分式 —— 初中數(shù)學(xué)第一冊教案

3.5三角形全等的判定(一)(1)

教學(xué)目標(biāo) 
1.    通過實(shí)際操作理解“學(xué)習(xí)三角形全等的四種判定方法”的必要性.
2.    比較熟練地掌握應(yīng)用邊角邊公理時(shí)尋找非已知條件的方法和證明的分析法,初步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.
3.    初步掌握“利用三角形全等來證明線段相等或角相等或直線的平行、垂直關(guān)系等”的方法.
4.    掌握證明三角形全等問題的規(guī)范書寫格式.
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
應(yīng)用三角形的邊角邊公理證明問題的分析方法和書寫格式.
教學(xué)過程 設(shè)計(jì)
一、          實(shí)例演示，發(fā)現(xiàn)公理
1.        教師出示幾對三角形模板，讓學(xué)生觀察有幾對全等三角形，并根據(jù)所學(xué)過的全等三角形的知識(shí)動(dòng)手操作，加以驗(yàn)證，同時(shí)寫出全等三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式.
2.        在此過程中應(yīng)啟發(fā)學(xué)生注意以下幾點(diǎn)：
（1）             可用移動(dòng)三角形使其重合的方法驗(yàn)證圖3-49中的三對三角形分別全等，并根據(jù)圖中已知的三對對應(yīng)元素分別相等的條件，可以證明結(jié)論成立.如圖3-49(c)中，由ab=ac=3cm,可將△abc繞a點(diǎn)轉(zhuǎn)到b與c重合；由于∠bad=∠cae=120°，保證ad能與ae重合；由ad=ae=5cm,可得到d與e重合.因此△bad可與△cae重合,說明△bad≌△cae.
 
（2）             每次判斷全等，若都根據(jù)定義檢查是否重合是不便操作的，需要尋找更實(shí)用的判斷方法——用全等三角形的性質(zhì)來判定.
（3）             由以上過程可以說明，判定兩個(gè)三角形全等，不必判斷三條邊、三個(gè)角共六對對應(yīng)元素均相等，而是可以簡化到特定的三個(gè)條件，引導(dǎo)學(xué)生歸納出：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.
3.畫圖加以鞏固.
教師照課本上所敘述的過程帶領(lǐng)學(xué)生分析畫圖步驟并畫出圖形,理解“已知兩邊及夾角畫三角形”的方法，并加深對結(jié)論的印象.
二、          提出公理
1.板書邊角邊公理，指出它可簡記為“邊角邊”或“sas”，說明記號(hào)“sas’的含義.
2.強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)：
    （1）使用條件：三角形的兩邊及夾角分別對應(yīng)相等.
    （2）使用時(shí)記號(hào)“sas”和條件都按邊、夾角、邊的順序排列，并將對應(yīng)頂點(diǎn)的字母順序?qū)懺趯��?yīng)位置上.
    3.板書定理證明應(yīng)使用標(biāo)準(zhǔn)圖形、文字及數(shù)學(xué)表達(dá)式，正確書寫證明過程.
    如圖3-50，在△abc與△a’b’c’中,（指明范圍）
 
      
    三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
    1.充分發(fā)揮一道例題的作用，將條件、結(jié)論加以變化，進(jìn)行變式練習(xí)，
    例1已知：如圖 3-51， ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求證：△abd≌△cbd.
    分析：將已知條件與邊角邊公理對比可以發(fā)現(xiàn)，只需再有一組對應(yīng)邊相等即可，這可由公共邊相等 bd＝bd得到.
    說明：（1）證明全等缺條件時(shí)，從圖形本身挖掘隱含條件，如公共邊相等、公共角相等、對頂角相等，等等.
    （2）學(xué)習(xí)從結(jié)論出發(fā)分析證明思路的方法（分析法）.
分析：△abd≌△cbd

因此只能在兩個(gè)等角分別所在的三角形中尋找與ab，cb夾兩已知角的公共邊bd.
    （3）可將此題做條種變式練習(xí)：
練習(xí)1（改變結(jié)論）如圖 3-51，已知 ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求證：ad=cd，bd平分∠adc.
分析：在證畢全等的基礎(chǔ)上，可繼續(xù)利用全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，即ad=cd；對應(yīng)角相等∠adb=∠cdb，即bd平分∠adc.因此，通過證明兩三角形全等可證明兩個(gè)三角形中的線段相等或和角相關(guān)的結(jié)論，如兩直線平行、垂直、角平分線等等.
練習(xí)2(改變條件）如圖 3－51，已知 bd平分∠abc， ab＝ cb.求證: ∠a＝∠c.
    分析：能直接使用的證明三角形全等的條件只有ab＝cb，所缺的其余條件分別由公共邊相等、角平分線的定義得出.這樣，在證明三角形全等之前需做一些準(zhǔn)備工作.教師板書完整證明過程如下：
     
