三角形的中位線（精選11篇）

三角形的中位線 篇1

　　教學建議

　　知識結構

　　重難點分析

　　本節的重點是中位線定理.三角形中位線定理和梯形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關系，而且給出了線段的數量關系，為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路.

　　本節的難點是中位線定理的證明.中位線定理的證明教材中采用了同一法，同一法學生初次接觸，思維上不容易理解，而其他證明方法都需要添加2條或2條以上的輔助線，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情況對比有一定的難度.

　　教法建議

　　1. 對于中位線定理的引入和證明可采用發現法，由學生自己觀察、猜想、測量、論證，實際掌握效果比應用講授法應好些，教師可根據學生情況參考采用

　　2.對于定理的證明，有條件的教師可考慮利用多媒體課件來進行演示知識的形成及證明過程，效果可能會更直接更易于理解

　　教學設計示例

　　一、教學目標 

　　1.掌握中位線的概念和三角形中位線定理

　　2.掌握定理“過三角形一邊中點且平行另一邊的直線平分第三邊”

　　3.能夠應用三角形中位線概念及定理進行有關的論證和計算，進一步提高學生的計算能力

　　4.通過定理證明及一題多解，逐步培養學生的分析問題和解決問題的能力

　　5. 通過一題多解，培養學生對數學的興趣

　　二、教學設計

　　畫圖測量，猜想討論，啟發引導.

　　三、重點、難點

　　1.教學重點：三角形中位線的概論與三角形中位線性質.

　　2.教學難點 ：三角形中位線定理的證明.

　　四、課時安排

　　1課時

　　五、教具學具準備

　　投影儀、膠片、常用畫圖工具

　　六、教學步驟 

　　【復習提問】

　　1.敘述平行線等分線段定理及推論的內容（結合學生的敘述，教師畫出草圖，結合圖形，加以說明）.

　　2.說明定理的證明思路.

　　3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、DA中點，AM、CN分別交BD于點E、F，如何證明 ？

　　分析：要證三條線段相等，一般情況下證兩兩線段相等即可.如要證 ，只要 即可.首先證出四邊形AMCN是平行四邊形，然后用平行線等分線段定理即可證出.

　　4.什么叫三角形中線？（以上復習用投影儀打出）

　　【引入新課】

　　1.三角形中位線：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線.

　　（結合三角形中線的定義，讓學生明確兩者區別，可做一練習，在 中，畫出中線、中位線）

　　2.三角形中位線性質

　　了解了三角形中位線的定義后，我們來研究一下，三角形中位線有什么性質.

　　如圖所示，DE是 的一條中位線，如果過D作 ，交AC于 ，那么根據平行線等分線段定理推論2，得 是AC的中點，可見 與DE重合，所以 .由此得到：三角形中位線平行于第三邊.同樣，過D作 ，且DE FC，所以DE .因此，又得出一個結論，那就是：三角形中位線等于第三邊的一半.由此得到三角形中位線定理.

　　三角形中位線定理：三角形中位城平行于第三邊，并且等于它的一半.

　　應注意的兩個問題：①為便于同學對定理能更好的掌握和應用，可引導學生分析此定理的特點，即同一個題設下有兩個結論，第一個結論是表明中位線與第三邊的位置關系，第二個結論是說明中位線與第三邊的數量關系，在應用時可根據需要來選用其中的結論（可以單獨用其中結論）.②這個定理的證明方法很多，關鍵在于如何添加輔助線.可以引導學生用不同的方法來證明以活躍學生的思維，開闊學生思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.但也應指出，當一個命題有多種證明方法時，要選用比較簡捷的方法證明.

　　由學生討論，說出幾種證明方法，然后教師總結如下圖所示（用投影儀演示）.

　　（l）延長DE到F，使 ，連結CF，由 可得AD FC.

　　（2）延長DE到F，使 ，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得AD FC.

　　（3）過點C作 ，與DE延長線交于F，通過證 可得AD FC.

　　上面通過三種不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四邊形DBCF是平行四邊形，DF BC，又因DE ，所以DE .

　　（證明過程略）

　　例  求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形.

　　（由學生根據命題，說出已知、求證）

　　已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.

　　求證：四邊形EFGH是平行四邊形.‘

　　分析：因為已知點分別是四邊形各邊中點，如果連結對角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形EFGH對邊的關系，從而證出四邊形EFGH是平行四邊形.

　　證明：連結AC.

　　∴ （三角形中位線定理）.

　　同理，

　　∴GH EF

　　∴四邊形EFGH是平行四邊形.

　　【小結】

　　1.三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區別.

　　2.三角形中位線定理及證明思路.

　　七、布置作業 

　　教材P188中1（2）、4、7

　　九、板書設計 

三角形的中位線 篇2

　　教學建議

　　知識結構

　　重難點分析

　　本節的重點是中位線定理.三角形中位線定理和梯形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關系，而且給出了線段的數量關系，為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路.

　　本節的難點是中位線定理的證明.中位線定理的證明教材中采用了同一法，同一法學生初次接觸，思維上不容易理解，而其他證明方法都需要添加2條或2條以上的輔助線，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情況對比有一定的難度.

　　教法建議

　　1. 對于中位線定理的引入和證明可采用發現法，由學生自己觀察、猜想、測量、論證，實際掌握效果比應用講授法應好些，教師可根據學生情況參考采用

　　2.對于定理的證明，有條件的教師可考慮利用多媒體課件來進行演示知識的形成及證明過程，效果可能會更直接更易于理解

　　教學設計示例

　　一、教學目標

　　1.掌握中位線的概念和三角形中位線定理

　　2.掌握定理“過三角形一邊中點且平行另一邊的直線平分第三邊”

　　3.能夠應用三角形中位線概念及定理進行有關的論證和計算，進一步提高學生的計算能力

　　4.通過定理證明及一題多解，逐步培養學生的分析問題和解決問題的能力

　　5. 通過一題多解，培養學生對數學的興趣

　　二、教學設計

　　畫圖測量，猜想討論，啟發引導.

