不等式的解法舉例

教學目標 

（1）能熟練運用不等式的基本性質來解不等式；

（2）在鞏固一元一次不等式和一元一次不等式組、一元二次不等式的解法基礎上，掌握分式不等式、高次不等式的解法；

（3）能將較復雜的絕對值不等式轉化為簡單的絕對值不等式、一元二次不等式（組）來解；

（4）通過解不等式，要向學生滲透轉化、數形結合、換元、分類討論等數學思想；

（5）通過解各種類型的不等式，培養學生的觀察、比較及概括能力，培養學生的勇于探索、敢于創新的精神，培養學生的學習興趣.

教學建議

一、知識結構

本節內容是在高一研究了一元一次不等式，一元二次不等式，簡單的絕對值不等式及分式不等式的解法基礎上，進一步深入研究較為復雜的絕對值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是運用不等式的性質和有關定理、法則，將這些不等式等價轉化為一次不等式（組）或二次不等式的求解，具體地說就是含有絕對值符號的不等式去掉絕對值符號，無理不等式有理化，分式不等式整式化，高次不等式一次化.其基本模式為：
  ;

;

;

二、重點、難點分析

本節的重點和一個難點是不等式的等價轉化.解不等式與解方程有類似之處,但其二者的區別更要加以重視.解方程所產生的增根是可以通過檢驗加以排除的,由于不等式的解集一般都是無限集,如果產生了增根卻是無法檢驗加以排除的,所以解不等式的過程一定要保證同解,所涉及的變換一定是等價變換.在學生學習過程中另一個難點是不等式 的求解.這個不等式其實是一個不等式組的簡化形式,當 為一元一次式時,可直接解這個不等式組,但當 為一元二次式時,就必須將其改寫成兩個一元二次不等式的形式,分別求解在求交集.

三、教學建議

(1)在學習新課之前一定要復習舊知識,包括一元二次不等式的解法,簡單的絕對值不等式的解法,簡單的分式不等式的解法,不等式的性質,實數運算的符號法則等.特別是對于基礎比較差的學生,這一環節不可忽視.

(2)在研究不等式 的解法之前,應先復習解不等式組的基本思路以及不等式 的解法,然后提出如何求不等式 的解集,啟發學生運用換元思想將 替換成 ,從而轉化一元二次不等式組的求解.

(3)在教學中一定讓學生充分討論,明確不等式組“ ”中的兩個不等式的解集間的交并關系，“ ” 兩個不等式的解集間的交并關系.

(4)建議表述解不等式的過程中運用符號“ ”.

(5)建議在研究分式不等式的解法之前,先研究簡單高次不等式(一端為0,另一端是若干個一次因式乘積形式的整式)的解法.可由學生討論不同解法,師生共同比較諸法的優劣,最后落實到區間法.

(6)分式不等式 與高次不等式 的等價原因, 可以認為是不等式 兩端同乘以正數 ,不等號不改變方向所得;也可以認為是 與 符號相同所得.

(7)分式不等式求解時不能盲目地去分母，但當分母恒為正數(如分母是 )時，應將其去掉，從而使不等式化簡.

(8)建議補充簡單的無理不等式 的解法,其中 為一次式.教學中先由學生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教師概括總結,得出結論后一定要強調不等號的方向對 的影響,即 保證了 ,而 卻不能保證這一點,所以要分 和 兩種情況進行討論.

(9)求解不等式不僅要重視思路的理解,更要重視表述的規范,作為教師應給學生做出示范,學生通過模仿掌握書寫格式,這樣才有可能保證運算的合理性與結果的準確性.

教學設計示例

分式不等式的解法

教學目標 

1.掌握分式不等式向整式不等式的轉化；
2.進一步熟悉并掌握數軸標根法；
3.掌握分式不等式基本解法.

教學重點難點

重點是分式不等式解法
難點是分式不等式向整式不等式的轉化

教學方法

啟發式和引導式

教具準備

三角板、幻燈片

教學過程 

1.復習回顧：

前面，我們學習了含有絕對值的不等式的基本解法，還了解了數軸標根法的解題思路，本節課，我們將繼續研究分式不等式的解法.

2.講授新課：

例3  解不等式 ＜0.

分析：這是一個分式不等式，其左邊是兩個關于x的二次三項式的商，根據商的符號法則，它可以化成兩個不等式組：

因此，原不等式的解集就是上面兩個不等式組的解集的并集，此種解法從課本可以看到.

另解：根據積的符號法則，可以將原不等式等價變形為（x²－3x＋2）(x²－2x－3)＜0

即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0

令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0

可得零點x=－1或1，或2或3，將數軸分成五部分（如圖）.

由數軸標根法可得所求不等式解集為：

{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}

說明：（1）讓學生注意數軸標根法適用條件；

（2）讓學生思考 ≤0的等價變形.

例4  解不等式 ＞1

分析：首先轉化成右端為0的分式不等式，然后再等價變形為整式不等式求解.

解：原不等式等價變形為：

－1＞0

通分整理得： ＞0

等價變形為：（x²－2x＋3）(x²－3x＋2)＞0

即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0

由數軸標根法可得所求不等式解集為：

{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}

說明：此題要求學生掌握較為一般的分式不等式的轉化與求解.

3.課堂練習：

課本P₁₉練習1.

補充：（1） ≥0；

（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0.

課堂小結

通過本節學習，要求大家在進一步掌握數軸標根法的基礎上，掌握分式不等式的基本解法，即轉化為整式不等式求解.

課后作業 

習題6.4  3,4.

板書設計 

●教學后記

探究活動

試一試用所學知識解下列不等式：

（1） ；

（2） ；

（3） .

答案： （1）原式

觀察這個不等式組，由于要求 ，同時要求 ，所以①式可以不解.

∴ 原式

如下圖

∴

（2）分析 當 時，不等式兩邊平方，當 時，在 有意義的前提下恒成立.

原式 （Ⅰ）

或（Ⅱ）

由于同時滿足（2）、（3）式，所以（1）式免解.

∴ （Ⅰ）式

（Ⅱ）式 .

綜合（Ⅰ）、（Ⅱ），得 .

（3）分析 當 時，不等式兩邊平方，當 時，原式解集為 .

原式

觀察不等式組，設有可以免解的不等式.

原式

如下圖

∴