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不等關(guān)系與不等式教案

發(fā)布時間:2023-08-18

不等關(guān)系與不等式教案(精選4篇)

不等關(guān)系與不等式教案 篇1

  (一)教學目標

  1.知識與技能:使學生感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,在學生了解了一些不等式(組)產(chǎn)生的實際背景的前提下,學習不等式的有關(guān)內(nèi)容。

  2.過程與方法:以問題方式代替例題,學習如何利用不等式研究及表示不等式,利用不等式的有關(guān)基本性質(zhì)研究不等關(guān)系;

  3.情態(tài)與價值:通過學生在學習過程中的感受、體驗、認識狀況及理解程度,注重問題情境、實際背景的的設(shè)置,通過學生對問題的探究思考,廣泛參與,改變學生學習方式,提高學習質(zhì)量。

  (二)教學重、難點

  重點:用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系,并用不等式(組)研究含有不等關(guān)系的問題,理解不等式(組)對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值。

  難點:用不等式(組)正確表示出不等關(guān)系。

  (三)教學設(shè)想

  [創(chuàng)設(shè)問題情境]

  問題1:設(shè)點A與平面的距離為d,B為平面上的任意一點,則d≤。

  問題2:某種雜志原以每本2.5元的價格銷售,可以售出8萬本。根據(jù)市場調(diào)查,若單價每提高0.1元,銷售量就可能相應(yīng)減少20xx本。若把提價后雜志的定價設(shè)為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元?

  分析:若雜志的定價為x元,則銷售的總收入為萬元。那么不等關(guān)系“銷售的總收入不低于20萬元”可以表示為不等式≥20

  問題3:某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,按照生產(chǎn)的要求,600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢?

  分析:假設(shè)截得500mm的鋼管x根,截得600mm的鋼管y根..

  根據(jù)題意,應(yīng)有如下的不等關(guān)系:

  (1)解得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm;

  (2)截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍;

  (3)解得兩鐘鋼管的數(shù)量都不能為負。

  由以上不等關(guān)系,可得不等式組:

  [練習]第82頁,第1、2題。

  [知識拓展]

  設(shè)問:等式性質(zhì)中:等式兩邊加(減)同一個數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等。不等式是否也有類似的性質(zhì)呢?

  從實數(shù)的基本性質(zhì)出發(fā),可以證明下列常用的不等式的基本性質(zhì):

  (1)

  (2)

  (3)

  (4)

  證明:

  例1講解(第82頁)

  [練習]第82頁,第3題。

  [思考]:利用以上基本性質(zhì),證明不等式的下列性質(zhì):

  [小結(jié)]:1.現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系;

  2.利用不等式的有關(guān)基本性質(zhì)研究不等關(guān)系;

  [作業(yè)]:習題3.1(第83頁):(A組)4、5;(B組)2.

不等關(guān)系與不等式教案 篇2

  教學分析

  本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.

  通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.

  在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.

  在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.

  三維目標

  1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.

  2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.

  3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.

  重點難點

  教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍.

  教學難點:準確比較兩個代數(shù)式的大小.

  課時安排

  1課時

  教學過程

  導入新課

  思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望,自然地引入新課.

  思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.

  推進新課

  新知探究

  提出問題

  1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?

  2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?

  3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?

  4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?

  活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號“>”“b”“a

  教師與學生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.

  實例1:某天的天氣預報報道,最高氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.

  實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA

  實例3:若一個數(shù)是非負數(shù),則這個數(shù)大于或等于零.

  實例4:兩點之間線段最短.

  實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.

  實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.

  實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

  教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.

  教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.

  |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

  |AB|-|BC|b,a0a>b;a-b=0a=b;a-bg(x) B.f(x)=g(x)

  C.f(x)

  答案:A

  解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).

  2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.

  解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

  ∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

  例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).

  (1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);

  (2)a4-b4與4a3(a-b).

  活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.

  解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

  ∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.

  (2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

  =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

  =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

  ∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),

  又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]y,且y≠0,比較xy與1的大小.

  活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.

  解:xy-1=x-yy.

  ∵x>y,∴x-y>0.

  當y0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.

  點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.

  例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.

  活動:解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.

  解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求a

  由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,

  因此a+mb+m>ab≥10%.

  所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.

  點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a0,則a+mb+m>ab.