　　三、重點、難點

　　1.教學重點：三角形中位線的概論與三角形中位線性質.

　　2.教學難點：三角形中位線定理的證明.

　　四、課時安排

　　1課時

　　五、教具學具準備

　　投影儀、膠片、常用畫圖工具

　　六、教學步驟

　　【復習提問】

　　1.敘述平行線等分線段定理及推論的內容（結合學生的敘述，教師畫出草圖，結合圖形，加以說明）.

　　2.說明定理的證明思路.

　　3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、DA中點，AM、CN分別交BD于點E、F，如何證明 ？

　　分析：要證三條線段相等，一般情況下證兩兩線段相等即可.如要證 ，只要 即可.首先證出四邊形AMCN是平行四邊形，然后用平行線等分線段定理即可證出.

　　4.什么叫三角形中線？（以上復習用投影儀打出）

　　【引入新課】

　　1.三角形中位線：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線.

　　（結合三角形中線的定義，讓學生明確兩者區別，可做一練習，在 中，畫出中線、中位線）

　　2.三角形中位線性質

　　了解了三角形中位線的定義后，我們來研究一下，三角形中位線有什么性質.

　　如圖所示，DE是 的一條中位線，如果過D作 ，交AC于 ，那么根據平行線等分線段定理推論2，得 是AC的中點，可見 與DE重合，所以 .由此得到：三角形中位線平行于第三邊.同樣，過D作 ，且DE FC，所以DE .因此，又得出一個結論，那就是：三角形中位線等于第三邊的一半.由此得到三角形中位線定理.

　　三角形中位線定理：三角形中位城平行于第三邊，并且等于它的一半.

　　應注意的兩個問題：①為便于同學對定理能更好的掌握和應用，可引導學生分析此定理的特點，即同一個題設下有兩個結論，第一個結論是表明中位線與第三邊的位置關系，第二個結論是說明中位線與第三邊的數量關系，在應用時可根據需要來選用其中的結論（可以單獨用其中結論）.②這個定理的證明方法很多，關鍵在于如何添加輔助線.可以引導學生用不同的方法來證明以活躍學生的思維，開闊學生思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.但也應指出，當一個命題有多種證明方法時，要選用比較簡捷的方法證明.

　　由學生討論，說出幾種證明方法，然后教師總結如下圖所示（用投影儀演示）.

　　（l）延長DE到F，使 ，連結CF，由 可得AD FC.

　　（2）延長DE到F，使 ，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得AD FC.

　　（3）過點C作 ，與DE延長線交于F，通過證 可得AD FC.

　　上面通過三種不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四邊形DBCF是平行四邊形，DF BC，又因DE ，所以DE .

　　（證明過程略）

　　例  求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形.

　　（由學生根據命題，說出已知、求證）

　　已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.

　　求證：四邊形EFGH是平行四邊形.‘

　　分析：因為已知點分別是四邊形各邊中點，如果連結對角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形EFGH對邊的關系，從而證出四邊形EFGH是平行四邊形.

　　證明：連結AC.

　　∴ （三角形中位線定理）.

　　同理，

　　∴GH EF

　　∴四邊形EFGH是平行四邊形.

　　【小結】

　　1.三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區別.

　　2.三角形中位線定理及證明思路.

　　七、布置作業 

　　教材P188中1（2）、4、7

　　九、板書設計

三角形的中位線 篇3

　　教學建議

　　知識結構

　　重難點分析

　　本節的重點是中位線定理.三角形中位線定理和梯形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關系，而且給出了線段的數量關系，為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路.

　　本節的難點是中位線定理的證明.中位線定理的證明教材中采用了同一法，同一法學生初次接觸，思維上不容易理解，而其他證明方法都需要添加2條或2條以上的輔助線，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情況對比有一定的難度.

　　教法建議

　　1. 對于中位線定理的引入和證明可采用發現法，由學生自己觀察、猜想、測量、論證，實際掌握效果比應用講授法應好些，教師可根據學生情況參考采用

　　2.對于定理的證明，有條件的教師可考慮利用多媒體課件來進行演示知識的形成及證明過程，效果可能會更直接更易于理解

　　教學設計示例

　　一、教學目標

　　1.掌握中位線的概念和三角形中位線定理

　　2.掌握定理“過三角形一邊中點且平行另一邊的直線平分第三邊”

　　3.能夠應用三角形中位線概念及定理進行有關的論證和計算，進一步提高學生的計算能力

　　4.通過定理證明及一題多解，逐步培養學生的分析問題和解決問題的能力

　　5. 通過一題多解，培養學生對數學的興趣

　　二、教學設計

　　畫圖測量，猜想討論，啟發引導.

　　三、重點、難點

　　1.教學重點：三角形中位線的概論與三角形中位線性質.

　　2.教學難點：三角形中位線定理的證明.

　　四、課時安排

　　1課時

　　五、教具學具準備

　　投影儀、膠片、常用畫圖工具

　　六、教學步驟

　　【復習提問】

　　1.敘述平行線等分線段定理及推論的內容（結合學生的敘述，教師畫出草圖，結合圖形，加以說明）.

　　2.說明定理的證明思路.

　　3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、DA中點，AM、CN分別交BD于點E、F，如何證明 ？

　　分析：要證三條線段相等，一般情況下證兩兩線段相等即可.如要證 ，只要 即可.首先證出四邊形AMCN是平行四邊形，然后用平行線等分線段定理即可證出.

　　4.什么叫三角形中線？（以上復習用投影儀打出）

　　【引入新課】

　　1.三角形中位線：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線.

　　（結合三角形中線的定義，讓學生明確兩者區別，可做一練習，在 中，畫出中線、中位線）

　　2.三角形中位線性質

　　了解了三角形中位線的定義后，我們來研究一下，三角形中位線有什么性質.

