合所有的情況。所以，對(duì)于用這種方法所得到的結(jié)論的正確性，往往還需要我們?nèi)プC明。
[師]現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們看這里。
我們來看一看這張表：
在四邊形中，有1條對(duì)角線，2個(gè)三角形；五邊形中，有2條對(duì)角線，3個(gè)三角形，等等，現(xiàn)在我們要研究的問題就是：是不是對(duì)所有的多邊形都是這樣？還是只對(duì)部分多邊形才是這樣？一個(gè)多邊形，如果從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有 條，那么被分割成三角形的個(gè)數(shù)是不是一定比 多1個(gè)，也就是 個(gè)呢？怎么說明這一點(diǎn)呢？
[生]……
[生]一根棒頭，折一下，變成兩段；再折一下，又多出一段；以后每折一下就多出一段，所以這里也是一樣的。
[師]不折呢？
[生]1段。
[師]以后每次折一下，是不是只能折其中的某一段？能不能兩段同時(shí)折？
[生]不能。
[師]那么原來是一段，每折一次總數(shù)只能增加1，折了幾次就增加了幾段，所以被折成小棒頭的數(shù)目是不是總比折的次數(shù)要多1？
[生]是的！
[師]那么回到我們的多邊形中來，怎么解決？
[生]用刀切。
[師]對(duì)！沿著對(duì)角線用刀切。不切的時(shí)候有幾塊？
[生] 1塊。
[師]每切1刀？
[生]多出1塊。
[師]現(xiàn)在這個(gè)多邊形一共有幾條對(duì)角線？ 
[生] 條。
[師]也就是一共切了 刀是吧？是不是在原來1的基礎(chǔ)上增加了 塊？那么一共就有？ 
[生] 個(gè)三角形。
[師]也就是說：任何一個(gè)多邊形，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有幾條，那么被分割成三角形的數(shù)目一定比它…
[生]多1個(gè)
[師]OK！鼓鼓掌！
[生]（鼓掌）
[師]這位同學(xué)，從線的情況推廣到面的情況，從而解決了我們的問題，其想法非常巧妙！讓我們?cè)俅螢樗�的聰明才智鼓掌�?BR>[生]（鼓掌）
[師]好！剛才我們解決了一個(gè)難題，證明了多邊形中，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線把這個(gè)多邊形分割成三角形的個(gè)數(shù)一定比對(duì)角線的條數(shù)要多1個(gè)。
[師]對(duì)于一個(gè)n邊形來說，它從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有多少我們并不知道。我們這里的 只是一個(gè)假設(shè)，從四邊形、五邊形和六邊形的情況來看，這個(gè)結(jié)論似乎是正確的。就是說：任意一個(gè)多邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線的數(shù)目比它的邊數(shù)少3。
有沒有同學(xué)能夠再次來證明一下？
[生]……
[師]看一看，想一想。
[生]是的。
[師]哦？說說看？
[生]幾邊形么就有幾個(gè)頂點(diǎn)，它自己就已經(jīng)有一個(gè)了，那么就少了一個(gè)；它旁邊還有兩條本來就是邊，這樣就又少了2條，一共少了3條。所以…（聲音輕下去了）
[師]是不是這樣？來來來，請(qǐng)你把剛才的話再說一遍好不好？有幾個(gè)同學(xué)沒聽明白。
[生]哦~嗚~~我說不來的。
[師]說不來的啊？剛才說得蠻好么！來！你膽子大一點(diǎn)好了，不要緊的！
[生]嗚~不要不要。
[師]好，那么我把剛才聽到的話再說一遍好不好？
[眾生]好。
[師]多邊形有幾條邊就有幾個(gè)頂點(diǎn)是不是？當(dāng)我們選定其中一個(gè)頂點(diǎn)的時(shí)候，另外的頂點(diǎn)還有幾個(gè)？
[生]（n-1）個(gè)。