 以上四步是證明兩三角形全等的基本證明格式.
    （4）將題目中的圖形加以有規(guī)律地圖形變換，可得到相關(guān)的一組變式練習(xí)，使剛才的解題思路得以充分地實(shí)施，并加強(qiáng)例題、習(xí)題之間的有機(jī)聯(lián)系，熟悉常見圖形，同時(shí)讓學(xué)生總結(jié)常用的尋找所缺邊、缺角條件的方法.
    練習(xí) 3如圖 3-52（c），已知 ab＝ae， ad＝af，∠ 1=∠2.求證： db=fe.
    分析：關(guān)鍵由∠1＝∠2，利用等量公理證出∠bad＝∠eaf.
    練習(xí)  4如圖  3-52(d)，已知  a為 bc中點(diǎn)，  ae//bd，  ae＝bd.求證： ad//ce.
    分析：由中點(diǎn)定義得出 ab＝ac；由  ae//bd及平行線性質(zhì)得出∠abd=∠cae.
    練習(xí)  5已知：如圖  3-52(e）， ae//bd， ae＝db.求證： ab//de.
    分析：由 ae//bd及平行線性質(zhì)得出∠adb=∠dae；由公共邊 ad＝da及已知證明全等.
    練習(xí)6已知：如圖3－52（f），ae//bd，ae＝db.求證：ab//de，ab＝de.
    分析：通過添加輔助線——連結(jié)ad，構(gòu)造兩個(gè)三角形去證明全等.
    練習(xí) 7已知：如圖 3-52（g）， ba＝ef， df=ca，∠efd=∠cab.求證：∠b=∠e.
    分析：由df＝ca及等量公理得出da＝cf；由∠efd＝∠cab及“等角的補(bǔ)角相等”得出∠bad＝∠efc.
    練習(xí)8已知：如圖3－52（h），be和cd交于a，且a為be中點(diǎn)，ec⊥cd于c,bd⊥cd于 d，  ce＝⊥bd.求證： ac＝ad.
    分析：由于目前只有邊角邊公理，因此，必須將角的隱含條件——對頂角相等轉(zhuǎn)化為已知兩邊的夾角∠b=∠e，這點(diǎn)利用“等角的余角相等”可以實(shí)現(xiàn).
    練習(xí) 9已知如圖 3－52（i），點(diǎn) c， f， a， d在同一直線上， ac＝fd， ce=db， ec⊥cd，bd⊥cd，垂足分別為 c和d.求證：ef//ab.
    在下一課時(shí)中，可在圖中連結(jié)ea及bf，進(jìn)一步統(tǒng)習(xí)證明兩次全等.
    小結(jié)：在以上例1及它的九種變式練習(xí)中，可讓學(xué)生歸納概括出目前常用的證明三角形全等時(shí)尋找非已知條件的途徑.
    缺邊時(shí)：①圖中隱含公共邊；②中點(diǎn)概念；③等量公理④其它.
缺角時(shí)：①圖中隱含公共角；②圖中隱含對頂角；③三角形內(nèi)角和及推論④角平分線定義；
⑤平行線的性質(zhì)；⑥同（等）角的補(bǔ)（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它.
    例2已知：如圖3－53，△abe和△acd均為等邊三角形.求證：bd=ec.
    分析：先選擇bd和ec所在的兩個(gè)三角形△abd與△aec，已知沒有提供任一證兩個(gè)三角形全等所需的直接條件，均需由等邊三角形的定義提供.
 