　　如圖所示，DE是 的一條中位線，如果過D作 ，交AC于 ，那么根據平行線等分線段定理推論2，得 是AC的中點，可見 與DE重合，所以 .由此得到：三角形中位線平行于第三邊.同樣，過D作 ，且DE FC，所以DE .因此，又得出一個結論，那就是：三角形中位線等于第三邊的一半.由此得到三角形中位線定理.

　　三角形中位線定理：三角形中位城平行于第三邊，并且等于它的一半.

　　應注意的兩個問題：①為便于同學對定理能更好的掌握和應用，可引導學生分析此定理的特點，即同一個題設下有兩個結論，第一個結論是表明中位線與第三邊的位置關系，第二個結論是說明中位線與第三邊的數量關系，在應用時可根據需要來選用其中的結論（可以單獨用其中結論）.②這個定理的證明方法很多，關鍵在于如何添加輔助線.可以引導學生用不同的方法來證明以活躍學生的思維，開闊學生思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.但也應指出，當一個命題有多種證明方法時，要選用比較簡捷的方法證明.

　　由學生討論，說出幾種證明方法，然后教師總結如下圖所示（用投影儀演示）.

　　（l）延長DE到F，使 ，連結CF，由 可得AD FC.

　　（2）延長DE到F，使 ，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得AD FC.

　　（3）過點C作 ，與DE延長線交于F，通過證 可得AD FC.

　　上面通過三種不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四邊形DBCF是平行四邊形，DF BC，又因DE ，所以DE .

　　（證明過程略）

　　例  求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形.

　　（由學生根據命題，說出已知、求證）

　　已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.

　　求證：四邊形EFGH是平行四邊形.‘

　　分析：因為已知點分別是四邊形各邊中點，如果連結對角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形EFGH對邊的關系，從而證出四邊形EFGH是平行四邊形.

　　證明：連結AC.

　　∴ （三角形中位線定理）.

　　同理，

　　∴GH EF

　　∴四邊形EFGH是平行四邊形.

　　【小結】

　　1.三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區別.

　　2.三角形中位線定理及證明思路.

　　七、布置作業 

　　教材P188中1（2）、4、7

　　九、板書設計

三角形的中位線 篇4

　　教學目標 

　　1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質及初步應用.

　　2.通過對問題的探索及進一步變式，培養學生逆向思維及分解構造基本圖形解決較復雜問題的能力.

　　教學重點與難點

　　重點是三角形中位線的性質定理.

　　難點是證明三角形中位線性質定理時輔助線的添法和性質的錄活應用.

　　教學過程 設計

　　一、聯想，提出問題.

　　1.（投影）復習平行線等分線段定理及兩個推論（圖4－89）.

　　(1)請同學敘述定理及推論的內容.

　　(2)用數學表態式敘述圖4－89（c）中的結論.

　　已知在ΔABC中，D為AB中點，DE∥BC，則AE＝EC.

　　2.逆向思維，探索新結論.

　　引導學生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點，DE與BC有什么位置和數量關系呢？

　　啟發學生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯想），DE＝ BC（因為AD＝ AB，AE＝ AC，類比聯想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數關系）.

　　由此引出課題.

　　二、證明猜想，形成定理

　　1.定義，強調它與三角形的中線的區別.

　　2.證明上述猜想成立，教師重點分析輔助線的作法的思考過程.

　　教師提示學生：所證結論即有平行又有數量關系，聯想已有知識，可添加輔助線構造平行四邊形，利用對平行且相等證明結論成立，或者用書上的同一法.教師引導學生發散思維后，還要注意比較，選擇最簡捷的證明方法.

　　3.板書一種證明過程.

　　4.將“猜想改成定理，引導學生用文字敘述出三角形中位線定理的具體內容.

　　三角形中位線定理：平行于第三邊，并且等于它的一半.

　　5.分析定理成立的條件、結論及作用.

　　條件：連結兩邊中點得到中位線.

　　結論有兩個，即位置關系和數量關系，根據題目需要選用.

　　作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系.

　　三、應用舉例、變式練習

　　（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據圖4-91中的條件，回答問題.

　　（1）       已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點DE=5.BC；

　　（2）       如圖4-91（b），D，E，F分別為AB，AC，BC中點，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；

　　（3）       如圖4-91（c），①它包含幾個圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個平行四邊形？④若ΔDEF周長為10 cm，求ΔABC的周長.⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關系？怎樣用語言敘述這結論？

　　分析：

　　（1）       可利用復合投影片實現三個圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學生建立分解基本圖形的思想.

　　（2）       通過此題總結：三角形三和中位線圍成的三角形的周長等于原三角形周長的一半，面積等于原三角形面積的14.這個過程可以無限進行下去，如圖4-92.

　　（3）       從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.

　　（板書）例2   （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點.求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.

　　分析：

　　（1）       由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質？

　　（2）       從結論出發，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①ME=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結論成立.

　　讓學生口述，教師板書證明過程.

　　例3          構造圖4-90問題.

　　（1）       求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形；

　　（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？

　　已知：在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

　　分析：

　　(1)已知四條線段的中點，可設法應用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關系.而四邊形ABCD的對角線可以把四邊形分成兩個三角形，所以添加輔助線，連結AC或BD，構造的基本圖形.

　　（2）讓學生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結各種特殊四邊形中點得到什么圖形？

　　投影顯示：

　　四、師生共同小結

　　1.教師提問引起學生思考：

　　（1）這節課學習了哪些具體內容：

　　（2）用什么思維方法提出猜想的？

　　（3）應注意哪些概念之間的區別？

　　2.在學生回答的基礎上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點及線段倍分關系有關的基

　　本圖形（如圖4－96）.

　　（1）注意三角形中線與中位線的區別，圖4－96（a），（b）.