  變式訓練

  已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則( )

  A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8

  C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

  答案:A

  解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

  =a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

  ∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.

  又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.

  知能訓練

  1.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )

  A.3 B.2 C.1 D.0

  2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.

  答案:

  1.C解析:∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,

  ③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

  ∴只有①恒成立.

  2.解:因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0,

  所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

  課堂小結(jié)

  1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.

  2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.

  作業(yè)

  習題3—1A組3;習題3—1B組2.

  設(shè)計感想

  1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中,沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.

  2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產(chǎn)生負面影響.

  3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.

  備課資料

  備用習題

  1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.

  2.試判斷下列各對整式的大小:(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

  3.已知x>0,求證:1+x2>1+x .

  4.若x

  5.設(shè)a>0,b>0,且a≠b,試比較aabb與abba的大小.

  參考答案:

  1.解:∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

  =(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

  =1>0,

  ∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

  2.解:(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

  =m2-2m+5+2m-5

  =m2.

  ∵m2≥0,∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

  ∴m2-2m+5≥-2m+5.

  (2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

  =a2-4a+3+4a-1

  =a2+2.

  ∵a2≥0,∴a2+2≥2>0.

  ∴a2-4a+3>-4a+1.

  3.證明:∵(1+x2)2-(1+x)2

  =1+x+x24-(x+1)

  =x24,

  又∵x>0,∴x24>0.

  ∴(1+x2)2>(1+x)2.

  由x>0,得1+x2>1+x.

  4.解:(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

  =(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

  =-2xy(x-y).

  ∵x0,x-y0.

  ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

  5.解:∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b,且a≠b,

  當a>b>0時,ab>1,a-b>0,

  則(ab)a-b>1,于是aabb>abba.

  當b>a>0時,0

  則(ab)a-b>1.

  于是aabb>abb a.

  綜上所述,對于不相等的正數(shù)a、b,都有aabb>abba.

不等關(guān)系與不等式教案 篇3

  【教學目標】

  1.通過具體情境讓學生感受和體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,鼓勵學生用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,使學生感受數(shù)學、走進數(shù)學、改變學生的數(shù)學學習態(tài)度。

  2.建立不等觀念,并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系。

  3.了解不等式或不等式組的實際背景。

  4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。

  【重點難點】

  重點:

  1.通過具體的問題情景,讓學生體會不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性。

  2.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關(guān)系,并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關(guān)系的問題。

  3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值。

  難點:

  1.用不等式或不等式組準確地表示不等關(guān)系。

  2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關(guān)系的實際問題。

  【方法手段】

  1.采用探究法,按照閱讀、思考、交流、分析,抽象歸納出數(shù)學模型,從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學。

  2.教師提供問題、素材,并及時點撥,發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用。

  3.設(shè)計教典型的現(xiàn)實問題,激發(fā)學生的學習興趣和積極性。

  【教學過程】

  教學環(huán)節(jié)

  教師活動

  學生活動

  設(shè)計意圖

  導入新課

  日常生活中,同學們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系。你能舉出一些例子嗎?

  實例1.某天的天氣預報報道,最高氣溫35℃,最低氣溫29℃。

  實例2.若一個數(shù)是非負數(shù),則這個數(shù)大于或等于零。

  實例3.兩點之間線段最短。

  實例4.三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。

  引導學生想生活中的例子和學過的數(shù)學中的例子。在老師的引導下,學生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛,又激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。

  推進新課

  同學們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活,又考慮到數(shù)學上常見的數(shù)量關(guān)系,非常好。而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標題《不等關(guān)系與不等式》,所舉的實例都是反映不等量的關(guān)系。

  (下面利用電腦投影展示兩個實例)

  實例5:限時40km/h的路標,指示司機在前方路段行使時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h。

  實例6:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

  同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。

  讓學生們邊看邊思考:生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關(guān)系來描述

  過程引導

  能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但是我們還要能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點、進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,那么我們用什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?

  什么是不等式呢?

  用大屏幕展示一組不等式-71+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.