四、師生共同歸納小結(jié)
    1.證明兩三角形全等的條件可由定義的六條件減弱到至少幾個(gè)？邊角邊公理是哪三個(gè)
條件？
    2.在遇到證明兩三角形全等或用全等證明線段、角的大小關(guān)系時(shí)，最典型的分析問題的思路是怎樣的？你體會(huì)這樣做有些什么優(yōu)點(diǎn)？
3.遇到證明兩個(gè)三角形全等而邊、角的直接條件不夠時(shí)，可從哪些角度入手尋找非已知條件？
五、練習(xí)與作業(yè) 
練習(xí)：課本第28頁中第1題，第30頁中1，3題.
作業(yè) ：課本第32頁中第6，7，8，9，10題.
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
本教學(xué)設(shè)計(jì)需2課時(shí)完成.
1.課本第3.5節(jié)內(nèi)容安排3課時(shí)，前兩課時(shí)學(xué)習(xí)三角形全等的邊角邊公理，重點(diǎn)練習(xí)直接應(yīng)用公理及證明格式，初步學(xué)習(xí)尋找證明全等所需的非已知條件的方法，以及利用性質(zhì)證明邊角的數(shù)量關(guān)系及直線的位置關(guān)系，第3課時(shí)加以鞏固并學(xué)習(xí)解決應(yīng)用題和兩次全等的問題.
2.本節(jié)將“理解全等三角形的判定方法的必要性“列為教學(xué)目標(biāo) 之一，目的是引起教師和學(xué)生的重視，只有學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到了研究判定方法的必要性，才能從思想上接受判定方法，并發(fā)揮出他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性.
3.本節(jié)課將“分析法和尋找證明全等三角形時(shí)非已知條件的方法”作為教學(xué)目標(biāo) 之一，意在給學(xué)生歸納一些常用的解題思路，以便將它作為證明全等三角形的一種技能加以強(qiáng)化.
4.教材中將“利用證明兩個(gè)三角形全等來證明線段或角相等”的方法做為例5出現(xiàn)，為時(shí)過晚，達(dá)不到訓(xùn)練的目的，因此教師應(yīng)提前到第一、二課時(shí)，就教給學(xué)生分析的方法，并從各種角度加以訓(xùn)練.
5.教師可將例題1和幾種變式練習(xí)制成投作影片（圖3-52）提高課堂教學(xué)效率.教學(xué)使用時(shí)，重點(diǎn)放在題目的分析上，并體現(xiàn)出題目之間圖形的變化和內(nèi)在聯(lián)系.
6.本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的兩課時(shí)既教會(huì)學(xué)生分析全等問題的思路——分析法和尋找非已知條件的方法，又要求他們落實(shí)證明的規(guī)范步驟——準(zhǔn)備條件，指明范圍，列齊條件和得出結(jié)論，使學(xué)生遇到證明三角形全等的題目既會(huì)快速分析，又會(huì)正確表達(dá).學(xué)生學(xué)生遇到證明三角形全等的題目既會(huì)快速分析，又會(huì)正確表達(dá)。節(jié)教學(xué)

3.5三角形全等的判定(一)(1)

教學(xué)目標(biāo) 
1.    通過實(shí)際操作理解“學(xué)習(xí)三角形全等的四種判定方法”的必要性.
2.    比較熟練地掌握應(yīng)用邊角邊公理時(shí)尋找非已知條件的方法和證明的分析法,初步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.
3.    初步掌握“利用三角形全等來證明線段相等或角相等或直線的平行、垂直關(guān)系等”的方法.
4.    掌握證明三角形全等問題的規(guī)范書寫格式.
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
應(yīng)用三角形的邊角邊公理證明問題的分析方法和書寫格式.
教學(xué)過程 設(shè)計(jì)
一、          實(shí)例演示，發(fā)現(xiàn)公理
1.        教師出示幾對三角形模板，讓學(xué)生觀察有幾對全等三角形，并根據(jù)所學(xué)過的全等三角形的知識(shí)動(dòng)手操作，加以驗(yàn)證，同時(shí)寫出全等三角形的數(shù)學(xué)表達(dá)式.
2.        在此過程中應(yīng)啟發(fā)學(xué)生注意以下幾點(diǎn)：
（1）             可用移動(dòng)三角形使其重合的方法驗(yàn)證圖3-49中的三對三角形分別全等，并根據(jù)圖中已知的三對對應(yīng)元素分別相等的條件，可以證明結(jié)論成立.如圖3-49(c)中，由ab=ac=3cm,可將△abc繞a點(diǎn)轉(zhuǎn)到b與c重合；由于∠bad=∠cae=120°，保證ad能與ae重合；由ad=ae=5cm,可得到d與e重合.因此△bad可與△cae重合,說明△bad≌△cae.
 
