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三角形的中位線 —— 初中數(shù)學(xué)第三冊教案

三角形的中位線 —— 初中數(shù)學(xué)第三冊教案


教學(xué)目標(biāo) 

1.理解三角形中位線的概念,掌握它的性質(zhì)及初步應(yīng)用.

2.通過對問題的探索及進(jìn)一步變式,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)是三角形中位線的性質(zhì)定理.

難點(diǎn)是證明三角形中位線性質(zhì)定理時輔助線的添法和性質(zhì)的錄活應(yīng)用.

教學(xué)過程 設(shè)計

一、聯(lián)想,提出問題.

1.(投影)復(fù)習(xí)平行線等分線段定理及兩個推論(圖4-89).

(1)請同學(xué)敘述定理及推論的內(nèi)容.

    (2)用數(shù)學(xué)表態(tài)式敘述圖4-89(c)中的結(jié)論.

已知在ΔABC中,D為AB中點(diǎn),DE∥BC,則AE=EC.

2.逆向思維,探索新結(jié)論.

引導(dǎo)學(xué)生思考:在圖4-90中,反過來,若D,E分別為AB,AC中點(diǎn),DE與BC有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢?

啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想:DE∥BC(逆向聯(lián)想),DE= BC(因為AD= AB,AE= AC,類比聯(lián)想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數(shù)關(guān)系).

由此引出課題.

二、證明猜想,形成定理

1.定義三角形的中位線,強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別.

2.證明上述猜想成立,教師重點(diǎn)分析輔助線的作法的思考過程.

教師提示學(xué)生:所證結(jié)論即有平行又有數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想已有知識,可添加輔助線構(gòu)造平行四邊形,利用對平行且相等證明結(jié)論成立,或者用書上的同一法.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維后,還要注意比較,選擇最簡捷的證明方法.

3.板書一種證明過程.

4.將“猜想改成定理,引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹龀鋈切沃形痪定理的具體內(nèi)容.

三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半.

5.分析定理成立的條件、結(jié)論及作用.

條件:連結(jié)兩邊中點(diǎn)得到中位線.

結(jié)論有兩個,即位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,根據(jù)題目需要選用.

作用:在已知兩邊中點(diǎn)的條件下,證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.

三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)

(投影)例1(直線給出圖4-90的問題)根據(jù)圖4-91中的條件,回答問題.

(1)       已知:如圖4-91a),DE分別為ABAC的中點(diǎn)DE=5.BC

(2)       如圖4-91b),DEF分別為ABACBC中點(diǎn),AC=8,∠C70°,求DF和∠EDF

(3)       如圖4-91c),①它包含幾個圖4-90這樣的基本圖形?②哪些三角形全等?③有幾個平行四邊形?④若ΔDEF周長為10 cm,求ΔABC的周長.⑤若ΔABC的面積等于20cm2,求ΔDEF的面積.⑥AFDE有何關(guān)系?怎樣用語言敘述這結(jié)論?

分析:

(1)       可利用復(fù)合投影片實(shí)現(xiàn)三個圖的疊加過程,以提高課堂效益并幫助學(xué)生建立分解基本圖形的思想.

(2)       通過此題總結(jié):三角形三和中位線圍成的三角形的周長等于原三角形周長的一半,面積等于原三角形面積的14.這個過程可以無限進(jìn)行下去,如圖4-92.

(3)       從解題過程可以得到:三角形的一條中位線(DE)與第三邊上的中線(AF)互相平分.

(板書)例2   (包含圖4-90的問題)如圖4-93AD是ΔABC的高,MNE分別為ABACBC的中點(diǎn).求證:(1)四邊形MNDE為等腰梯形;(2)∠MEN=∠MDN.

分析:

(1)       由條件分析,圖中可分解出“AD是ΔABC的高”,“三角形的中位線是MNMENE”,“直角三角形斜邊上中線MDND .想一想,這些基本圖形都有什么性質(zhì)?

(2)       從結(jié)論出發(fā),要證四邊形MEDN是等腰梯形,只需證MNDE,且MNDE及以下三種情況之一成立:①ME=ND;②MD=EN;③∠EMN=∠DNM.從而證得結(jié)論成立.

讓學(xué)生口述,教師板書證明過程.

例3          構(gòu)造圖4-90問題.

(1)       求證:順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn),所得的四邊形是平行四邊形;

2)若已知四邊形為特殊四邊形呢?

已知:在四邊形ABCD中,EFGH分別是ABBCCDDA的中點(diǎn),如圖4-94.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.

分析:

(1)已知四條線段的中點(diǎn),可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線定理,找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.而四邊形ABCD的對角線可以把四邊形分成兩個三角形,所以添加輔助線,連結(jié)ACBD,構(gòu)造三角形的中位線”的基本圖形.

          2)讓學(xué)生畫圖觀察并思考此題的特殊情況,如圖495,順次連結(jié)各種特殊四邊形中點(diǎn)得到什么圖形?