[師]這樣我們把所有這些頂點(diǎn)和一開始選中的那個(gè)頂點(diǎn)連起來，是不是只有（n-1）條線段？這就比邊數(shù)少一個(gè)了是不是？ 
[生]是。
[師]但這些得到的線段是不是每一條都是對(duì)角線？
[生]不是。
[師]為什么？
[生]有兩條是邊。
[師]對(duì)！你看，和這個(gè)頂點(diǎn)最接近的兩個(gè)頂點(diǎn)，左邊一個(gè)，右邊一個(gè)，這兩點(diǎn)和原來的那個(gè)點(diǎn)連起來的這兩條線段都不是對(duì)角線，而是這個(gè)多邊形的邊，要不要去掉？
[生]要。
[師]這樣又少了2個(gè)，一共少了幾個(gè)啦？
[生]3個(gè)。
[師]現(xiàn)在剩下的是不是都是對(duì)角線？
[生]是的。
[師]也就是說對(duì)角線的數(shù)目一定比邊的數(shù)目要少3，對(duì)不對(duì)？
[生]對(duì)！
[師]來，給點(diǎn)掌聲鼓勵(lì)鼓勵(lì)！
[生]（鼓掌）

[師]很好！
我們回顧一下剛才的學(xué)習(xí)內(nèi)容：從生活中所熟悉的事物中抽象出幾何圖形，然后對(duì)這些圖形的某些性質(zhì)進(jìn)行了探討。在探索活動(dòng)中，同學(xué)們充分發(fā)揮了自己的聰明才智，發(fā)現(xiàn)了很多非常重要的結(jié)論。如果我們把這些結(jié)論本身先放在一邊不說，就得到結(jié)論的整個(gè)過程而言，這個(gè)過程本身是不是也非常有意義？
[生]是！
[師]所以，同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)過程中一定要注意：除了學(xué)好我們書上的知識(shí)內(nèi)容本身之外，更要注意學(xué)習(xí)方法，要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)思考。
比如說，請(qǐng)看課本第23頁。
看到了吧？有一只貓（見原教材）。
[生]狐貍。
[師]嗯，更象狐貍。
不管它是貓還是狐貍，看到了沒有，整個(gè)圖案都是由什么圖形組成的？
[生]三角形。
[師]數(shù)數(shù)看，共有多少個(gè)三角形？怎么數(shù)？可以互相交流一下。
[生]12個(gè)。
[師]怎么數(shù)的？
[生]一個(gè)一個(gè)數(shù)。
[師]哦，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)。
那么如果三角形再多一點(diǎn)的話，你這樣一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是不是很容易數(shù)錯(cuò)？比如說有的可能數(shù)漏了，還有的可能數(shù)重了？
[生]可能的。
[師]有沒有什么好的辦法，有規(guī)律地?cái)?shù)，既不會(huì)漏數(shù)，也不會(huì)重?cái)?shù)？
[生]把它們編上號(hào)。
[師]嗯，這辦法不錯(cuò)！
[生]這樣很難看了。
[師]嗯，如果編上號(hào)，那么這幅畫就比較難看了，并且有時(shí)候如果圖形復(fù)雜一點(diǎn)的話，圖形和圖形交疊在一起，你寫了一個(gè)5，這個(gè)5究竟是指哪個(gè)圖形呢？有時(shí)候是不是也會(huì)搞錯(cuò)啊？
[生]可能的。
[師]還有沒有其它辦法？
[生]……
[師]那么我們來看看這個(gè)圖形（畫出圖7），它里面共有幾個(gè)三角形？
[生]……
[師]想想看，怎么數(shù)？哪怕三角形再多也同樣能夠有條不紊地?cái)?shù)得清楚？
[生]13個(gè)。
[生]13個(gè)。
[師]你怎么數(shù)的？
[生]看大小。
[師]怎么說？
[生]喏，看大小。先數(shù)小的，有9個(gè)；再數(shù)中的，有3個(gè)；最后數(shù)大的，1個(gè)，一共13個(gè)。
[師]OK！給點(diǎn)掌聲！
我們把所有的三角形按大小分成三類：第一類，邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的三角形，（畫出圖8），有幾個(gè)？