（2）             每次判斷全等，若都根據(jù)定義檢查是否重合是不便操作的，需要尋找更實(shí)用的判斷方法——用全等三角形的性質(zhì)來判定.
（3）             由以上過程可以說明，判定兩個(gè)三角形全等，不必判斷三條邊、三個(gè)角共六對對應(yīng)元素均相等，而是可以簡化到特定的三個(gè)條件，引導(dǎo)學(xué)生歸納出：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.
3.畫圖加以鞏固.
教師照課本上所敘述的過程帶領(lǐng)學(xué)生分析畫圖步驟并畫出圖形,理解“已知兩邊及夾角畫三角形”的方法，并加深對結(jié)論的印象.
二、          提出公理
1.板書邊角邊公理，指出它可簡記為“邊角邊”或“sas”，說明記號(hào)“sas’的含義.
2.強(qiáng)調(diào)以下兩點(diǎn)：
    （1）使用條件：三角形的兩邊及夾角分別對應(yīng)相等.
    （2）使用時(shí)記號(hào)“sas”和條件都按邊、夾角、邊的順序排列，并將對應(yīng)頂點(diǎn)的字母順序?qū)懺趯��?yīng)位置上.
    3.板書定理證明應(yīng)使用標(biāo)準(zhǔn)圖形、文字及數(shù)學(xué)表達(dá)式，正確書寫證明過程.
    如圖3-50，在△abc與△a’b’c’中,（指明范圍）
 
      
    三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
    1.充分發(fā)揮一道例題的作用，將條件、結(jié)論加以變化，進(jìn)行變式練習(xí)，
    例1已知：如圖 3-51， ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求證：△abd≌△cbd.
    分析：將已知條件與邊角邊公理對比可以發(fā)現(xiàn)，只需再有一組對應(yīng)邊相等即可，這可由公共邊相等 bd＝bd得到.
    說明：（1）證明全等缺條件時(shí)，從圖形本身挖掘隱含條件，如公共邊相等、公共角相等、對頂角相等，等等.
    （2）學(xué)習(xí)從結(jié)論出發(fā)分析證明思路的方法（分析法）.
分析：△abd≌△cbd

因此只能在兩個(gè)等角分別所在的三角形中尋找與ab，cb夾兩已知角的公共邊bd.
    （3）可將此題做條種變式練習(xí)：
練習(xí)1（改變結(jié)論）如圖 3-51，已知 ab＝cb，∠abd＝∠cbd.求證：ad=cd，bd平分∠adc.
分析：在證畢全等的基礎(chǔ)上，可繼續(xù)利用全等三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，即ad=cd；對應(yīng)角相等∠adb=∠cdb，即bd平分∠adc.因此，通過證明兩三角形全等可證明兩個(gè)三角形中的線段相等或和角相關(guān)的結(jié)論，如兩直線平行、垂直、角平分線等等.
練習(xí)2(改變條件）如圖 3－51，已知 bd平分∠abc， ab＝ cb.求證: ∠a＝∠c.
    分析：能直接使用的證明三角形全等的條件只有ab＝cb，所缺的其余條件分別由公共邊相等、角平分線的定義得出.這樣，在證明三角形全等之前需做一些準(zhǔn)備工作.教師板書完整證明過程如下：
     
 以上四步是證明兩三角形全等的基本證明格式.
    （4）將題目中的圖形加以有規(guī)律地圖形變換，可得到相關(guān)的一組變式練習(xí)，使剛才的解題思路得以充分地實(shí)施，并加強(qiáng)例題、習(xí)題之間的有機(jī)聯(lián)系，熟悉常見圖形，同時(shí)讓學(xué)生總結(jié)常用的尋找所缺邊、缺角條件的方法.
    練習(xí) 3如圖 3-52（c），已知 ab＝ae， ad＝af，∠ 1=∠2.求證： db=fe.
    分析：關(guān)鍵由∠1＝∠2，利用等量公理證出∠bad＝∠eaf.
    練習(xí)  4如圖  3-52(d)，已知  a為 bc中點(diǎn)，  ae//bd，  ae＝bd.求證： ad//ce.
    分析：由中點(diǎn)定義得出 ab＝ac；由  ae//bd及平行線性質(zhì)得出∠abd=∠cae.
    練習(xí)  5已知：如圖  3-52(e）， ae//bd， ae＝db.求證： ab//de.
    分析：由 ae//bd及平行線性質(zhì)得出∠adb=∠dae；由公共邊 ad＝da及已知證明全等.
    練習(xí)6已知：如圖3－52（f），ae//bd，ae＝db.求證：ab//de，ab＝de.
    分析：通過添加輔助線——連結(jié)ad，構(gòu)造兩個(gè)三角形去證明全等.
    練習(xí) 7已知：如圖 3-52（g）， ba＝ef， df=ca，∠efd=∠cab.求證：∠b=∠e.
    分析：由df＝ca及等量公理得出da＝cf；由∠efd＝∠cab及“等角的補(bǔ)角相等”得出∠bad＝∠efc.
    練習(xí)8已知：如圖3－52（h），be和cd交于a，且a為be中點(diǎn)，ec⊥cd于c,bd⊥cd于 d，  ce＝⊥bd.求證： ac＝ad.
    分析：由于目前只有邊角邊公理，因此，必須將角的隱含條件——對頂角相等轉(zhuǎn)化為已知兩邊的夾角∠b=∠e，這點(diǎn)利用“等角的余角相等”可以實(shí)現(xiàn).
    練習(xí) 9已知如圖 3－52（i），點(diǎn) c， f， a， d在同一直線上， ac＝fd， ce=db， ec⊥cd，bd⊥cd，垂足分別為 c和d.求證：ef//ab.
    在下一課時(shí)中，可在圖中連結(jié)ea及bf，進(jìn)一步統(tǒng)習(xí)證明兩次全等.
    小結(jié)：在以上例1及它的九種變式練習(xí)中，可讓學(xué)生歸納概括出目前常用的證明三角形全等時(shí)尋找非已知條件的途徑.
    缺邊時(shí)：①圖中隱含公共邊；②中點(diǎn)概念；③等量公理④其它.
缺角時(shí)：①圖中隱含公共角；②圖中隱含對頂角；③三角形內(nèi)角和及推論④角平分線定義；
⑤平行線的性質(zhì)；⑥同（等）角的補(bǔ)（余）角相等；⑦等量公理；⑧其它.
    例2已知：如圖3－53，△abe和△acd均為等邊三角形.求證：bd=ec.
    分析：先選擇bd和ec所在的兩個(gè)三角形△abd與△aec，已知沒有提供任一證兩個(gè)三角形全等所需的直接條件，均需由等邊三角形的定義提供.
 
