不等式的證明（二）

第二課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；

2.了解作商比較法證明不等式；

3.提高學(xué)生解題時(shí)應(yīng)變能力.

教學(xué)重點(diǎn)  比較法的應(yīng)用

教學(xué)難點(diǎn)  常見(jiàn)解題技巧

教學(xué)方法  啟發(fā)引導(dǎo)式

教學(xué)活動(dòng)

（一）導(dǎo)入  新課

（教師活動(dòng)）教師打出字幕（復(fù)習(xí)提問(wèn)），請(qǐng)三位同學(xué)回答問(wèn)題，教師點(diǎn)評(píng).

（學(xué)生活動(dòng)）思考問(wèn)題，回答.

［字幕］1.比較法證明不等式的步驟是怎樣的？

2.比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？

3.用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對(duì)式子的變形還有其它方法嗎？

[點(diǎn)評(píng)]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對(duì)差式的變形.在我們所學(xué)的知識(shí)中，對(duì)式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解.這節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，積累對(duì)差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用.（板書(shū)課題）

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)知識(shí)，銜接新知識(shí)，引入本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動(dòng)）提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生研究解決問(wèn)題，并點(diǎn)評(píng).

（學(xué)生活動(dòng)）嘗試解決問(wèn)題.

[問(wèn)題]

1.化簡(jiǎn)

2.比較 與 （ ）的大小.

（學(xué)生解答問(wèn)題）

  ［點(diǎn)評(píng)］

①問(wèn)題1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化.

②通過(guò)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來(lái)比較兩個(gè)式子的大小.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)�發(fā)學(xué)生研究問(wèn)題，建立新知，形成新的知識(shí)體系.

【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】

（教師活動(dòng)）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究問(wèn)題，井點(diǎn)評(píng)解題過(guò)程.

（學(xué)生活動(dòng)）分析，研究問(wèn)題.

［字幕］例題3  已知a，b是正數(shù)，且 ，求證

  ［分析］依題目特點(diǎn)，作差后重新組項(xiàng)，采用因式分解來(lái)變形.

證明：（見(jiàn)課本）

［點(diǎn)評(píng)］因式分解也是對(duì)差式變形的一種常用方法.此例將差式變形為幾個(gè)因式的積的形式，在確定符號(hào)中，表達(dá)過(guò)程較復(fù)雜，如何書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，例3給出了一個(gè)好的示范.

[字幕]例4試問(wèn)： 與 （ ）的大小關(guān)系.并說(shuō)明理由.

［分析］作差通分，對(duì)分子、分母因式分解，然后分類(lèi)討論確定符號(hào).

解：

因?yàn)?SUB> ，所以 ，

若 ，則   所以 .

即

若 ，則 所以 .

即

若 ，則 所以 .

即

綜上所述： 時(shí)，

                  時(shí)，

                  時(shí)，

［點(diǎn)評(píng)］解這道題在判斷符號(hào)時(shí)用了分類(lèi)討論，分類(lèi)討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法.要理解為什么分類(lèi)，怎樣分類(lèi).分類(lèi)時(shí)要不重不漏.

［字幕］例5甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一條路線走到同一地點(diǎn).甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問(wèn)甲、乙兩人誰(shuí)先到達(dá)指定地點(diǎn).

[分析]設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時(shí)間分別為 ， ，要回答題目中的問(wèn)題，只要比較 、 的大小就可以了.

解：（見(jiàn)課本）

［點(diǎn)評(píng)］此題是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，學(xué)習(xí)了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.要培養(yǎng)自己學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的良好品質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類(lèi)討論確定符號(hào)的方法.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

【課堂練習(xí)】

（教師活動(dòng)）教師打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問(wèn)題.

（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.

［字幕］練習(xí)：1.設(shè) ，比較 與 的大小.

2.已知 ， ，求證

設(shè)計(jì)意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用.靈活掌握因式分解法對(duì)差式的變形和分類(lèi)討論確定符號(hào).反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).

【分析歸納、小結(jié)解法】

（教師活動(dòng)）分析歸納例題的解題過(guò)程，小結(jié)對(duì)差式變形、確定符號(hào)的常用方法和利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟.

