數學教案－直線的傾斜角和斜率

教學目標 

（1）了解直線方程的概念.
（2）正確理解直線傾斜角和斜率概念.理解每條直線的傾斜角是唯一的，但不是每條直線都存在斜率.
（3）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.
（4）通過直線傾斜角概念的引入和直線傾斜角與斜率關系的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.
（5）通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

教學建議

1.教材分析

（1）知識結構
本節內容首先根據一次函數與其圖像——直線的關系導出直線方程的概念；其次為進一步研究直線，建立了直線傾斜角的概念，進而建立直線斜率的概念，從而實現了直線的方向或者說直線的傾斜角這一直線的幾何屬性向直線的斜率這一代數屬性的轉變；最后推導出經過兩點的直線的斜率公式.這些充分體現了解析幾何的思想方法.
（2）重點、難點分析
①本節的重點是斜率的概念和斜率公式.直線的斜率是后繼內容展開的主線，無論是建立直線的方程，還是研究兩條直線的位置關系，以及討論直線與二次曲線的位置關系，直線的斜率都發揮著重要作用.因此，正確理解斜率概念，熟練掌握斜率公式是學好這一章的關鍵.
②本節的難點是對斜率概念的理解.學生對于用直線的傾斜角來刻畫直線的方向并不難接受，但是，為什么要定義直線的斜率，為什么把斜率定義為傾斜角的正切兩個問題卻并不容易接受.
2.教法建議
（1）本節課的教學任務有三大項：傾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式.學生思維也對應三個高潮：傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式如何建立.相應的教學過程 也有三個階段
①在教學中首先是創設問題情境，然后通過討論明確用角來刻畫直線的方向，如何定義這個角呢，學生在討論中逐漸明確傾斜角的概念.
②本節的難點是對斜率概念的理解.學生認為傾斜角就可以刻畫直線的方向，而且每一條直線的傾斜角是唯一確定的，而斜率卻不這樣.學生還會認為用弧度制表示傾斜角不是一樣可以數量化嗎.再有，為什么要用傾斜角的正切定義斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解決這些問題，就要求教師幫助學生認識到在直線的方程中體現的不是直線的傾斜角，而是傾斜角的正切，即直線方程（一次函數  的形式，下同）中x的系數恰好就是直線傾斜角的正切.為了便于學生更好的理解直線斜率的概念，可以借助幾何畫板設計：
(1)  α變化→直線變化→  中的 系數 變化    （同時注意  的變化）.
(2)   中的 系數 變化→直線變化→α變化    （同時注意  的變化）.

運用上述正反兩種變化的動態演示充分揭示直線方程中 系數與傾斜角正切的內在關系，這對幫助學生理解斜率概念是極有好處的.
③在進行過兩點的斜率公式推導的教學中要注意與前后知識的聯系，課前要對平面向量，三角函數等有關內容作一定的復習準備.
④在學習直線方程的概念時要通過舉例清晰地指出兩個條件，最好能用充要條件敘述直線方程的概念，強化直線與相應方程的對應關系.為將來學習曲線方程做好準備.
（2）本節內容在教學中宜采用啟發引導法和討論法，設計為啟發、引導、探究、評價的教學模式.學生在積極思維的基礎上，進行充分的討論、爭辯、交流、和評價.傾斜角如何定義、為什么斜率定義為傾斜角的正切和斜率公式的建立，這三項教學任務都是在討論、交流、評價中完成的.在此過程中學生的思維和能力得到充分的發展.教師的任務是創設問題情境，引發爭論，組織交流，參與評價.

教學設計示例

直線的傾斜角和斜率

教學目標 ：
（1）了解直線方程的概念，正確理解直線傾斜角和斜率概念，
（2）理解公式的推導過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.
（3）培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力.
（4）幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.
教學重點、難點：直線斜率的概念和公式
教學用具：計算機
教學方法：啟發引導法，討論法

教學過程 ：

（一）直線方程的概念

  如圖1，對于一次函數  ，和它的圖像——直線 有下面關系：

（1）有序數對（0，1）滿足函數  ，則直線上就有一點A，它的坐標是（0，1）.

（2）反過來，直線上點B（1，3），則有序實數對（1，3）就滿足  . 

一般地，滿足函數式  的每一對 ， 的值，都是直線上的點的坐標（ ， ）；

反之，直線上每一點的坐標（  ，  ）都滿足函數式  ，因此，一次函數  的圖象是一條直線，它是以滿足  的每一對x，y的值為坐標的點構成的.

從方程的角度看，函數  也可以看作是二元一次方程  ，這樣滿足一次函數  的每一對 ， 的值“變成了”二元一次方程  的解，使方程和直線建立了聯系.

定義：以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上的所有點坐標都是這個方程的解，這時，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線就叫做這個方程的直線.

以上定義改用集合表述： ， 的二元一次方程的解為坐標的集合，記作 .若（1） （2） ，則 .

問：你能用充要條件敘述嗎？

答：一條直線是一個方程的直線，或者說這個方程是這條直線的方程的充要條件是…….

（二）直線的傾斜角

【問題1】

請畫出以下三個方程所表示的直線，并觀察它們的異同.

過定點，方向不同.

如何確定一條直線？

  兩點確定一條直線.
還有其他方法嗎？或者說如果只給出一點，要確定這條直線還應增加什么條件？
學生：思考、回憶、回答：這條直線的方向，或者說傾斜程度.

