在過去的六十年中，月球移居地的天文學家一直在與半人馬座星系的有智力的生命進行著通訊聯(lián)系。由于距離遙遠，通訊聯(lián)系非常緩慢。從發(fā)出住處到收到反響需20年的時間。最近一次的通訊中含有“半人馬座的挑戰(zhàn)”。“半人馬座的挑戰(zhàn)”是由半人馬座星系的邏輯學生發(fā)給月球移居地的學生的。下面是收到的信息。

半人馬座的挑戰(zhàn)。

半人馬座的信息是一個字母串的形式系統(tǒng)，這些字母串由字母 P 、 Q 、 R 、 S 組成，并受四條規(guī)則的約束。應用這四條規(guī)則的一些組合，把一個字母串變成另一個不同的字母串是有可能的。這四條規(guī)則是：

規(guī)則1：字母串中任意兩個相鄰的字母都可交換位置（ PQ>>QP ）。

規(guī)則2：如果一個字母串以兩個相同的字母結尾，那么可用字母 Q 來替換這兩個相同的字母（ RSS>>RQ ）。

規(guī)則3：如果一個字母串的開頭有兩個相同的字母，那么可在該字母串的前面加一個字母 S （PPR>>SPPR ）。

規(guī)則4：如果一個字母串的第一個和最后一個字母相同，那么可用字母 R 代替這兩個字母之間的所有字母（ PQRSP>>PRP ）。

該系統(tǒng)中的一個定理是用一個“>>”連接起來的兩個字母串。例如， PQQRSS>>QRQ 表示，如果已知字母串PQQRSS ，那么可應用上面的規(guī)則得到 QRQ 。下面給出了該定理證明的例子。

例

求證：PQQRSS>>QPQ

證明： PQQRSS 已知

PQQRQ 由規(guī)則2

PQQRQ 由規(guī)則1

QRQ 由規(guī)則4

所以，PQQRSS>>QRQ 。

挑戰(zhàn)1：

應用半人馬座規(guī)則證明下面的定理。

1.PQPRQ>>RQ 2.PQRSSQR>>RQ
3.PSSRS>>RQ 4.PSRQQRSQPSSS>>RQ
5.PQQQQP>>RQ 6.QQQQQQ>>SRQ

挑戰(zhàn)2：

應用半人馬座的規(guī)則回答下列問題。

1.你能找到一個不能簡化成 RQ 的由五個或五個以上字母組成的字母串嗎？如果找到，請寫出推導過程。如果不能，請證明你的結論。

2.當把一個規(guī)則去掉之后，挑戰(zhàn)1中的前五個定理也能導出。哪一個規(guī)則可去掉呢？為什么在證明第六個定理時必須應用該規(guī)則呢？自己創(chuàng)作一個必須應用該規(guī)則的定理。