不等式基本性質 —— 初中數學第二冊教案
不等式的基本性質 劉宏光 （寧夏銀川第二中學） 作者簡歷 劉宏光 廣東揭陽人，19565年畢業于北京工業學院機械系，1953年任太原機械制造廠數學力學教師，1986年被授予中學特級教師，1988年被評為寧夏回族自治區中學高級教師。1985年被評為寧夏銀川市優秀班主任，1986年獲全國五一勞動獎章，并被全國總工會授予全國優秀教育工作者稱號。現任寧夏銀川二中數學教師數學教研組組長。 教學目的 掌握不等式的基本性質，會用不等式的基本性質進行不等式的變形。 教學過程 師：我們已學過等式，不等式，現在我們來看兩組式子（教師出示小黑板中的兩組式子），請同學們觀察，哪些是等式？哪些是不等式？ 第一組：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7. 第二組：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4. 生：第一組都是等式，第二組都是不等式。 師：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？ 生：表示相等關系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。 師：在數學熾，我們用等號“=”來表示相等關系，用不等式號“〈”、“〉”或“≠”表示不等關系，其中“＞”和“＜”表示大小關系。表示大小關系的不等式是我們中學教學所要研究的。 前面我們學過了等式，同學們還記得等式的性質嗎？ 生：等式有這樣的性質：等式兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除以（ 除數不為零）同一個數，所得到的仍是等式。 師：很好！當我們開始研究不等式的時候，自然會聯想到，是否有與等式相類似的性質，也就是說，如果在不等式的兩邊都加上，或都減去，或都乘以，或都除經（除數不為零）同一個數，結果將會如何呢？讓我們先做一些試驗練習。 練習1 (回答)用小于號“<”或大于號“>”填空。 （1）7 ___ 4; （2）- 2____6; （3）- 3_____ -2； （4）- 4_____-6 練習2（口答）分別從練習1中四個不等式出發，進行下面的運算。 （1）兩邊都加上（或都減去）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？ （2）兩邊都乘以（或都除以）5，結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？ （3）兩邊都乘以（或都除以）（-5），結果怎樣？不等號的方向改變了嗎？ 生：我們發現：在練習2中，第（1）、（2）題的結果是不等號的方向不變；在第（3）題中，結果是不等號的方向改變了！ 師：同學們觀察得很認真，大家再進一步探討一下，在什么情況下不等號的方向就會發生改變呢？ 生甲：在原不等式的兩邊都乘以（或除以）一個負數的情況下，不等號的方向要改變。 師：有沒有不同的意見？大家都同意他的看法嗎？可能還有同學不放心，讓我們再做一些試驗。 練習3（口答）分別在下面四個不等式的兩邊都以乘以（可除以）-2，看看不等號的方向是否改變： 7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。 師：現在我們可以歸納出不等式的基本性質，一般地說，不等式的基本性質有三條： 性質1：不等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數，不等號的方向 。 （讓同學回答。） 性質2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個正數，不等號的方向 。（讓同學回答。） 性質3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個負數，不等號的方向 。（讓同學回答。） 現在請大家翻開課本，一起朗讀用黑體字寫的三條基本性質。 不等式的這三條基本性質，都可以用數學語言表達出來，先請一位同學說一說第一條基本性質。 生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。 師：對a和b有什么要求嗎？對c有什么要求？ 生：沒有什么要求。 生甲：如果a<b,且c>0, 那么ac<bc(或 )；如果a>b,且c>0,那么ac>bc(或 生乙：如果a<b,且c<0, 那么ac>bc(或 )；如果a>b,且c<0,那么ac<bc(或 師：這兩條性質中，對a、b、c有什么要求？ 