不等式教案
1、 ( 、 )。2、 ( 、 , )(當且僅當 時取等號)。
3、若 、 、 且 ,則 (真分數的分子分母加上同一個正數,值變大)。
4、若 、 、 且 ,則 。
5、 。
6、一個重要的均值不等式鏈:設 ,則有 (當且僅當 時取等號)。
7、若已知條件中含有或隱含著" "或" "這一信息,常常可以設" "用這種和式增量法來證明不等式、求值、或比較大小。
8、不等式證明常用的放縮方法:
(1) ;
(2) 。
七、解析幾何:
1、兩條平行直線 和 之間的距離為 。
2、直線 過定點 ,且點 在圓 內,則 與圓 必相交。
過圓內一點 的弦長,以直徑為最大,垂直于 ( 為圓心)的弦為最小。
3、直線在 軸、 軸上的截距相等包含有直線過原點這一特殊情況。
4、直線過定點 時,根據情況有時可設其方程為 ( 時直線 )應用點斜式解題,應檢驗直線斜率不存在的情況。
5、 已知圓的方程是 和點 ,若點 是圓上的點,則方程 表示過點 的圓的切線方程;若點 在圓外,則方程 表示過點 向圓所作的兩條切線的切點所在的直線方程(又稱切點弦方程)。
6、過圓 上一點 的圓的切線方程是:
。
7、圓 和 相交于 、 兩點,則直線 為這兩圓的"根軸",其方程為 (即為公共弦 所在的直線方程。利用此法,可以推導圓的切點弦方程)。
8、已知一個圓的直徑端點是 、 ,則圓的方程是:
。
9、給一定點 和橢圓: , 、 分別為左右焦點,有如下性質:
(1)若點 在橢圓上,則 , (由橢圓第二定義推出);
(2)若點 在橢圓上,過這一點的橢圓的切線方程則可表示為: ;
(3)若點 在橢圓外,則這一點對應的橢圓的切點弦可表示為: ;
(4)若點 在橢圓內,則這一點對應的橢圓的極線可表示為: ;
補充:直線 與橢圓 相切的充要條件是:
。
10、三種圓錐曲線的通徑(通徑是最短的焦點弦):
(1)橢圓 的通徑長為 ;
(2)雙曲線 的通徑長為 ;
(3)拋物線 的通徑長為 。
11、雙曲線的焦半徑公式:點 為雙曲線 上任意一點, 、 分別為左右焦點
(1)若 在右支上,則 , ;
(2)若 在左支上,則 , 。
12、雙曲線標準方程(焦點在 軸或 軸上)的統一形式為 ( ),雙曲線 的漸近線方程為 ,也可記作 。
13、過拋物線 的焦點且傾斜角為 的弦 , 時,最短弦長為 ,即為拋物線的通徑。
14、圓錐曲線中幾條特殊的垂直弦和定點弦:
(1)過拋物線 的頂點作兩條互相垂直的弦 ,則弦 過定點 ;
(2)過拋物線 的頂點作兩條互相垂直的弦 ,點 分別為 的中點,則直線 過定點 ;
(3)過拋物線 上一點 作兩條互相垂直的弦 ,則弦 過定點 ;
(4)過橢圓 的中心 作兩條相互垂直的弦 ,則原點到弦ab的距離為定值: ,且 (此時弦ab最短), (此時弦ab最長);
(5)過橢圓 的右頂點 作兩條相互垂直的弦 ,則弦mn過定點: ;
(6)過橢圓 的右焦點 作兩條相互垂直的弦 ,點 分別為 的中點,則直線mn過定點: ;
(7)過雙曲線 的中心 作兩條相互垂直的弦 ,則原點到弦ab的距離為定值: ;
15、過拋物線 上一點 的焦半徑 ;若 、 是過焦點 弦的端點, , 則:
(1) , ;
(2) ;
(3) ( 為直線 與 軸的夾角);
(4)若 、 在準線 上的射影分別為 、 ,則 ;
(5)以焦點弦 為直徑的圓與準線 相切,切點為 的中點;