不等式的證明（通用14篇）
不等式的證明 篇1
第四課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握分析法證明不等式；
2.理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因；
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學(xué)重點(diǎn) 分析法
教學(xué)難點(diǎn) 分析法實(shí)質(zhì)的理解
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（一）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師提出問題，待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）回答和思考教師提出的問題.
［問題1］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點(diǎn)評(píng)]在證明不等式時(shí)，若用比較法或綜合法難以下手時(shí)，可采用另一種證明方法：分析法.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識(shí)的積極性，導(dǎo)入 本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式.
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動(dòng)）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問題供學(xué)生研究，并點(diǎn)評(píng).幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識(shí)體系.投影分析法證明不等式的概念.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知.
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問題2］當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí)，說明了什么呢？
［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點(diǎn)評(píng)］從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立.就是分析法的邏輯關(guān)系.
[投影]分析法證明不等式的概念.（見課本）
設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)生積極思考、研究.建立新的知識(shí)；分析法證明不等式.培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識(shí).
【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書或投影例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用分析法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用分析法證明不等式必須注意的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應(yīng)考慮用分析法.
證明：（見課本）
[點(diǎn)評(píng)]證明某些含有根式的不等式時(shí)，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思維方法，事實(shí)上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎(chǔ)上，分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此.
例2 已知： ，求證： （用分析法）請(qǐng)思考下列證法有沒有錯(cuò)誤？若有錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處？
［投影］證法一：因?yàn)?，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.
證法二：欲證 ，因?yàn)?
只需證 ，
即證 ，
即證
因?yàn)?成立，所以 成立.
（證法二正確，證法一錯(cuò)誤.錯(cuò)誤的原因是：雖然是從結(jié)論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件，事實(shí)上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯(cuò)誤.）
[點(diǎn)評(píng)]①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
（結(jié)論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結(jié)論）
分析法是“執(zhí)果索因”，它與綜合法的證明過程（由因?qū)Ч┣∏∠喾?②用分析法證明時(shí)要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的書寫格式是：
要證命題B為真，
只需證明 為真，從而有……
這只需證明 為真，從而又有……
……
這只需證明A為真.
而已知A為真，故命題B必為真.
要理解上述格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.
[投影] 例3 證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］設(shè)未知數(shù)，列方程，因?yàn)楫?dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長(zhǎng)為 ，則周長(zhǎng)為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長(zhǎng)為 的正方形邊長(zhǎng)為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：（見課本）
設(shè)計(jì)意圖：理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系，說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.靈活掌握分析法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正.點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
【字幕】練習(xí)1.求證
2.求證：
設(shè)計(jì)意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.
1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的.
2.用分析法證明不等式時(shí)，要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式.應(yīng)用分析法證明不等式時(shí)，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時(shí)，要注意遵循不等式的性質(zhì).另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用.理解分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面.有時(shí)可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成證明過程.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 4、5.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：已知函數(shù) ， ，若 、 ，且 證明
設(shè)計(jì)意圖：思考題供學(xué)有余力同學(xué)練習(xí)，研究性題供學(xué)生研究分析法證明有關(guān)問題.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
教學(xué)過程是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程.本節(jié)課在形成分析法證明不等式認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，教師提出問題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，然后開拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問題解決.一個(gè)問題解決后，及時(shí)地提出新問題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù).總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài).
本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合.在講與練的互相作用下，使學(xué)生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題，先由學(xué)生自己研究，然后教師分析與概括.在教師講解中，又不斷讓學(xué)生練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.
在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，按認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu).
作業(yè) 答案：
思考題：
.因?yàn)?，故 ，所以 成立.
研究性題：令 ， ，則：
， ，
故原不等式等價(jià)于
由已知有 . 。所以上式等價(jià)于 ，即 。所以又等價(jià)于 .因?yàn)?，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實(shí)際解釋
題目：不等式： 是正數(shù)，且 ，則 。可以給出一個(gè)具有實(shí)際背景的解釋：在溶液里加溶質(zhì)則濃度增加，即 個(gè)單位溶液中含有 個(gè)單位的溶質(zhì)，其濃度小于加入 個(gè)單位溶質(zhì)后的溶液濃度，請(qǐng)你仿照此例，給出兩個(gè)不等式的解釋。
分析與解
1.先看問題中的不等式，建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。
設(shè)地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時(shí)增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有
2. 是正數(shù)，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個(gè)不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。
3.電阻串并聯(lián)。電阻值為 、 的電阻，串聯(lián)電阻為 ，并聯(lián)電阻為 ，串聯(lián)電阻變大，并聯(lián)電阻變小，因此有不等式 ，即
說明 許多數(shù)學(xué)結(jié)論是由實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題后，通過數(shù)學(xué)的運(yùn)算演變得到的。反過來，把抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際解釋也是一種數(shù)學(xué)運(yùn)用，值得大家關(guān)注。
不等式的證明 篇2
第二課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；
2.了解作商比較法證明不等式；
3.提高學(xué)生解題時(shí)應(yīng)變能力.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn) 常見解題技巧
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（一）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（復(fù)習(xí)提問），請(qǐng)三位同學(xué)回答問題，教師點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）思考問題，回答.
［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2.比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？
3.用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對(duì)式子的變形還有其它方法嗎？
[點(diǎn)評(píng)]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對(duì)差式的變形.在我們所學(xué)的知識(shí)中，對(duì)式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，積累對(duì)差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)知識(shí)，銜接新知識(shí)，引入本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）提出問題，引導(dǎo)學(xué)生研究解決問題，并點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）嘗試解決問題.
[問題]
1.化簡(jiǎn)
2.比較 與 （ ）的大小.
（學(xué)生解答問題）
［點(diǎn)評(píng)］
①問題1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化.
②通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來比較兩個(gè)式子的大小.
設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生研究問題，建立新知，形成新的知識(shí)體系.
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究問題，井點(diǎn)評(píng)解題過程.
（學(xué)生活動(dòng)）分析，研究問題.
［字幕］例題3 已知a，b是正數(shù)，且 ，求證
［分析］依題目特點(diǎn)，作差后重新組項(xiàng)，采用因式分解來變形.
證明：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］因式分解也是對(duì)差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個(gè)因式的積的形式，在確定符號(hào)中，表達(dá)過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個(gè)好的示范.
[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關(guān)系.并說明理由.
［分析］作差通分，對(duì)分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號(hào).
解：
因?yàn)?，所以 ，
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
綜上所述： 時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
［點(diǎn)評(píng)］解這道題在判斷符號(hào)時(shí)用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時(shí)要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一條路線走到同一地點(diǎn).甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn).
[分析]設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時(shí)間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了.
解：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］此題是一個(gè)實(shí)際問題，學(xué)習(xí)了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實(shí)際問題.要培養(yǎng)自己學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的良好品質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號(hào)的方法.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
［字幕］練習(xí)：1.設(shè) ，比較 與 的大小.
2.已知 ， ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用.靈活掌握因式分解法對(duì)差式的變形和分類討論確定符號(hào).反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對(duì)差式變形、確定符號(hào)的常用方法和利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.
1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個(gè)式子大小的一種重要方法.
2.對(duì)差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.會(huì)用分類討論的方法確定差式的符號(hào).
4.利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟.②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識(shí)體系.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)及數(shù)學(xué)思想與方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了對(duì)差式變形的一種常用方法——因式分解法；對(duì)符號(hào)確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實(shí)際問題.
通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡(jiǎn)化是比較法證明不等式中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對(duì)差式變形以及判斷符號(hào)的重要方法，并在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識(shí)，領(lǐng)會(huì)化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學(xué)思想方法.
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3.研究性題：對(duì)于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時(shí)間和船在靜水中來回行駛一次的時(shí)間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設(shè)計(jì)意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.教學(xué)評(píng)價(jià)、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，解決問題，反饋學(xué)習(xí)信息，調(diào)節(jié)教學(xué)活動(dòng).
2.教學(xué)措施的設(shè)計(jì)：由于對(duì)差式變形，確定符號(hào)是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)差式變形的方法和符號(hào)的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類討論確定符號(hào)，例5使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)會(huì)應(yīng)用.例題設(shè)計(jì)目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會(huì)應(yīng)用.
作業(yè) 答案
思考題：證明：
因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)， ，故
又因?yàn)?，所以
當(dāng) 時(shí)， ，故 ，即 ，所以
當(dāng) 時(shí)， .故 ，即 ，所以
綜上所述，
研究性題：設(shè)兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則
所以船在流水中來回行駛一次的時(shí)間比在靜水中來回行駛一次的時(shí)間長(zhǎng).
第三課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握綜合法證明不等式；
2.熟練掌握已學(xué)的重要不等式；
3.增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力.
教學(xué)重點(diǎn) 綜合法
教學(xué)難點(diǎn) 不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（－）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）打出字幕（課前練習(xí)），引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，盡量用多種方法完成練習(xí)，投影學(xué)生不同解法，并點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）完成練習(xí).
［字幕］
1.證明 （ ）.
2.比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論.
1.證法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
證法一：由 ，所以
證法二：由 知 ，所以
［點(diǎn)評(píng)］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們?cè)?.1節(jié)和6.2節(jié)已學(xué)過，這種方法是綜合法，是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，復(fù)習(xí)比較法證明不等式，導(dǎo)入 新課：綜合法證明不等式.提出學(xué)習(xí)任務(wù).
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點(diǎn)評(píng)證法的數(shù)學(xué)原理，
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式.
[問題]證明
（證明：因?yàn)?，所以 ，即 .）
[點(diǎn)評(píng)]
①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法證題方法：由已知推出結(jié)論.這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識(shí)，構(gòu)建用綜合法證明不等式的方法原理.
【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用綜合法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用綜合法證明不等式必須注意的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師誘導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 已知 ，求證
［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數(shù)，可用平均值定理作為已知不等式推證.
證明：因?yàn)?，則 ，所以 .故
［點(diǎn)評(píng)］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結(jié)構(gòu)特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證
[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發(fā)可證.
證明一（見課本）
證明二：
因?yàn)閍，b，c是不全相等的正數(shù).所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號(hào).
所以
即
[點(diǎn)評(píng)]
①綜合法的思維特點(diǎn)是：由已知推出結(jié)論.用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同號(hào)）， （ ）。
②此例中條件a，b，c是不全相等的正數(shù)，所以最后所證不等式取不到等號(hào).
③由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出
的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來證明.
我們?cè)谧C明不等式時(shí)，選擇方法要適當(dāng)，不要對(duì)某種方法抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識(shí)，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內(nèi)在聯(lián)系.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正，點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí).甲、乙兩位同學(xué)板演.
［字幕］練習(xí)1 已知，求證
2.已知 ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用重要不等式作為證明中的已知不等式.反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納，小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程.小結(jié)用綜合法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.
1.綜合法是證明不等式的基本方法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： … （A為已經(jīng)證明過的不等式，B為要證的不等式）.即綜合法是“由因?qū)Ч?
2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證明過的木等式時(shí)，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結(jié)論無誤.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據(jù)是：l。已知條件和不等式性質(zhì)；2.基本不等式.能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據(jù)是基本不等式時(shí)，要注意定理的使用條件和定理中“=”號(hào)成立的條件.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 5.6.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以 千米/小時(shí)的速度直達(dá)災(zāi)區(qū).已知某市到災(zāi)區(qū)的公路線長(zhǎng)400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米.
