基本不等式 篇1

　　課題: §3.4

　　【學習目標】

　　1.知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

　　2.過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

　　3.情態與價值：通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣

　　【能力培養】

　　培養學生嚴謹、規范的學習能力，分析問題、解決問題的能力。

　　【教學重點】

　　應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；及其在求最值時初步應用

　　【教學難點】

　　基本不等式 等號成立條件

　　【教學過程】

　　一、課題導入

　　基本不等式 的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，教師引導學生從面積的關系去找不等關系。

　　二、講授新課

　　1.問題探究——探究圖形中的不等關系。

　　將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。

　　當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有 。

　　2.總結結論：一般的，如果

　　（結論的得出盡量發揮學生自主能動性，讓學生總結，教師適時點撥引導）

　　3.思考證明：（讓學生嘗試給出它的證明）

　　4.特別的，如果a>0,b>0,我們用 分別代替a、b ，可得，

　　篇一

　　在復習完基本不等式第二課時后，我對這節課做了如下的反思：

　　一.在教學過程中要充分發揮學生的主體地位

　　在課堂上，無論是新教師還是老教師，通常會把自己當做課堂上的主人而過多的會忽略學生的主體地位;或者學生會因為長時間的習慣于聽老師來講解而忘記自己是課堂的主人。

　　在這節課中，我設計了多個讓學生討論的環節，但是當我說了同學們可以和自己的同桌討論一下自己獲得的結論之后教室里還是會很安靜。這樣的課堂活動經過了一分鐘后，我不得不自己來講解我設計好的問題。此時我感覺到這節已經失敗了，因為我占據了本該屬于學生的時間。

　　二.要設計好教學問題

　　在教學中應合理設計教學中所要用的問題，我設計的學生互動環節為什么沒有成功呢?我想很大的原因是我沒有設計好問題，在提問題時沒有明確我要求他們要給我什么樣的結果。在這節課中，我大部分的問題都是這樣問的：請同學們自己首先來做一下這道題目，然后跟自己的同桌討論一下自己的結果是否正確。當學生聽到這樣的問題時，他們首先會自己一個人去完成題目，而不會跟自己的伙伴合作完成。而且在數學教學中對問題的梯度設計很重要，因為新課程很強調概念的形成過程，而概念的產生是一個抽象的過程，所以在教學時要非常好的展示給學生概念是怎么產生的，而這個教學環節就要求教師能夠設計好問題的梯度。

　　三.要學會設計有深度的問題

　　在本節課的教學中，我問的最多的問題就是：同學們明白了沒有啊，或者對不對啊，是不是這樣的啊這些膚淺的問題。而從課堂效果看，這些問題并沒有調動學生的學習積極性，學生也只是機械的回答一下：是或者不是，對或者不對。使學生跟老師之間的溝通成了一種機械的問答過程。所以在以后的教學中我應該更加重視對問題深度的要求。

課題: §3.4

【學習目標】

1.知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

2.過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

3.情態與價值：通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣

【能力培養】

培養學生嚴謹、規范的學習能力，分析問題、解決問題的能力。

【教學重點】

應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；及其在求最值時初步應用

【教學難點】

基本不等式 等號成立條件

【教學過程】

一、課題導入

基本不等式 的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，教師引導學生從面積的關系去找不等關系。

二、講授新課

1.問題探究——探究圖形中的不等關系。

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形abcd中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為 。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式： 。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形efgh縮為一個點，這時有 。

2.總結結論：一般的，如果

（結論的得出盡量發揮學生自主能動性，讓學生總結，教師適時點撥引導）

3.思考證明：（讓學生嘗試給出它的證明）

4.特別的，如果a>0,b>0,我們用 分別代替a、b ，可得，

通常我們把上式寫作：

①從不等式的性質推導基本不等式

用分析法證明：（略）

②理解基本不等式 的幾何意義

探究：對課本第98頁的“探究”（ 幾何證明）

注:在數學中，我們稱 為a、b的算術平均數，稱 為a、b的幾何平均數.本節定理還可敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.

5、例：當 時， 取什么值， 的值最小？最小值是多少？

6、課時小結

本節課，我們學習了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數a、b的算術平均數（ ），幾何平均數（ ）及它們的關系（ ≥ ）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實數，而后者要求a、b都是正數.它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數最值的重要工具(下一節我們將進一步學習它們的應用).