　　（2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.

　　（3）證明線段倍分關系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），.

　　3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經常得到一些好

　　的結論；添輔助線構造基本圖形來使用性質的解題方法.

　　4.有這樣的性質，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質嗎？（為下節

　　課作思維上的準備）

　　五、作業 

　　課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.

　　補充題：（構造）

　　1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點.求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.

　　（提示：延長CD交BA延長線于F.）

　　2.如圖 4－98，正方形 ABCD對角線交于點O，E是BO中點，連結”并延長交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）

　　3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F分別是AD，BC的中點，延長 BA和CD分別交FE的延長線于 G，H點.求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結 AC，取 AC中聲、 M，連結EM，FM.）

　　課堂教學設計說明

　　本教學過程 設計需1課時完成.

　　1.本節課的設計，力求讓學生通過逆向思維及類比聯想自己實踐“分析——猜想——證

　　明”的過程.變被動接受知識為主動應用已有知識，探索新知識，獲得成功的喜悅.

　　2.在應用性質定理時，通過一組層次遞進的變式題的訓練，由直接給出定理的基本圖形

　　到包含基本圖形，學生分解圖形后使用性質，再到通過添加輔助線構造基本圖形來使用性質，

　　學生逐步學會運用性質來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.

三角形的中位線 篇5

　　教學建議

　　知識結構

　　重難點分析

　　本節的重點是中位線定理.三角形中位線定理和梯形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關系，而且給出了線段的數量關系，為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路.

　　本節的難點是中位線定理的證明.中位線定理的證明教材中采用了同一法，同一法學生初次接觸，思維上不容易理解，而其他證明方法都需要添加2條或2條以上的輔助線，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情況對比有一定的難度.

　　教法建議

　　1. 對于中位線定理的引入和證明可采用發現法，由學生自己觀察、猜想、測量、論證，實際掌握效果比應用講授法應好些，教師可根據學生情況參考采用

　　2.對于定理的證明，有條件的教師可考慮利用多媒體課件來進行演示知識的形成及證明過程，效果可能會更直接更易于理解

　　教學設計示例

　　一、教學目標 

　　1.掌握中位線的概念和三角形中位線定理

　　2.掌握定理“過三角形一邊中點且平行另一邊的直線平分第三邊”

　　3.能夠應用三角形中位線概念及定理進行有關的論證和計算，進一步提高學生的計算能力

　　4.通過定理證明及一題多解，逐步培養學生的分析問題和解決問題的能力

　　5. 通過一題多解，培養學生對數學的興趣

　　二、教學設計

　　畫圖測量，猜想討論，啟發引導.

　　三、重點、難點

　　1.教學重點：三角形中位線的概論與三角形中位線性質.

　　2.教學難點 ：三角形中位線定理的證明.

　　四、課時安排

　　1課時

　　五、教具學具準備

　　投影儀、膠片、常用畫圖工具

　　六、教學步驟 

　　【復習提問】

　　1.敘述平行線等分線段定理及推論的內容（結合學生的敘述，教師畫出草圖，結合圖形，加以說明）.

　　2.說明定理的證明思路.

　　3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、DA中點，AM、CN分別交BD于點E、F，如何證明 ？

　　分析：要證三條線段相等，一般情況下證兩兩線段相等即可.如要證 ，只要 即可.首先證出四邊形AMCN是平行四邊形，然后用平行線等分線段定理即可證出.

　　4.什么叫三角形中線？（以上復習用投影儀打出）

　　【引入新課】

　　1.三角形中位線：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線.

　　（結合三角形中線的定義，讓學生明確兩者區別，可做一練習，在 中，畫出中線、中位線）

　　2.三角形中位線性質

　　了解了三角形中位線的定義后，我們來研究一下，三角形中位線有什么性質.

　　如圖所示，DE是 的一條中位線，如果過D作 ，交AC于 ，那么根據平行線等分線段定理推論2，得 是AC的中點，可見 與DE重合，所以 .由此得到：三角形中位線平行于第三邊.同樣，過D作 ，且DE FC，所以DE .因此，又得出一個結論，那就是：三角形中位線等于第三邊的一半.由此得到三角形中位線定理.

　　三角形中位線定理：三角形中位城平行于第三邊，并且等于它的一半.

　　應注意的兩個問題：①為便于同學對定理能更好的掌握和應用，可引導學生分析此定理的特點，即同一個題設下有兩個結論，第一個結論是表明中位線與第三邊的位置關系，第二個結論是說明中位線與第三邊的數量關系，在應用時可根據需要來選用其中的結論（可以單獨用其中結論）.②這個定理的證明方法很多，關鍵在于如何添加輔助線.可以引導學生用不同的方法來證明以活躍學生的思維，開闊學生思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.但也應指出，當一個命題有多種證明方法時，要選用比較簡捷的方法證明.

　　由學生討論，說出幾種證明方法，然后教師總結如下圖所示（用投影儀演示）.

　　（l）延長DE到F，使 ，連結CF，由 可得AD FC.

　　（2）延長DE到F，使 ，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得AD FC.

　　（3）過點C作 ，與DE延長線交于F，通過證 可得AD FC.

　　上面通過三種不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四邊形DBCF是平行四邊形，DF BC，又因DE ，所以DE .

　　（證明過程略）

　　例  求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形.

　　（由學生根據命題，說出已知、求證）

　　已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.

　　求證：四邊形EFGH是平行四邊形.‘

　　分析：因為已知點分別是四邊形各邊中點，如果連結對角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形EFGH對邊的關系，從而證出四邊形EFGH是平行四邊形.

　　證明：連結AC.

　　∴ （三角形中位線定理）.

　　同理，

　　∴GH EF

　　∴四邊形EFGH是平行四邊形.

　　【小結】

　　1.三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區別.

　　2.三角形中位線定理及證明思路.