【導入  】

今天我們就共同來研究如何刻畫直線的方向.

【問題2】
在坐標系中的一條直線，我們用怎樣的角來刻畫直線的方向呢？討論之前我們可以設想這個角應該是怎樣的呢？它不僅能解決我們的問題，同時還應該是簡單的、自然的.
學生：展開討論.
學生討論過程中會有錯誤和不嚴謹之處，教師注意引導.
通過討論認為：應選擇α角來刻畫直線的方向.根據三角函數的知識，表明一個方向可以有無窮多個角，這里只需一個角即可（開始時可能有學生認為有四個角或兩個角），當然用最小的正角.從而得到直線傾斜角的概念.
【板書】

定義：一條直線l向上的方向與 軸的正方向所成的最小正角叫做直線 的傾斜角.

（教師強調三點：（1）直線向上的方向，（2） 軸的正方向，（3）最小正角.）

特別地，當 與 軸平行或重合時，規定傾斜角為0°.
由此定義，角的范圍如何？
0°≤α＜180°或0≤α＜π   如圖3

至此問題2已經解決了，回顧一下是怎么解決的.

（三）直線的斜率

【問題3】
下面我們在同一坐標系中畫出過原點傾斜角分別是30°、45°、135°的直線，并試著寫出它們的直線方程.然后觀察思考：
直線的傾斜角在直線方程中是如何體現的？

學生：在練習本上畫出直線，寫出方程.
30° ß--à ＝ 

45° ß--à  ＝

135°ß--à ＝

（注：學生對于寫出傾斜角是45°、135°的直線方程不會困難，但對于傾斜角是30°可能有困難，此時可啟發學生借用三角函數中的30°角終邊與單位圓的交點坐標來解決.）

【演示動畫】

觀察直線變化，傾斜角變化，直線方程中 系數變化的關系

(1)  直線變化→α變化→  中的 系數 變化    （同時注意 α的變化）.

(2)  中的x系數k變化→直線變化→α變化    （同時注意 α的變化）.

教師引導學生觀察，歸納，猜想出傾斜角與 的系數的關系：傾斜角不同，方程中 的系數不同，而且這個系數正是傾斜角的正切！

【板書】

定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率.記作 ，即  .

這樣我們定義了一個從“形”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——傾斜角，現在我們又定義一個從“數”的方面刻畫直線相對于 軸（正方向）傾斜程度的量——斜率.

指出下列直線的傾斜角和斜率：

   (2) ＝ tg60°    (3) ＝ tg(-30°)

學生思考后回答，師生一起訂正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(為什么不是-30°呢？)

畫圖，指出傾斜角和斜率.
結合圖3（也可以演示動畫），觀察傾斜角變化時，斜率的變化情況.

注意：當傾斜角為90°時，斜率不存在.

α＝0°      ß--à    ＝0

0°＜α＜90° ß--à    ＞0

α＝90°     ß--à   不存在

90°＜α＜180°ß--à  ＜0

（四）直線過兩點斜率公式的推導

【問題4】

  如果給定直線的傾斜角，我們當然可以根據斜率的定義  ＝tgα求出直線的斜率；

如果給定直線上兩點坐標，直線是確定的，傾斜角也是確定的，斜率就是確定的，那么又怎么求出直線的斜率呢？

即已知兩點P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)（其中x₁≠x₂），求直線P₁P₂的斜率.

思路分析：

首先由學生提出思路，教師啟發、引導：

運用正切定義，解決問題.

(1)正切函數定義是什么？（終邊上任一點的縱坐標比橫坐標.）

(2)角α是“標準位置”嗎？（不是.）

(3)如何把角α放在“標準位置”？（平移向量  ，使P₁與原點重合，得到新向量  .）

(4)P的坐標是多少？（x₂-x₁，y₂-y₁）

(5)直線的斜率是多少？  ＝tgα=  （x₁≠x₂）

(6)如果P₁ 和P₂的順序不同，結果還一樣嗎？（一樣）.

評價：注意公式中x₁≠x₂，即直線P₁ P₂不垂直x軸.因此當直線P₁P₂不垂直x軸時，由已知直線上任意兩點的坐標可以求得斜率，而不需要求出傾斜角.

【練習】

(1)直線的傾斜角為α，則直線的斜率為  α？

(2)任意直線有傾斜角，則任意直線都有斜率？

(3)直線   (-330°)的傾斜角和斜率分別是多少？

(4)求經過兩點  (0，0)、  (-1，  )直線的傾斜角和斜率.

(5)課本第37頁練習第2、4題.

教師巡視，觀察學生情況，個別輔導，訂正答案（答案略）.

【總結】

教師引導：首先回顧前邊提出的問題是否都已解決.再看下邊的問題：

(1)直線傾斜角的概念要注意什么？

(2)直線的傾斜角與斜率是一一對應嗎？

(3)已知兩點坐標，如何求直線的斜率？斜率公式中腳標1和2有順序嗎？

學生邊討論邊總結：

(1)向上的方向，正方向，最小，正角.(2)不是，當α=90°時， α不存在.

【作業 】

1.課本第37頁習題7.1第3、4、5題.

2.思考題

（1）方程  是單位圓的方程嗎？

（2）你能說出過原點，傾斜角是45°的直線方程嗎？

（3）你能說出過原點，斜率是2的直線方程嗎？

（4）你能說出過（1，1）點，斜率是2的直線方程嗎？

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