那么，這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最短時(shí)間是多少？
設(shè)計(jì)意圖：課本作業(yè) 鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，思考題供學(xué)有余力的同學(xué)完成.研究性題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.在導(dǎo)入 新課時(shí)設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)題，尤其是稍放開一點(diǎn)的第2題，如果學(xué)生能自覺不自覺地用已學(xué)過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會(huì)很自然，即使學(xué)生沒有想到，教師引導(dǎo)起來也并不困難.因而順著學(xué)生的思路，幫助學(xué)生形成用綜合法證明不等式的知識(shí)結(jié)構(gòu).
2.例1與例2的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發(fā)現(xiàn)綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系.在教學(xué)設(shè)計(jì)上，力圖從學(xué)生的需要出發(fā)設(shè)計(jì)問題，幫助學(xué)生抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的方法能用、會(huì)用.
作業(yè) 答案
思考題：證明：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以 .同理 ； 將上述三個(gè)不等式相加得
所以
研究性題：設(shè)最后一輛車到達(dá)時(shí)用的時(shí)間為 小時(shí)，則
所以最短時(shí)間為12小時(shí).
不等式的證明 篇3
教學(xué)目標(biāo)
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡(jiǎn)單的不等式；
（3）能靈活根據(jù)題目選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學(xué)生對(duì)不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.
教學(xué)建議
（一）教材分析
1.知識(shí)結(jié)構(gòu)
2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；
難點(diǎn)：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對(duì)于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立.
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于 ，因此，證明 ，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 .這種證法就是求差比較法.
由于當(dāng) 時(shí)， ，因此，證明 可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 .這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時(shí)，一定要注意 的前提條件.
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號(hào)”.
其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.
變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差值是多少.
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時(shí)把差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)數(shù)的平方和的形式.或者變形為一個(gè)分式，或者變形為幾個(gè)因式的積的形式等. 總之.能夠判斷出差的符號(hào)是正或負(fù)即可.
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式的證明.
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式.
③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
④利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換是證明不等式的關(guān)鍵.
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.
有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要這個(gè)推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù).
②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法.
③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
④分析法是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，一是難在初學(xué)時(shí)不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是證明不等式時(shí)一種常用的基本方法.當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決.特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效.
（5）關(guān)于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件.即推理方向是：結(jié)論 已知.
綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題.即：已知 結(jié)論.
③分析法的特點(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件.
綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件.
④各有其優(yōu)缺點(diǎn)：
從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч?jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論.
從書寫表達(dá)過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長(zhǎng)；綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰.
也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá).
⑤一般來說，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的.
（二）教法建議
①選擇例題和習(xí)題要注意層次性.
不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的.教師在教學(xué)中要注意例題安排要由易到難，由簡(jiǎn)單到綜合，層層深入，啟發(fā)學(xué)生理解各種證法的意義和邏輯關(guān)系.教師選擇的訓(xùn)練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當(dāng).
要堅(jiān)持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生溝通知識(shí)，有效地提高解題能力.
②在教學(xué)過程 中，應(yīng)通過精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生在課堂活動(dòng)中積極參與.
通過學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，理解不等式證明方法的實(shí)質(zhì)和幾種證明方法的意義，通過訓(xùn)練積累經(jīng)驗(yàn)，能夠總結(jié)出比較法的實(shí)質(zhì)是把實(shí)數(shù)的大小順序通過實(shí)數(shù)運(yùn)算變成一個(gè)數(shù)與0(或1)比較大小；復(fù)雜的習(xí)題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié)論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏，最終達(dá)到結(jié)合點(diǎn)，從而解決問題.
③學(xué)生素質(zhì)較好的，教師可在教學(xué)中適當(dāng)增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過多過難.
第一課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握證明不等式的方法——比較法；
2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的意義和基本步驟.
教學(xué)難點(diǎn) 常見的變形技巧.
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式.
教學(xué)過程
（－）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過的知識(shí)，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小？.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生思考問題，找學(xué)生甲口答問題.
（學(xué)生甲回答： ， ， ，）
［點(diǎn)評(píng)］（待學(xué)生回答問題后）要比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號(hào)就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入 本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí).
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目
[問題] 求證
教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題.
（得出證明過程后）
［點(diǎn)評(píng)］
①通過確定差的符號(hào)，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過.
②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個(gè)一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個(gè)一般式子與0的大小比較，使問題簡(jiǎn)化.
③理論依據(jù)是：
④由 ， ，知：要證明 只要證 ；要證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想.
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)解題過程中的一些常用技巧，并點(diǎn)評(píng).
例1 求證
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題.與教師一道完成問題的論證.
［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關(guān)于 的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證.
證明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［點(diǎn)評(píng)］
①作差后是通過配方法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號(hào).
②作差后，式于符號(hào)不易確定，配方后變形為一個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)和的形式，使差式的符號(hào)易于確定.
③不等式兩邊的差的符號(hào)是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷.
變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.
例2 已知都是正數(shù)，并且 ，求證：
［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號(hào)，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號(hào)推出差值的符合，從而得證.
證明：
＝
＝ .
因?yàn)? 都是正數(shù)，且 ，所以
.
∴ .
即：
[點(diǎn)評(píng)]
①作差后是通過通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號(hào)推出差的符號(hào).
②本例題介紹了對(duì)差變形，確定差值的符號(hào)的一種常用方法——通分法.
③例2的結(jié)論反映了分式的一個(gè)性質(zhì)（若都是正數(shù).
1.當(dāng) 時(shí)，
2.當(dāng) 時(shí)， .以后要記住.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識(shí)，學(xué)會(huì)在用比較法證明不等式中，對(duì)差式變形的常用方法——配方法、通分法.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考.完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定和鼓勵(lì)，對(duì)偏差點(diǎn)撥和糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
[字幕]
練習(xí)：1.求證
2.已知 ， ， ，d都是正數(shù)，且 ，求證
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
設(shè)計(jì)意圖，掌握用比較法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用配方法和通分法變形差式，確定差式符號(hào).反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教學(xué)活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)用比較法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.
比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號(hào).要靈活掌握配方法和通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.掌握求差后對(duì)差式變形的常用方法：配方法和通分法.并在下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)差式變形的常用方法.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P16.1，2，3.
2.思考題：已知 ，求證：
3.研究性題：設(shè) ， ， 都是正數(shù)，且 ，求證：
設(shè)計(jì)意圖，課本作業(yè) 供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成，培養(yǎng)其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導(dǎo)入 新課時(shí)，教師提出問題，讓學(xué)生回憶所學(xué)知識(shí)中，是如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的，從而引入用比較法證明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.
2.在建立新知過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析研究證明不等式，使學(xué)生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認(rèn)識(shí).
3.例1，例2兩道題主要目的在于讓學(xué)生歸綱、總結(jié)，求差后對(duì)差式變形、并判斷符號(hào)的方法，以及求差比較法的步驟.在這里如何對(duì)差式變形是難點(diǎn)，應(yīng)著重解決.首先讓學(xué)生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時(shí)常用方法，有利于難點(diǎn)的突破.
4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識(shí)必須通過學(xué)生自己一系列思維活動(dòng)完成.教師通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì).
作業(yè) 答實(shí)
思考題： ，又 ，獲證.
研究性題：
.
所以 ，
不等式的證明 篇4
第二課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；
2.了解作商比較法證明不等式；
3.提高學(xué)生解題時(shí)應(yīng)變能力.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn) 常見解題技巧
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（一）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（復(fù)習(xí)提問），請(qǐng)三位同學(xué)回答問題，教師點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）思考問題，回答.
［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2.比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？
3.用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對(duì)式子的變形還有其它方法嗎？
[點(diǎn)評(píng)]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對(duì)差式的變形.在我們所學(xué)的知識(shí)中，對(duì)式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，積累對(duì)差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)知識(shí)，銜接新知識(shí)，引入本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）提出問題，引導(dǎo)學(xué)生研究解決問題，并點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）嘗試解決問題.
[問題]
1.化簡(jiǎn)
2.比較 與 （ ）的大小.
（學(xué)生解答問題）
［點(diǎn)評(píng)］
①問題1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化.
②通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來比較兩個(gè)式子的大小.
設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生研究問題，建立新知，形成新的知識(shí)體系.
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究問題，井點(diǎn)評(píng)解題過程.
（學(xué)生活動(dòng)）分析，研究問題.
［字幕］例題3 已知a，b是正數(shù)，且 ，求證
［分析］依題目特點(diǎn)，作差后重新組項(xiàng)，采用因式分解來變形.
證明：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］因式分解也是對(duì)差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個(gè)因式的積的形式，在確定符號(hào)中，表達(dá)過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個(gè)好的示范.
[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關(guān)系.并說明理由.
［分析］作差通分，對(duì)分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號(hào).
解：
因?yàn)?，所以 ，
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
綜上所述： 時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
［點(diǎn)評(píng)］解這道題在判斷符號(hào)時(shí)用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時(shí)要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一條路線走到同一地點(diǎn).甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn).
[分析]設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時(shí)間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了.
解：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］此題是一個(gè)實(shí)際問題，學(xué)習(xí)了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實(shí)際問題.要培養(yǎng)自己學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的良好品質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號(hào)的方法.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
［字幕］練習(xí)：1.設(shè) ，比較 與 的大小.
2.已知 ， ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用.靈活掌握因式分解法對(duì)差式的變形和分類討論確定符號(hào).反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對(duì)差式變形、確定符號(hào)的常用方法和利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.
1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個(gè)式子大小的一種重要方法.
2.對(duì)差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.會(huì)用分類討論的方法確定差式的符號(hào).
4.利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟.②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識(shí)體系.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)及數(shù)學(xué)思想與方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了對(duì)差式變形的一種常用方法——因式分解法；對(duì)符號(hào)確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實(shí)際問題.
通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡(jiǎn)化是比較法證明不等式中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對(duì)差式變形以及判斷符號(hào)的重要方法，并在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識(shí)，領(lǐng)會(huì)化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學(xué)思想方法.
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3.研究性題：對(duì)于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時(shí)間和船在靜水中來回行駛一次的時(shí)間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設(shè)計(jì)意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.教學(xué)評(píng)價(jià)、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，解決問題，反饋學(xué)習(xí)信息，調(diào)節(jié)教學(xué)活動(dòng).
2.教學(xué)措施的設(shè)計(jì)：由于對(duì)差式變形，確定符號(hào)是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)差式變形的方法和符號(hào)的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類討論確定符號(hào)，例5使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)會(huì)應(yīng)用.例題設(shè)計(jì)目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會(huì)應(yīng)用.
作業(yè) 答案
思考題：證明：
因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)， ，故
又因?yàn)?，所以
當(dāng) 時(shí)， ，故 ，即 ，所以
當(dāng) 時(shí)， .故 ，即 ，所以
綜上所述，
研究性題：設(shè)兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則
所以船在流水中來回行駛一次的時(shí)間比在靜水中來回行駛一次的時(shí)間長(zhǎng).
第三課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握綜合法證明不等式；
2.熟練掌握已學(xué)的重要不等式；
3.增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力.
教學(xué)重點(diǎn) 綜合法
教學(xué)難點(diǎn) 不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（－）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）打出字幕（課前練習(xí)），引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，盡量用多種方法完成練習(xí)，投影學(xué)生不同解法，并點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）完成練習(xí).
［字幕］
1.證明 （ ）.
2.比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論.
1.證法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
證法一：由 ，所以
證法二：由 知 ，所以
［點(diǎn)評(píng)］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們?cè)?.1節(jié)和6.2節(jié)已學(xué)過，這種方法是綜合法，是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，復(fù)習(xí)比較法證明不等式，導(dǎo)入 新課：綜合法證明不等式.提出學(xué)習(xí)任務(wù).
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點(diǎn)評(píng)證法的數(shù)學(xué)原理，
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式.
