不等關(guān)系與不等式教案（精選4篇）
不等關(guān)系與不等式教案 篇1
（一）教學目標
1.知識與技能:使學生感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，在學生了解了一些不等式（組）產(chǎn)生的實際背景的前提下，學習不等式的有關(guān)內(nèi)容。
2.過程與方法:以問題方式代替例題，學習如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有關(guān)基本性質(zhì)研究不等關(guān)系；
3.情態(tài)與價值：通過學生在學習過程中的感受、體驗、認識狀況及理解程度，注重問題情境、實際背景的的設(shè)置，通過學生對問題的探究思考，廣泛參與，改變學生學習方式，提高學習質(zhì)量。
（二）教學重、難點
重點：用不等式（組）表示實際問題中的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問題，理解不等式（組）對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值。
難點：用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系。
（三）教學設(shè)想
[創(chuàng)設(shè)問題情境]
問題1：設(shè)點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點，則d≤。
問題2：某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，可以售出8萬本。根據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少20xx本。若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元？
分析：若雜志的定價為x元，則銷售的總收入為萬元。那么不等關(guān)系“銷售的總收入不低于20萬元”可以表示為不等式≥20
問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式呢？
分析：假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根..
根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：
（1）解得兩種鋼管的總長度不能超過4000mm；
（2）截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管數(shù)量的3倍；
（3）解得兩鐘鋼管的數(shù)量都不能為負。
由以上不等關(guān)系，可得不等式組：
[練習]第82頁，第1、2題。
[知識拓展]
設(shè)問：等式性質(zhì)中：等式兩邊加（減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。不等式是否也有類似的性質(zhì)呢？
從實數(shù)的基本性質(zhì)出發(fā)，可以證明下列常用的不等式的基本性質(zhì)：
（1）
（2）
（3）
（4）
證明：
例1講解（第82頁）
[練習]第82頁，第3題。
[思考]：利用以上基本性質(zhì)，證明不等式的下列性質(zhì)：
[小結(jié)]：1.現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系；
2.利用不等式的有關(guān)基本性質(zhì)研究不等關(guān)系；
[作業(yè)]：習題3.1（第83頁）：（A組）4、5；（B組）2.
不等關(guān)系與不等式教案 篇2
教學分析
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中，將讓學生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習，讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學生的學習興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.
三維目標
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關(guān)系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發(fā)學生的學習興趣，體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
重點難點
教學重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍.
教學難點：準確比較兩個代數(shù)式的大小.
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望，自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課.
推進新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系，可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA
實例3：若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零.
實例4：兩點之間線段最短.
實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進一步點撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好，這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科，但作為我們研究數(shù)學的人來說，能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數(shù)，則x≥0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|b，a0a>b;a-b=0a=b;a-bg(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動：比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點.
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]y，且y≠0，比較xy與1的大小.
活動：要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，∴x-y>0.
當y0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由.
活動：解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.
點評：一般地，設(shè)a、b為正實數(shù)，且a0，則a+mb+m>ab.
變式訓練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
知能訓練
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數(shù)為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小.
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，
③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立.
2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，
所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
課堂小結(jié)
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛，點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
作業(yè)
習題3—1A組3;習題3—1B組2.
設(shè)計感想
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學教師直面的重要課題，也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.
備課資料
備用習題
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小.
2.試判斷下列各對整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .
4.若x
5.設(shè)a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小.
參考答案：
1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)
=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)
=1>0，
∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)
=m2-2m+5+2m-5
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)
=a2-4a+3+4a-1
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2
=1+x+x24-(x+1)
=x24，
又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，
當a>b>0時，ab>1，a-b>0，
則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
當b>a>0時，0
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba.