[生]9個(gè)。
[師]第二類，邊長(zhǎng)為2的三角形，共有3個(gè)；第三類，邊長(zhǎng)為3的三角形，只有1個(gè)。那么所有的三角形只要加加起來就行了。
[生]13個(gè)。
[師]很好！
按照這樣的方法去數(shù)，哪怕三角形再多，怕不怕？
[生]不怕。
[師]所以說，我們要學(xué)會(huì)有條理地去思考解決問題。
好，現(xiàn)在我們?cè)賮砜纯催@只貓，或者說狐貍，怎么來數(shù)它的三角形？
[生]……
[生]先數(shù)頭，再數(shù)身子，再數(shù)尾巴。
（下課鈴響）
[師]這樣做顯得很有條理。
請(qǐng)同學(xué)們看書上的第24頁。
我們來看，書上有什么叫弧、什么叫扇形，自己回去看一看。后面“讀一讀”里有幾種正多面體，每種正多面體有幾個(gè)面、每個(gè)面是正幾邊形、共有多少個(gè)頂點(diǎn)、多少條棱，這些呢，書上的表里面也都列出了。
有一個(gè)問題：就是每種正多面體告訴你有幾個(gè)面以及每個(gè)面的形狀，問你有幾條棱、幾個(gè)頂點(diǎn)？如果叫你自己去數(shù)，你準(zhǔn)備怎么樣去數(shù)？能不能通過計(jì)算來得到？回去考慮考慮，好不好？
[生]好！
[師]作業(yè) ：第26頁習(xí)題1.8，第1、2、3三題，記住哦：先抄題目后解答！
[生]記住了，先抄題目后解答。
[師]現(xiàn)在下課！

《生活中的平面圖形》教學(xué)實(shí)錄

教學(xué)目標(biāo)  經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出平面圖形的過程，感受圖形世界的豐富多彩；認(rèn)識(shí)多邊形，探索多邊形的某些性質(zhì)；在活動(dòng)中感受歸納思想；在活動(dòng)中發(fā)展有條理地思考（感受分類思想）。
重點(diǎn)和難點(diǎn) 感受歸納思想和分類思想；歸納。
教具 賀卡

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（上課鈴響，眼保健操）
[師]上課！
[值日班長(zhǎng)]起立！
[師]同學(xué)們好！
[生]老師好！
[師]請(qǐng)坐。
[生]謝謝老師！
[師]請(qǐng)同學(xué)們把書翻到第22頁。
同學(xué)們都看到了，我們今天要討論的內(nèi)容呢，是“生活中的平面圖形”。
前面呢，我們?cè)��?jīng)討論過生活中有很多實(shí)物，我們可以從中抽象出許多幾何圖形，比如說……？
[生]長(zhǎng)方體、圓錐、棱柱、圓柱……還有球
[師]很好！大家說得都很好！這說明同學(xué)們都很聰明，學(xué)習(xí)也都很認(rèn)真。不過呢，我們今天要討論的幾何圖形和前面討論過的幾何圖形有點(diǎn)不一樣，有沒有同學(xué)知道有什么不同嗎？
[生1]……平面圖形！
[生2]前面是空間的，今天是平面的。
[師]很好！
我們前面討論的比如象長(zhǎng)方體呀、圓柱或圓錐呀、還有球呀什么的，這些呢都是立體圖形，而我們今天將要討論的圖形呢，都是平面圖形。
大家請(qǐng)看書。
書上有幾幅照片，我們可以從中看到哪些平面圖形？
[生]有五邊形。
[師]很好！有五邊形。還有呢？
[生]有六邊形。
[師]對(duì)！這些蜂窩的造型是六邊形。
[生]有圓。
[師]嗯！奧運(yùn)五環(huán)，是由5個(gè)圓組成的。
[生]長(zhǎng)方形、三角形。
[師]對(duì)，很好！那棟建筑的主體建筑中有長(zhǎng)方形，還有三角形的裝飾圖案。有沒有同學(xué)知道這棟建筑的名稱？
[生]……
[師]沒有同學(xué)知道？如果我沒記錯(cuò)的話，這張照片中的建筑應(yīng)該是香港的，1997年香港回歸的時(shí)候曾有過介紹，至于這棟建筑的名字我忘記了。
[師]昨天是教師節(jié)，有幾位同學(xué)給我送了幾張賀卡，我拿了幾張過來。
（出示賀卡1）漂亮吧？很漂亮哦？大家看，我們可以找出哪些平面圖形（圖1）？