[問題]證明
（證明：因?yàn)?，所以 ，即 .）
[點(diǎn)評(píng)]
①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法證題方法：由已知推出結(jié)論.這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識(shí)，構(gòu)建用綜合法證明不等式的方法原理.
【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用綜合法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用綜合法證明不等式必須注意的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師誘導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 已知 ，求證
［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數(shù)，可用平均值定理作為已知不等式推證.
證明：因?yàn)?，則 ，所以 .故
［點(diǎn)評(píng)］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結(jié)構(gòu)特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證
[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發(fā)可證.
證明一（見課本）
證明二：
因?yàn)閍，b，c是不全相等的正數(shù).所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號(hào).
所以
即
[點(diǎn)評(píng)]
①綜合法的思維特點(diǎn)是：由已知推出結(jié)論.用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同號(hào)）， （ ）。
②此例中條件a，b，c是不全相等的正數(shù)，所以最后所證不等式取不到等號(hào).
③由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出
的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來證明.
我們?cè)谧C明不等式時(shí)，選擇方法要適當(dāng)，不要對(duì)某種方法抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識(shí)，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內(nèi)在聯(lián)系.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正，點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí).甲、乙兩位同學(xué)板演.
［字幕］練習(xí)1 已知，求證
2.已知 ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用重要不等式作為證明中的已知不等式.反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納，小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程.小結(jié)用綜合法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.
1.綜合法是證明不等式的基本方法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： … （A為已經(jīng)證明過的不等式，B為要證的不等式）.即綜合法是“由因?qū)Ч?
2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證明過的木等式時(shí)，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結(jié)論無誤.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據(jù)是：l。已知條件和不等式性質(zhì)；2.基本不等式.能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據(jù)是基本不等式時(shí)，要注意定理的使用條件和定理中“=”號(hào)成立的條件.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 5.6.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以 千米/小時(shí)的速度直達(dá)災(zāi)區(qū).已知某市到災(zāi)區(qū)的公路線長(zhǎng)400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米.
那么，這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最短時(shí)間是多少？
設(shè)計(jì)意圖：課本作業(yè) 鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，思考題供學(xué)有余力的同學(xué)完成.研究性題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.在導(dǎo)入 新課時(shí)設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)題，尤其是稍放開一點(diǎn)的第2題，如果學(xué)生能自覺不自覺地用已學(xué)過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會(huì)很自然，即使學(xué)生沒有想到，教師引導(dǎo)起來也并不困難.因而順著學(xué)生的思路，幫助學(xué)生形成用綜合法證明不等式的知識(shí)結(jié)構(gòu).
2.例1與例2的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發(fā)現(xiàn)綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系.在教學(xué)設(shè)計(jì)上，力圖從學(xué)生的需要出發(fā)設(shè)計(jì)問題，幫助學(xué)生抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的方法能用、會(huì)用.
作業(yè) 答案
思考題：證明：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以 .同理 ； 將上述三個(gè)不等式相加得
所以
研究性題：設(shè)最后一輛車到達(dá)時(shí)用的時(shí)間為 小時(shí)，則
所以最短時(shí)間為12小時(shí).
不等式的證明 篇5
教學(xué)目標(biāo)
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡(jiǎn)單的不等式；
（3）能靈活根據(jù)題目選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學(xué)生對(duì)不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.
教學(xué)建議
（一）教材分析
1.知識(shí)結(jié)構(gòu)
2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；
難點(diǎn)：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對(duì)于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立.
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于 ，因此，證明 ，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 .這種證法就是求差比較法.
由于當(dāng) 時(shí)， ，因此，證明 可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 .這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時(shí)，一定要注意 的前提條件.
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號(hào)”.
其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.
變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差值是多少.
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時(shí)把差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)數(shù)的平方和的形式.或者變形為一個(gè)分式，或者變形為幾個(gè)因式的積的形式等. 總之.能夠判斷出差的符號(hào)是正或負(fù)即可.
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式的證明.
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式.
③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
④利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換是證明不等式的關(guān)鍵.
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.
有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要這個(gè)推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù).
②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法.
③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
④分析法是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，一是難在初學(xué)時(shí)不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是證明不等式時(shí)一種常用的基本方法.當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決.特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效.
（5）關(guān)于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件.即推理方向是：結(jié)論 已知.
綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題.即：已知 結(jié)論.
③分析法的特點(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件.
綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件.
④各有其優(yōu)缺點(diǎn)：
從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч?jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論.
從書寫表達(dá)過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長(zhǎng)；綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰.
也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá).
⑤一般來說，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的.
（二）教法建議
①選擇例題和習(xí)題要注意層次性.
不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的.教師在教學(xué)中要注意例題安排要由易到難，由簡(jiǎn)單到綜合，層層深入，啟發(fā)學(xué)生理解各種證法的意義和邏輯關(guān)系.教師選擇的訓(xùn)練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當(dāng).
要堅(jiān)持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生溝通知識(shí)，有效地提高解題能力.
②在教學(xué)過程中，應(yīng)通過精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生在課堂活動(dòng)中積極參與.
通過學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，理解不等式證明方法的實(shí)質(zhì)和幾種證明方法的意義，通過訓(xùn)練積累經(jīng)驗(yàn)，能夠總結(jié)出比較法的實(shí)質(zhì)是把實(shí)數(shù)的大小順序通過實(shí)數(shù)運(yùn)算變成一個(gè)數(shù)與0(或1)比較大小；復(fù)雜的習(xí)題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié)論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏，最終達(dá)到結(jié)合點(diǎn)，從而解決問題.
③學(xué)生素質(zhì)較好的，教師可在教學(xué)中適當(dāng)增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過多過難.
第一課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握證明不等式的方法——比較法；
2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的意義和基本步驟.
教學(xué)難點(diǎn) 常見的變形技巧.
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式.
教學(xué)過程
（－）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過的知識(shí)，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小？.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生思考問題，找學(xué)生甲口答問題.
（學(xué)生甲回答： ， ， ，）
［點(diǎn)評(píng)］（待學(xué)生回答問題后）要比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號(hào)就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入 本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí).
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目
[問題] 求證
教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題.
（得出證明過程后）
［點(diǎn)評(píng)］
①通過確定差的符號(hào)，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過.
②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個(gè)一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個(gè)一般式子與0的大小比較，使問題簡(jiǎn)化.
③理論依據(jù)是：
④由 ， ，知：要證明 只要證 ；要證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想.
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)解題過程中的一些常用技巧，并點(diǎn)評(píng).
例1 求證
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題.與教師一道完成問題的論證.
［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關(guān)于 的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證.
證明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［點(diǎn)評(píng)］
①作差后是通過配方法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號(hào).
②作差后，式于符號(hào)不易確定，配方后變形為一個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)和的形式，使差式的符號(hào)易于確定.
③不等式兩邊的差的符號(hào)是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷.
變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.
例2 已知都是正數(shù)，并且 ，求證：
［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號(hào)，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號(hào)推出差值的符合，從而得證.
證明：
＝
＝ .
因?yàn)?都是正數(shù)，且 ，所以
.
∴ .
即：
[點(diǎn)評(píng)]
①作差后是通過通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號(hào)推出差的符號(hào).
②本例題介紹了對(duì)差變形，確定差值的符號(hào)的一種常用方法——通分法.
③例2的結(jié)論反映了分式的一個(gè)性質(zhì)（若都是正數(shù).
1.當(dāng) 時(shí)，
2.當(dāng) 時(shí)， .以后要記住.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識(shí)，學(xué)會(huì)在用比較法證明不等式中，對(duì)差式變形的常用方法——配方法、通分法.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考.完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定和鼓勵(lì)，對(duì)偏差點(diǎn)撥和糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
[字幕]
練習(xí)：1.求證
2.已知 ， ， ，d都是正數(shù)，且 ，求證
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
設(shè)計(jì)意圖，掌握用比較法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用配方法和通分法變形差式，確定差式符號(hào).反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教學(xué)活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)用比較法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.
比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號(hào).要靈活掌握配方法和通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.掌握求差后對(duì)差式變形的常用方法：配方法和通分法.并在下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)差式變形的常用方法.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P16.1，2，3.
2.思考題：已知 ，求證：
3.研究性題：設(shè) ， ， 都是正數(shù)，且 ，求證：
設(shè)計(jì)意圖，課本作業(yè) 供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成，培養(yǎng)其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導(dǎo)入 新課時(shí)，教師提出問題，讓學(xué)生回憶所學(xué)知識(shí)中，是如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的，從而引入用比較法證明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.
2.在建立新知過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析研究證明不等式，使學(xué)生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認(rèn)識(shí).
3.例1，例2兩道題主要目的在于讓學(xué)生歸綱、總結(jié)，求差后對(duì)差式變形、并判斷符號(hào)的方法，以及求差比較法的步驟.在這里如何對(duì)差式變形是難點(diǎn)，應(yīng)著重解決.首先讓學(xué)生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時(shí)常用方法，有利于難點(diǎn)的突破.
4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識(shí)必須通過學(xué)生自己一系列思維活動(dòng)完成.教師通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì).
作業(yè) 答實(shí)
思考題： ，又 ，獲證.
研究性題：
.
所以 ，
不等式的證明 篇6
教學(xué)目標(biāo)
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡(jiǎn)單的不等式；
（3）能靈活根據(jù)題目選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學(xué)生對(duì)不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.
教學(xué)建議
（一）教材分析
1.知識(shí)結(jié)構(gòu)
2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；
難點(diǎn)：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對(duì)于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立.
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于 ，因此，證明 ，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 .這種證法就是求差比較法.
由于當(dāng) 時(shí)， ，因此，證明 可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 .這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時(shí)，一定要注意 的前提條件.
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號(hào)”.
其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.
變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差值是多少.
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時(shí)把差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)數(shù)的平方和的形式.或者變形為一個(gè)分式，或者變形為幾個(gè)因式的積的形式等. 總之.能夠判斷出差的符號(hào)是正或負(fù)即可.
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式的證明.
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式.
③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
④利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換是證明不等式的關(guān)鍵.
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.
有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要這個(gè)推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù).
②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法.
③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
④分析法是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，一是難在初學(xué)時(shí)不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是證明不等式時(shí)一種常用的基本方法.當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決.特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效.
（5）關(guān)于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件.即推理方向是：結(jié)論 已知.
綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題.即：已知 結(jié)論.
③分析法的特點(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件.
綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件.
④各有其優(yōu)缺點(diǎn)：
從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч?jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論.
從書寫表達(dá)過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長(zhǎng)；綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰.
也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá).
⑤一般來說，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的.
（二）教法建議
①選擇例題和習(xí)題要注意層次性.
不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的.教師在教學(xué)中要注意例題安排要由易到難，由簡(jiǎn)單到綜合，層層深入，啟發(fā)學(xué)生理解各種證法的意義和邏輯關(guān)系.教師選擇的訓(xùn)練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當(dāng).
要堅(jiān)持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生溝通知識(shí)，有效地提高解題能力.
②在教學(xué)過程中，應(yīng)通過精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生在課堂活動(dòng)中積極參與.
通過學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，理解不等式證明方法的實(shí)質(zhì)和幾種證明方法的意義，通過訓(xùn)練積累經(jīng)驗(yàn)，能夠總結(jié)出比較法的實(shí)質(zhì)是把實(shí)數(shù)的大小順序通過實(shí)數(shù)運(yùn)算變成一個(gè)數(shù)與0(或1)比較大小；復(fù)雜的習(xí)題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié)論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏，最終達(dá)到結(jié)合點(diǎn)，從而解決問題.
③學(xué)生素質(zhì)較好的，教師可在教學(xué)中適當(dāng)增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過多過難.
