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不等式的證明(三)

不等式的證明(三)

第四課時

教學目標 

1.掌握分析法證明不等式;

2.理解分析法實質——執(zhí)果索因;

3.提高證明不等式證法靈活性.

教學重點  分析法

教學難點   分析法實質的理解

教學方法  啟發(fā)引導式

教學活動

(一)導入  新課

(教師活動)教師提出問題,待學生回答和思考后點評.

(學生活動)回答和思考教師提出的問題.

[問題1]我們已經(jīng)學習了哪幾種不等式的證明方法?什么是比較法?什么是綜合法?

[問題 2]能否用比較法或綜合法證明不等式:

[點評]在證明不等式時,若用比較法或綜合法難以下手時,可采用另一種證明方法:分析法.(板書課題)

設計意圖:復習已學證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處,

激發(fā)學生學習新的證明不等式知識的積極性,導入  本節(jié)課學習內(nèi)容:用分析法證明不等式.

(二)新課講授

【嘗試探索、建立新知】

(教師活動)教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系,然后提出問題供學生研究,并點評.幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系.投影分析法證明不等式的概念.

(學生活動)與教師一道分析綜合法的邏輯關系,在教師啟發(fā)、引導下嘗試探索,構建新知.

[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系:以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論,逐步尋找它成立的必要條件,直到必要條件就是要證明的不等式.

[問題1]我們能不能用同樣的思考問題的方式,把要證明的不等式作為結論,逐步去尋找它成立的充分條件呢?

[問題2]當我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時,說明了什么呢?

[問題3]說明要證明的不等式成立的理由是什么呢?

[點評]從要證明的結論入手,逆求使它成立的充分條件,直到充分條件顯然成立為止,從而得出要證明的結論成立.就是分析法的邏輯關系.

[投影]分析法證明不等式的概念.(見課本)

設計意圖:對比綜合法的邏輯關系,教師層層設置問題,激發(fā)學生積極思考、研究.建立新的知識;分析法證明不等式.培養(yǎng)學習創(chuàng)新意識.

【例題示范、學會應用】

(教師活動)教師板書或投影例題,引導學生研究問題,構思證題方法,學會用分析法證明不等式,并點評用分析法證明不等式必須注意的問題.

(學生活動)學生在教師引導下,研究問題,與教師一道完成問題的論證.

例1 求證

[分析]此題用比較法和綜合法都很難入手,應考慮用分析法.

證明:(見課本)

[點評]證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難.此例中,我們很難想到從“ ”入手,因此,在不等式的證明中,分析法占有重要的位置,我們常用分析法探索證明途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解決數(shù)學問題的一種重要思維方法,事實上,有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上,分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此.

例2 已知: ,求證: (用分析法)請思考下列證法有沒有錯誤?若有錯誤,錯在何處?

[投影]證法一:因為 ,所以 、去分母,化為 ,就是 .由已知 成立,所以求證的不等式成立.

證法二:欲證 ,因為

            只需證

            即證

            即證

因為 成立,所以 成立.

(證法二正確,證法一錯誤.錯誤的原因是:雖然是從結論出發(fā),但不是逐步逆戰(zhàn)結論成立的充分條件,事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件,所以不符合分析法的邏輯原理,犯了邏輯上的錯誤.)

[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是:

(結論)(步步尋找不等式成立的充分條件)(結論)

分析法是“執(zhí)果索因”,它與綜合法的證明過程(由因導果)恰恰相反.②用分析法證明時要注意書寫格式.分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是:

要證命題B為真,

只需證明 為真,從而有……

這只需證明 為真,從而又有……

……

這只需證明A為真.

而已知A為真,故命題B必為真.

要理解上述格式中蘊含的邏輯關系.

[投影] 例3  證明:通過水管放水,當流速相同時,如果水管截面(指橫截面,下同)的周長相等,那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.

[分析]設未知數(shù),列方程,因為當水的流速相同時,水管的流量取決于水管截面面積的大小,設截面的周長為 ,則周長為 的圓的半徑為 ,截面積為 ;周長為 的正方形邊長為 ,截面積為 ,所以本題只需證明:

證明:(見課本)

設計意圖:理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系,說明分析法在證明不等式中的重要地位.掌

握分析法證明不等式,特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系.靈活掌握分析法的應用,培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.