（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.

1.比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個(gè)式子大小的一種重要方法.

2.對(duì)差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等.

3.會(huì)用分類(lèi)討論的方法確定差式的符號(hào).

4.利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟：①類(lèi)比列方程解應(yīng)用題的步驟.②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問(wèn)題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識(shí)體系.

（三）小結(jié)

（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)及數(shù)學(xué)思想與方法.

    （學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.

本節(jié)課學(xué)習(xí)了對(duì)差式變形的一種常用方法——因式分解法；對(duì)符號(hào)確定的分類(lèi)討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實(shí)際問(wèn)題.

通過(guò)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題簡(jiǎn)化是比較法證明不等式中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對(duì)差式變形以及判斷符號(hào)的重要方法，并在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識(shí)，領(lǐng)會(huì)化歸、類(lèi)比、分類(lèi)討論的重要數(shù)學(xué)思想方法.

（四）布置作業(yè) 

1.課本作業(yè) ：P17   7、8。

2，思考題：已知 ，求證

3.研究性題：對(duì)于同樣的距離，船在流水中來(lái)回行駛一次的時(shí)間和船在靜水中來(lái)回行駛一次的時(shí)間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）

設(shè)計(jì)意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類(lèi)討論的思想.研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.

（五）課后點(diǎn)評(píng)

1.教學(xué)評(píng)價(jià)、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，通過(guò)啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問(wèn)題，解決問(wèn)題，反饋學(xué)習(xí)信息，調(diào)節(jié)教學(xué)活動(dòng).

2.教學(xué)措施的設(shè)計(jì)：由于對(duì)差式變形，確定符號(hào)是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)差式變形的方法和符號(hào)的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類(lèi)討論確定符號(hào)，例5使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)會(huì)應(yīng)用.例題設(shè)計(jì)目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會(huì)應(yīng)用.

作業(yè) 答案

思考題：證明：

因?yàn)?SUB> ，所以當(dāng) 時(shí)， ，故

又因?yàn)?SUB> ，所以

當(dāng) 時(shí)， ，故 ，即 ，所以

當(dāng) 時(shí)， .故 ，即 ，所以

綜上所述，

研究性題：設(shè)兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則

所以船在流水中來(lái)回行駛一次的時(shí)間比在靜水中來(lái)回行駛一次的時(shí)間長(zhǎng).

第三課時(shí)

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握綜合法證明不等式；

2.熟練掌握已學(xué)的重要不等式；

3.增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力.

教學(xué)重點(diǎn)  綜合法

教學(xué)難點(diǎn)  不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用

教學(xué)方法  啟發(fā)引導(dǎo)式

教學(xué)活動(dòng)

（－）導(dǎo)入  新課

（教師活動(dòng)）打出字幕（課前練習(xí)），引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，盡量用多種方法完成練習(xí)，投影學(xué)生不同解法，并點(diǎn)評(píng).

（學(xué)生活動(dòng)）完成練習(xí).

［字幕］

1.證明 （ ）.

2.比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論.

1.證法一：由 ，所以

方法二：由 ，知 ，即 ，所以

2.答：

證法一：由 ，所以

證法二：由 知 ，所以

［點(diǎn)評(píng)］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們?cè)?.1節(jié)和6.2節(jié)已學(xué)過(guò)，這種方法是綜合法，是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.（板書(shū)課題）

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)，復(fù)習(xí)比較法證明不等式，導(dǎo)入  新課：綜合法證明不等式.提出學(xué)習(xí)任務(wù).

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

（教師活動(dòng)）教師提出問(wèn)題：用上述方法二證明 ，并點(diǎn)評(píng)證法的數(shù)學(xué)原理，

（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式.

[問(wèn)題]證明

（證明：因?yàn)?SUB> ，所以 ，即 .）

[點(diǎn)評(píng)]

①利用某些已知證明過(guò)的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法.

②綜合法證題方法：由已知推出結(jié)論.這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：探索解決問(wèn)題的新方法，建立新知識(shí)，構(gòu)建用綜合法證明不等式的方法原理.