[生]荷蘭風(fēng)車。
[師]不錯(cuò)，非常富有異國情調(diào)的一座磨房。我們可以從中抽象出哪些幾何圖形呢？
[生]有長(zhǎng)方形。
[生]有梯形。
[生]看不清楚。
[師]這張卡片基調(diào)比較素淡，坐在后面的同學(xué)可能不太看得清楚，待會(huì)兒下課的時(shí)候再傳看一下，好不好？
[師]我們?cè)倏催@張。
（出示賀卡2）漂亮吧？這張色調(diào)比較深，坐在后面的同學(xué)應(yīng)該都看得清楚吧？（圖1）
我們可以從這張卡片中抽象出哪些幾何圖形呢？
[生]長(zhǎng)方形。
[生]三角形。
[生]圓。
[生]半圓。
[師]很好！剛才同學(xué)們提到的象三角形、長(zhǎng)方形和圓等等圖形，和我們前幾天討論過的棱柱、圓錐等圖形一樣，都是幾何圖形。只不過長(zhǎng)方體等這些圖形是立體圖形，而我們今天所討論的這些圖形呢？
[生]平面圖形。
[師]哎，很好！
[生]什么叫幾何圖形呀？
[師]噢，幾何圖形也就是說：我們不管它是什么材料做的，也不管它是重還是輕、什么顏色的、派什么用場(chǎng)等等……
[生]形狀和大小。
[師]對(duì)！只考慮它的形狀和大小，以及它們相互之間的位置關(guān)系。
[師]接下來，我們一起來討論一下一些平面圖形有些什么性質(zhì)。
請(qǐng)大家準(zhǔn)備好練習(xí)本。
[生]（準(zhǔn)備）
[師]請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)本上分別畫一個(gè)三角形、一個(gè)四邊形、一個(gè)五邊形、一個(gè)六邊形。
[生]（活動(dòng)）
[師]畫好了嗎？
[生]好了。
[師]請(qǐng)看黑板。
（在黑板上各畫一個(gè)三角形、四邊形、五邊形、六邊形，見圖2）

[師]我們來看一下哦，我們把三角形、四邊形、五邊形、六邊形等這些圖形都稱為多邊形。
請(qǐng)同學(xué)們討論一下：這些多邊形都有些什么共同特點(diǎn)？
[生]都有線段。
[師]很好，都由線段組成。（板書：由線段組成）
[生]都有頂點(diǎn)。
[師]對(duì)！有頂點(diǎn)。（板書：頂點(diǎn)）
[生]都是包牢的。
[師]哇！太好了！它們都是封閉的。你看，有沒有哪個(gè)圖形在什么地方開了一個(gè)口子？（畫示意圖，圖3）
[生]沒有！
[師]（板書：封閉）
[生]這些線段都不在同一條直線上。
（原教材見附圖）
[師]對(duì)呀！構(gòu)成多邊形的幾條線段都不在同一條直線位置上。
（將板書中“由線段組成”改寫成“由不在同一直線上的線段組成”）
[生]它們的邊都是連牢的。
[師]對(duì)！連牢的，而不是分開的。（板書：連牢）
[生]應(yīng)該是依次首尾相連。
[師]首尾相連？那么朱老師在這里有一個(gè)疑問噢，有沒有同學(xué)能夠給我說一說“首尾相連”是什么意思？
[生]就是頭和尾巴接牢的。
[師]頭和尾巴接牢的？是不是這個(gè)意思哦，你看朱老師這樣理解你看對(duì)不對(duì)：也就是說，如果我們把每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別看成是這條線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)，那么所謂的“依次首尾相連”也就是說第一條線段的終點(diǎn)恰好是第二條線段的起點(diǎn)，第二條線段的終點(diǎn)又恰好成為第三條線段的起點(diǎn)，依此類推：前一條線段的終點(diǎn)恰好是下一條線段的起點(diǎn)，直到最后一條線段的終點(diǎn)呢？（邊說邊在圖上比劃）
[生]第一條的起點(diǎn)。
[師]這就叫“依次首尾相連”。
[生]它是封閉的呀，那么肯定連牢的嘍。
[師]哎，好象是噢？既然是封閉的，那么應(yīng)該肯定是連牢的嘍？
[生]連牢么不一定是首尾連牢的嘍！
[師]還有其它連法是吧？我們來看一看。（畫圖4）
是不是連牢的？
[生]是！
[師]是不是封閉的？
[生]是！
[師]它是多邊形嗎？
