含有絕對值的不等式
教學(xué)目標(biāo)
（1）掌握絕對值不等式的基本性質(zhì)，在學(xué)會一般不等式的證明的基礎(chǔ)上，學(xué)會含有絕對值符號的不等式的證明方法；
（2）通過含有絕對值符號的不等式的證明，進一步鞏固不等式的證明中的由因?qū)Ч?zhí)要溯因等數(shù)學(xué)思想方法；
（3）通過證明方法的探求，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，全面思考方法；
（4）通過含有絕對值符號的不等式的證明，可培養(yǎng)學(xué)生辯證思維的方法和能力，以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神。
教學(xué)建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點、難點分析
① 本節(jié)重點是性質(zhì)定理及推論的證明.一個定理、公式的運用固然重要，但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推導(dǎo)過程中所蘊含的數(shù)學(xué)思想與方法，通過證明過程的探求，使學(xué)生理清思考脈絡(luò)，培養(yǎng)學(xué)生勤于動腦、勇于探索的精神.
② 教學(xué)難點 一是性質(zhì)定理的推導(dǎo)與運用；一是證明的方法選擇.在推導(dǎo)定理中進行的恒等變換與不等變換，相對學(xué)生的思維水平是有一定難度的；證明的方法不外是比較法、分析法、綜合法以及簡單的放縮變換，根據(jù)要證明的不等式選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法是無疑學(xué)生學(xué)習(xí)上的難點.
三、教學(xué)建議
（1）本節(jié)內(nèi)容分為兩課時，第一課時為性質(zhì)定理的證明及簡單運用，第二課時為的證明舉例.
（2）課前復(fù)習(xí)應(yīng)充分.建議復(fù)習(xí)：當(dāng) 時
；
；
以及絕對值的性質(zhì)：
，為證明例1做準(zhǔn)備.
（3）可先不給出性質(zhì)定理，提出問題讓學(xué)生研究： 是否等于 ？大小關(guān)系如何？ 是否等于 ？等等.提示學(xué)生用一些數(shù)代入計算、比較，以便歸納猜想一般結(jié)論.
（4）不等式 的證明方法較多，也應(yīng)放手讓學(xué)生去探討.
（5）用向量加減法的三角形法則記憶不等式及推論 .
（6）本節(jié)教學(xué)既要突出教師的主導(dǎo)作用，又要強調(diào)學(xué)生的主體作用，課上盡量讓全體學(xué)生參與討論，由基礎(chǔ)較差的學(xué)生提出猜想，由基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助證明，培養(yǎng)學(xué)生的團結(jié)協(xié)作的團隊精神.
教學(xué)設(shè)計示例 教學(xué)目標(biāo) 理解 及其兩個推論，并能應(yīng)用它證明簡單含有絕對值不等式的證明問題。 教學(xué)重點難點 重點是理解掌握定理及等號成立的條件，絕對值不等式的證明。 難點是定理的推導(dǎo)過程的探索，擺脫絕對值的符號，通過定理或放縮不等式。 教學(xué)過程 一、復(fù)習(xí)引入 我們在初中學(xué)過絕對值的有關(guān)概念，請一位同學(xué)說說絕對值的定義。 當(dāng) 時，則有： 那么 與 及 的大小關(guān)系怎樣？ 這需要討論 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 綜上可知： 我們已學(xué)過積商絕對值的性質(zhì)，哪位同學(xué)回答一下？ . 當(dāng) 時，有： 或 . 二、引入新課 由上可知，積的絕對值等于絕對值的積；商的絕對值等于絕對值的商。 那么和差的絕對值等于絕對值的和差嗎？ 1.定理探索 和差的絕對值不一定等于絕對值的和差，我們猜想 . 怎么證明你的結(jié)論呢？ 用分析法，要證 . 只要證 即證 即證 ， 而 顯然成立， 故 那么怎么證 ？ 同樣可用分析法 當(dāng) 時，顯然成立， 當(dāng) 時，要證 只要證 ， 即證 而 顯然成立。 從而證得 . 還有別的證法嗎？（學(xué)生討論，教師提示） 由 與 得 . 當(dāng)我們把 看作一個整體時，上式逆用 可得什么結(jié)論？ 。 能用已學(xué)過得的 證明 嗎？ 可以 表示為 . 即 （教師有計劃地板書學(xué)生分析證明的過程） 就是含有絕對值不等式的重要定理，即 . 由于定理中對 兩個實數(shù)的絕對值，那么三個實數(shù)和的絕對值呢？ 個實數(shù)和的絕對值呢？ 亦成立 這就是定理的一個推論，由于定理中對 沒有特殊要求，如果用 代換 會有什么結(jié)果？（請一名學(xué)生到黑板演） ， 用 代 得 ， 即 。 這就是定理的推論 成立的充要條件是什么？ 那么 成立的充要條件是什么？ . 例1 已知 ，求證 . （由學(xué)生自行完成，請學(xué)生板演） 證明： 例2 已知 ，求證 . 證明： 點評：這是為今后學(xué)習(xí)極限證明做準(zhǔn)備，要習(xí)慣和“配湊”的方法。 例3 求證 . 證法一：（直接利用性質(zhì)定理）在 時，顯然成立. 當(dāng) 時，左邊 . 證法二：（利用函數(shù)的單調(diào)性）研究函數(shù) 在 時的單調(diào)性。 設(shè) ， , 在 時是遞增的. 又 ，將 ， 分別作為 和 ，則有 （下略） 證法三：（分析法）原不等式等價于 ， 只需證 ， 即證 又 ， 顯然成立. 原不等式獲證。 還可以用分析法證得 ，然后利用放縮法證得結(jié)果。 三、隨堂練習(xí) 1.①已知 ，求證 . ②已知 求證 . 2.已知 求證： ① ； ② . 3.求證 . 答案：1. 2. 略 3. 與 同號 四、小結(jié) 1.定理 . 把 、 、 看作是三角形三邊，很象三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，這樣理解便于記憶，此定理在后面學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時，可以推廣到比較復(fù)數(shù)的模長，并有其幾何意義，有時也稱其為“三角形不等式”. 2.平方法能把絕對值不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對值符號的不等式，但應(yīng)注意兩邊非負(fù)時才可平方，有些證明并不容易去掉絕對值符號，需用定理 及其推論。 3.對 要特別重視. 五、布置作業(yè) 1.若 ，則不列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2.設(shè) 為滿足 的實數(shù)，那么（ ） A. B. C. D. 3.能使不等式 成立的正整數(shù) 的值是__________. 4.求證： （1） ； （2） . 5.已知 ，求證 . 答案：1. D 2. B 3.1、2、3 4. 5. = 注：也可用分析法. 六、板書設(shè)計 6.5（一） 1.復(fù)習(xí) 2.定理 推論 例1 例2 例3 課堂訓(xùn)練