【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】

（教師活動(dòng)）教師板書(shū)例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問(wèn)題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用綜合法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用綜合法證明不等式必須注意的問(wèn)題.

（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師誘導(dǎo)下，研究問(wèn)題，與教師一道完成問(wèn)題的論證.

例1 已知 ，求證

［分析］由于不等式左邊是和的形式，右邊為常數(shù)，可用平均值定理作為已知不等式推證.

證明：因?yàn)?SUB> ，則 ，所以 .故

  ［點(diǎn)評(píng)］此題的證明方法是綜合法，在證明過(guò)程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結(jié)構(gòu)特征.

例2  已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證

[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發(fā)可證.

證明一（見(jiàn)課本）

證明二：

因?yàn)?I>a，b，c是不全相等的正數(shù).所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號(hào).

所以                  

即     

[點(diǎn)評(píng)]

①綜合法的思維特點(diǎn)是：由已知推出結(jié)論.用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：

； （ ）； （ ）； （a，b同號(hào)）， （ ）。

②此例中條件a，b，c是不全相等的正數(shù)，所以最后所證不等式取不到等號(hào).

③由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出

的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來(lái)證明.

我們?cè)谧C明不等式時(shí)，選擇方法要適當(dāng)，不要對(duì)某種方法抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法.

設(shè)計(jì)意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識(shí)，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內(nèi)在聯(lián)系.

【課堂練習(xí)】

（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正，點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問(wèn)題.

（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí).甲、乙兩位同學(xué)板演.

［字幕］練習(xí)1 已知，求證

2.已知 ，求證

設(shè)計(jì)意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用重要不等式作為證明中的已知不等式.反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).

【分析歸納，小結(jié)解法】

（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過(guò)程.小結(jié)用綜合法證明不等式的解題方法.

（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上.

1.綜合法是證明不等式的基本方法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： … （A為已經(jīng)證明過(guò)的不等式，B為要證的不等式）.即綜合法是“由因?qū)Ч��?

2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證明過(guò)的木等式時(shí)，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結(jié)論無(wú)誤.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問(wèn)題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法.

（三）小結(jié)

（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).

（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上.

本節(jié)課學(xué)習(xí)了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據(jù)是：l。已知條件和不等式性質(zhì)；2.基本不等式.能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據(jù)是基本不等式時(shí)，要注意定理的使用條件和定理中“=”號(hào)成立的條件.

設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).

（四）布置作業(yè) 

1.課本作業(yè) ：P17  5.6.

2.思考題：若 ，求證

3.研究性題：某市用37輛汽車(chē)往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以 千米/小時(shí)的速度直達(dá)災(zāi)區(qū).已知某市到災(zāi)區(qū)的公路線長(zhǎng)400干米，為安全需要，兩汽車(chē)間距不得小于 千米.

那么，這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最短時(shí)間是多少？

設(shè)計(jì)意圖：課本作業(yè) 鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，思考題供學(xué)有余力的同學(xué)完成.研究性題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

（五）課后點(diǎn)評(píng)

1.在導(dǎo)入  新課時(shí)設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)題，尤其是稍放開(kāi)一點(diǎn)的第2題，如果學(xué)生能自覺(jué)不自覺(jué)地用已學(xué)過(guò)的很常用而沒(méi)正式講過(guò)的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會(huì)很自然，即使學(xué)生沒(méi)有想到，教師引導(dǎo)起來(lái)也并不困難.因而順著學(xué)生的思路，幫助學(xué)生形成用綜合法證明不等式的知識(shí)結(jié)構(gòu).

2.例1與例2的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發(fā)現(xiàn)綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系.在教學(xué)設(shè)計(jì)上，力圖從學(xué)生的需要出發(fā)設(shè)計(jì)問(wèn)題，幫助學(xué)生抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的方法能用、會(huì)用.

作業(yè) 答案

思考題：證明：因?yàn)?SUB> ，又因?yàn)?SUB> ，所以 .同理 ； 將上述三個(gè)不等式相加得

所以           

研究性題：設(shè)最后一輛車(chē)到達(dá)時(shí)用的時(shí)間為 小時(shí)，則

所以最短時(shí)間為12小時(shí).