不等關(guān)系與不等式教案 篇3
【教學目標】
1.通過具體情境讓學生感受和體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，鼓勵學生用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，使學生感受數(shù)學、走進數(shù)學、改變學生的數(shù)學學習態(tài)度。
2.建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系。
3.了解不等式或不等式組的實際背景。
4.能用不等式或不等式組解決簡單的實際問題。
【重點難點】
重點:
1.通過具體的問題情景，讓學生體會不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性。
2.用不等式或不等式組表示實際問題中的不等關(guān)系，并用不等式或不等式組研究含有簡單的不等關(guān)系的問題。
3.理解不等式或不等式組對于刻畫不等關(guān)系的意義和價值。
難點:
1.用不等式或不等式組準確地表示不等關(guān)系。
2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關(guān)系的實際問題。
【方法手段】
1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數(shù)學模型，從具體到抽象再從抽象到具體的方法進行啟發(fā)式教學。
2.教師提供問題、素材，并及時點撥，發(fā)揮老師的主導作用和學生的主體作用。
3.設(shè)計教典型的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生的學習興趣和積極性。
【教學過程】
教學環(huán)節(jié)
教師活動
學生活動
設(shè)計意圖
導入新課
日常生活中，同學們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系。你能舉出一些例子嗎？
實例1.某天的天氣預報報道，最高氣溫35℃，最低氣溫29℃。
實例2.若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零。
實例3.兩點之間線段最短。
實例4.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
引導學生想生活中的例子和學過的數(shù)學中的例子。在老師的引導下，學生肯定會迫不及待的能說出很多個例子來。即活躍了課堂氣氛，又激發(fā)了學生學習數(shù)學的興趣。
推進新課
同學們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實生活，又考慮到數(shù)學上常見的數(shù)量關(guān)系，非常好。而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標題《不等關(guān)系與不等式》，所舉的實例都是反映不等量的關(guān)系。
（下面利用電腦投影展示兩個實例）
實例5：限時40km/h的路標，指示司機在前方路段行使時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h。
實例6：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
同學們認真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。
讓學生們邊看邊思考：生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關(guān)系來描述
過程引導
能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學當然很好，這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科，但是我們還要能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點、進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，那么我們用什么知識來表示這些不等關(guān)系呢？
什么是不等式呢？
用大屏幕展示一組不等式-71+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4.
能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來，也就是建立不等式數(shù)學模型的過程通過對不等式數(shù)學模型的研究，反過來作用于現(xiàn)實生活，這才是學習數(shù)學的最終目的。
思考并回答老師的問題：可以用不等式或不等式組來表示不等關(guān)系。
經(jīng)過老師的啟發(fā)和點撥，學生可以自己總結(jié)出：用不等號將兩個解析試連接起來所成的式子叫不等式。
目的是讓學生回憶不等式的一些基本形式，并說明不等號≤，≥的含義，是或的關(guān)系。回憶了不等式的概念，不等式組學生自然而然就清楚了。
此時學生已經(jīng)迫不及待地想說出自己的觀點了。
合作探究
（一）。下面我們把上述實例中的不等量的關(guān)系用不等式或不等式組一一的表示出來，那應(yīng)該怎么表示呢？
這兩位同學的觀點是否正確？
老師要表揚學生：“很好！這樣思考問題很嚴密。”應(yīng)該用不等式組來表示此實際問題中的不等量關(guān)系，也可以用“且”的形式來表達。
（二）。問題一：設(shè)點A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點。
請同學們用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量的關(guān)系。
老師提示：借助于圖形，這個問題是不是可以解決？
（下面讓學生板演，結(jié)合三角形草圖來表達）
問題（二）：某種雜志原以每本2。5元的價格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高0。1元，銷售量就可能相應(yīng)減少20xx本。若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？
是不是還有其他的思路？
為什么可以這樣設(shè)？
很好，請繼續(xù)講。
這位學生回答的很好，表述得很準確。請同學們對兩種解法作比較。
問題（三）：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不超過500mm鋼管的3倍。怎樣寫出滿足上述所有不等式關(guān)系的不等式？
假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意，應(yīng)當有什么樣的不等量關(guān)系呢？
右邊的三個不等關(guān)系是“或”還是“且”的關(guān)系呢？
這位學生回答得很好，思維很嚴密，那么該用怎樣的不等式組來表示此問題中的不等關(guān)系呢？
通過上述三個問題的探究，同學們對如何用不等式或不等式組把實際問題中隱藏的不等量關(guān)系表示出來，這一點掌握得很好。請同學們完成書本練習第74頁1，2。
課堂小結(jié)：
1.學習數(shù)學可以幫助我們解決實際生活中的問題。
2.數(shù)學和我們的生活聯(lián)系非常密切。
3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組，并且能用它來解決現(xiàn)實生活中存在的大量不等量關(guān)系的實際問題。還要注意思維要嚴密，規(guī)范，并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用。
布置作業(yè)：
第75頁習題3.1 A組4，5。
29℃≤t≤35℃
x≥0
|AC|+|BC|>|AB|
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|b，或者a=b”，等價于“a不小于b，即若a>b或a=b之中有一個正確，則ab正確.3.實數(shù)比較大小的依據(jù)與方法.