[生]不是。
[師]那么根據(jù)我們探討出來的這些多邊形所共同具有的這些特點(diǎn)，我們能不能給多邊形下個(gè)定義？也就是說：什么叫多邊形？
[生]由不在同一直線上的幾條線段依次首尾相連而成的封閉圖形叫多邊形。
[師]很好！
這些多邊形呢，我們還可以給它們?nèi)∶�字。比如說這個(gè)三角形（見圖2），它有三個(gè)頂點(diǎn)，我們把它的三個(gè)頂點(diǎn)分別記為A、B、C（圖5），那么這個(gè)三角形就叫“三角形ABC”。

[生]好不好叫它BCA的呀？
[師]哎，這個(gè)問題提得好！可不可以叫它三角形BCA？
[生]可以的。
[生]不可以，叫它三角形BCA么變成另外一個(gè)三角形了嘍！
[生]還是這個(gè)嘍，三角形沒變過呀！
[眾生]可以。
[師]很好！ΔABC和ΔBCA，都是指同一個(gè)三角形，也就是這個(gè)三角形。就好比這本書，我們叫它作“書”，美國人叫它“book”。
[師]現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們給你剛才所畫的這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)依次標(biāo)上字母A、B、C、D。請(qǐng)注意：字母要大寫，要按照順序依次書寫。
[師]現(xiàn)在，請(qǐng)看這個(gè)四邊形，它有四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D，我們?nèi)我膺x擇其中一個(gè)頂點(diǎn)，選哪一個(gè)？
[生]A好了。
[師]好！我們選擇頂點(diǎn)A。現(xiàn)在，我們把頂點(diǎn)A和其它三個(gè)頂點(diǎn)分別連結(jié)起來，得到三條線段AB、AC和AD。
在這三條線段中，AB和AD原來就是這個(gè)四邊形的兩條邊，而線段AC則是新增加的，我把它用虛線來表示（圖5）。
我們把新增加的這條線段AC，稱為這個(gè)四邊形的一條對(duì)角線。
請(qǐng)同學(xué)們觀察一下，在增加了這條對(duì)角線以后，圖形有什么變化？
[生]變成兩個(gè)三角形了。
[師]很好！四邊形的一條對(duì)角線將這個(gè)四邊形分割成了兩個(gè)三角形。
現(xiàn)在，請(qǐng)大家看自己剛才所畫的這個(gè)五邊形，
請(qǐng)選擇其中一個(gè)頂點(diǎn)，
請(qǐng)你畫出從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線。
[師]從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，一共有幾條對(duì)角線？
[生]2條。
[師]這2條對(duì)角線把這個(gè)五邊形分割成幾個(gè)三角形？
[生]3個(gè)。
[師]那么在六邊形中，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)應(yīng)該有幾條對(duì)角線？
[生]應(yīng)該有3條。
[師]如果是3條對(duì)角線，應(yīng)該把這個(gè)六邊形分割成幾個(gè)三角形？
[生]4個(gè)。
[師]請(qǐng)驗(yàn)證你的猜測(cè)。
[師]畫好了嗎？我們剛才猜得對(duì)不對(duì)？
[生]對(duì)的。
[師]請(qǐng)看黑板（畫出圖6）。
我們來看一下：從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有1條對(duì)角線，把這個(gè)四邊形分割成2個(gè)三角形；從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有2條對(duì)角線，把這個(gè)五邊形分割成3個(gè)三角形；從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，有3條對(duì)角線，把這個(gè)六邊形分割成4個(gè)三角形。這其中是不是可能存在著某種規(guī)律？（列出表1）