第一課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握證明不等式的方法——比較法；
2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的意義和基本步驟.
教學(xué)難點(diǎn) 常見的變形技巧.
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式.
教學(xué)過程
（－）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過的知識(shí)，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小？.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生思考問題，找學(xué)生甲口答問題.
（學(xué)生甲回答： ， ， ，）
［點(diǎn)評(píng)］（待學(xué)生回答問題后）要比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號(hào)就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入 本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí).
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目
[問題] 求證
教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題.
（得出證明過程后）
［點(diǎn)評(píng)］
①通過確定差的符號(hào)，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過.
②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個(gè)一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個(gè)一般式子與0的大小比較，使問題簡(jiǎn)化.
③理論依據(jù)是：
④由 ， ，知：要證明 只要證 ；要證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想.
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)解題過程中的一些常用技巧，并點(diǎn)評(píng).
例1 求證
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題.與教師一道完成問題的論證.
［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關(guān)于 的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證.
證明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［點(diǎn)評(píng)］
①作差后是通過配方法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號(hào).
②作差后，式于符號(hào)不易確定，配方后變形為一個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)和的形式，使差式的符號(hào)易于確定.
③不等式兩邊的差的符號(hào)是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷.
變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.
例2 已知都是正數(shù)，并且 ，求證：
［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號(hào)，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號(hào)推出差值的符合，從而得證.
證明：
＝
＝ .
因?yàn)?都是正數(shù)，且 ，所以
.
∴ .
即：
[點(diǎn)評(píng)]
①作差后是通過通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號(hào)推出差的符號(hào).
②本例題介紹了對(duì)差變形，確定差值的符號(hào)的一種常用方法——通分法.
③例2的結(jié)論反映了分式的一個(gè)性質(zhì)（若都是正數(shù).
1.當(dāng) 時(shí)，
2.當(dāng) 時(shí)， .以后要記住.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識(shí)，學(xué)會(huì)在用比較法證明不等式中，對(duì)差式變形的常用方法——配方法、通分法.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考.完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定和鼓勵(lì)，對(duì)偏差點(diǎn)撥和糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
[字幕]
練習(xí)：1.求證
2.已知 ， ， ，d都是正數(shù)，且 ，求證
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
設(shè)計(jì)意圖，掌握用比較法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用配方法和通分法變形差式，確定差式符號(hào).反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教學(xué)活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)用比較法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.
比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號(hào).要靈活掌握配方法和通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.掌握求差后對(duì)差式變形的常用方法：配方法和通分法.并在下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)差式變形的常用方法.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P16.1，2，3.
2.思考題：已知 ，求證：
3.研究性題：設(shè) ， ， 都是正數(shù)，且 ，求證：
設(shè)計(jì)意圖，課本作業(yè) 供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成，培養(yǎng)其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導(dǎo)入 新課時(shí)，教師提出問題，讓學(xué)生回憶所學(xué)知識(shí)中，是如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的，從而引入用比較法證明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.
2.在建立新知過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析研究證明不等式，使學(xué)生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認(rèn)識(shí).
3.例1，例2兩道題主要目的在于讓學(xué)生歸綱、總結(jié)，求差后對(duì)差式變形、并判斷符號(hào)的方法，以及求差比較法的步驟.在這里如何對(duì)差式變形是難點(diǎn)，應(yīng)著重解決.首先讓學(xué)生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時(shí)常用方法，有利于難點(diǎn)的突破.
4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識(shí)必須通過學(xué)生自己一系列思維活動(dòng)完成.教師通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì).
作業(yè) 答實(shí)
思考題： ，又 ，獲證.
研究性題：
.
所以 ，
不等式的證明 篇7
第四課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握分析法證明不等式；
2.理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因；
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學(xué)重點(diǎn) 分析法
教學(xué)難點(diǎn) 分析法實(shí)質(zhì)的理解
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（一）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師提出問題，待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）回答和思考教師提出的問題.
［問題1］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點(diǎn)評(píng)]在證明不等式時(shí)，若用比較法或綜合法難以下手時(shí)，可采用另一種證明方法：分析法.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識(shí)的積極性，導(dǎo)入 本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式.
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動(dòng)）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問題供學(xué)生研究，并點(diǎn)評(píng).幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識(shí)體系.投影分析法證明不等式的概念.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知.
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問題2］當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí)，說明了什么呢？
［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點(diǎn)評(píng)］從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立.就是分析法的邏輯關(guān)系.
[投影]分析法證明不等式的概念.（見課本）
設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)生積極思考、研究.建立新的知識(shí)；分析法證明不等式.培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識(shí).
【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書或投影例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用分析法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用分析法證明不等式必須注意的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應(yīng)考慮用分析法.
證明：（見課本）
[點(diǎn)評(píng)]證明某些含有根式的不等式時(shí)，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思維方法，事實(shí)上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎(chǔ)上，分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此.
例2 已知： ，求證： （用分析法）請(qǐng)思考下列證法有沒有錯(cuò)誤？若有錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處？
［投影］證法一：因?yàn)?，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.
證法二：欲證 ，因?yàn)?
只需證 ，
即證 ，
即證
因?yàn)?成立，所以 成立.
（證法二正確，證法一錯(cuò)誤.錯(cuò)誤的原因是：雖然是從結(jié)論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件，事實(shí)上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯(cuò)誤.）
[點(diǎn)評(píng)]①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
（結(jié)論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結(jié)論）
分析法是“執(zhí)果索因”，它與綜合法的證明過程（由因?qū)Ч┣∏∠喾?②用分析法證明時(shí)要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的書寫格式是：
要證命題B為真，
只需證明 為真，從而有……
這只需證明 為真，從而又有……
……
這只需證明A為真.
而已知A為真，故命題B必為真.
要理解上述格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.
[投影] 例3 證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］設(shè)未知數(shù)，列方程，因?yàn)楫?dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長(zhǎng)為 ，則周長(zhǎng)為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長(zhǎng)為 的正方形邊長(zhǎng)為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：（見課本）
設(shè)計(jì)意圖：理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系，說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.靈活掌握分析法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正.點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
【字幕】練習(xí)1.求證
2.求證：
設(shè)計(jì)意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.
1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的.
2.用分析法證明不等式時(shí)，要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式.應(yīng)用分析法證明不等式時(shí)，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時(shí)，要注意遵循不等式的性質(zhì).另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用.理解分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面.有時(shí)可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成證明過程.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 4、5.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：已知函數(shù) ， ，若 、 ，且 證明
設(shè)計(jì)意圖：思考題供學(xué)有余力同學(xué)練習(xí)，研究性題供學(xué)生研究分析法證明有關(guān)問題.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
教學(xué)過程是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程.本節(jié)課在形成分析法證明不等式認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，教師提出問題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，然后開拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問題解決.一個(gè)問題解決后，及時(shí)地提出新問題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù).總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài).
本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合.在講與練的互相作用下，使學(xué)生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題，先由學(xué)生自己研究，然后教師分析與概括.在教師講解中，又不斷讓學(xué)生練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.
在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，按認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu).
作業(yè) 答案：
思考題：
.因?yàn)?，故 ，所以 成立.
研究性題：令 ， ，則：
， ，
故原不等式等價(jià)于
由已知有 . 。所以上式等價(jià)于 ，即 。所以又等價(jià)于 .因?yàn)?，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實(shí)際解釋
題目：不等式： 是正數(shù)，且 ，則 。可以給出一個(gè)具有實(shí)際背景的解釋：在溶液里加溶質(zhì)則濃度增加，即 個(gè)單位溶液中含有 個(gè)單位的溶質(zhì)，其濃度小于加入 個(gè)單位溶質(zhì)后的溶液濃度，請(qǐng)你仿照此例，給出兩個(gè)不等式的解釋。
分析與解
1.先看問題中的不等式，建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。
設(shè)地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時(shí)增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有
2. 是正數(shù)，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個(gè)不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。
3.電阻串并聯(lián)。電阻值為 、 的電阻，串聯(lián)電阻為 ，并聯(lián)電阻為 ，串聯(lián)電阻變大，并聯(lián)電阻變小，因此有不等式 ，即
說明 許多數(shù)學(xué)結(jié)論是由實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題后，通過數(shù)學(xué)的運(yùn)算演變得到的。反過來，把抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際解釋也是一種數(shù)學(xué)運(yùn)用，值得大家關(guān)注。
不等式的證明 篇8
第四課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握分析法證明不等式；
2.理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因；
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學(xué)重點(diǎn) 分析法
教學(xué)難點(diǎn) 分析法實(shí)質(zhì)的理解
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（一）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師提出問題，待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）回答和思考教師提出的問題.
［問題1］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點(diǎn)評(píng)]在證明不等式時(shí)，若用比較法或綜合法難以下手時(shí)，可采用另一種證明方法：分析法.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識(shí)的積極性，導(dǎo)入 本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式.
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動(dòng)）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問題供學(xué)生研究，并點(diǎn)評(píng).幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識(shí)體系.投影分析法證明不等式的概念.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知.
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問題2］當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí)，說明了什么呢？
［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點(diǎn)評(píng)］從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立.就是分析法的邏輯關(guān)系.
[投影]分析法證明不等式的概念.（見課本）
設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)生積極思考、研究.建立新的知識(shí)；分析法證明不等式.培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識(shí).
【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書或投影例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用分析法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用分析法證明不等式必須注意的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應(yīng)考慮用分析法.
證明：（見課本）
[點(diǎn)評(píng)]證明某些含有根式的不等式時(shí)，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思維方法，事實(shí)上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎(chǔ)上，分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此.
例2 已知： ，求證： （用分析法）請(qǐng)思考下列證法有沒有錯(cuò)誤？若有錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處？
［投影］證法一：因?yàn)? ，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.
證法二：欲證 ，因?yàn)?
只需證 ，
即證 ，
即證
因?yàn)? 成立，所以 成立.
（證法二正確，證法一錯(cuò)誤.錯(cuò)誤的原因是：雖然是從結(jié)論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件，事實(shí)上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯(cuò)誤.）
[點(diǎn)評(píng)]①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
（結(jié)論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結(jié)論）
分析法是“執(zhí)果索因”，它與綜合法的證明過程（由因?qū)Ч┣∏∠喾?②用分析法證明時(shí)要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的書寫格式是：
要證命題B為真，
只需證明 為真，從而有……
這只需證明 為真，從而又有……
……
這只需證明A為真.
而已知A為真，故命題B必為真.
要理解上述格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.
[投影] 例3 證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］設(shè)未知數(shù)，列方程，因?yàn)楫?dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長(zhǎng)為 ，則周長(zhǎng)為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長(zhǎng)為 的正方形邊長(zhǎng)為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：（見課本）
設(shè)計(jì)意圖：理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系，說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.靈活掌握分析法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正.點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
【字幕】練習(xí)1.求證
2.求證：
設(shè)計(jì)意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.
1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的.
2.用分析法證明不等式時(shí)，要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式.應(yīng)用分析法證明不等式時(shí)，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時(shí)，要注意遵循不等式的性質(zhì).另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用.理解分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面.有時(shí)可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成證明過程.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 4、5.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：已知函數(shù) ， ，若 、 ，且 證明
設(shè)計(jì)意圖：思考題供學(xué)有余力同學(xué)練習(xí)，研究性題供學(xué)生研究分析法證明有關(guān)問題.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
教學(xué)過程 是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程.本節(jié)課在形成分析法證明不等式認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，教師提出問題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，然后開拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問題解決.一個(gè)問題解決后，及時(shí)地提出新問題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù).總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài).