四、師生共同歸納小結(jié)
    1.證明兩三角形全等的條件可由定義的六條件減弱到至少幾個(gè)？邊角邊公理是哪三個(gè)
條件？
    2.在遇到證明兩三角形全等或用全等證明線段、角的大小關(guān)系時(shí)，最典型的分析問題的思路是怎樣的？你體會(huì)這樣做有些什么優(yōu)點(diǎn)？
3.遇到證明兩個(gè)三角形全等而邊、角的直接條件不夠時(shí)，可從哪些角度入手尋找非已知條件？
五、練習(xí)與作業(yè) 
練習(xí)：課本第28頁中第1題，第30頁中1，3題.
作業(yè) ：課本第32頁中第6，7，8，9，10題.
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
本教學(xué)設(shè)計(jì)需2課時(shí)完成.
1.課本第3.5節(jié)內(nèi)容安排3課時(shí)，前兩課時(shí)學(xué)習(xí)三角形全等的邊角邊公理，重點(diǎn)練習(xí)直接應(yīng)用公理及證明格式，初步學(xué)習(xí)尋找證明全等所需的非已知條件的方法，以及利用性質(zhì)證明邊角的數(shù)量關(guān)系及直線的位置關(guān)系，第3課時(shí)加以鞏固并學(xué)習(xí)解決應(yīng)用題和兩次全等的問題.
2.本節(jié)將“理解全等三角形的判定方法的必要性“列為教學(xué)目標(biāo) 之一，目的是引起教師和學(xué)生的重視，只有學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到了研究判定方法的必要性，才能從思想上接受判定方法，并發(fā)揮出他們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性.
3.本節(jié)課將“分析法和尋找證明全等三角形時(shí)非已知條件的方法”作為教學(xué)目標(biāo) 之一，意在給學(xué)生歸納一些常用的解題思路，以便將它作為證明全等三角形的一種技能加以強(qiáng)化.
4.教材中將“利用證明兩個(gè)三角形全等來證明線段或角相等”的方法做為例5出現(xiàn)，為時(shí)過晚，達(dá)不到訓(xùn)練的目的，因此教師應(yīng)提前到第一、二課時(shí)，就教給學(xué)生分析的方法，并從各種角度加以訓(xùn)練.
5.教師可將例題1和幾種變式練習(xí)制成投作影片（圖3-52）提高課堂教學(xué)效率.教學(xué)使用時(shí)，重點(diǎn)放在題目的分析上，并體現(xiàn)出題目之間圖形的變化和內(nèi)在聯(lián)系.
6.本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的兩課時(shí)既教會(huì)學(xué)生分析全等問題的思路——分析法和尋找非已知條件的方法，又要求他們落實(shí)證明的規(guī)范步驟——準(zhǔn)備條件，指明范圍，列齊條件和得出結(jié)論，使學(xué)生遇到證明三角形全等的題目既會(huì)快速分析，又會(huì)正確表達(dá).學(xué)生學(xué)生遇到證明三角形全等的題目既會(huì)快速分析，又會(huì)正確表達(dá)。節(jié)教學(xué)