表1 對(duì)角線 三角形
四邊形 1 2
五邊形 2 3
六邊形 3 4
[生]三角形比對(duì)角線多1個(gè)。
[師]是這樣嗎？
[生]是的。
[師]那么能不能對(duì)七邊形的情況作個(gè)驗(yàn)證？
[生]（活動(dòng)）
[生]（非常興奮地）對(duì)的。
[師]我們是否可以作如此猜想：對(duì)于任意一個(gè)多邊形，從其中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)所得到的所有對(duì)角線，將這個(gè)多邊形分割成三角形的數(shù)目，總比從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)所得到的對(duì)角線的數(shù)目要多1個(gè)？
[生]是的！
[師]那么照這樣推測(cè)的話，一個(gè) 邊形，它有 條邊和 個(gè)頂點(diǎn)。
[生] 是什么？
[師] 是什么？它表示某一個(gè)多邊形的邊數(shù)。如果這個(gè)多邊形是四邊形，那么這個(gè) 它就是4；如果這個(gè)多邊形是100邊形，那么這個(gè) 就是100。
現(xiàn)在，我們先選擇這個(gè) 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，如果從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線恰好有 條，那么被分割成的三角形應(yīng)該有多少？
[生] 個(gè)。
[師]確定嗎？
[生]確定！
[師]同學(xué)們確實(shí)非常聰明！
（將表1改寫成表2）
邊數(shù) 對(duì)角線 三角形
4 1 2
5 2 3
6 3 4
… … …

[師]你知道嗎？同學(xué)們剛才所使用的這種推理的方法，是在科學(xué)研究中非常有用的一種方法，叫做“歸納法”。
有許多科學(xué)發(fā)現(xiàn)，就是科學(xué)家們從有限的、特殊的事例中分析總結(jié)出它們共同的規(guī)律或特點(diǎn)，得出某個(gè)結(jié)論，再用這個(gè)結(jié)論去指導(dǎo)后面的研究，從而獲得了許多發(fā)現(xiàn)。
當(dāng)然，用這種方法所獲得的結(jié)論有時(shí)候也可能會(huì)出錯(cuò)。由于結(jié)論是從特殊的、有限的事例中總結(jié)出來的，因此有時(shí)候它不一定能適合所有的情況。所以，對(duì)于用這種方法所得到的結(jié)論的正確性，往往還需要我們?nèi)プC明。
[師]現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們看這里。
我們來看一看這張表：
在四邊形中，有1條對(duì)角線，2個(gè)三角形；五邊形中，有2條對(duì)角線，3個(gè)三角形，等等，現(xiàn)在我們要研究的問題就是：是不是對(duì)所有的多邊形都是這樣？還是只對(duì)部分多邊形才是這樣？一個(gè)多邊形，如果從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有 條，那么被分割成三角形的個(gè)數(shù)是不是一定比 多1個(gè)，也就是 個(gè)呢？怎么說明這一點(diǎn)呢？
[生]……
[生]一根棒頭，折一下，變成兩段；再折一下，又多出一段；以后每折一下就多出一段，所以這里也是一樣的。
[師]不折呢？
[生]1段。
[師]以后每次折一下，是不是只能折其中的某一段？能不能兩段同時(shí)折？
[生]不能。
[師]那么原來是一段，每折一次總數(shù)只能增加1，折了幾次就增加了幾段，所以被折成小棒頭的數(shù)目是不是總比折的次數(shù)要多1？
[生]是的！
[師]那么回到我們的多邊形中來，怎么解決？
[生]用刀切。
[師]對(duì)！沿著對(duì)角線用刀切。不切的時(shí)候有幾塊？
[生] 1塊。
[師]每切1刀？
[生]多出1塊。
