不等式的證實1
(4)分析法證實不等式的分析
①從求證的不等式出發,逐步尋求使不等式成立的充分條件,直至所需條件被確認成立,就斷定求證的不等式成立,這種證實方法就是分析法.
有時,我們也可以首先假定所要證實的不等式成立,逐步推出一個已知成立的不等式,只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的,那么就可以斷定所給的不等式成立.這也是用分析法,注重應強調“以上每一步都可逆”,并說出可逆的根據.
②分析法的思路是“執果導因”:從求證的不等式出發,探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式.它與綜合法是對立統一的兩種方法.
③用分析法證實不等式的邏輯關系是:
… .
(已知)(逐步推演不等式成立的必要條件)(結論)
④分析法是教學中的一個難點,一是難在初學時不易理解它的本質是從結論分析出使結論成立的“充分”條件,二是不易正確使用連接有關(分析推理)步驟的關鍵詞.如“為了證實”“只需證實”“即”以及“假定……成立”等.
⑤分析法是證實不等式時一種常用的基本方法.當證實不知從何入手時,有時可以運用分析法而獲得解決.非凡對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效.
(5)關于分析法與綜合法
①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法.
②在數學解題中,分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發,一步一步地探索下去,最后達到題設的已知條件.即推理方向是:結論 已知.
綜合法則是從數學題的已知條件出發,經過逐步的邏輯推理,最后達到待證結論或需求問題.即:已知 結論.
③分析法的特點是:從“結論”探求“需知”,逐步靠攏“已知”,其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件.
綜合法的特點是:從“已知”推出“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件.
④各有其優缺點:
從尋求解題思路來看:分析法是執果索因,利于思考,方向明確,思路自然,有希望成功;綜合法由因導果,往往枝節橫生,不輕易達到所要證實的結論.
從書寫表達過程而論:分析法敘述繁鎖,文辭冗長;綜合法形式簡潔,條理清楚.
也就是說,分析法利于思考,綜合法宜于表達.
⑤一般來說,對于較復雜的不等式,直接運用綜合法往往不易入手,用分析法來書寫又比較麻煩.因此,通常用分析法探索證題途徑,然后用綜合法加以證實,所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的.
(二)教法建議
①選擇例題和習題要注重層次性.
不等式證實的三種方法主要是通過例題來說明的.教師在教學中要注重例題安排要由易到難,由簡單到綜合,層層深入,啟發學生理解各種證法的意義和邏輯關系.教師選擇的練習題也要與所講解的例題的難易程度的層次相當.
要堅持精講精練的原則.通過一題多法和多變挖掘各種方法的內在聯系,對知識進行拓展、延伸,使學生溝通知識,有效地提高解題能力.