三角形的中位線 —— 初中數(shù)學(xué)第三冊教案

教學(xué)目標(biāo) 

1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì)及初步應(yīng)用.

2.通過對問題的探索及進(jìn)一步變式，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)是三角形中位線的性質(zhì)定理.

難點(diǎn)是證明三角形中位線性質(zhì)定理時輔助線的添法和性質(zhì)的錄活應(yīng)用.

教學(xué)過程 設(shè)計

一、聯(lián)想，提出問題.

1.（投影）復(fù)習(xí)平行線等分線段定理及兩個推論（圖4－89）.

(1)請同學(xué)敘述定理及推論的內(nèi)容.

    (2)用數(shù)學(xué)表態(tài)式敘述圖4－89（c）中的結(jié)論.

已知在ΔABC中，D為AB中點(diǎn)，DE∥BC，則AE＝EC.

2.逆向思維，探索新結(jié)論.

引導(dǎo)學(xué)生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點(diǎn)，DE與BC有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢？

啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯(lián)想），DE＝ BC（因為AD＝ AB，AE＝ AC，類比聯(lián)想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數(shù)關(guān)系）.

由此引出課題.

二、證明猜想，形成定理

1.定義三角形的中位線，強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別.

2.證明上述猜想成立，教師重點(diǎn)分析輔助線的作法的思考過程.

教師提示學(xué)生：所證結(jié)論即有平行又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已有知識，可添加輔助線構(gòu)造平行四邊形，利用對平行且相等證明結(jié)論成立，或者用書上的同一法.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維后，還要注意比較，選擇最簡捷的證明方法.

3.板書一種證明過程.

4.將“猜想改成定理，引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹龀鋈�角形中位線定理的具體內(nèi)容.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

5.分析定理成立的條件、結(jié)論及作用.

條件：連結(jié)兩邊中點(diǎn)得到中位線.

結(jié)論有兩個，即位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目需要選用.

作用：在已知兩邊中點(diǎn)的條件下，證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.

三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)

（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據(jù)圖4-91中的條件，回答問題.

（1）       已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點(diǎn)DE=5.BC；

（2）       如圖4-91（b），D，E，F分別為AB，AC，BC中點(diǎn)，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；

（3）       如圖4-91（c），①它包含幾個圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個平行四邊形？④若ΔDEF周長為10 cm，求ΔABC的周長.⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關(guān)系？怎樣用語言敘述這結(jié)論？

分析：

（1）       可利用復(fù)合投影片實(shí)現(xiàn)三個圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學(xué)生建立分解基本圖形的思想.

（2）       通過此題總結(jié)：三角形三和中位線圍成的三角形的周長等于原三角形周長的一半，面積等于原三角形面積的14.這個過程可以無限進(jìn)行下去，如圖4-92.

（3）       從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.

（板書）例2   （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點(diǎn).求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.

分析：

（1）       由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質(zhì)？

（2）       從結(jié)論出發(fā)，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①ME=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結(jié)論成立.

讓學(xué)生口述，教師板書證明過程.

例3          構(gòu)造圖4-90問題.

（1）       求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形；

（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？

已知：在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

分析：

(1)已知四條線段的中點(diǎn)，可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.而四邊形ABCD的對角線可以把四邊形分成兩個三角形，所以添加輔助線，連結(jié)AC或BD，構(gòu)造“三角形的中位線”的基本圖形.

          （2）讓學(xué)生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結(jié)各種特殊四邊形中點(diǎn)得到什么圖形？

投影顯示：

            四、師生共同小結(jié)

    1.教師提問引起學(xué)生思考：

    （1）這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容：

    （2）用什么思維方法提出猜想的？

    （3）應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別？

    2.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點(diǎn)及線段倍分關(guān)系有關(guān)的基

本圖形（如圖4－96）.

（1）注意三角形中線與中位線的區(qū)別，圖4－96（a），（b）.

    （2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.

    （3）證明線段倍分關(guān)系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），（）.

    3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經(jīng)常得到一些好

的結(jié)論；添輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)的解題方法.

    4.三角形的中位線有這樣的性質(zhì)，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質(zhì)嗎？（為下節(jié)

課作思維上的準(zhǔn)備）

    五、作業(yè) 

    課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.

    補(bǔ)充題：（構(gòu)造三角形的中位線）

    1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點(diǎn).求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.

    （提示：延長CD交BA延長線于F.）

    2.如圖 4－98，正方形 ABCD對角線交于點(diǎn)O，E是BO中點(diǎn)，連結(jié)”并延長交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）

    3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F分別是AD，BC的中點(diǎn)，延長 BA和CD分別交FE的延長線于 G，H點(diǎn).求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結(jié) AC，取 AC中聲、 M，連結(jié)EM，FM.）

    課堂教學(xué)設(shè)計說明

    本教學(xué)過程 設(shè)計需1課時完成.

    1.本節(jié)課的設(shè)計，力求讓學(xué)生通過逆向思維及類比聯(lián)想自己實(shí)踐“分析——猜想——證

明”的過程.變被動接受知識為主動應(yīng)用已有知識，探索新知識，獲得成功的喜悅.

    2.在應(yīng)用性質(zhì)定理時，通過一組層次遞進(jìn)的變式題的訓(xùn)練，由直接給出定理的基本圖形

到包含基本圖形，學(xué)生分解圖形后使用性質(zhì)，再到通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)，

學(xué)生逐步學(xué)會運(yùn)用性質(zhì)來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.