生：對a、b沒什么要求，特別要注意c是正數還是負數。 師：很好，c可以為零嗎？ 生：c不能為零。因為c為零時，任何不等式兩邊都乘以零就變成等式了。 師：好！應用剛才學到的基本性質，我們來看下面的例題。 [例1]按照下列條件，寫出仍能成立的不等式： （1）5＜9，兩邊都加上-3； （2）9＞4，兩邊都減去10； （3）-5＜3，兩邊都乘以4； （4）14＞-8，兩邊都除以-2。 解 （1）根據不等式基本性質1，在不等式59的兩邊都加上-3，不等號的方向不變，所以 5+（-3）＜9+（-3）， 2＜6 （2）根據不等式基本性質1，得 9-10＞4-10 -1＞-6 （3）根據不等式基本性質2，得 -5×4＜3×4 -20＜12 （4）根據不等式基本性質3，得 14÷（-2）＜（-8）÷（-2） -7＜4 [例2]設a＞b，用不等號連結下列各題中的兩式： （1）a-3與b-3;（2）2a與2b;（3）-a與-b. 師：哪一位同學來做這題？解題時，要講清一步的理由。 生甲：因為a＞b，兩邊都減去3，由不等式的基本性質1，得 a-3＞b-3. 師：很好，大家都是這樣做的嗎？ 生乙：我是這樣做的，因為a＞b,兩邊都加上（-3），由基本性質1，得 a-3＞b-3. 師：好！這兩位同學從不同的角度來分析題目，都得到了正確的結論。 生丙：因為a＞b，2＞0，由基本性質2，得2a＞2b。 生丁：因為a＞b，-1＞0，由基本性質3，得-a＞-b。 師：下面我們來看一組較復雜的問題，請大家都來開動腦筋，認真審題，仔細分析。[例3]判斷以下各題的結論是否正確，并說明都理由： (1)如果a>b,且c>0，那么ac>bd; (2)如果a>b,那么ac2>bc2; (3)如果ac2>bc2,那么a>b; (4) 如果a>b,那么a-b>0; (5)如果ax>b,且a≠0，那么x< ; (6)如果a+b>a; 生甲：（1）不對，當c=d≤0時，ac＞bd不成立。 生乙：（2）也不對，因為c2是一個非負數，當c=0時，ac2＞bc2不成立。 生丙：（3）對，因為ac2＞bc2成立，則c2一定大于零，根據不等式基本性質2，得a＞b出。 （4）對，根據不等式基本性質，由a＞b，兩邊減去b得a-b＞0。 （5）不對，當a＜0時，根據不等式基本性質3，得 。 （6）不對，因為當b＜0時，根據不等式基本性質1，得a+b＜a；而當b=0時，則有a+b=a。 師：同學們回答得很好。今天我們學習了不等式的基本性質，我們不僅要理解這三條性質，還要能靈活運用。 課外做以下作業 ：略。 教案說明 （1） 不等式的基本性質的教學，是分成兩個階段進行的。在初中階段，對不等式的基本性質，并不作證明，只引導學生用試驗的方法，歸納出三條基本性質。通過試驗，由特殊到一般，由具體到抽象，這是一種認識事物規律的重要方法。科學上的許多發現，大多離不開試驗和觀察。大數學家歐拉說過：“數學這門科學，需要觀察，也需要試驗。”通過教學培養學生掌握由試驗發現規律的方法，具有重要的意義。當然通過幾個特殊的試驗，就得出一般的結論，是不嚴密的。但對初中學生來說，初次接觸不等式，是不能要求那么嚴密的。 （2） 不等式的基本性質的教學，還應采用對比的方法。學生已學過等式和等式的性質，為了便于和加深對不等式基本性質的理解，在教學過程 中，應將不等式的性質與等式的性質加以比較：強調等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數不能為零）同一個數，所得到的仍是等式，這個數可以是正數、負數或零；而在不等式的兩邊都加上或減去，都乘以或除以（除數不能為零）同一個數，當這個數是正數、負數或零時，對不等式的方向，有什么不同的影響。通過這樣的對比，不但可以復習已學過的等式有關知識，便于引入新課，而且也有利于掌握不等式的基本性質。對比的方法，也是學習數學的一種重要方法。 （3） 在應用不等式的基本性質對不等式進行變形時，學生對不等式兩邊是具體數，判定大小關系比較容易。因為這實際上是有理數大小的比較。對于不等式兩邊是含字母的代數式時，根據題給的條件，運用不等式基本性質判別大小關系或不等號方向，就比較困難。因為它比較抽象，特別是在運用不等式的基本性質2和性質3時，學生必須考慮不等式兩邊同乘（或同除）的這個用字母表示的數的符號是什么，或者還要對這個用字母表示的數，按正數、負數或零三種情況加以討論。在教學過程 中，對于這類題目，采用討論法是比較好的。因為在討論時，學生可以充分發表各種見解。對于正確的見解，教師可以讓學生說出解題的依據；對于錯誤的見解，教師可以進行啟發引導，發動學生自己找出錯誤的原因，自己修正見解。這樣，有利于發現問題，有的放矢地解決問題，有利于深化對不等式基本性質的認識。