　　七、布置作業 

　　教材P188中1（2）、4、7

　　九、板書設計 

三角形的中位線 篇6

　　教學建議

　　知識結構

　　重難點分析

　　本節的重點是中位線定理.三角形中位線定理和梯形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關系，而且給出了線段的數量關系，為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路.

　　本節的難點是中位線定理的證明.中位線定理的證明教材中采用了同一法，同一法學生初次接觸，思維上不容易理解，而其他證明方法都需要添加2條或2條以上的輔助線，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情況對比有一定的難度.

　　教法建議

　　1. 對于中位線定理的引入和證明可采用發現法，由學生自己觀察、猜想、測量、論證，實際掌握效果比應用講授法應好些，教師可根據學生情況參考采用

　　2.對于定理的證明，有條件的教師可考慮利用多媒體課件來進行演示知識的形成及證明過程，效果可能會更直接更易于理解

　　教學設計示例

　　一、教學目標 

　　1.掌握中位線的概念和三角形中位線定理

　　2.掌握定理“過三角形一邊中點且平行另一邊的直線平分第三邊”

　　3.能夠應用三角形中位線概念及定理進行有關的論證和計算，進一步提高學生的計算能力

　　4.通過定理證明及一題多解，逐步培養學生的分析問題和解決問題的能力

　　5. 通過一題多解，培養學生對數學的興趣

　　二、教學設計

　　畫圖測量，猜想討論，啟發引導.

　　三、重點、難點

　　1.教學重點：三角形中位線的概論與三角形中位線性質.

　　2.教學難點 ：三角形中位線定理的證明.

　　四、課時安排

　　1課時

　　五、教具學具準備

　　投影儀、膠片、常用畫圖工具

　　六、教學步驟 

　　【復習提問】

　　1.敘述平行線等分線段定理及推論的內容（結合學生的敘述，教師畫出草圖，結合圖形，加以說明）.

　　2.說明定理的證明思路.

　　3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、DA中點，AM、CN分別交BD于點E、F，如何證明 ？

　　分析：要證三條線段相等，一般情況下證兩兩線段相等即可.如要證 ，只要 即可.首先證出四邊形AMCN是平行四邊形，然后用平行線等分線段定理即可證出.

　　4.什么叫三角形中線？（以上復習用投影儀打出）

　　【引入新課】

　　1.三角形中位線：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線.

　　（結合三角形中線的定義，讓學生明確兩者區別，可做一練習，在 中，畫出中線、中位線）

　　2.三角形中位線性質

　　了解了三角形中位線的定義后，我們來研究一下，三角形中位線有什么性質.

　　如圖所示，DE是 的一條中位線，如果過D作 ，交AC于 ，那么根據平行線等分線段定理推論2，得 是AC的中點，可見 與DE重合，所以 .由此得到：三角形中位線平行于第三邊.同樣，過D作 ，且DE FC，所以DE .因此，又得出一個結論，那就是：三角形中位線等于第三邊的一半.由此得到三角形中位線定理.

　　三角形中位線定理：三角形中位城平行于第三邊，并且等于它的一半.

　　應注意的兩個問題：①為便于同學對定理能更好的掌握和應用，可引導學生分析此定理的特點，即同一個題設下有兩個結論，第一個結論是表明中位線與第三邊的位置關系，第二個結論是說明中位線與第三邊的數量關系，在應用時可根據需要來選用其中的結論（可以單獨用其中結論）.②這個定理的證明方法很多，關鍵在于如何添加輔助線.可以引導學生用不同的方法來證明以活躍學生的思維，開闊學生思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.但也應指出，當一個命題有多種證明方法時，要選用比較簡捷的方法證明.

　　由學生討論，說出幾種證明方法，然后教師總結如下圖所示（用投影儀演示）.

　　（l）延長DE到F，使 ，連結CF，由 可得AD FC.

　　（2）延長DE到F，使 ，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得AD FC.

　　（3）過點C作 ，與DE延長線交于F，通過證 可得AD FC.

　　上面通過三種不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四邊形DBCF是平行四邊形，DF BC，又因DE ，所以DE .

　　（證明過程略）

　　例  求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形.

　　（由學生根據命題，說出已知、求證）

　　已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.

　　求證：四邊形EFGH是平行四邊形.‘

　　分析：因為已知點分別是四邊形各邊中點，如果連結對角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形EFGH對邊的關系，從而證出四邊形EFGH是平行四邊形.

　　證明：連結AC.

　　∴ （三角形中位線定理）.

　　同理，

　　∴GH EF

　　∴四邊形EFGH是平行四邊形.

　　【小結】

　　1.三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區別.

　　2.三角形中位線定理及證明思路.

　　七、布置作業 

　　教材P188中1（2）、4、7

　　九、板書設計 

三角形的中位線 篇7

　　教學目標 

　　1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質及初步應用.

　　2.通過對問題的探索及進一步變式，培養學生逆向思維及分解構造基本圖形解決較復雜問題的能力.

　　教學重點與難點

　　重點是三角形中位線的性質定理.

　　難點是證明三角形中位線性質定理時輔助線的添法和性質的錄活應用.

　　教學過程 設計

　　一、聯想，提出問題.

　　1.（投影）復習平行線等分線段定理及兩個推論（圖4－89）.

　　(1)請同學敘述定理及推論的內容.

　　(2)用數學表態式敘述圖4－89（c）中的結論.

　　已知在ΔABC中，D為AB中點，DE∥BC，則AE＝EC.

　　2.逆向思維，探索新結論.

　　引導學生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點，DE與BC有什么位置和數量關系呢？

　　啟發學生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯想），DE＝ BC（因為AD＝ AB，AE＝ AC，類比聯想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數關系）.

　　由此引出課題.

　　二、證明猜想，形成定理

　　1.定義三角形的中位線，強調它與三角形的中線的區別.

　　2.證明上述猜想成立，教師重點分析輔助線的作法的思考過程.