  能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來,也就是建立不等式數(shù)學模型的過程通過對不等式數(shù)學模型的研究,反過來作用于現(xiàn)實生活,這才是學習數(shù)學的最終目的。

  思考并回答老師的問題:可以用不等式或不等式組來表示不等關(guān)系。

  經(jīng)過老師的啟發(fā)和點撥,學生可以自己總結(jié)出:用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。

  目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式,并說明不等號≤,≥的含義,是或的關(guān)系。回憶了不等式的概念,不等式組學生自然而然就清楚了。

  此時學生已經(jīng)迫不及待地想說出自己的觀點了。

  合作探究

  (一)。下面我們把上述實例中的不等量的關(guān)系用不等式或不等式組一一的表示出來,那應(yīng)該怎么表示呢?

  這兩位同學的觀點是否正確?

  老師要表揚學生:“很好!這樣思考問題很嚴密。”應(yīng)該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關(guān)系,也可以用“且”的形式來表達。

  (二)。問題一:設(shè)點A與平面的距離為d,B為平面上的任意一點。

  請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關(guān)系。

  老師提示:借助于圖形,這個問題是不是可以解決?

  (下面讓學生板演,結(jié)合三角形草圖來表達)

  問題(二):某種雜志原以每本2。5元的價格銷售,可以售出8萬本,據(jù)市場調(diào)查,若單價每提高0。1元,銷售量就可能相應(yīng)減少20xx本。若把提價后雜志的定價設(shè)為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?

  是不是還有其他的思路?

  為什么可以這樣設(shè)?

  很好,請繼續(xù)講。

  這位學生回答的很好,表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。

  問題(三):某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,按照生產(chǎn)的要求,600mm鋼管的數(shù)量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關(guān)系的不等式?

  假設(shè)截得500mm的鋼管x根,截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意,應(yīng)當有什么樣的不等量關(guān)系呢?

  右邊的三個不等關(guān)系是“或”還是“且”的關(guān)系呢?

  這位學生回答得很好,思維很嚴密,那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關(guān)系呢?

  通過上述三個問題的探究,同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關(guān)系表示出來,這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1,2。

  課堂小結(jié):

  1.學習數(shù)學可以幫助我們解決實際生活中的問題。

  2.數(shù)學和我們的生活聯(lián)系非常密切。

  3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組,并且能用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關(guān)系的實際問題。還要注意思維要嚴密,規(guī)范,并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用。

  布置作業(yè):

  第75頁習題3.1 A組4,5。

  29℃≤t≤35℃

  x≥0

  |AC|+|BC|>|AB|

  |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

  |AB|-|BC|b,或者a=b”,等價于“a不小于b,即若a>b或a=b之中有一個正確,則ab正確.3.實數(shù)比較大小的依據(jù)與方法.

  (1)如果ab是正數(shù),那么ab;如果ab等于零,那么ab;如果ab是負數(shù),那么ab.反之也成立,就是(ab>0a>b;ab=0a=b;ab

  (二)基礎(chǔ)練習

  1.用不等式表示下面的不等關(guān)系:

  (1)a與b的和是非負數(shù);

  (2)某公路立交橋?qū)νㄟ^車輛的高度h“限高4m”;解:

  (1)ab0;

  (2)h4.2.有一個兩位數(shù)大于50而小于60,其個位數(shù)字比十位數(shù)字大2.試用

  不等式表示上述關(guān)系(用a和b分別表示這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字).解:由題意知5010ab60,5010ab60,5011a260

  ba2,ba2,43a5.11114811a5843.比較(a+3)(a-5)與(a+2)(a-4)的大小.解:(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a22a15)-a22a6=-7

  (三)提升訓練

  1.比較x23與3x的大小,其中xR.

  222233333解:x33xx3x3x3x3x

  24422220,x233x.方法總結(jié):兩個實數(shù)比較大小,通常用作差法來進行,其一般步驟是:

  第一步:作差;第二步:變形,常采用配方、因式分解等恒等變形手段,將差化積;第三步:定號.最后得出結(jié)論.

  2.小明帶了20元錢去超市買筆記本和鋼筆.已知筆記本每本2元,鋼筆每枝5元.設(shè)他所能買的筆記本和鋼筆的數(shù)量分別為x,y,則x,2x5y20,y應(yīng)滿足關(guān)系式xN,

  yN.3.一個盒中紅、白、黑三種球分別有x個、y個、z個,黑球個數(shù)至少是白球個數(shù)的一半,至多是紅球的,白球與黑球的個數(shù)之和至少

  為55,使用不等式將題中的不等關(guān)系表示出來(x,y,zN*).yxz,解:32

  yz55.

