不等式的證實1
教學目標(1)理解證實不等式的三種方法:比較法、綜合法和分析法的意義;
(2)把握用比較法、綜合法和分析法來證簡單的不等式;
(3)能靈活根據題目選擇適當地證實方法來證不等式;
(4)能用不等式證實的方法解決一些實際問題,培養學生分析問題、解決問題的能力;
(6)通過不等式證實,培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力;
(7)通過組織學生對不等式證實方法的意義和應用的參與,培養學生勤于思考、善于思考的良好學習習慣.
教學建議
(一)教材分析
1.知識結構
2.重點、難點分析
重點:不等式證實的主要方法的意義和應用;
難點:①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的;
②綜合性問題選擇適當的證實方法.
(1)不等式證實的意義
不等式的證實是要證實對于滿足條件的所有數都成立(或都不成立),而并非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立.
(2)比較法證實不等式的分析
①在證實不等式的各種方法中,比較法是最基本、最重要的方法.
②證實不等式的比較法,有求差比較法和求商比較法兩種途徑.
由于 ,因此,證實 ,可轉化為證實與之等價的 .這種證法就是求差比較法.
由于當 時, ,因此,證實 可以轉化為證實與之等價的 .這種證法就是求商比較法,使用求商比較法證實不等式 時,一定要注重 的前提條件.
③求差比較法的基本步驟是:“作差——變形——斷號”.
其中,作差是依據,變形是手段,判定符號才是目的.
變形的目的全在于判定差的符號,而不必考慮差值是多少.
變形的方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等,為此,有時把差變形為一個常數,或者變形為一個常數與一個或幾個數的平方和的形式.或者變形為一個分式,或者變形為幾個因式的積的形式等.總之.能夠判定出差的符號是正或負即可.
④作商比較法的基本步驟是:“作商——變形——判定商式與1的大小關系”,需要注重的是,作商比較法一般用于不等號兩側的式子同號的不等式的證實.
(3)綜合法證實不等式的分析
①利用某些已經證實過的不等式和不等式的性質推倒出所要證實的不等式成立,這種證實方法通常叫做綜合法.
②綜合法的思路是“由因導果”:從已知的不等式出發,通過一系列的推出變換,推倒出求證的不等式.
③綜合法證實不等式的邏輯關系是:
… .
(已知)(逐步推演不等式成立的必要條件)(結論)
④利用綜合法由因導果證實不等式,就要揭示出條件與結論之間的因果關系,為此要著力分析已知與求證之間的差異和聯系、不等式左右兩端的差異和聯系,在分析所證不等式左右兩端的差異后,合理應用已知條件,進行有效的變換是證實不等式的關鍵.