　　教師提示學生：所證結論即有平行又有數量關系，聯想已有知識，可添加輔助線構造平行四邊形，利用對平行且相等證明結論成立，或者用書上的同一法.教師引導學生發散思維后，還要注意比較，選擇最簡捷的證明方法.

　　3.板書一種證明過程.

　　4.將“猜想改成定理，引導學生用文字敘述出三角形中位線定理的具體內容.

　　三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

　　5.分析定理成立的條件、結論及作用.

　　條件：連結兩邊中點得到中位線.

　　結論有兩個，即位置關系和數量關系，根據題目需要選用.

　　作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系.

　　三、應用舉例、變式練習

　　（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據圖4-91中的條件，回答問題.

　　（1）       已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點DE=5.BC；

　　（2）       如圖4-91（b），D，E，F分別為AB，AC，BC中點，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；

　　（3）       如圖4-91（c），①它包含幾個圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個平行四邊形？④若ΔDEF周長為10 cm，求ΔABC的周長.⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關系？怎樣用語言敘述這結論？

　　分析：

　　（1）       可利用復合投影片實現三個圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學生建立分解基本圖形的思想.

　　（2）       通過此題總結：三角形三和中位線圍成的三角形的周長等于原三角形周長的一半，面積等于原三角形面積的14.這個過程可以無限進行下去，如圖4-92.

　　（3）       從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.

　　（板書）例2   （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點.求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.

　　分析：

　　（1）       由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質？

　　（2）       從結論出發，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①ME=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結論成立.

　　讓學生口述，教師板書證明過程.

　　例3          構造圖4-90問題.

　　（1）       求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形；

　　（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？

　　已知：在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

　　分析：

　　(1)已知四條線段的中點，可設法應用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關系.而四邊形ABCD的對角線可以把四邊形分成兩個三角形，所以添加輔助線，連結AC或BD，構造“三角形的中位線”的基本圖形.

　　（2）讓學生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結各種特殊四邊形中點得到什么圖形？

　　投影顯示：

　　四、師生共同小結

　　1.教師提問引起學生思考：

　　（1）這節課學習了哪些具體內容：

　　（2）用什么思維方法提出猜想的？

　　（3）應注意哪些概念之間的區別？

　　2.在學生回答的基礎上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點及線段倍分關系有關的基

　　本圖形（如圖4－96）.

　　（1）注意三角形中線與中位線的區別，圖4－96（a），（b）.

　　（2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.

　　（3）證明線段倍分關系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），.

　　3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經常得到一些好

　　的結論；添輔助線構造基本圖形來使用性質的解題方法.

　　4.三角形的中位線有這樣的性質，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質嗎？（為下節

　　課作思維上的準備）

　　五、作業 

　　課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.

　　補充題：（構造三角形的中位線）

　　1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點.求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.

　　（提示：延長CD交BA延長線于F.）

　　2.如圖 4－98，正方形 ABCD對角線交于點O，E是BO中點，連結”并延長交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）

　　3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F分別是AD，BC的中點，延長 BA和CD分別交FE的延長線于 G，H點.求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結 AC，取 AC中聲、 M，連結EM，FM.）

　　課堂教學設計說明

　　本教學過程 設計需1課時完成.

　　1.本節課的設計，力求讓學生通過逆向思維及類比聯想自己實踐“分析——猜想——證

　　明”的過程.變被動接受知識為主動應用已有知識，探索新知識，獲得成功的喜悅.

　　2.在應用性質定理時，通過一組層次遞進的變式題的訓練，由直接給出定理的基本圖形

　　到包含基本圖形，學生分解圖形后使用性質，再到通過添加輔助線構造基本圖形來使用性質，

　　學生逐步學會運用性質來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高

三角形的中位線 篇8

　　教學目標 

　　1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質及初步應用.

　　2.通過對問題的探索及進一步變式，培養學生逆向思維及分解構造基本圖形解決較復雜問題的能力.

　　教學重點與難點

　　重點是三角形中位線的性質定理.

　　難點是證明三角形中位線性質定理時輔助線的添法和性質的錄活應用.

　　教學過程 設計

　　一、聯想，提出問題.

　　1.（投影）復習平行線等分線段定理及兩個推論（圖4－89）.

　　(1)請同學敘述定理及推論的內容.

　　(2)用數學表態式敘述圖4－89（c）中的結論.

　　已知在ΔABC中，D為AB中點，DE∥BC，則AE＝EC.

　　2.逆向思維，探索新結論.

　　引導學生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點，DE與BC有什么位置和數量關系呢？

　　啟發學生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯想），DE＝ BC（因為AD＝ AB，AE＝ AC，類比聯想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數關系）.

　　由此引出課題.

　　二、證明猜想，形成定理

　　1.定義三角形的中位線，強調它與三角形的中線的區別.

　　2.證明上述猜想成立，教師重點分析輔助線的作法的思考過程.

　　教師提示學生：所證結論即有平行又有數量關系，聯想已有知識，可添加輔助線構造平行四邊形，利用對平行且相等證明結論成立，或者用書上的同一法.教師引導學生發散思維后，還要注意比較，選擇最簡捷的證明方法.

　　3.板書一種證明過程.

　　4.將“猜想改成定理，引導學生用文字敘述出三角形中位線定理的具體內容.

　　三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

　　5.分析定理成立的條件、結論及作用.

　　條件：連結兩邊中點得到中位線.

　　結論有兩個，即位置關系和數量關系，根據題目需要選用.

　　作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系.

　　三、應用舉例、變式練習

　　（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據圖4-91中的條件，回答問題.

　　（1）       已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點DE=5.BC；

　　（2）       如圖4-91（b），D，E，F分別為AB，AC，BC中點，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；

　　（3）       如圖4-91（c），①它包含幾個圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個平行四邊形？④若ΔDEF周長為10 cm，求ΔABC的周長.⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關系？怎樣用語言敘述這結論？

　　分析：

　　（1）       可利用復合投影片實現三個圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學生建立分解基本圖形的思想.