本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合.在講與練的互相作用下，使學(xué)生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題，先由學(xué)生自己研究，然后教師分析與概括.在教師講解中，又不斷讓學(xué)生練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.
在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，按認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu).
作業(yè) 答案：
思考題：
.因?yàn)? ，故 ，所以 成立.
研究性題：令 ， ，則：
， ，
故原不等式等價(jià)于
由已知有 . 。所以上式等價(jià)于 ，即 。所以又等價(jià)于 .因?yàn)? ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實(shí)際解釋
題目：不等式： 是正數(shù)，且 ，則 。可以給出一個(gè)具有實(shí)際背景的解釋：在溶液里加溶質(zhì)則濃度增加，即 個(gè)單位溶液中含有 個(gè)單位的溶質(zhì)，其濃度小于加入 個(gè)單位溶質(zhì)后的溶液濃度，請(qǐng)你仿照此例，給出兩個(gè)不等式的解釋。
分析與解
1.先看問題中的不等式，建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。
設(shè)地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時(shí)增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有
2. 是正數(shù)，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個(gè)不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。
3.電阻串并聯(lián)。電阻值為 、 的電阻，串聯(lián)電阻為 ，并聯(lián)電阻為 ，串聯(lián)電阻變大，并聯(lián)電阻變小，因此有不等式 ，即
說明 許多數(shù)學(xué)結(jié)論是由實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題后，通過數(shù)學(xué)的運(yùn)算演變得到的。反過來，把抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際解釋也是一種數(shù)學(xué)運(yùn)用，值得大家關(guān)注。
不等式的證明 篇9
第二課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；
2.了解作商比較法證明不等式；
3.提高學(xué)生解題時(shí)應(yīng)變能力.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn) 常見解題技巧
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（一）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（復(fù)習(xí)提問），請(qǐng)三位同學(xué)回答問題，教師點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）思考問題，回答.
［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2.比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？
3.用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對(duì)式子的變形還有其它方法嗎？
[點(diǎn)評(píng)]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對(duì)差式的變形.在我們所學(xué)的知識(shí)中，對(duì)式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，積累對(duì)差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)知識(shí)，銜接新知識(shí)，引入本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）提出問題，引導(dǎo)學(xué)生研究解決問題，并點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）嘗試解決問題.
[問題]
1.化簡(jiǎn)
2.比較 與 （ ）的大小.
（學(xué)生解答問題）
［點(diǎn)評(píng)］
①問題1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化.
②通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來比較兩個(gè)式子的大小.
設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生研究問題，建立新知，形成新的知識(shí)體系.
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究問題，井點(diǎn)評(píng)解題過程.
（學(xué)生活動(dòng)）分析，研究問題.
［字幕］例題3 已知a，b是正數(shù)，且 ，求證
［分析］依題目特點(diǎn)，作差后重新組項(xiàng)，采用因式分解來變形.
證明：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］因式分解也是對(duì)差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個(gè)因式的積的形式，在確定符號(hào)中，表達(dá)過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個(gè)好的示范.
[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關(guān)系.并說明理由.
［分析］作差通分，對(duì)分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號(hào).
解：
因?yàn)?，所以 ，
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
綜上所述： 時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
［點(diǎn)評(píng)］解這道題在判斷符號(hào)時(shí)用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時(shí)要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一條路線走到同一地點(diǎn).甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn).
[分析]設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時(shí)間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了.
解：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］此題是一個(gè)實(shí)際問題，學(xué)習(xí)了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實(shí)際問題.要培養(yǎng)自己學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的良好品質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號(hào)的方法.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
［字幕］練習(xí)：1.設(shè) ，比較 與 的大小.
2.已知 ， ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用.靈活掌握因式分解法對(duì)差式的變形和分類討論確定符號(hào).反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對(duì)差式變形、確定符號(hào)的常用方法和利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.
1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個(gè)式子大小的一種重要方法.
2.對(duì)差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.會(huì)用分類討論的方法確定差式的符號(hào).
4.利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟.②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識(shí)體系.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)及數(shù)學(xué)思想與方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了對(duì)差式變形的一種常用方法——因式分解法；對(duì)符號(hào)確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實(shí)際問題.
通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡(jiǎn)化是比較法證明不等式中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對(duì)差式變形以及判斷符號(hào)的重要方法，并在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識(shí)，領(lǐng)會(huì)化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學(xué)思想方法.
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3.研究性題：對(duì)于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時(shí)間和船在靜水中來回行駛一次的時(shí)間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設(shè)計(jì)意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.教學(xué)評(píng)價(jià)、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，解決問題，反饋學(xué)習(xí)信息，調(diào)節(jié)教學(xué)活動(dòng).
2.教學(xué)措施的設(shè)計(jì)：由于對(duì)差式變形，確定符號(hào)是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)差式變形的方法和符號(hào)的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類討論確定符號(hào)，例5使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)會(huì)應(yīng)用.例題設(shè)計(jì)目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會(huì)應(yīng)用.
作業(yè) 答案
思考題：證明：
因?yàn)?，所以當(dāng) 時(shí)， ，故
又因?yàn)?，所以
當(dāng) 時(shí)， ，故 ，即 ，所以
當(dāng) 時(shí)， .故 ，即 ，所以
綜上所述，
研究性題：設(shè)兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則
所以船在流水中來回行駛一次的時(shí)間比在靜水中來回行駛一次的時(shí)間長(zhǎng).
第三課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握綜合法證明不等式；
2.熟練掌握已學(xué)的重要不等式；
3.增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力.
教學(xué)重點(diǎn) 綜合法
教學(xué)難點(diǎn) 不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（－）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）打出字幕（課前練習(xí)），引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，盡量用多種方法完成練習(xí)，投影學(xué)生不同解法，并點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）完成練習(xí).
［字幕］
1.證明 （ ）.
2.比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論.
1.證法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
證法一：由 ，所以
證法二：由 知 ，所以
［點(diǎn)評(píng)］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們?cè)?.1節(jié)和6.2節(jié)已學(xué)過，這種方法是綜合法，是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，復(fù)習(xí)比較法證明不等式，導(dǎo)入 新課：綜合法證明不等式.提出學(xué)習(xí)任務(wù).
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點(diǎn)評(píng)證法的數(shù)學(xué)原理，
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式.
[問題]證明
（證明：因?yàn)?，所以 ，即 .）
[點(diǎn)評(píng)]
①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法證題方法：由已知推出結(jié)論.這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識(shí)，構(gòu)建用綜合法證明不等式的方法原理.
【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用綜合法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用綜合法證明不等式必須注意的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師誘導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 已知 ，求證
［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數(shù)，可用平均值定理作為已知不等式推證.
證明：因?yàn)?，則 ，所以 .故
［點(diǎn)評(píng)］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結(jié)構(gòu)特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證
[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發(fā)可證.
證明一（見課本）
證明二：
因?yàn)閍，b，c是不全相等的正數(shù).所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號(hào).
所以
即
[點(diǎn)評(píng)]
①綜合法的思維特點(diǎn)是：由已知推出結(jié)論.用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同號(hào)）， （ ）。
②此例中條件a，b，c是不全相等的正數(shù)，所以最后所證不等式取不到等號(hào).
③由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出
的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來證明.
我們?cè)谧C明不等式時(shí)，選擇方法要適當(dāng)，不要對(duì)某種方法抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識(shí)，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內(nèi)在聯(lián)系.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正，點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí).甲、乙兩位同學(xué)板演.
［字幕］練習(xí)1 已知，求證
2.已知 ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用重要不等式作為證明中的已知不等式.反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納，小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程.小結(jié)用綜合法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.
1.綜合法是證明不等式的基本方法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： … （A為已經(jīng)證明過的不等式，B為要證的不等式）.即綜合法是“由因?qū)Ч?
2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證明過的木等式時(shí)，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結(jié)論無誤.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據(jù)是：l。已知條件和不等式性質(zhì)；2.基本不等式.能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據(jù)是基本不等式時(shí)，要注意定理的使用條件和定理中“=”號(hào)成立的條件.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 5.6.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以 千米/小時(shí)的速度直達(dá)災(zāi)區(qū).已知某市到災(zāi)區(qū)的公路線長(zhǎng)400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米.
那么，這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最短時(shí)間是多少？
設(shè)計(jì)意圖：課本作業(yè) 鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，思考題供學(xué)有余力的同學(xué)完成.研究性題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.在導(dǎo)入 新課時(shí)設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)題，尤其是稍放開一點(diǎn)的第2題，如果學(xué)生能自覺不自覺地用已學(xué)過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會(huì)很自然，即使學(xué)生沒有想到，教師引導(dǎo)起來也并不困難.因而順著學(xué)生的思路，幫助學(xué)生形成用綜合法證明不等式的知識(shí)結(jié)構(gòu).
2.例1與例2的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發(fā)現(xiàn)綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系.在教學(xué)設(shè)計(jì)上，力圖從學(xué)生的需要出發(fā)設(shè)計(jì)問題，幫助學(xué)生抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的方法能用、會(huì)用.
作業(yè) 答案
思考題：證明：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以 .同理 ； 將上述三個(gè)不等式相加得
所以
研究性題：設(shè)最后一輛車到達(dá)時(shí)用的時(shí)間為 小時(shí)，則
所以最短時(shí)間為12小時(shí).
不等式的證明 篇10
教學(xué)目標(biāo)
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡(jiǎn)單的不等式；
（3）能靈活根據(jù)題目選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學(xué)生對(duì)不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.
教學(xué)建議
（一）教材分析
1.知識(shí)結(jié)構(gòu)
2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；
難點(diǎn)：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對(duì)于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立.
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于 ，因此，證明 ，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 .這種證法就是求差比較法.
由于當(dāng) 時(shí)， ，因此，證明 可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 .這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時(shí)，一定要注意 的前提條件.
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號(hào)”.
其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.
變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差值是多少.
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時(shí)把差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)數(shù)的平方和的形式.或者變形為一個(gè)分式，或者變形為幾個(gè)因式的積的形式等. 總之.能夠判斷出差的符號(hào)是正或負(fù)即可.
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式的證明.
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式.
③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
④利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換是證明不等式的關(guān)鍵.
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.
有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要這個(gè)推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù).
②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法.
③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
④分析法是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，一是難在初學(xué)時(shí)不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是證明不等式時(shí)一種常用的基本方法.當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決.特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效.
（5）關(guān)于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件.即推理方向是：結(jié)論 已知.
綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題.即：已知 結(jié)論.
③分析法的特點(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件.
綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件.
④各有其優(yōu)缺點(diǎn)：
從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч?jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論.
從書寫表達(dá)過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長(zhǎng)；綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰.
也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá).
⑤一般來說，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的.
（二）教法建議
①選擇例題和習(xí)題要注意層次性.
不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的.教師在教學(xué)中要注意例題安排要由易到難，由簡(jiǎn)單到綜合，層層深入，啟發(fā)學(xué)生理解各種證法的意義和邏輯關(guān)系.教師選擇的訓(xùn)練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當(dāng).
要堅(jiān)持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生溝通知識(shí)，有效地提高解題能力.
②在教學(xué)過程 中，應(yīng)通過精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生在課堂活動(dòng)中積極參與.
通過學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，理解不等式證明方法的實(shí)質(zhì)和幾種證明方法的意義，通過訓(xùn)練積累經(jīng)驗(yàn)，能夠總結(jié)出比較法的實(shí)質(zhì)是把實(shí)數(shù)的大小順序通過實(shí)數(shù)運(yùn)算變成一個(gè)數(shù)與0(或1)比較大小；復(fù)雜的習(xí)題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié)論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏，最終達(dá)到結(jié)合點(diǎn)，從而解決問題.
