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不等式的解法舉例

不等式的解法舉例


教學(xué)目標(biāo) 


(1)能熟練運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)來解不等式;

(2)在鞏固一元一次不等式和一元一次不等式組、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上,掌握分式不等式、高次不等式的解法;

(3)能將較復(fù)雜的絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式、一元二次不等式(組)來解;

(4)通過解不等式,要向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、換元、分類討論等數(shù)學(xué)思想;

(5)通過解各種類型的不等式,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較及概括能力,培養(yǎng)學(xué)生的勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.


教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

本節(jié)內(nèi)容是在高一研究了一元一次不等式,一元二次不等式,簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式及分式不等式的解法基礎(chǔ)上,進(jìn)一步深入研究較為復(fù)雜的絕對(duì)值不等式及分式不等式的解法.求解的基本思路是運(yùn)用不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理、法則,將這些不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為一次不等式(組)或二次不等式的求解,具體地說就是含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式去掉絕對(duì)值符號(hào),無理不等式有理化,分式不等式整式化,高次不等式一次化.其基本模式為:
  ;

;

;

 

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)和一個(gè)難點(diǎn)是不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化.解不等式與解方程有類似之處,但其二者的區(qū)別更要加以重視.解方程所產(chǎn)生的增根是可以通過檢驗(yàn)加以排除的,由于不等式的解集一般都是無限集,如果產(chǎn)生了增根卻是無法檢驗(yàn)加以排除的,所以解不等式的過程一定要保證同解,所涉及的變換一定是等價(jià)變換.在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中另一個(gè)難點(diǎn)是不等式 的求解.這個(gè)不等式其實(shí)是一個(gè)不等式組的簡(jiǎn)化形式,當(dāng) 為一元一次式時(shí),可直接解這個(gè)不等式組,但當(dāng) 為一元二次式時(shí),就必須將其改寫成兩個(gè)一元二次不等式的形式,分別求解在求交集.

三、教學(xué)建議

(1)在學(xué)習(xí)新課之前一定要復(fù)習(xí)舊知識(shí),包括一元二次不等式的解法,簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式的解法,簡(jiǎn)單的分式不等式的解法,不等式的性質(zhì),實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則等.特別是對(duì)于基礎(chǔ)比較差的學(xué)生,這一環(huán)節(jié)不可忽視.

(2)在研究不等式 的解法之前,應(yīng)先復(fù)習(xí)解不等式組的基本思路以及不等式 的解法,然后提出如何求不等式 的解集,啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用換元思想將 替換成 ,從而轉(zhuǎn)化一元二次不等式組的求解.

(3)在教學(xué)中一定讓學(xué)生充分討論,明確不等式組“ ”中的兩個(gè)不等式的解集間的交并關(guān)系,“ ” 兩個(gè)不等式的解集間的交并關(guān)系.

(4)建議表述解不等式的過程中運(yùn)用符號(hào)“ ”.

(5)建議在研究分式不等式的解法之前,先研究簡(jiǎn)單高次不等式(一端為0,另一端是若干個(gè)一次因式乘積形式的整式)的解法.可由學(xué)生討論不同解法,師生共同比較諸法的優(yōu)劣,最后落實(shí)到區(qū)間法.

(6)分式不等式 與高次不等式 的等價(jià)原因, 可以認(rèn)為是不等式 兩端同乘以正數(shù) ,不等號(hào)不改變方向所得;也可以認(rèn)為是 符號(hào)相同所得.

(7)分式不等式求解時(shí)不能盲目地去分母,但當(dāng)分母恒為正數(shù)(如分母是 )時(shí),應(yīng)將其去掉,從而使不等式化簡(jiǎn).

(8)建議補(bǔ)充簡(jiǎn)單的無理不等式 的解法,其中 為一次式.教學(xué)中先由學(xué)生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教師概括總結(jié),得出結(jié)論后一定要強(qiáng)調(diào)不等號(hào)的方向?qū)?SUB> 的影響,即 保證了 ,而 卻不能保證這一點(diǎn),所以要分 兩種情況進(jìn)行討論.