　　（2）       通過此題總結：三角形三和中位線圍成的三角形的周長等于原三角形周長的一半，面積等于原三角形面積的14.這個過程可以無限進行下去，如圖4-92.

　　（3）       從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.

　　（板書）例2   （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點.求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.

　　分析：

　　（1）       由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質？

　　（2）       從結論出發，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①ME=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結論成立.

　　讓學生口述，教師板書證明過程.

　　例3          構造圖4-90問題.

　　（1）       求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形；

　　（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？

　　已知：在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

　　分析：

　　(1)已知四條線段的中點，可設法應用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關系.而四邊形ABCD的對角線可以把四邊形分成兩個三角形，所以添加輔助線，連結AC或BD，構造“三角形的中位線”的基本圖形.

　　（2）讓學生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結各種特殊四邊形中點得到什么圖形？

　　投影顯示：

　　四、師生共同小結

　　1.教師提問引起學生思考：

　　（1）這節課學習了哪些具體內容：

　　（2）用什么思維方法提出猜想的？

　　（3）應注意哪些概念之間的區別？

　　2.在學生回答的基礎上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點及線段倍分關系有關的基

　　本圖形（如圖4－96）.

　　（1）注意三角形中線與中位線的區別，圖4－96（a），（b）.

　　（2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.

　　（3）證明線段倍分關系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），.

　　3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經常得到一些好

　　的結論；添輔助線構造基本圖形來使用性質的解題方法.

　　4.三角形的中位線有這樣的性質，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質嗎？（為下節

　　課作思維上的準備）

　　五、作業 

　　課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.

　　補充題：（構造三角形的中位線）

　　1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點.求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.

　　（提示：延長CD交BA延長線于F.）

　　2.如圖 4－98，正方形 ABCD對角線交于點O，E是BO中點，連結”并延長交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）

　　3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F分別是AD，BC的中點，延長 BA和CD分別交FE的延長線于 G，H點.求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結 AC，取 AC中聲、 M，連結EM，FM.）

　　課堂教學設計說明

　　本教學過程 設計需1課時完成.

　　1.本節課的設計，力求讓學生通過逆向思維及類比聯想自己實踐“分析——猜想——證

　　明”的過程.變被動接受知識為主動應用已有知識，探索新知識，獲得成功的喜悅.

　　2.在應用性質定理時，通過一組層次遞進的變式題的訓練，由直接給出定理的基本圖形

　　到包含基本圖形，學生分解圖形后使用性質，再到通過添加輔助線構造基本圖形來使用性質，

　　學生逐步學會運用性質來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.

三角形的中位線 篇9

　　教學目標 

　　1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質及初步應用.

　　2.通過對問題的探索及進一步變式，培養學生逆向思維及分解構造基本圖形解決較復雜問題的能力.

　　教學重點與難點

　　重點是三角形中位線的性質定理.

　　難點是證明三角形中位線性質定理時輔助線的添法和性質的錄活應用.

　　教學過程 設計

　　一、聯想，提出問題.

　　1.（投影）復習平行線等分線段定理及兩個推論（圖4－89）.

　　(1)請同學敘述定理及推論的內容.

　　(2)用數學表態式敘述圖4－89（c）中的結論.

　　已知在ΔABC中，D為AB中點，DE∥BC，則AE＝EC.

　　2.逆向思維，探索新結論.

　　引導學生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點，DE與BC有什么位置和數量關系呢？

　　啟發學生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯想），DE＝ BC（因為AD＝ AB，AE＝ AC，類比聯想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數關系）.

　　由此引出課題.

　　二、證明猜想，形成定理

　　1.定義三角形的中位線，強調它與三角形的中線的區別.

　　2.證明上述猜想成立，教師重點分析輔助線的作法的思考過程.

　　教師提示學生：所證結論即有平行又有數量關系，聯想已有知識，可添加輔助線構造平行四邊形，利用對平行且相等證明結論成立，或者用書上的同一法.教師引導學生發散思維后，還要注意比較，選擇最簡捷的證明方法.

　　3.板書一種證明過程.

　　4.將“猜想改成定理，引導學生用文字敘述出三角形中位線定理的具體內容.

　　三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

　　5.分析定理成立的條件、結論及作用.

　　條件：連結兩邊中點得到中位線.

　　結論有兩個，即位置關系和數量關系，根據題目需要選用.

　　作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系.

　　三、應用舉例、變式練習

　　（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據圖4-91中的條件，回答問題.

　　（1）       已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點DE=5.BC；

　　（2）       如圖4-91（b），D，E，F分別為AB，AC，BC中點，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；

　　（3）       如圖4-91（c），①它包含幾個圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個平行四邊形？④若ΔDEF周長為10 cm，求ΔABC的周長.⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關系？怎樣用語言敘述這結論？

　　分析：

　　（1）       可利用復合投影片實現三個圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學生建立分解基本圖形的思想.

　　（2）       通過此題總結：三角形三和中位線圍成的三角形的周長等于原三角形周長的一半，面積等于原三角形面積的14.這個過程可以無限進行下去，如圖4-92.

　　（3）       從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.

　　（板書）例2   （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點.求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.

　　分析：

　　（1）       由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質？

　　（2）       從結論出發，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①ME=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結論成立.

　　讓學生口述，教師板書證明過程.

　　例3          構造圖4-90問題.

　　（1）       求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形；

　　（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？

　　已知：在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

　　分析：

　　(1)已知四條線段的中點，可設法應用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關系.而四邊形ABCD的對角線可以把四邊形分成兩個三角形，所以添加輔助線，連結AC或BD，構造“三角形的中位線”的基本圖形.

