數學教案－不等式的證明（二）

第二課時

教學目標 

1.進一步熟練掌握比較法證明不等式；

2.了解作商比較法證明不等式；

3.提高學生解題時應變能力.

教學重點  比較法的應用

教學難點   常見解題技巧

教學方法  啟發引導式

教學活動

（一）導入  新課

（教師活動）教師打出字幕（復習提問），請三位同學回答問題，教師點評.

（學生活動）思考問題，回答.

［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

2.比較法證明不等式的步驟中，依據、手段、目的各是什么？

3.用比較法證明不等式的步驟中，最關鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？

[點評]用比較法證明不等式步驟中，關鍵是對差式的變形.在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節課我們將繼續學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應用.（板書課題）

設計意圖：復習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節課學習的內容.

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動）提出問題，引導學生研究解決問題，并點評.

（學生活動）嘗試解決問題.

[問題]

1.化簡 

2.比較  與  （  ）的大小.

（學生解答問題）

  ［點評］

①問題1，我們采用了因式分解的方法進行簡化.

②通過學習比較法證明不等式，我們不難發現，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小.

設計意圖：啟發學生研究問題，建立新知，形成新的知識體系.

【例題示范，學會應用】

（教師活動）教師打出字幕（例題），引導、啟發學生研究問題，井點評解題過程.

（學生活動）分析，研究問題.

［字幕］例題3  已知a，b是正數，且  ，求證

  ［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形.

證明：（見課本）

［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范.

［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數學思想方法.要理解為什么分類，怎樣分類.分類時要不重不漏.

［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點.甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達指定地點.

[分析]設從出發地點至指定地點的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為  ，要回答題目中的問題，只要比較  、 的大小就可以了.

解：（見課本）

［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關實際問題.要培養自己學數學，用數學的良好品質.

設計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法.培養學生應用知識解決實際問題的能力.

【課堂練習】

（教師活動）教師打出字幕（練習），要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題.

（學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演.

［字幕］練習：1.設  ，比較  與  的大小.

2.已知   ，求證 

設計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應用.靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號.反饋信息，調節課堂教學.

【分析歸納、小結解法】

（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟.

（學生活動）與教師一道小結，并記錄在筆記本上.

1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法.

2.對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.

3.會用分類討論的方法確定差式的符號.

4.利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應用題的步驟.②分析題意，設未知數，找出數量關系（函數關系，相等關系或不等關系），③列出函數關系、等式或不等式，④求解，作答.

設計意圖：培養學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系.

（三）小結

（教師活動）教師小結本節課所學的知識及數學思想與方法.

    （學生活動）與教師一道小結，并記錄筆記.

本節課學習了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類討論法；應用比較法的思想解決實際問題.

通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據，理解轉化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續積累方法，培養用數學知識解決實際問題的能力.

設計意圖：培養學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領會化歸、類比、分類討論的重要數學思想方法.

（四）布置作業 

1.課本作業 ：P17   7、8。

2，思考題：已知  ，求證 

3.研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）

設計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想.研究性題是使學生理論聯系實際，用數學解決實際問題，提高應用數學的能力.

（五）課后點評

1.教學評價、反饋調節措施的構想：本節課采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，通過啟發誘導學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調節教學活動.

2.教學措施的設計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關鍵，本節課在上節課的基礎上繼續學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應用.例題設計目的在于突出重點，突破難點，學會應用