不等式的證明（三）
第四課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握分析法證明不等式；
2.理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因；
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學(xué)重點(diǎn) 分析法
教學(xué)難點(diǎn) 分析法實(shí)質(zhì)的理解
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
（一）導(dǎo)入 新課
（教師活動(dòng)）教師提出問(wèn)題，待學(xué)生回答和思考后點(diǎn)評(píng).
（學(xué)生活動(dòng)）回答和思考教師提出的問(wèn)題.
［問(wèn)題1］我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？
［問(wèn)題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：
[點(diǎn)評(píng)]在證明不等式時(shí)，若用比較法或綜合法難以下手時(shí)，可采用另一種證明方法：分析法.（板書(shū)課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)已學(xué)證明不等式的方法.指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，
激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新的證明不等式知識(shí)的積極性，導(dǎo)入 本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容：用分析法證明不等式.
（二）新課講授
【嘗試探索、建立新知】
（教師活動(dòng)）教師講解綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，然后提出問(wèn)題供學(xué)生研究，并點(diǎn)評(píng).幫助學(xué)生建立分析法證明不等式的知識(shí)體系.投影分析法證明不等式的概念.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析綜合法的邏輯關(guān)系，在教師啟發(fā)、引導(dǎo)下嘗試探索，構(gòu)建新知.
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結(jié)論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式.
［問(wèn)題1］我們能不能用同樣的思考問(wèn)題的方式，把要證明的不等式作為結(jié)論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？
［問(wèn)題2］當(dāng)我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時(shí)，說(shuō)明了什么呢？
［問(wèn)題3］說(shuō)明要證明的不等式成立的理由是什么呢？
［點(diǎn)評(píng)］從要證明的結(jié)論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結(jié)論成立.就是分析法的邏輯關(guān)系.
[投影]分析法證明不等式的概念.（見(jiàn)課本）
設(shè)計(jì)意圖：對(duì)比綜合法的邏輯關(guān)系，教師層層設(shè)置問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生積極思考、研究.建立新的知識(shí)；分析法證明不等式.培養(yǎng)學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識(shí).
【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書(shū)或投影例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問(wèn)題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用分析法證明不等式，并點(diǎn)評(píng)用分析法證明不等式必須注意的問(wèn)題.
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師引導(dǎo)下，研究問(wèn)題，與教師一道完成問(wèn)題的論證.
例1 求證
[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應(yīng)考慮用分析法.
證明：（見(jiàn)課本）
[點(diǎn)評(píng)]證明某些含有根式的不等式時(shí)，用綜合法比較困難.此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫(xiě)出證明過(guò)程，這是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思維方法，事實(shí)上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎(chǔ)上，分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此.
例2 已知： ，求證： （用分析法）請(qǐng)思考下列證法有沒(méi)有錯(cuò)誤？若有錯(cuò)誤，錯(cuò)在何處？
［投影］證法一：因?yàn)?SUB> ，所以 、去分母，化為 ，就是 .由已知 成立，所以求證的不等式成立.
證法二：欲證 ，因?yàn)?SUB>
只需證 ，
即證 ，
即證
因?yàn)?SUB> 成立，所以 成立.
（證法二正確，證法一錯(cuò)誤.錯(cuò)誤的原因是：雖然是從結(jié)論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結(jié)論成立的充分條件，事實(shí)上找到明顯成立的不等式是結(jié)論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯(cuò)誤.）
[點(diǎn)評(píng)]①用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：
（結(jié)論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結(jié)論）
分析法是“執(zhí)果索因”，它與綜合法的證明過(guò)程（由因?qū)Ч┣∏∠喾?②用分析法證明時(shí)要注意書(shū)寫(xiě)格式.分析法論證“若A則B”這個(gè)命題的書(shū)寫(xiě)格式是：
要證命題B為真，
只需證明 為真，從而有……
這只需證明 為真，從而又有……
……
這只需證明A為真.
而已知A為真，故命題B必為真.
要理解上述格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.
[投影] 例3 證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
［分析］設(shè)未知數(shù)，列方程，因?yàn)楫?dāng)水的流速相同時(shí)，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設(shè)截面的周長(zhǎng)為 ，則周長(zhǎng)為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長(zhǎng)為 的正方形邊長(zhǎng)為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：
證明：（見(jiàn)課本）
設(shè)計(jì)意圖：理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系，說(shuō)明分析法在證明不等式中的重要地位.掌
握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊(yùn)含的邏輯關(guān)系.靈活掌握分析法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請(qǐng)甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的證法給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正.點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問(wèn)題.