③學(xué)生素質(zhì)較好的，教師可在教學(xué)中適當(dāng)增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過多過難.
第一課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握證明不等式的方法——比較法；
2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的意義和基本步驟.
教學(xué)難點(diǎn) 常見的變形技巧.
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式.
教學(xué)過程
（－）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過的知識(shí)，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小？.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生思考問題，找學(xué)生甲口答問題.
（學(xué)生甲回答： ， ， ，）
［點(diǎn)評(píng)］（待學(xué)生回答問題后）要比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號(hào)就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入 本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí).
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目
[問題] 求證
教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題.
（得出證明過程后）
［點(diǎn)評(píng)］
①通過確定差的符號(hào)，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過.
②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個(gè)一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個(gè)一般式子與0的大小比較，使問題簡(jiǎn)化.
③理論依據(jù)是：
④由 ， ，知：要證明 只要證 ；要證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想.
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)解題過程中的一些常用技巧，并點(diǎn)評(píng).
例1 求證
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題.與教師一道完成問題的論證.
［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關(guān)于 的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證.
證明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［點(diǎn)評(píng)］
①作差后是通過配方法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號(hào).
②作差后，式于符號(hào)不易確定，配方后變形為一個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)和的形式，使差式的符號(hào)易于確定.
③不等式兩邊的差的符號(hào)是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷.
變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.
例2 已知都是正數(shù)，并且 ，求證：
［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號(hào)，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號(hào)推出差值的符合，從而得證.
證明：
＝
＝ .
因?yàn)?都是正數(shù)，且 ，所以
.
∴ .
即：
[點(diǎn)評(píng)]
①作差后是通過通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號(hào)推出差的符號(hào).
②本例題介紹了對(duì)差變形，確定差值的符號(hào)的一種常用方法——通分法.
③例2的結(jié)論反映了分式的一個(gè)性質(zhì)（若都是正數(shù).
1.當(dāng) 時(shí)，
2.當(dāng) 時(shí)， .以后要記住.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識(shí)，學(xué)會(huì)在用比較法證明不等式中，對(duì)差式變形的常用方法——配方法、通分法.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考.完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定和鼓勵(lì)，對(duì)偏差點(diǎn)撥和糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
[字幕]
練習(xí)：1.求證
2.已知 ， ， ，d都是正數(shù)，且 ，求證
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
設(shè)計(jì)意圖，掌握用比較法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用配方法和通分法變形差式，確定差式符號(hào).反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教學(xué)活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)用比較法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.
比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號(hào).要靈活掌握配方法和通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.掌握求差后對(duì)差式變形的常用方法：配方法和通分法.并在下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)差式變形的常用方法.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P16.1，2，3.
2.思考題：已知 ，求證：
3.研究性題：設(shè) ， ， 都是正數(shù)，且 ，求證：
設(shè)計(jì)意圖，課本作業(yè) 供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成，培養(yǎng)其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導(dǎo)入 新課時(shí)，教師提出問題，讓學(xué)生回憶所學(xué)知識(shí)中，是如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的，從而引入用比較法證明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.
2.在建立新知過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析研究證明不等式，使學(xué)生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認(rèn)識(shí).
3.例1，例2兩道題主要目的在于讓學(xué)生歸綱、總結(jié)，求差后對(duì)差式變形、并判斷符號(hào)的方法，以及求差比較法的步驟.在這里如何對(duì)差式變形是難點(diǎn)，應(yīng)著重解決.首先讓學(xué)生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時(shí)常用方法，有利于難點(diǎn)的突破.
4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識(shí)必須通過學(xué)生自己一系列思維活動(dòng)完成.教師通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì).
作業(yè) 答實(shí)
思考題： ，又 ，獲證.
研究性題：
.
所以 ，
不等式的證明 篇11
第二課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；
2.了解作商比較法證明不等式；
3.提高學(xué)生解題時(shí)應(yīng)變能力.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn) 常見解題技巧
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（一）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（復(fù)習(xí)提問），請(qǐng)三位同學(xué)回答問題，教師點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）思考問題，回答.
［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2.比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？
3.用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對(duì)式子的變形還有其它方法嗎？
[點(diǎn)評(píng)]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對(duì)差式的變形.在我們所學(xué)的知識(shí)中，對(duì)式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，積累對(duì)差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)知識(shí)，銜接新知識(shí)，引入本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）提出問題，引導(dǎo)學(xué)生研究解決問題，并點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）嘗試解決問題.
[問題]
1.化簡(jiǎn)
2.比較 與 （ ）的大小.
（學(xué)生解答問題）
［點(diǎn)評(píng)］
①問題1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化.
②通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來比較兩個(gè)式子的大小.
設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生研究問題，建立新知，形成新的知識(shí)體系.
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究問題，井點(diǎn)評(píng)解題過程.
（學(xué)生活動(dòng)）分析，研究問題.
［字幕］例題3 已知a，b是正數(shù)，且 ，求證
［分析］依題目特點(diǎn)，作差后重新組項(xiàng)，采用因式分解來變形.
證明：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］因式分解也是對(duì)差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個(gè)因式的積的形式，在確定符號(hào)中，表達(dá)過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個(gè)好的示范.
[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關(guān)系.并說明理由.
［分析］作差通分，對(duì)分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號(hào).
解：
因?yàn)? ，所以 ，
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
綜上所述： 時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
［點(diǎn)評(píng)］解這道題在判斷符號(hào)時(shí)用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時(shí)要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一條路線走到同一地點(diǎn).甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn).
[分析]設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時(shí)間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了.
解：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］此題是一個(gè)實(shí)際問題，學(xué)習(xí)了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實(shí)際問題.要培養(yǎng)自己學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的良好品質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號(hào)的方法.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
［字幕］練習(xí)：1.設(shè) ，比較 與 的大小.
2.已知 ， ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用.靈活掌握因式分解法對(duì)差式的變形和分類討論確定符號(hào).反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對(duì)差式變形、確定符號(hào)的常用方法和利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.
1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個(gè)式子大小的一種重要方法.
2.對(duì)差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.會(huì)用分類討論的方法確定差式的符號(hào).
4.利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟.②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識(shí)體系.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)及數(shù)學(xué)思想與方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了對(duì)差式變形的一種常用方法——因式分解法；對(duì)符號(hào)確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實(shí)際問題.
通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡(jiǎn)化是比較法證明不等式中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對(duì)差式變形以及判斷符號(hào)的重要方法，并在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識(shí)，領(lǐng)會(huì)化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學(xué)思想方法.
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3.研究性題：對(duì)于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時(shí)間和船在靜水中來回行駛一次的時(shí)間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設(shè)計(jì)意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.教學(xué)評(píng)價(jià)、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，解決問題，反饋學(xué)習(xí)信息，調(diào)節(jié)教學(xué)活動(dòng).
2.教學(xué)措施的設(shè)計(jì)：由于對(duì)差式變形，確定符號(hào)是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)差式變形的方法和符號(hào)的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類討論確定符號(hào)，例5使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)會(huì)應(yīng)用.例題設(shè)計(jì)目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會(huì)應(yīng)用.
作業(yè) 答案
思考題：證明：
因?yàn)? ，所以當(dāng) 時(shí)， ，故
又因?yàn)? ，所以
當(dāng) 時(shí)， ，故 ，即 ，所以
當(dāng) 時(shí)， .故 ，即 ，所以
綜上所述，
研究性題：設(shè)兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則
所以船在流水中來回行駛一次的時(shí)間比在靜水中來回行駛一次的時(shí)間長(zhǎng).
第三課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握綜合法證明不等式；
2.熟練掌握已學(xué)的重要不等式；
3.增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力.
教學(xué)重點(diǎn) 綜合法
教學(xué)難點(diǎn) 不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（－）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）打出字幕（課前練習(xí)），引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，盡量用多種方法完成練習(xí)，投影學(xué)生不同解法，并點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）完成練習(xí).
［字幕］
1.證明 （ ）.
2.比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論.
1.證法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
證法一：由 ，所以
證法二：由 知 ，所以
［點(diǎn)評(píng)］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們?cè)?.1節(jié)和6.2節(jié)已學(xué)過，這種方法是綜合法，是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，復(fù)習(xí)比較法證明不等式，導(dǎo)入 新課：綜合法證明不等式.提出學(xué)習(xí)任務(wù).
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點(diǎn)評(píng)證法的數(shù)學(xué)原理，
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式.
[問題]證明
（證明：因?yàn)? ，所以 ，即 .）
[點(diǎn)評(píng)]
①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法證題方法：由已知推出結(jié)論.這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識(shí)，構(gòu)建用綜合法證明不等式的方法原理.
【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用綜合法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用綜合法證明不等式必須注意的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師誘導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 已知 ，求證
［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數(shù)，可用平均值定理作為已知不等式推證.
證明：因?yàn)? ，則 ，所以 .故
［點(diǎn)評(píng)］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結(jié)構(gòu)特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證
[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發(fā)可證.
證明一（見課本）
證明二：
因?yàn)閍，b，c是不全相等的正數(shù).所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號(hào).
所以
即
[點(diǎn)評(píng)]
①綜合法的思維特點(diǎn)是：由已知推出結(jié)論.用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同號(hào)）， （ ）。
②此例中條件a，b，c是不全相等的正數(shù)，所以最后所證不等式取不到等號(hào).
③由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出
的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來證明.
我們?cè)谧C明不等式時(shí)，選擇方法要適當(dāng)，不要對(duì)某種方法抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識(shí)，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內(nèi)在聯(lián)系.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正，點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí).甲、乙兩位同學(xué)板演.
［字幕］練習(xí)1 已知，求證
2.已知 ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用重要不等式作為證明中的已知不等式.反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納，小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程.小結(jié)用綜合法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.
1.綜合法是證明不等式的基本方法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： … （A為已經(jīng)證明過的不等式，B為要證的不等式）.即綜合法是“由因?qū)Ч?
2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證明過的木等式時(shí)，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結(jié)論無誤.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據(jù)是：l。已知條件和不等式性質(zhì)；2.基本不等式.能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據(jù)是基本不等式時(shí)，要注意定理的使用條件和定理中“=”號(hào)成立的條件.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 5.6.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以 千米/小時(shí)的速度直達(dá)災(zāi)區(qū).已知某市到災(zāi)區(qū)的公路線長(zhǎng)400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米.
那么，這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最短時(shí)間是多少？
設(shè)計(jì)意圖：課本作業(yè) 鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，思考題供學(xué)有余力的同學(xué)完成.研究性題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.在導(dǎo)入 新課時(shí)設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)題，尤其是稍放開一點(diǎn)的第2題，如果學(xué)生能自覺不自覺地用已學(xué)過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會(huì)很自然，即使學(xué)生沒有想到，教師引導(dǎo)起來也并不困難.因而順著學(xué)生的思路，幫助學(xué)生形成用綜合法證明不等式的知識(shí)結(jié)構(gòu).
2.例1與例2的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發(fā)現(xiàn)綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系.在教學(xué)設(shè)計(jì)上，力圖從學(xué)生的需要出發(fā)設(shè)計(jì)問題，幫助學(xué)生抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的方法能用、會(huì)用.
作業(yè) 答案
思考題：證明：因?yàn)? ，又因?yàn)? ，所以 .同理 ； 將上述三個(gè)不等式相加得
所以
研究性題：設(shè)最后一輛車到達(dá)時(shí)用的時(shí)間為 小時(shí)，則
所以最短時(shí)間為12小時(shí).