[師]現(xiàn)在這個(gè)多邊形一共有幾條對(duì)角線？ 
[生] 條。
[師]也就是一共切了 刀是吧？是不是在原來1的基礎(chǔ)上增加了 塊？那么一共就有？ 
[生] 個(gè)三角形。
[師]也就是說：任何一個(gè)多邊形，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有幾條，那么被分割成三角形的數(shù)目一定比它…
[生]多1個(gè)
[師]OK！鼓鼓掌！
[生]（鼓掌）
[師]這位同學(xué)，從線的情況推廣到面的情況，從而解決了我們的問題，其想法非常巧妙！讓我們?cè)俅螢樗�的聰明才智鼓掌�?BR>[生]（鼓掌）
[師]好！剛才我們解決了一個(gè)難題，證明了多邊形中，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線把這個(gè)多邊形分割成三角形的個(gè)數(shù)一定比對(duì)角線的條數(shù)要多1個(gè)。
[師]對(duì)于一個(gè)n邊形來說，它從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線有多少我們并不知道。我們這里的 只是一個(gè)假設(shè)，從四邊形、五邊形和六邊形的情況來看，這個(gè)結(jié)論似乎是正確的。就是說：任意一個(gè)多邊形，從它的一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線的數(shù)目比它的邊數(shù)少3。
有沒有同學(xué)能夠再次來證明一下？
[生]……
[師]看一看，想一想。
[生]是的。
[師]哦？說說看？
[生]幾邊形么就有幾個(gè)頂點(diǎn)，它自己就已經(jīng)有一個(gè)了，那么就少了一個(gè)；它旁邊還有兩條本來就是邊，這樣就又少了2條，一共少了3條。所以…（聲音輕下去了）
[師]是不是這樣？來來來，請(qǐng)你把剛才的話再說一遍好不好？有幾個(gè)同學(xué)沒聽明白。
[生]哦~嗚~~我說不來的。
[師]說不來的啊？剛才說得蠻好么！來！你膽子大一點(diǎn)好了，不要緊的！
[生]嗚~不要不要。
[師]好，那么我把剛才聽到的話再說一遍好不好？
[眾生]好。
[師]多邊形有幾條邊就有幾個(gè)頂點(diǎn)是不是？當(dāng)我們選定其中一個(gè)頂點(diǎn)的時(shí)候，另外的頂點(diǎn)還有幾個(gè)？
[生]（n-1）個(gè)。
[師]這樣我們把所有這些頂點(diǎn)和一開始選中的那個(gè)頂點(diǎn)連起來，是不是只有（n-1）條線段？這就比邊數(shù)少一個(gè)了是不是？ 
[生]是。
[師]但這些得到的線段是不是每一條都是對(duì)角線？
[生]不是。
[師]為什么？
[生]有兩條是邊。
[師]對(duì)！你看，和這個(gè)頂點(diǎn)最接近的兩個(gè)頂點(diǎn)，左邊一個(gè)，右邊一個(gè)，這兩點(diǎn)和原來的那個(gè)點(diǎn)連起來的這兩條線段都不是對(duì)角線，而是這個(gè)多邊形的邊，要不要去掉？
[生]要。
[師]這樣又少了2個(gè)，一共少了幾個(gè)啦？
[生]3個(gè)。
[師]現(xiàn)在剩下的是不是都是對(duì)角線？
[生]是的。
[師]也就是說對(duì)角線的數(shù)目一定比邊的數(shù)目要少3，對(duì)不對(duì)？
[生]對(duì)！
[師]來，給點(diǎn)掌聲鼓勵(lì)鼓勵(lì)！
[生]（鼓掌）

[師]很好！
我們回顧一下剛才的學(xué)習(xí)內(nèi)容：從生活中所熟悉的事物中抽象出幾何圖形，然后對(duì)這些圖形的某些性質(zhì)進(jìn)行了探討。在探索活動(dòng)中，同學(xué)們充分發(fā)揮了自己的聰明才智，發(fā)現(xiàn)了很多非常重要的結(jié)論。如果我們把這些結(jié)論本身先放在一邊不說，就得到結(jié)論的整個(gè)過程而言，這個(gè)過程本身是不是也非常有意義？
[生]是！