【課堂練習】

(教師活動)打出字幕(練習),請甲、乙兩位同學板演,巡視學生的解題情況,對正確的證法給予肯定,對偏差及時糾正.點評練習中存在的問題.

(學生活動)在筆記本上完成練習,甲、乙兩位同學板演.

【字幕】練習1.求證

2.求證:

設計意圖:掌握用分析法證明不等式,反饋課堂效果,調節(jié)課堂教學.

【分析歸納、小結解法】

(教師活動)分析歸納例題和練習的解題過程,小給用分析法證明不等式的解題方法.

(學生活動)與教師一道分析歸納,小結解題方法,并記錄筆記.

1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當證題不知從何入手時,有時可以運用分析法而獲得解決,特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的.

2.用分析法證明不等式時,要正確運用不等式的性質逆找充分條件,注意分析法的證題格式.

設計意圖:培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力,掌握分析法證明不等式的方法.

(三)小結

(教師活動)教師小結本節(jié)課所學的知識.

(學生活動)與教師一道小結,并記錄筆記.

本節(jié)課主要學習了用分析法證明不等式.應用分析法證明不等式時,掌握一些常用技巧:

通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母,兩邊乘方、開方等.在使用這些技巧變形時,要注意遵循不等式的性質.另外還要適當掌握指數(shù)、對數(shù)的性質、三角公式在逆推中的靈活運用.理解分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面.有時可以用分析法思索,而用綜合法書寫證明,或者分析法、綜合法相結合,共同完成證明過程.

設計意圖:培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力,鞏固所學知識.

(四)布置作業(yè) 

1.課本作業(yè) :P17  4、5.

2.思考題:若 ,求證

3.研究性題:已知函數(shù) ,若 ,且 證明

設計意圖:思考題供學有余力同學練習,研究性題供學生研究分析法證明有關問題.

    (五)課后點評

教學過程 是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程.本節(jié)課在形成分析法證明不等式認知結構中,教師提出問題或引導學生發(fā)現(xiàn)問題,然后開拓學生思路,啟迪學生智慧,求得問題解決.一個問題解決后,及時地提出新問題,提高學生的思維層次,逐步由特殊到一般,由具體到抽象,由表面到本質,把學生的思維步步引向深入,直到完成本節(jié)課的教學任務.總之,本節(jié)課的教學安排是讓學生的思維由問題開始,到問題深化,始終處于積極主動狀態(tài).

本節(jié)課練中有講,講中有練,講練結合.在講與練的互相作用下,使學生的思維逐步深化.教師提出的問題和例題,先由學生自己研究,然后教師分析與概括.在教師講解中,又不斷讓學生練習,力求在練習中加深理解,盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.

在安排本節(jié)課教學內(nèi)容時,按認識規(guī)律,由淺入深,由易及難,逐漸展開教學內(nèi)容,讓學生形成有序的知識結構.

作業(yè) 答案:

思考題:

.因為 ,故 ,所以 成立.

研究性題:令 ,則:

故原不等式等價于

由已知有 . 。所以上式等價于 ,即 。所以又等價于 .因為 ,上式成立,所以原不等式成立。                                           

 

不等式的實際解釋

題目:不等式: 是正數(shù),且 ,則 。可以給出一個具有實際背景的解釋:在溶液里加溶質則濃度增加,即 個單位溶液中含有 個單位的溶質,其濃度小于加入 個單位溶質后的溶液濃度,請你仿照此例,給出兩個不等式的解釋。

分析與解

1.先看問題中的不等式,建筑學規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積,但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%,并且這個比值越大,住宅的采光條件越好。我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積,那么住宅的條件變好。

設地板面積為 平方米,窗戶面積為 平方米,若窗戶面積和地板面積同時增加相等的 平方米,住宅的采光條件變好了,即有

2. 是正數(shù),不等式 可以推出 ,我們可以用混合溶液來解釋:兩個不同濃度的溶液混合后,其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。

3.電阻串并聯(lián)。電阻值為 的電阻,串聯(lián)電阻為 ,并聯(lián)電阻為 ,串聯(lián)電阻變大,并聯(lián)電阻變小,因此有不等式 ,即

說明 許多數(shù)學結論是由實際問題抽象為數(shù)學問題后,通過數(shù)學的運算演變得到的。反過來,把抽象的數(shù)學結論還原為實際解釋也是一種數(shù)學運用,值得大家關注。

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