不等式的證明 篇12
第二課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；
2.了解作商比較法證明不等式；
3.提高學(xué)生解題時(shí)應(yīng)變能力.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn) 常見解題技巧
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（一）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（復(fù)習(xí)提問），請(qǐng)三位同學(xué)回答問題，教師點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）思考問題，回答.
［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2.比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？
3.用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對(duì)式子的變形還有其它方法嗎？
[點(diǎn)評(píng)]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對(duì)差式的變形.在我們所學(xué)的知識(shí)中，對(duì)式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，積累對(duì)差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)知識(shí)，銜接新知識(shí)，引入本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）提出問題，引導(dǎo)學(xué)生研究解決問題，并點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）嘗試解決問題.
[問題]
1.化簡(jiǎn)
2.比較 與 （ ）的大小.
（學(xué)生解答問題）
［點(diǎn)評(píng)］
①問題1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化.
②通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來比較兩個(gè)式子的大小.
設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生研究問題，建立新知，形成新的知識(shí)體系.
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究問題，井點(diǎn)評(píng)解題過程.
（學(xué)生活動(dòng)）分析，研究問題.
［字幕］例題3 已知a，b是正數(shù)，且 ，求證
［分析］依題目特點(diǎn)，作差后重新組項(xiàng)，采用因式分解來變形.
證明：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］因式分解也是對(duì)差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個(gè)因式的積的形式，在確定符號(hào)中，表達(dá)過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個(gè)好的示范.
[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關(guān)系.并說明理由.
［分析］作差通分，對(duì)分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號(hào).
解：
因?yàn)? ，所以 ，
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
若 ，則 所以 .
即
綜上所述： 時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
［點(diǎn)評(píng)］解這道題在判斷符號(hào)時(shí)用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時(shí)要不重不漏.
［字幕］例5甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一條路線走到同一地點(diǎn).甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn).
[分析]設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時(shí)間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了.
解：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］此題是一個(gè)實(shí)際問題，學(xué)習(xí)了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實(shí)際問題.要培養(yǎng)自己學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的良好品質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號(hào)的方法.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
［字幕］練習(xí)：1.設(shè) ，比較 與 的大小.
2.已知 ， ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用.靈活掌握因式分解法對(duì)差式的變形和分類討論確定符號(hào).反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對(duì)差式變形、確定符號(hào)的常用方法和利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.
1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個(gè)式子大小的一種重要方法.
2.對(duì)差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.
3.會(huì)用分類討論的方法確定差式的符號(hào).
4.利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟.②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識(shí)體系.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)及數(shù)學(xué)思想與方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了對(duì)差式變形的一種常用方法——因式分解法；對(duì)符號(hào)確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實(shí)際問題.
通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡(jiǎn)化是比較法證明不等式中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對(duì)差式變形以及判斷符號(hào)的重要方法，并在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識(shí)，領(lǐng)會(huì)化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學(xué)思想方法.
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3.研究性題：對(duì)于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時(shí)間和船在靜水中來回行駛一次的時(shí)間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設(shè)計(jì)意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.教學(xué)評(píng)價(jià)、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，解決問題，反饋學(xué)習(xí)信息，調(diào)節(jié)教學(xué)活動(dòng).
2.教學(xué)措施的設(shè)計(jì)：由于對(duì)差式變形，確定符號(hào)是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)差式變形的方法和符號(hào)的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類討論確定符號(hào)，例5使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)會(huì)應(yīng)用.例題設(shè)計(jì)目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會(huì)應(yīng)用.
作業(yè) 答案
思考題：證明：
因?yàn)? ，所以當(dāng) 時(shí)， ，故
又因?yàn)? ，所以
當(dāng) 時(shí)， ，故 ，即 ，所以
當(dāng) 時(shí)， .故 ，即 ，所以
綜上所述，
研究性題：設(shè)兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則
所以船在流水中來回行駛一次的時(shí)間比在靜水中來回行駛一次的時(shí)間長(zhǎng).
第三課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握綜合法證明不等式；
2.熟練掌握已學(xué)的重要不等式；
3.增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力.
教學(xué)重點(diǎn) 綜合法
教學(xué)難點(diǎn) 不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（－）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）打出字幕（課前練習(xí)），引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，盡量用多種方法完成練習(xí)，投影學(xué)生不同解法，并點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）完成練習(xí).
［字幕］
1.證明 （ ）.
2.比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論.
1.證法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2.答：
證法一：由 ，所以
證法二：由 知 ，所以
［點(diǎn)評(píng)］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們?cè)?.1節(jié)和6.2節(jié)已學(xué)過，這種方法是綜合法，是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，復(fù)習(xí)比較法證明不等式，導(dǎo)入 新課：綜合法證明不等式.提出學(xué)習(xí)任務(wù).
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點(diǎn)評(píng)證法的數(shù)學(xué)原理，
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式.
[問題]證明
（證明：因?yàn)? ，所以 ，即 .）
[點(diǎn)評(píng)]
①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法證題方法：由已知推出結(jié)論.這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識(shí)，構(gòu)建用綜合法證明不等式的方法原理.
【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用綜合法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用綜合法證明不等式必須注意的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師誘導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 已知 ，求證
［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數(shù)，可用平均值定理作為已知不等式推證.
證明：因?yàn)? ，則 ，所以 .故
［點(diǎn)評(píng)］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結(jié)構(gòu)特征.
例2 已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證
[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發(fā)可證.
證明一（見課本）
證明二：
因?yàn)閍，b，c是不全相等的正數(shù).所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號(hào).
所以
即
[點(diǎn)評(píng)]
①綜合法的思維特點(diǎn)是：由已知推出結(jié)論.用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同號(hào)）， （ ）。
②此例中條件a，b，c是不全相等的正數(shù)，所以最后所證不等式取不到等號(hào).
③由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出
的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來證明.
我們?cè)谧C明不等式時(shí)，選擇方法要適當(dāng)，不要對(duì)某種方法抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識(shí)，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內(nèi)在聯(lián)系.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正，點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí).甲、乙兩位同學(xué)板演.
［字幕］練習(xí)1 已知，求證
2.已知 ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用重要不等式作為證明中的已知不等式.反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納，小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程.小結(jié)用綜合法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.
1.綜合法是證明不等式的基本方法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： … （A為已經(jīng)證明過的不等式，B為要證的不等式）.即綜合法是“由因?qū)Ч?
2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證明過的木等式時(shí)，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結(jié)論無誤.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據(jù)是：l。已知條件和不等式性質(zhì)；2.基本不等式.能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據(jù)是基本不等式時(shí)，要注意定理的使用條件和定理中“=”號(hào)成立的條件.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 5.6.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以 千米/小時(shí)的速度直達(dá)災(zāi)區(qū).已知某市到災(zāi)區(qū)的公路線長(zhǎng)400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米.
那么，這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最短時(shí)間是多少？
設(shè)計(jì)意圖：課本作業(yè) 鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，思考題供學(xué)有余力的同學(xué)完成.研究性題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.在導(dǎo)入 新課時(shí)設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)題，尤其是稍放開一點(diǎn)的第2題，如果學(xué)生能自覺不自覺地用已學(xué)過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會(huì)很自然，即使學(xué)生沒有想到，教師引導(dǎo)起來也并不困難.因而順著學(xué)生的思路，幫助學(xué)生形成用綜合法證明不等式的知識(shí)結(jié)構(gòu).
2.例1與例2的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發(fā)現(xiàn)綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系.在教學(xué)設(shè)計(jì)上，力圖從學(xué)生的需要出發(fā)設(shè)計(jì)問題，幫助學(xué)生抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的方法能用、會(huì)用.
作業(yè) 答案
思考題：證明：因?yàn)? ，又因?yàn)? ，所以 .同理 ； 將上述三個(gè)不等式相加得
所以
研究性題：設(shè)最后一輛車到達(dá)時(shí)用的時(shí)間為 小時(shí)，則
所以最短時(shí)間為12小時(shí).
不等式的證明 篇13
第四課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握分析法證明不等式；
2.理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因；
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學(xué)重點(diǎn) 分析法
教學(xué)難點(diǎn) 分析法實(shí)質(zhì)的理解
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（一）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師提出問題，待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）回答和思考教師提出的問題.
［問題1］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點(diǎn)評(píng)]在證明不等式時(shí)，若用比較法或綜合法難以下手時(shí)，可采用另一種證明方法：分析法.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識(shí)的積極性，導(dǎo)入 本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式.
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動(dòng)）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問題供學(xué)生研究，并點(diǎn)評(píng).幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識(shí)體系.投影分析法證明不等式的概念.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知.
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.
［問題1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問題2］當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí)，說明了什么呢？
［問題3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點(diǎn)評(píng)］從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立.就是分析法的邏輯關(guān)系.
[投影]分析法證明不等式的概念.（見課本）
設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)生積極思考、研究.建立新的知識(shí)；分析法證明不等式.培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識(shí).
【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書或投影例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用分析法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用分析法證明不等式必須注意的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.
例1 求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應(yīng)考慮用分析法.
證明：（見課本）
[點(diǎn)評(píng)]證明某些含有根式的不等式時(shí)，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思維方法，事實(shí)上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎(chǔ)上，分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此.
例2 已知： ，求證： （用分析法）請(qǐng)思考下列證法有沒有錯(cuò)誤？若有錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處？
［投影］證法一：因?yàn)? ，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.
證法二：欲證 ，因?yàn)?
只需證 ，
即證 ，
即證
因?yàn)? 成立，所以 成立.
（證法二正確，證法一錯(cuò)誤.錯(cuò)誤的原因是：雖然是從結(jié)論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件，事實(shí)上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯(cuò)誤.）
[點(diǎn)評(píng)]①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
（結(jié)論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結(jié)論）
分析法是“執(zhí)果索因”，它與綜合法的證明過程（由因?qū)Ч┣∏∠喾?②用分析法證明時(shí)要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的書寫格式是：
要證命題B為真，
只需證明 為真，從而有……
這只需證明 為真，從而又有……
……
這只需證明A為真.
而已知A為真，故命題B必為真.
要理解上述格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.
[投影] 例3 證明：通過水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］設(shè)未知數(shù)，列方程，因?yàn)楫?dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長(zhǎng)為 ，則周長(zhǎng)為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長(zhǎng)為 的正方形邊長(zhǎng)為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：（見課本）
設(shè)計(jì)意圖：理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系，說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.靈活掌握分析法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正.點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
【字幕】練習(xí)1.求證
2.求證：
設(shè)計(jì)意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.
1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的.
2.用分析法證明不等式時(shí)，要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式.應(yīng)用分析法證明不等式時(shí)，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時(shí)，要注意遵循不等式的性質(zhì).另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用.理解分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面.有時(shí)可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成證明過程.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 4、5.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：已知函數(shù) ， ，若 、 ，且 證明
設(shè)計(jì)意圖：思考題供學(xué)有余力同學(xué)練習(xí)，研究性題供學(xué)生研究分析法證明有關(guān)問題.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
教學(xué)過程 是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程.本節(jié)課在形成分析法證明不等式認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，教師提出問題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，然后開拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問題解決.一個(gè)問題解決后，及時(shí)地提出新問題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù).總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài).
本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合.在講與練的互相作用下，使學(xué)生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題，先由學(xué)生自己研究，然后教師分析與概括.在教師講解中，又不斷讓學(xué)生練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.
在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，按認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu).
作業(yè) 答案：
思考題：
.因?yàn)? ，故 ，所以 成立.