  (四)課后鞏固

  p74練習題:1,2.p75習題3.1 A組:1,2. 4

不等關(guān)系與不等式教案 篇4

  整體設(shè)計

  教學分析

  本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.

  通過本節(jié)課的學習, 讓學生從一系列的具體問題情境中,感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象,完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題,其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學生的學習興趣,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.

  在本節(jié)教學中,教師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具,直接用實數(shù)與數(shù)軸上 點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.

  三維目標

  1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.

  2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法判斷二次式的大小和范圍.

  3.通過溫故知新,提高學生對不等式的認識,激發(fā)學生的學習興趣,體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.

  重點難點

  教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,判斷二次式的大小和范圍.

  教學難點:準確比較兩個代數(shù)式的大小.

  課時安排

  1課時

  教學過程

  導入新課

  思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面,它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望,自然地引入新課.

  思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想,教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材,讓學 生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納,使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究學習,由此引入新課.

  推進新課

  新知探究

  提出問題

  1回憶初中學過的不等式,讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?

  2在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?

  3數(shù)軸上的任意兩 點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?

  4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?

  活動:教師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號“>”“b”“a

  教師與學生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學生充分合作討論,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.

  實例1:某天的天氣預報報道,氣溫32 ℃,最低氣溫26 ℃.

  實例2:對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則xA

  實例3:若一個數(shù)是非負數(shù),則這個數(shù)大于或等于零.

  實例4:兩點之間線段最短.

  實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.

  實例6:限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.

  實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.

  教師進一步點撥:能夠發(fā)現(xiàn)身 邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但作為我們研究數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到,用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6,a+2≥0,3≠4,0≤5等.

  教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表示某天的氣溫,則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x≥0.實例5,|AC|+|BC|>|AB|,如下圖.

  |AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

  |AB|-|BC|b,a應(yīng)用示例

  例1(教材本節(jié)例1和例2)

  活動:通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,配方法.

  點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法,應(yīng)讓學生熟練掌握.

  變式訓練

  1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是(  )

  A.f(x)>g(x)       B.f(x)=g(x)

  C.f(x)

  答案:A

  解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,∴f(x)>g(x).

  2.已知x≠0,比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.

  解:由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

  ∵x≠0,得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.

  例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).

  (1)a+b2與21a+1b(a>0,b>0);

  (2)a4-b4與4a3(a-b).

  活動:比較兩個實數(shù)的大小,常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系,歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥學生在最后的符號判斷說理中,要理由充分,不可忽略這點.

  解:(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

  ∵a>0,b>0且a≠b,∴a+b>0,(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0,即a+b2>21a+1b.

  (2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

  =(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

  =-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

  ∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號),

  又a≠b,∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]y,且y≠0,比較xy與1的大小.

  活動:要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.

  解:xy-1=x-yy.

  ∵x>y,∴x-y>0.

  當y0時,x-yy>0,即xy-1>0.∴xy>1.

  點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負情況不同,所以需對y分類討論.

  例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積, 住宅的采光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.

  活動:解題關(guān)鍵首先是把文 字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言,然后比較前后比值的大小,采用作差法.

  解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,根據(jù)問題的要求a

  由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0,于是a+mb+m>ab.又ab≥10%,

  因此a+mb+m>ab≥10%.

  所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.

  點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a

  變式訓練

  已知a1,a2,…為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q≠1,則(  )

  A.a1+a8>a4+a5        B.a1+a8

  C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定

  答案:A

  解析:(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

  =a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

  ∵{an}各項都大于零,∴q>0,即1+q>0.

  又∵q≠1,∴(a1+a8)-(a4+a5)>0,即a1+a8>a4+a5.

  課堂小結(jié)

  1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.

  2.教師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.

  作業(yè)

  習題3—1A組3;習題3—1B組2.

  設(shè)計感想

  1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法 的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們:課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學 過程,不宜長期使用一種固定的教學方法,或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中,沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針對個性,靈活變化,因材施教才是成功的施教靈藥.

  2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯,歷 來是高考的重點與熱點.作為本章開始,可以適當開闊一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外拓展,以免對學生產(chǎn)生負面影響.

  3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力,提升思維的品質(zhì),是數(shù)學教師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.

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