投影顯示:

            四、師生共同小結(jié)

    1.教師提問引起學(xué)生思考:

    1)這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容:

    2)用什么思維方法提出猜想的?

    3)應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別?

    2.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,教師投影顯示以下與三角形一邊中點(diǎn)及線段倍分關(guān)系有關(guān)的基

本圖形(如圖496).

1)注意三角形中線與中位線的區(qū)別,圖496a),(b).

    2)三角線的中位線的判定方法有兩種:定義及判定定理,圖496b),(。).

    3)證明線段倍分關(guān)系的方法常有三種,圖496b),(d),().

    3.先猜想后證明的研究問題方法;逆向思維,探究逆命題是否成立,由此經(jīng)常得到一些好

的結(jié)論;添輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)的解題方法.

    4.三角形的中位線有這樣的性質(zhì),那么梯形有中位線嗎?它有類似的性質(zhì)嗎?(為下節(jié)

課作思維上的準(zhǔn)備)

    五、作業(yè) 

    課本第180頁第4題,第184頁第578題,第185B組第1題.

    補(bǔ)充題:(構(gòu)造三角形的中位線)

    1.如圖497AD是上ABC的外角平分線,CDADD.EBC的中點(diǎn).求證:(1DE ∥/ AB:(2DE ABAC).

    (提示:延長CDBA延長線于F.)

    2.如圖 498,正方形 ABCD對角線交于點(diǎn)OEBO中點(diǎn),連結(jié)”并延長交BCF.求證:BF= CF.(提示:作OGEF交于BCG.)

    

    3.如圖499,在四邊形 ABCD中,ABCD EF分別是ADBC的中點(diǎn),延長 BACD分別交FE的延長線于 GH點(diǎn).求證:∠BGF=∠CHF.(提示:連結(jié) AC,取 AC中聲、 M,連結(jié)EMFM.)

    課堂教學(xué)設(shè)計說明

    本教學(xué)過程 設(shè)計需1課時完成.

    1.本節(jié)課的設(shè)計,力求讓學(xué)生通過逆向思維及類比聯(lián)想自己實(shí)踐“分析——猜想——證

明”的過程.變被動接受知識為主動應(yīng)用已有知識,探索新知識,獲得成功的喜悅.

    2.在應(yīng)用性質(zhì)定理時,通過一組層次遞進(jìn)的變式題的訓(xùn)練,由直接給出定理的基本圖形

到包含基本圖形,學(xué)生分解圖形后使用性質(zhì),再到通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì),

學(xué)生逐步學(xué)會運(yùn)用性質(zhì)來解決問題,他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.

教學(xué)目標(biāo) 

1.理解三角形中位線的概念,掌握它的性質(zhì)及初步應(yīng)用.

2.通過對問題的探索及進(jìn)一步變式,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問題的能力.

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)是三角形中位線的性質(zhì)定理.

難點(diǎn)是證明三角形中位線性質(zhì)定理時輔助線的添法和性質(zhì)的錄活應(yīng)用.

教學(xué)過程 設(shè)計

一、聯(lián)想,提出問題.

1.(投影)復(fù)習(xí)平行線等分線段定理及兩個推論(圖4-89).

(1)請同學(xué)敘述定理及推論的內(nèi)容.

    (2)用數(shù)學(xué)表態(tài)式敘述圖4-89(c)中的結(jié)論.

已知在ΔABC中,D為AB中點(diǎn),DE∥BC,則AE=EC.

2.逆向思維,探索新結(jié)論.

引導(dǎo)學(xué)生思考:在圖4-90中,反過來,若D,E分別為AB,AC中點(diǎn),DE與BC有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢?

啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想:DE∥BC(逆向聯(lián)想),DE= BC(因為AD= AB,AE= AC,類比聯(lián)想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數(shù)關(guān)系).

由此引出課題.

二、證明猜想,形成定理

1.定義三角形的中位線,強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別.

2.證明上述猜想成立,教師重點(diǎn)分析輔助線的作法的思考過程.

教師提示學(xué)生:所證結(jié)論即有平行又有數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想已有知識,可添加輔助線構(gòu)造平行四邊形,利用對平行且相等證明結(jié)論成立,或者用書上的同一法.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維后,還要注意比較,選擇最簡捷的證明方法.

3.板書一種證明過程.

4.將“猜想改成定理,引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹龀鋈切沃形痪定理的具體內(nèi)容.

三角形中位線定理:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半.

5.分析定理成立的條件、結(jié)論及作用.

條件:連結(jié)兩邊中點(diǎn)得到中位線.

結(jié)論有兩個,即位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,根據(jù)題目需要選用.

作用:在已知兩邊中點(diǎn)的條件下,證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.

三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)

(投影)例1(直線給出圖4-90的問題)根據(jù)圖4-91中的條件,回答問題.