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演.
【字幕】練習(xí)1.求證
2.求證：
設(shè)計(jì)意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué).
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過(guò)程，小給用分析法證明不等式的解題方法.
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄筆記.
1.分析法是證明不等式的一種常用基本方法.當(dāng)證題不知從何入手時(shí)，有時(shí)可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別是對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效的.
2.用分析法證明不等式時(shí)，要正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問(wèn)題的能力，掌握分析法證明不等式的方法.
（三）小結(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí).
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記.
本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了用分析法證明不等式.應(yīng)用分析法證明不等式時(shí)，掌握一些常用技巧：
通分、約分、多項(xiàng)式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開(kāi)方等.在使用這些技巧變形時(shí)，要注意遵循不等式的性質(zhì).另外還要適當(dāng)掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運(yùn)用.理解分析法和綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面.有時(shí)可以用分析法思索，而用綜合法書(shū)寫(xiě)證明，或者分析法、綜合法相結(jié)合，共同完成證明過(guò)程.
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí).
（四）布置作業(yè)
1.課本作業(yè) ：P17 4、5.
2.思考題：若 ，求證
3.研究性題：已知函數(shù) ， ，若 、 ，且 證明
設(shè)計(jì)意圖：思考題供學(xué)有余力同學(xué)練習(xí)，研究性題供學(xué)生研究分析法證明有關(guān)問(wèn)題.
（五）課后點(diǎn)評(píng)
教學(xué)過(guò)程是不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的思維過(guò)程.本節(jié)課在形成分析法證明不等式認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，教師提出問(wèn)題或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后開(kāi)拓學(xué)生思路，啟迪學(xué)生智慧，求得問(wèn)題解決.一個(gè)問(wèn)題解決后，及時(shí)地提出新問(wèn)題，提高學(xué)生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學(xué)生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù).總之，本節(jié)課的教學(xué)安排是讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開(kāi)始，到問(wèn)題深化，始終處于積極主動(dòng)狀態(tài).
本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結(jié)合.在講與練的互相作用下，使學(xué)生的思維逐步深化.教師提出的問(wèn)題和例題，先由學(xué)生自己研究，然后教師分析與概括.在教師講解中，又不斷讓學(xué)生練習(xí)，力求在練習(xí)中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法.
在安排本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容時(shí)，按認(rèn)識(shí)規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開(kāi)教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu).
作業(yè) 答案：
思考題：
.因?yàn)?SUB> ，故 ，所以 成立.
研究性題：令 ， ，則：
， ，
故原不等式等價(jià)于
由已知有 . 。所以上式等價(jià)于 ，即 。所以又等價(jià)于 .因?yàn)?SUB> ，上式成立，所以原不等式成立。
不等式的實(shí)際解釋
題目：不等式： 是正數(shù)，且 ，則 。可以給出一個(gè)具有實(shí)際背景的解釋?zhuān)涸谌芤豪锛尤苜|(zhì)則濃度增加，即 個(gè)單位溶液中含有 個(gè)單位的溶質(zhì)，其濃度小于加入 個(gè)單位溶質(zhì)后的溶液濃度，請(qǐng)你仿照此例，給出兩個(gè)不等式的解釋。
分析與解
1.先看問(wèn)題中的不等式，建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶(hù)面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶(hù)面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，并且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時(shí)增加相等的窗戶(hù)面積和地板面積，那么住宅的條件變好。
設(shè)地板面積為 平方米，窗戶(hù)面積為 平方米，若窗戶(hù)面積和地板面積同時(shí)增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有
2. 是正數(shù)，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來(lái)解釋?zhuān)簝蓚�(gè)不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。
3.電阻串并聯(lián)。電阻值為 、 的電阻，串聯(lián)電阻為 ，并聯(lián)電阻為 ，串聯(lián)電阻變大，并聯(lián)電阻變小，因此有不等式 ，即
說(shuō)明 許多數(shù)學(xué)結(jié)論是由實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題后，通過(guò)數(shù)學(xué)的運(yùn)算演變得到的。反過(guò)來(lái)，把抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際解釋也是一種數(shù)學(xué)運(yùn)用，值得大家關(guān)注。