研究性題：令 ， ，則：
， ，
故原不等式等價(jià)于
由已知有 . 。所以上式等價(jià)于 ，即 。所以又等價(jià)于 .因?yàn)? ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實(shí)際解釋
題目：不等式： 是正數(shù)，且 ，則 。可以給出一個(gè)具有實(shí)際背景的解釋：在溶液里加溶質(zhì)則濃度增加，即 個(gè)單位溶液中含有 個(gè)單位的溶質(zhì)，其濃度小于加入 個(gè)單位溶質(zhì)后的溶液濃度，請(qǐng)你仿照此例，給出兩個(gè)不等式的解釋。
分析與解
1.先看問題中的不等式，建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。
設(shè)地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時(shí)增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有
2. 是正數(shù)，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個(gè)不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。
3.電阻串并聯(lián)。電阻值為 、 的電阻，串聯(lián)電阻為 ，并聯(lián)電阻為 ，串聯(lián)電阻變大，并聯(lián)電阻變小，因此有不等式 ，即
說明 許多數(shù)學(xué)結(jié)論是由實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題后，通過數(shù)學(xué)的運(yùn)算演變得到的。反過來，把抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際解釋也是一種數(shù)學(xué)運(yùn)用，值得大家關(guān)注。
不等式的證明 篇14
教學(xué)目標(biāo)
（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；
（2）掌握用比較法、綜合法和分析法來證簡(jiǎn)單的不等式；
（3）能靈活根據(jù)題目選擇適當(dāng)?shù)刈C明方法來證不等式；
（4）能用不等式證明的方法解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；
（6）通過不等式證明，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力；
（7）通過組織學(xué)生對(duì)不等式證明方法的意義和應(yīng)用的參與，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.
教學(xué)建議
（一）教材分析
1.知識(shí)結(jié)構(gòu)
2.重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：不等式證明的主要方法的意義和應(yīng)用；
難點(diǎn)：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；
②綜合性問題選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法.
（1）不等式證明的意義
不等式的證明是要證明對(duì)于滿足條件的所有數(shù)都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數(shù)值去驗(yàn)證式子是否成立.
（2）比較法證明不等式的分析
①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法.
②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于 ，因此，證明 ，可轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 .這種證法就是求差比較法.
由于當(dāng) 時(shí)， ，因此，證明 可以轉(zhuǎn)化為證明與之等價(jià)的 .這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明不等式 時(shí)，一定要注意 的前提條件.
③求差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號(hào)”.
其中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.
變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差值是多少.
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，為此，有時(shí)把差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)數(shù)的平方和的形式.或者變形為一個(gè)分式，或者變形為幾個(gè)因式的積的形式等. 總之.能夠判斷出差的符號(hào)是正或負(fù)即可.
④作商比較法的基本步驟是：“作商——變形——判斷商式與1的大小關(guān)系”，需要注意的是，作商比較法一般用于不等號(hào)兩側(cè)的式子同號(hào)的不等式的證明.
（3）綜合法證明不等式的分析
①利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推倒出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因?qū)Ч保簭囊阎牟坏仁匠霭l(fā)，通過一系列的推出變換，推倒出求證的不等式.
③綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
④利用綜合法由因?qū)ЧC明不等式，就要揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系、不等式左右兩端的差異和聯(lián)系，在分析所證不等式左右兩端的差異后，合理應(yīng)用已知條件，進(jìn)行有效的變換是證明不等式的關(guān)鍵.
（4）分析法證明不等式的分析
①從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法.
有時(shí)，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個(gè)已知成立的不等式，只要這個(gè)推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法，注意應(yīng)強(qiáng)調(diào)“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據(jù).
②分析法的思路是“執(zhí)果導(dǎo)因”：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法.
③用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
… .
（已知）（逐步推演不等式成立的必要條件）（結(jié)論）
④分析法是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，一是難在初學(xué)時(shí)不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件，二是不易正確使用連接有關(guān)（分析推理）步驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是證明不等式時(shí)一種常用的基本方法.當(dāng)證明不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決.特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效.
（5）關(guān)于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件.即推理方向是：結(jié)論 已知.
綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待證結(jié)論或需求問題.即：已知 結(jié)論.
③分析法的特點(diǎn)是：從“結(jié)論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找結(jié)論的充分條件.
綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實(shí)際上是要尋找已知的必要條件.
④各有其優(yōu)缺點(diǎn)：
從尋求解題思路來看：分析法是執(zhí)果索因，利于思考，方向明確，思路自然，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч?jié)橫生，不容易達(dá)到所要證明的結(jié)論.
從書寫表達(dá)過程而論：分析法敘述繁鎖，文辭冗長(zhǎng)；綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰.
也就是說，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá).
⑤一般來說，對(duì)于較復(fù)雜的不等式，直接運(yùn)用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫又比較麻煩.因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經(jīng)常是結(jié)合在一起使用的.
（二）教法建議
①選擇例題和習(xí)題要注意層次性.
不等式證明的三種方法主要是通過例題來說明的.教師在教學(xué)中要注意例題安排要由易到難，由簡(jiǎn)單到綜合，層層深入，啟發(fā)學(xué)生理解各種證法的意義和邏輯關(guān)系.教師選擇的訓(xùn)練題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當(dāng).
要堅(jiān)持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展、延伸，使學(xué)生溝通知識(shí)，有效地提高解題能力.
②在教學(xué)過程 中，應(yīng)通過精心設(shè)置的一個(gè)個(gè)問題，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生在課堂活動(dòng)中積極參與.
通過學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)，理解不等式證明方法的實(shí)質(zhì)和幾種證明方法的意義，通過訓(xùn)練積累經(jīng)驗(yàn)，能夠總結(jié)出比較法的實(shí)質(zhì)是把實(shí)數(shù)的大小順序通過實(shí)數(shù)運(yùn)算變成一個(gè)數(shù)與0(或1)比較大小；復(fù)雜的習(xí)題能夠利用綜合法發(fā)展條件向結(jié)論方向轉(zhuǎn)化，利用分析法能夠把結(jié)論向條件靠攏，最終達(dá)到結(jié)合點(diǎn)，從而解決問題.
③學(xué)生素質(zhì)較好的，教師可在教學(xué)中適當(dāng)增加反證法和用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式的內(nèi)容，但內(nèi)容不易過多過難.
第一課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握證明不等式的方法——比較法；
2.熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的意義和基本步驟.
教學(xué)難點(diǎn) 常見的變形技巧.
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式.
教學(xué)過程
（－）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師提問：根據(jù)前一節(jié)學(xué)過的知識(shí)，我們?nèi)绾斡脤?shí)數(shù)運(yùn)算來比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小？.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生思考問題，找學(xué)生甲口答問題.
（學(xué)生甲回答： ， ， ，）
［點(diǎn)評(píng)］（待學(xué)生回答問題后）要比較兩個(gè)實(shí)數(shù) 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號(hào)就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法.現(xiàn)在我們就來學(xué)習(xí)：用比較法證明不等式.（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：通過教師設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，引出用比較法證明不等式，導(dǎo)入 本節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí).
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動(dòng)）教師板書問題（證明不等式），寫出一道例題的題目
[問題] 求證
教師引導(dǎo)學(xué)生分析、思考，研究不等式的證明.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式，嘗試完成問題.
（得出證明過程后）
［點(diǎn)評(píng)］
①通過確定差的符號(hào)，證明不等式的成立.這一方法，在前面比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小、比較式子的大小、證明不等式性質(zhì)就已經(jīng)用過.
②通過求差將不等問題轉(zhuǎn)化為恒等問題，將兩個(gè)一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個(gè)一般式子與0的大小比較，使問題簡(jiǎn)化.
③理論依據(jù)是：
④由 ， ，知：要證明 只要證 ；要證明 這種證明不等式的方法通常叫做比較法.
設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生構(gòu)建用比較法證明不等式的知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想.
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)解題過程中的一些常用技巧，并點(diǎn)評(píng).
例1 求證
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問題.與教師一道完成問題的論證.
［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得 ，將此式看作關(guān)于 的二次函數(shù)，由配方法易知函數(shù)的最小值大干零，從而使問題獲證.
證明：∵
＝
＝ ，
∴ .
［點(diǎn)評(píng)］
①作差后是通過配方法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，確定差的符號(hào).
②作差后，式于符號(hào)不易確定，配方后變形為一個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)和的形式，使差式的符號(hào)易于確定.
③不等式兩邊的差的符號(hào)是正是負(fù)，一般需要利用不等式的性質(zhì)經(jīng)過變形后，才能判斷.
變形的目的全在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差的值是多少.至于怎樣變形，要靈活處理，例1介紹了變形的一種常用方法——配方法.
例2 已知都是正數(shù)，并且 ，求證：
［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號(hào)，應(yīng)通分，由分子、分母的值的符號(hào)推出差值的符合，從而得證.
證明：
＝
＝ .
因?yàn)? 都是正數(shù)，且 ，所以
.
∴ .
即：
[點(diǎn)評(píng)]
①作差后是通過通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形，由分子、分母的值的符號(hào)推出差的符號(hào).
②本例題介紹了對(duì)差變形，確定差值的符號(hào)的一種常用方法——通分法.
③例2的結(jié)論反映了分式的一個(gè)性質(zhì)（若都是正數(shù).
1.當(dāng) 時(shí)，
2.當(dāng) 時(shí)， .以后要記住.
設(shè)計(jì)意圖：鞏固用比較法證明不等式的知識(shí)，學(xué)會(huì)在用比較法證明不等式中，對(duì)差式變形的常用方法——配方法、通分法.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考.完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定和鼓勵(lì)，對(duì)偏差點(diǎn)撥和糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題.
[字幕]
練習(xí)：1.求證
2.已知 ， ， ，d都是正數(shù)，且 ，求證
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
設(shè)計(jì)意圖，掌握用比較法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用配方法和通分法變形差式，確定差式符號(hào).反饋課堂教學(xué)效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教學(xué)活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程，小結(jié)用比較法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.
比較法是證明不等式的一種最基本、重要的方法.用比較法證明不等式的步驟是：作差、變形、判斷符號(hào).要靈活掌握配方法和通分法對(duì)差式進(jìn)行恒等變形.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課學(xué)習(xí)了用比較法證明不等式，用比較法證明不等式的步驟中，作差是依據(jù)，變形是手段，判斷符號(hào)才是目的.掌握求差后對(duì)差式變形的常用方法：配方法和通分法.并在下節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)對(duì)差式變形的常用方法.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P16.1，2，3.
2.思考題：已知 ，求證：
3.研究性題：設(shè) ， ， 都是正數(shù)，且 ，求證：
設(shè)計(jì)意圖，課本作業(yè) 供學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)；思考題供學(xué)有余力的學(xué)生完成，培養(yǎng)其靈活掌握用比較法證明不等式的能力；研究性題是為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí).
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1.本節(jié)課是用比較法證明不等式的第一節(jié)課，在導(dǎo)入 新課時(shí)，教師提出問題，讓學(xué)生回憶所學(xué)知識(shí)中，是如何比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的，從而引入用比較法證明不等式.這樣處理合情合理，順理成章.
2.在建立新知過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析研究證明不等式，使學(xué)生在嘗試探索過程中形成用比較法證明不等式的感性認(rèn)識(shí).
3.例1，例2兩道題主要目的在于讓學(xué)生歸綱、總結(jié)，求差后對(duì)差式變形、并判斷符號(hào)的方法，以及求差比較法的步驟.在這里如何對(duì)差式變形是難點(diǎn)，應(yīng)著重解決.首先讓學(xué)生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時(shí)常用方法，有利于難點(diǎn)的突破.
4.本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識(shí)必須通過學(xué)生自己一系列思維活動(dòng)完成.教師通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì).
作業(yè) 答實(shí)
思考題： ，又 ，獲證.
研究性題：
.
所以 ，