[師]所以，同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)過程中一定要注意：除了學(xué)好我們書上的知識(shí)內(nèi)容本身之外，更要注意學(xué)習(xí)方法，要學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)思考。
比如說，請(qǐng)看課本第23頁。
看到了吧？有一只貓（見原教材）。
[生]狐貍。
[師]嗯，更象狐貍。
不管它是貓還是狐貍，看到了沒有，整個(gè)圖案都是由什么圖形組成的？
[生]三角形。
[師]數(shù)數(shù)看，共有多少個(gè)三角形？怎么數(shù)？可以互相交流一下。
[生]12個(gè)。
[師]怎么數(shù)的？
[生]一個(gè)一個(gè)數(shù)。
[師]哦，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)。
那么如果三角形再多一點(diǎn)的話，你這樣一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是不是很容易數(shù)錯(cuò)？比如說有的可能數(shù)漏了，還有的可能數(shù)重了？
[生]可能的。
[師]有沒有什么好的辦法，有規(guī)律地?cái)?shù)，既不會(huì)漏數(shù)，也不會(huì)重?cái)?shù)？
[生]把它們編上號(hào)。
[師]嗯，這辦法不錯(cuò)！
[生]這樣很難看了。
[師]嗯，如果編上號(hào)，那么這幅畫就比較難看了，并且有時(shí)候如果圖形復(fù)雜一點(diǎn)的話，圖形和圖形交疊在一起，你寫了一個(gè)5，這個(gè)5究竟是指哪個(gè)圖形呢？有時(shí)候是不是也會(huì)搞錯(cuò)啊？
[生]可能的。
[師]還有沒有其它辦法？
[生]……
[師]那么我們來看看這個(gè)圖形（畫出圖7），它里面共有幾個(gè)三角形？
[生]……
[師]想想看，怎么數(shù)？哪怕三角形再多也同樣能夠有條不紊地?cái)?shù)得清楚？
[生]13個(gè)。
[生]13個(gè)。
[師]你怎么數(shù)的？
[生]看大小。
[師]怎么說？
[生]喏，看大小。先數(shù)小的，有9個(gè)；再數(shù)中的，有3個(gè)；最后數(shù)大的，1個(gè)，一共13個(gè)。
[師]OK！給點(diǎn)掌聲！
我們把所有的三角形按大小分成三類：第一類，邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的三角形，（畫出圖8），有幾個(gè)？
[生]9個(gè)。
[師]第二類，邊長(zhǎng)為2的三角形，共有3個(gè)；第三類，邊長(zhǎng)為3的三角形，只有1個(gè)。那么所有的三角形只要加加起來就行了。
[生]13個(gè)。
[師]很好！
按照這樣的方法去數(shù)，哪怕三角形再多，怕不怕？
[生]不怕。
[師]所以說，我們要學(xué)會(huì)有條理地去思考解決問題。
好，現(xiàn)在我們?cè)賮砜纯催@只貓，或者說狐貍，怎么來數(shù)它的三角形？
[生]……
[生]先數(shù)頭，再數(shù)身子，再數(shù)尾巴。
（下課鈴響）
[師]這樣做顯得很有條理。
請(qǐng)同學(xué)們看書上的第24頁。
我們來看，書上有什么叫弧、什么叫扇形，自己回去看一看。后面“讀一讀”里有幾種正多面體，每種正多面體有幾個(gè)面、每個(gè)面是正幾邊形、共有多少個(gè)頂點(diǎn)、多少條棱，這些呢，書上的表里面也都列出了。
有一個(gè)問題：就是每種正多面體告訴你有幾個(gè)面以及每個(gè)面的形狀，問你有幾條棱、幾個(gè)頂點(diǎn)？如果叫你自己去數(shù)，你準(zhǔn)備怎么樣去數(shù)？能不能通過計(jì)算來得到？回去考慮考慮，好不好？
[生]好！
[師]作業(yè) ：第26頁習(xí)題1.8，第1、2、3三題，記住哦：先抄題目后解答！
[生]記住了，先抄題目后解答。
[師]現(xiàn)在下課！