(9)求解不等式不僅要重視思路的理解,更要重視表述的規(guī)范,作為教師應(yīng)給學(xué)生做出示范,學(xué)生通過模仿掌握書寫格式,這樣才有可能保證運(yùn)算的合理性與結(jié)果的準(zhǔn)確性.

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

分式不等式的解法

教學(xué)目標(biāo) 

1.掌握分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化;
2.進(jìn)一步熟悉并掌握數(shù)軸標(biāo)根法;
3.掌握分式不等式基本解法.

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)是分式不等式解法
難點(diǎn)是分式不等式向整式不等式的轉(zhuǎn)化

教學(xué)方法

啟發(fā)式和引導(dǎo)式

教具準(zhǔn)備

三角板、幻燈片

教學(xué)過程 

1.復(fù)習(xí)回顧:

前面,我們學(xué)習(xí)了含有絕對(duì)值的不等式的基本解法,還了解了數(shù)軸標(biāo)根法的解題思路,本節(jié)課,我們將繼續(xù)研究分式不等式的解法.

2.講授新課:

解不等式 0.

分析:這是一個(gè)分式不等式,其左邊是兩個(gè)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式的商,根據(jù)商的符號(hào)法則,它可以化成兩個(gè)不等式組:

因此,原不等式的解集就是上面兩個(gè)不等式組的解集的并集,此種解法從課本可以看到.

另解:根據(jù)積的符號(hào)法則,可以將原不等式等價(jià)變形為(x23x2(x22x3)0

即(x1(x1)(x2)(x3)0

令(x1(x1)(x2)(x3)=0

可得零點(diǎn)x=11,或23,將數(shù)軸分成五部分(如圖).

由數(shù)軸標(biāo)根法可得所求不等式解集為:

{x|1x12x3}

說明:(1)讓學(xué)生注意數(shù)軸標(biāo)根法適用條件;

2)讓學(xué)生思考 0的等價(jià)變形.

解不等式 1

分析:首先轉(zhuǎn)化成右端為0的分式不等式,然后再等價(jià)變形為整式不等式求解.

解:原不等式等價(jià)變形為:

10

通分整理得: 0

等價(jià)變形為:(x22x3(x23x2)0

即:(x1(x1)(x2)(x3)0

由數(shù)軸標(biāo)根法可得所求不等式解集為:

{x|x<-11x2x3}

說明:此題要求學(xué)生掌握較為一般的分式不等式的轉(zhuǎn)化與求解.

3.課堂練習(xí):

課本P19練習(xí)1.

補(bǔ)充:(1 0

2x(x3)(x1)(x2)0.

課堂小結(jié)

通過本節(jié)學(xué)習(xí),要求大家在進(jìn)一步掌握數(shù)軸標(biāo)根法的基礎(chǔ)上,掌握分式不等式的基本解法,即轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.

課后作業(yè) 

習(xí)題6.4  3,4.

板書設(shè)計(jì) 


●教學(xué)后記

 

探究活動(dòng)

試一試用所學(xué)知識(shí)解下列不等式:

1

2

3 .

答案: 1)原式

觀察這個(gè)不等式組,由于要求 ,同時(shí)要求 ,所以①式可以不解.

原式

如下圖

2)分析 當(dāng) 時(shí),不等式兩邊平方,當(dāng) 時(shí),在 有意義的前提下恒成立.

原式 (Ⅰ)

或(Ⅱ)

由于同時(shí)滿足(2)、(3)式,所以(1)式免解.

(Ⅰ)式

(Ⅱ)式 .

綜合(Ⅰ)、(Ⅱ),得 .

3)分析 當(dāng) 時(shí),不等式兩邊平方,當(dāng) 時(shí),原式解集為 .

原式

觀察不等式組,設(shè)有可以免解的不等式.

原式

如下圖


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