7、作業：

課本第100頁習題[a]組的第1、2題

板書 設 計

課題: §3.4基本不等式

一、兩個不等式

二、例題及練習

【教后小結】

不等式教案 篇1

　　1、 ( 、 )。

　　2、 ( 、 , )(當且僅當 時取等號)。

　　3、若 、 、 且 ,則 (真分數的分子分母加上同一個正數,值變大)。

　　4、若 、 、 且 ,則 。

　　5、 。

　　6、一個重要的均值不等式鏈:設 ,則有 (當且僅當 時取等號)。

　　7、若已知條件中含有或隱含著" "或" "這一信息,常常可以設" "用這種和式增量法來證明不等式、求值、或比較大小。

　　8、不等式證明常用的放縮方法:

　　(1) ;

　　(2) 。

　　七、解析幾何:

　　1、兩條平行直線 和 之間的距離為 。

　　2、直線 過定點 ,且點 在圓 內,則 與圓 必相交。

　　過圓內一點 的弦長,以直徑為最大,垂直于 ( 為圓心)的弦為最小。

　　3、直線在 軸、 軸上的截距相等包含有直線過原點這一特殊情況。

　　4、直線過定點 時,根據情況有時可設其方程為 ( 時直線 )應用點斜式解題,應檢驗直線斜率不存在的情況。

　　5、 已知圓的方程是 和點 ,若點 是圓上的點,則方程 表示過點 的圓的切線方程;若點 在圓外,則方程 表示過點 向圓所作的兩條切線的切點所在的直線方程(又稱切點弦方程)。

　　6、過圓 上一點 的圓的切線方程是:

　　。

　　7、圓 和 相交于 、 兩點,則直線 為這兩圓的"根軸",其方程為 (即為公共弦 所在的直線方程。利用此法,可以推導圓的切點弦方程)。

　　8、已知一個圓的直徑端點是 、 ,則圓的方程是:

　　。

　　9、給一定點 和橢圓: , 、 分別為左右焦點,有如下性質:

　　(1)若點 在橢圓上,則 , (由橢圓第二定義推出);

　　(2)若點 在橢圓上,過這一點的橢圓的切線方程則可表示為: ;

不等式的證明 篇1

　　第四課時

　　教學目標

　　1.掌握分析法證明不等式；

　　2.理解分析法實質——執果索因；

　　3.提高證明不等式證法靈活性.

　　教學重點  分析法

　　教學難點 分析法實質的理解

　　教學方法 啟發引導式

　　教學活動

　　（一）導入  新課

　　（教師活動）教師提出問題，待學生回答和思考后點評.

　　（學生活動）回答和思考教師提出的問題.

　　［問題1］我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

　　［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：

　　[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法.（板書課題）

　　設計意圖：復習已學證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，

　　激發學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入  本節課學習內容：用分析法證明不等式.

　　（二）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　　（教師活動）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評.幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系.投影分析法證明不等式的概念.

　　（學生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發、引導下嘗試探索，構建新知.

　　[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.

　　［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

不等式證明 篇1

　　教材：不等式證明一（比較法）

　　目的：以不等式的等價命題為依據，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

　　過程：

　　一、復習：

　　1.不等式的一個等價命題

　　2.比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結論

　　二、作差法：（P13—14）

　　甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路

　　目的：以不等式的等價命題為依據，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學生能教熟練地運用作差、作商比較法證明不等式。

　　過程：

　　一、復習：

　　1.不等式的一個等價命題

　　2.比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結論

　　二、作差法：（P13—14）

　　1. 求證：x2 + 3 > 3x

　　證：∵(x2 + 3) - 3x =

　　∴x2 + 3 > 3x

　　2. 已知a, b, m都是正數，并且a < b，求證：

　　證：

　　∵a,b,m都是正數，并且a<b，∴b + m > 0 ,  b - a > 0

　　∴     即：

　　變式：若a > b，結果會怎樣？若沒有“a < b”這個條件，應如何判斷？

　　3. 已知a, b都是正數，并且a ¹ b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

　　證：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) =( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )

　　=a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) =(a2 - b2 ) (a3 - b3)

　　=(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)