教學(xué)目標(biāo) 

1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì)及初步應(yīng)用.

2.通過對問題的探索及進(jìn)一步變式，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)是三角形中位線的性質(zhì)定理.

難點(diǎn)是證明三角形中位線性質(zhì)定理時輔助線的添法和性質(zhì)的錄活應(yīng)用.

教學(xué)過程 設(shè)計

一、聯(lián)想，提出問題.

1.（投影）復(fù)習(xí)平行線等分線段定理及兩個推論（圖4－89）.

(1)請同學(xué)敘述定理及推論的內(nèi)容.

    (2)用數(shù)學(xué)表態(tài)式敘述圖4－89（c）中的結(jié)論.

已知在ΔABC中，D為AB中點(diǎn)，DE∥BC，則AE＝EC.

2.逆向思維，探索新結(jié)論.

引導(dǎo)學(xué)生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點(diǎn)，DE與BC有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢？

啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯(lián)想），DE＝ BC（因為AD＝ AB，AE＝ AC，類比聯(lián)想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數(shù)關(guān)系）.

由此引出課題.

二、證明猜想，形成定理

1.定義三角形的中位線，強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別.

2.證明上述猜想成立，教師重點(diǎn)分析輔助線的作法的思考過程.

教師提示學(xué)生：所證結(jié)論即有平行又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已有知識，可添加輔助線構(gòu)造平行四邊形，利用對平行且相等證明結(jié)論成立，或者用書上的同一法.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維后，還要注意比較，選擇最簡捷的證明方法.

3.板書一種證明過程.

4.將“猜想改成定理，引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹龀鋈�角形中位線定理的具體內(nèi)容.

三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

5.分析定理成立的條件、結(jié)論及作用.

條件：連結(jié)兩邊中點(diǎn)得到中位線.

結(jié)論有兩個，即位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目需要選用.

作用：在已知兩邊中點(diǎn)的條件下，證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.

三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)

（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據(jù)圖4-91中的條件，回答問題.

（1）       已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點(diǎn)DE=5.BC；

（2）       如圖4-91（b），D，E，F分別為AB，AC，BC中點(diǎn)，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；

（3）       如圖4-91（c），①它包含幾個圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個平行四邊形？④若ΔDEF周長為10 cm，求ΔABC的周長.⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關(guān)系？怎樣用語言敘述這結(jié)論？

分析：

（1）       可利用復(fù)合投影片實(shí)現(xiàn)三個圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學(xué)生建立分解基本圖形的思想.

（2）       通過此題總結(jié)：三角形三和中位線圍成的三角形的周長等于原三角形周長的一半，面積等于原三角形面積的14.這個過程可以無限進(jìn)行下去，如圖4-92.

（3）       從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.

（板書）例2   （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點(diǎn).求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.

分析：

（1）       由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質(zhì)？

（2）       從結(jié)論出發(fā)，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①ME=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結(jié)論成立.

讓學(xué)生口述，教師板書證明過程.

例3          構(gòu)造圖4-90問題.

（1）       求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形；

（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？

已知：在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

分析：

(1)已知四條線段的中點(diǎn)，可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.而四邊形ABCD的對角線可以把四邊形分成兩個三角形，所以添加輔助線，連結(jié)AC或BD，構(gòu)造“三角形的中位線”的基本圖形.

          （2）讓學(xué)生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結(jié)各種特殊四邊形中點(diǎn)得到什么圖形？

投影顯示：

            四、師生共同小結(jié)

    1.教師提問引起學(xué)生思考：

    （1）這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容：

    （2）用什么思維方法提出猜想的？

    （3）應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別？

    2.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點(diǎn)及線段倍分關(guān)系有關(guān)的基

本圖形（如圖4－96）.

（1）注意三角形中線與中位線的區(qū)別，圖4－96（a），（b）.

    （2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.

    （3）證明線段倍分關(guān)系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），（）.

    3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經(jīng)常得到一些好

的結(jié)論；添輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)的解題方法.

    4.三角形的中位線有這樣的性質(zhì)，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質(zhì)嗎？（為下節(jié)

課作思維上的準(zhǔn)備）

    五、作業(yè) 

    課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.

    補(bǔ)充題：（構(gòu)造三角形的中位線）

    1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點(diǎn).求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.

    （提示：延長CD交BA延長線于F.）

    2.如圖 4－98，正方形 ABCD對角線交于點(diǎn)O，E是BO中點(diǎn)，連結(jié)”并延長交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）

    3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F分別是AD，BC的中點(diǎn)，延長 BA和CD分別交FE的延長線于 G，H點(diǎn).求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結(jié) AC，取 AC中聲、 M，連結(jié)EM，FM.）

    課堂教學(xué)設(shè)計說明

    本教學(xué)過程 設(shè)計需1課時完成.

    1.本節(jié)課的設(shè)計，力求讓學(xué)生通過逆向思維及類比聯(lián)想自己實(shí)踐“分析——猜想——證

明”的過程.變被動接受知識為主動應(yīng)用已有知識，探索新知識，獲得成功的喜悅.

    2.在應(yīng)用性質(zhì)定理時，通過一組層次遞進(jìn)的變式題的訓(xùn)練，由直接給出定理的基本圖形

到包含基本圖形，學(xué)生分解圖形后使用性質(zhì)，再到通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)，

學(xué)生逐步學(xué)會運(yùn)用性質(zhì)來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.