不等式的證明（二）

第二課時

教學目標 

1.進一步熟練掌握比較法證明不等式；

2.了解作商比較法證明不等式；

3.提高學生解題時應變能力.

教學重點  比較法的應用

教學難點   常見解題技巧

教學方法  啟發引導式

教學活動

（一）導入  新課

（教師活動）教師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，教師點評.

（學生活動）思考問題，回答.

［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

2.比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？

3.用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？

[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形.在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節課我們將繼續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用.（板書課題）

設計意圖：復習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節課學習的內容.

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，并點評.

（學生活動）嘗試解決問題.

[問題]

1.化簡

2.比較 與 （ ）的大小.

（學生解答問題）

  ［點評］

①問題1，我們采用了因式分解的方法進行簡化.

②通過學習比較法證明不等式，我們不難發現，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小.

設計意圖：啟發學生研究問題，建立新知，形成新的知識體系.

【例題示范，學會應用】

（教師活動）教師打出字幕（例題），引導、啟發學生研究問題，井點評解題過程.

（學生活動）分析，研究問題.

［字幕］例題3  已知a，b是正數，且 ，求證

  ［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形.

證明：（見課本）

［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范.

[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關系.并說明理由.

［分析］作差通分，對分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號.

解：

因為 ，所以 ，

若 ，則   所以 .

即

若 ，則 所以 .

即

若 ，則 所以 .

即

綜上所述： 時，

                  時，

                  時，

［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數學思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時要不重不漏.

［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點.甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達指定地點.

[分析]設從出發地點至指定地點的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了.

解：（見課本）

［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關實際問題.要培養自己學數學，用數學的良好品質.

設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法.培養學生應用知識解決實際問題的能力.

【課堂練習】

（教師活動）教師打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題.

（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.

［字幕］練習：1.設 ，比較 與 的大小.

2.已知 ， ，求證

設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用.靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號.反饋信息，調節課堂教學.

【分析歸納、小結解法】

（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟.

（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.

1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法.

2.對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.

3.會用分類討論的方法確定差式的符號.

4.利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟.②分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系，相等關系或不等關系），③列出函數關系、等式或不等式，④求解，作答.

設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系.

（三）小結

（教師活動）教師小結本節課所學的知識及數學思想與方法.

    （學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.

本節課學習了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類討論法；應用比較法的思想解決實際問題.

通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續積累方法，培養用數學知識解決實際問題的能力.

設計意圖：培養學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領會化歸、類比、分類討論的重要數學思想方法.

（四）布置作業 

1.課本作業 ：P17   7、8。

2，思考題：已知 ，求證

3.研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）

設計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學生理論聯系實際，用數學解決實際問題，提高應用數學的能力.

（五）課后點評

1.教學評價、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，通過啟發誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調節教學活動.

2.教學措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應用.例題設計目的在于突出重點，突破難點，學會應用.

作業 答案

思考題：證明：

因為 ，所以當 時， ，故

又因為 ，所以

當 時， ，故 ，即 ，所以

當 時， .故 ，即 ，所以

綜上所述，

研究性題：設兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則

所以船在流水中來回行駛一次的時間比在靜水中來回行駛一次的時間長.

第三課時

教學目標 

1.掌握綜合法證明不等式；

2.熟練掌握已學的重要不等式；

3.增強學生的邏輯推理能力.

教學重點  綜合法

教學難點   不等式性質的綜合運用

教學方法  啟發引導式

教學活動

（－）導入  新課

（教師活動）打出字幕（課前練習），引導學生回憶所學的知識，盡量用多種方法完成練習，投影學生不同解法，并點評.

（學生活動）完成練習.

［字幕］

1.證明 （ ）.

2.比較 與 的大小，并證明你的結論.

1.證法一：由 ，所以

方法二：由 ，知 ，即 ，所以

2.答：

證法一：由 ，所以

證法二：由 知 ，所以

［點評］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們在6.1節和6.2節已學過，這種方法是綜合法，是本節課學習的內容.（板書課題）

設計意圖：通過練習，復習比較法證明不等式，導入  新課：綜合法證明不等式.提出學習任務.

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點評證法的數學原理，

（學生活動）學生研究證明不等式.

[問題]證明

（證明：因為 ，所以 ，即 .）

[點評]

①利用某些已知證明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.

②綜合法證題方法：由已知推出結論.這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質.

設計意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識，構建用綜合法證明不等式的方法原理.

【例題示范、學會應用】

（教師活動）教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用綜合法證明不等式，并點評用綜合法證明不等式必須注意的問題.

（學生活動）學生在教師誘導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證.

例1 已知 ，求證

［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數，可用平均值定理作為已知不等式推證.

證明：因為 ，則 ，所以 .故

  ［點評］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結構特征.

例2  已知a，b，c是不全相等的正數，求證

[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發可證.

證明一（見課本）

證明二：

因為a，b，c是不全相等的正數.所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號.

所以                  

即     

[點評]

①綜合法的思維特點是：由已知推出結論.用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：

； （ ）； （ ）； （a，b同號）， （ ）。

②此例中條件a，b，c是不全相等的正數，所以最后所證不等式取不到等號.

③由于作為綜合法證明依據的不等式本身是可以根據不等式的意義、性質或比較法證出

的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據不等式的意義、性質或比較法來證明.

我們在證明不等式時，選擇方法要適當，不要對某種方法抱定不放，要善于觀察，根據題目的特征選擇證題方法.

設計意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內在聯系.

【課堂練習】

（教師活動）打出字幕（練習），請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正，點評練習中存在的問題.

（學生活動）在筆記本上完成練習.甲、乙兩位同學板演.

［字幕］練習1 已知，求證

2.已知 ，求證

設計意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會靈活運用重要不等式作為證明中的已知不等式.反饋課堂效果，調節課堂教學.

【分析歸納，小結解法】

（教師活動）分析歸納例題和練習的解題過程.小結用綜合法證明不等式的解題方法.

（學生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄在筆記本上.

1.綜合法是證明不等式的基本方法.用綜合法證明不等式的邏輯關系是： … （A為已經證明過的不等式，B為要證的不等式）.即綜合法是“由因導果”.

2.運用不等式的性質和已證明過的木等式時，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結論無誤.

設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法.

（三）小結

（教師活動）教師小結本節課所學的知識.

（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.

本節課學習了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據是：l。已知條件和不等式性質；2.基本不等式.能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據是基本不等式時，要注意定理的使用條件和定理中“=”號成立的條件.

設計意圖：培養學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識.

（四）布置作業 

1.課本作業 ：P17  5.6.

2.思考題：若 ，求證

3.研究性題：某市用37輛汽車往災區運送一批救災物資，假設以 千米/小時的速度直達災區.已知某市到災區的公路線長400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米.

那么，這批物資全部到達災區的最短時間是多少？

設計意圖：課本作業 鞏固基礎知識，思考題供學有余力的同學完成.研究性題培養學生應用數學知識解決實際問題的能力.

（五）課后點評

1.在導入  新課時設計了兩個練習題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學生能自覺不自覺地用已學過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使學生沒有想到，教師引導起來也并不困難.因而順著學生的思路，幫助學生形成用綜合法證明不等式的知識結構.

2.例1與例2的學習使學生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發現綜合法與比較法的內在聯系.在教學設計上，力圖從學生的需要出發設計問題，幫助學生抓住知識的內在聯系，使學到的方法能用、會用.

作業 答案

思考題：證明：因為 ，又因為 ，所以 .同理 ； 將上述三個不等式相加得

所以           

研究性題：設最后一輛車到達時用的時間為 小時，則

所以最短時間為12小時.