（1）如果ab是正數(shù)，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是負數(shù)，那么ab.反之也成立，就是（ab>0a>b；ab=0a=b；ab
（二）基礎(chǔ)練習
1.用不等式表示下面的不等關(guān)系：
（1）a與b的和是非負數(shù)；
（2）某公路立交橋?qū)νㄟ^車輛的高度h“限高4m”；解：
（1）ab0；
（2）h4.2.有一個兩位數(shù)大于50而小于60，其個位數(shù)字比十位數(shù)字大2.試用
不等式表示上述關(guān)系（用a和b分別表示這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字）.解：由題意知5010ab60,5010ab60,5011a260
ba2,ba2,43a5.11114811a5843.比較（a+3）（a-5）與（a+2）（a-4）的大小.解：（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）=（a22a15）-a22a6=-7
（三）提升訓練
1.比較x23與3x的大小，其中xR.
222233333解：x33xx3x3x3x3x
24422220，x233x.方法總結(jié)：兩個實數(shù)比較大小，通常用作差法來進行，其一般步驟是：
第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將差化積；第三步：定號.最后得出結(jié)論.
2.小明帶了20元錢去超市買筆記本和鋼筆.已知筆記本每本2元，鋼筆每枝5元.設(shè)他所能買的筆記本和鋼筆的數(shù)量分別為x，y，則x，2x5y20,y應(yīng)滿足關(guān)系式xN,
yN.3.一個盒中紅、白、黑三種球分別有x個、y個、z個，黑球個數(shù)至少是白球個數(shù)的一半，至多是紅球的，白球與黑球的個數(shù)之和至少
為55，使用不等式將題中的不等關(guān)系表示出來（x,y,zN*）.yxz,解：32
yz55.
（四）課后鞏固
p74練習題：1,2.p75習題3.1 A組：1,2. 4
不等關(guān)系與不等式教案 篇4
整體設(shè)計
教學分析
本節(jié)課的研究是對初中不等式學習的延續(xù)和拓展，也是實數(shù)理論的進一步發(fā)展.在本節(jié)課的學習過程中，將讓學生回憶實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習， 讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認識不等關(guān)系的存在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.在本節(jié)課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數(shù)學知識和方法的應(yīng)用，同時也能激發(fā)學生的學習興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望.根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論，并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數(shù)軸這一簡單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實數(shù)與數(shù)軸上 點的一一對應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實數(shù)的順序關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的認識.
三維目標
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下，利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理論，理解實數(shù)的大小關(guān)系，理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法判斷實數(shù)與代數(shù)式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍.
3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發(fā)學生的學習興趣，體會數(shù)學的奧秘與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
重點難點
教學重點：比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍.
教學難點：準確比較兩個代數(shù)式的大小.
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學研究不等關(guān)系的強烈愿望，自然地引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成績的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地展開聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學 生用數(shù)學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課.
推進新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?
2在現(xiàn)實世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
3數(shù)軸上的任意兩 點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
4任意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系，可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1：某天的天氣預報報道，氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實例2：對于數(shù)軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA
實例3：若一個數(shù)是非負數(shù)，則這個數(shù)大于或等于零.
實例4：兩點之間線段最短.
實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
教師進一步點撥：能夠發(fā)現(xiàn)身 邊的數(shù)學當然很好，這說明同學們已經(jīng)走進了數(shù)學這門學科，但作為我們研究數(shù)學的人來說，能用數(shù)學的眼光、數(shù)學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數(shù)學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關(guān)系呢?學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的式子.如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數(shù)，則x≥0.實例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖.
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|b，a應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1和例2)
活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法.
點評：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學生熟練掌握.
變式訓練
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是( )
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小.
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動：比較兩個實數(shù)的大小，常根據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點.
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，
又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]y，且y≠0，比較xy與1的大小.
活動：要比較任意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系.
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，∴x-y>0.
當y0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論.
例3建筑設(shè)計規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積.但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好.試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積， 住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請說明理由.
活動：解題關(guān)鍵首先是把文 字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法.
解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，
因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.
點評：一般地，設(shè)a、b為正實數(shù)，且a
變式訓練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
課堂小結(jié)
1.教師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學納入已有的知識體系中.
2.教師畫龍點睛，點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易錯的地方.鼓勵學有余力的學生對節(jié)末的思考與討論在課后作進一步的探究.
作業(yè)
習題3—1A組3;習題3—1B組2.
設(shè)計感想
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法 的優(yōu)化.經(jīng)驗告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學 過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式.各種教學方法中，沒有一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說，世上沒有萬能的教學方法.針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計注重了難度控制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷 來是高考的重點與熱點.作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維能力的訓練.訓練學生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學教師直面的重要課題，也是中學數(shù)學教育的主線.采用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵化.變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質(zhì)的提升.