(1)       已知:如圖4-91a),DE分別為ABAC的中點(diǎn)DE=5.BC

(2)       如圖4-91b),DEF分別為ABACBC中點(diǎn),AC=8,∠C70°,求DF和∠EDF

(3)       如圖4-91c),①它包含幾個圖4-90這樣的基本圖形?②哪些三角形全等?③有幾個平行四邊形?④若ΔDEF周長為10 cm,求ΔABC的周長.⑤若ΔABC的面積等于20cm2,求ΔDEF的面積.⑥AFDE有何關(guān)系?怎樣用語言敘述這結(jié)論?

分析:

(1)       可利用復(fù)合投影片實(shí)現(xiàn)三個圖的疊加過程,以提高課堂效益并幫助學(xué)生建立分解基本圖形的思想.

(2)       通過此題總結(jié):三角形三和中位線圍成的三角形的周長等于原三角形周長的一半,面積等于原三角形面積的14.這個過程可以無限進(jìn)行下去,如圖4-92.

(3)       從解題過程可以得到:三角形的一條中位線(DE)與第三邊上的中線(AF)互相平分.

(板書)例2   (包含圖4-90的問題)如圖4-93AD是ΔABC的高,MNE分別為ABACBC的中點(diǎn).求證:(1)四邊形MNDE為等腰梯形;(2)∠MEN=∠MDN.

分析:

(1)       由條件分析,圖中可分解出“AD是ΔABC的高”,“三角形的中位線是MNMENE”,“直角三角形斜邊上中線MDND .想一想,這些基本圖形都有什么性質(zhì)?

(2)       從結(jié)論出發(fā),要證四邊形MEDN是等腰梯形,只需證MNDE,且MNDE及以下三種情況之一成立:①ME=ND;②MD=EN;③∠EMN=∠DNM.從而證得結(jié)論成立.

讓學(xué)生口述,教師板書證明過程.

例3          構(gòu)造圖4-90問題.

(1)       求證:順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn),所得的四邊形是平行四邊形;

2)若已知四邊形為特殊四邊形呢?

已知:在四邊形ABCD中,EFGH分別是ABBCCDDA的中點(diǎn),如圖4-94.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.

分析:

(1)已知四條線段的中點(diǎn),可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線定理,找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.而四邊形ABCD的對角線可以把四邊形分成兩個三角形,所以添加輔助線,連結(jié)ACBD,構(gòu)造三角形的中位線”的基本圖形.

          2)讓學(xué)生畫圖觀察并思考此題的特殊情況,如圖495,順次連結(jié)各種特殊四邊形中點(diǎn)得到什么圖形?

投影顯示:

            四、師生共同小結(jié)

    1.教師提問引起學(xué)生思考:

    1)這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容:

    2)用什么思維方法提出猜想的?

    3)應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別?

    2.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,教師投影顯示以下與三角形一邊中點(diǎn)及線段倍分關(guān)系有關(guān)的基

本圖形(如圖496).

1)注意三角形中線與中位線的區(qū)別,圖496a),(b).

    2)三角線的中位線的判定方法有兩種:定義及判定定理,圖496b),(。).

    3)證明線段倍分關(guān)系的方法常有三種,圖496b),(d),().

    3.先猜想后證明的研究問題方法;逆向思維,探究逆命題是否成立,由此經(jīng)常得到一些好

的結(jié)論;添輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)的解題方法.

    4.三角形的中位線有這樣的性質(zhì),那么梯形有中位線嗎?它有類似的性質(zhì)嗎?(為下節(jié)

課作思維上的準(zhǔn)備)

    五、作業(yè) 

    課本第180頁第4題,第184頁第578題,第185B組第1題.

    補(bǔ)充題:(構(gòu)造三角形的中位線)

    1.如圖497AD是上ABC的外角平分線,CDADD.EBC的中點(diǎn).求證:(1DE ∥/ AB:(2DE ABAC).

    (提示:延長CDBA延長線于F.)

    2.如圖 498,正方形 ABCD對角線交于點(diǎn)OEBO中點(diǎn),連結(jié)”并延長交BCF.求證:BF= CF.(提示:作OGEF交于BCG.)

    

    3.如圖499,在四邊形 ABCD中,ABCD EF分別是ADBC的中點(diǎn),延長 BACD分別交FE的延長線于 GH點(diǎn).求證:∠BGF=∠CHF.(提示:連結(jié) AC,取 AC中聲、 M,連結(jié)EMFM.)

    課堂教學(xué)設(shè)計說明

    本教學(xué)過程 設(shè)計需1課時完成.

    1.本節(jié)課的設(shè)計,力求讓學(xué)生通過逆向思維及類比聯(lián)想自己實(shí)踐“分析——猜想——證

明”的過程.變被動接受知識為主動應(yīng)用已有知識,探索新知識,獲得成功的喜悅.

    2.在應(yīng)用性質(zhì)定理時,通過一組層次遞進(jìn)的變式題的訓(xùn)練,由直接給出定理的基本圖形

到包含基本圖形,學(xué)生分解圖形后使用性質(zhì),再到通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì),

學(xué)生逐步學(xué)會運(yùn)用性質(zhì)來解決問題,他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.

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