　　（2）讓學生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結各種特殊四邊形中點得到什么圖形？

　　投影顯示：

　　四、師生共同小結

　　1.教師提問引起學生思考：

　　（1）這節課學習了哪些具體內容：

　　（2）用什么思維方法提出猜想的？

　　（3）應注意哪些概念之間的區別？

　　2.在學生回答的基礎上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點及線段倍分關系有關的基

　　本圖形（如圖4－96）.

　　（1）注意三角形中線與中位線的區別，圖4－96（a），（b）.

　　（2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.

　　（3）證明線段倍分關系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），.

　　3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經常得到一些好

　　的結論；添輔助線構造基本圖形來使用性質的解題方法.

　　4.三角形的中位線有這樣的性質，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質嗎？（為下節

　　課作思維上的準備）

　　五、作業 

　　課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.

　　補充題：（構造三角形的中位線）

　　1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點.求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.

　　（提示：延長CD交BA延長線于F.）

　　2.如圖 4－98，正方形 ABCD對角線交于點O，E是BO中點，連結”并延長交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）

　　3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F分別是AD，BC的中點，延長 BA和CD分別交FE的延長線于 G，H點.求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結 AC，取 AC中聲、 M，連結EM，FM.）

　　課堂教學設計說明

　　本教學過程 設計需1課時完成.

　　1.本節課的設計，力求讓學生通過逆向思維及類比聯想自己實踐“分析——猜想——證

　　明”的過程.變被動接受知識為主動應用已有知識，探索新知識，獲得成功的喜悅.

　　2.在應用性質定理時，通過一組層次遞進的變式題的訓練，由直接給出定理的基本圖形

　　到包含基本圖形，學生分解圖形后使用性質，再到通過添加輔助線構造基本圖形來使用性質，

　　學生逐步學會運用性質來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.

　　教學目標 

　　1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質及初步應用.

　　2.通過對問題的探索及進一步變式，培養學生逆向思維及分解構造基本圖形解決較復雜問題的能力.

　　教學重點與難點

　　重點是三角形中位線的性質定理.

　　難點是證明三角形中位線性質定理時輔助線的添法和性質的錄活應用.

　　教學過程 設計

　　一、聯想，提出問題.

　　1.（投影）復習平行線等分線段定理及兩個推論（圖4－89）.

　　(1)請同學敘述定理及推論的內容.

　　(2)用數學表態式敘述圖4－89（c）中的結論.

　　已知在ΔABC中，D為AB中點，DE∥BC，則AE＝EC.

　　2.逆向思維，探索新結論.

　　引導學生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點，DE與BC有什么位置和數量關系呢？

　　啟發學生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯想），DE＝ BC（因為AD＝ AB，AE＝ AC，類比聯想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數關系）.

　　由此引出課題.

　　二、證明猜想，形成定理

　　1.定義三角形的中位線，強調它與三角形的中線的區別.

　　2.證明上述猜想成立，教師重點分析輔助線的作法的思考過程.

　　教師提示學生：所證結論即有平行又有數量關系，聯想已有知識，可添加輔助線構造平行四邊形，利用對平行且相等證明結論成立，或者用書上的同一法.教師引導學生發散思維后，還要注意比較，選擇最簡捷的證明方法.

　　3.板書一種證明過程.

　　4.將“猜想改成定理，引導學生用文字敘述出三角形中位線定理的具體內容.

　　三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.

　　5.分析定理成立的條件、結論及作用.

　　條件：連結兩邊中點得到中位線.

　　結論有兩個，即位置關系和數量關系，根據題目需要選用.

　　作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系.

　　三、應用舉例、變式練習

　　（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據圖4-91中的條件，回答問題.

　　（1）       已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點DE=5.BC；

　　（2）       如圖4-91（b），D，E，F分別為AB，AC，BC中點，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；

　　（3）       如圖4-91（c），①它包含幾個圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個平行四邊形？④若ΔDEF周長為10 cm，求ΔABC的周長.⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關系？怎樣用語言敘述這結論？

　　分析：

　　（1）       可利用復合投影片實現三個圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學生建立分解基本圖形的思想.

　　（2）       通過此題總結：三角形三和中位線圍成的三角形的周長等于原三角形周長的一半，面積等于原三角形面積的14.這個過程可以無限進行下去，如圖4-92.

　　（3）       從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.

　　（板書）例2   （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點.求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.

　　分析：

　　（1）       由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質？

　　（2）       從結論出發，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①ME=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結論成立.

　　讓學生口述，教師板書證明過程.

　　例3          構造圖4-90問題.

　　（1）       求證：順次連結四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形；

　　（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？

　　已知：在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

　　分析：

　　(1)已知四條線段的中點，可設法應用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關系.而四邊形ABCD的對角線可以把四邊形分成兩個三角形，所以添加輔助線，連結AC或BD，構造“三角形的中位線”的基本圖形.

　　（2）讓學生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結各種特殊四邊形中點得到什么圖形？

　　投影顯示：

　　四、師生共同小結

　　1.教師提問引起學生思考：

　　（1）這節課學習了哪些具體內容：

　　（2）用什么思維方法提出猜想的？

　　（3）應注意哪些概念之間的區別？

　　2.在學生回答的基礎上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點及線段倍分關系有關的基

　　本圖形（如圖4－96）.

　　（1）注意三角形中線與中位線的區別，圖4－96（a），（b）.

　　（2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.

　　（3）證明線段倍分關系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），.

　　3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經常得到一些好

　　的結論；添輔助線構造基本圖形來使用性質的解題方法.

　　4.三角形的中位線有這樣的性質，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質嗎？（為下節

　　課作思維上的準備）

　　五、作業 

　　課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.

　　補充題：（構造三角形的中位線）

　　1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點.求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.

　　（提示：延長CD交BA延長線于F.）

　　2.如圖 4－98，正方形 ABCD對角線交于點O，E是BO中點，連結”并延長交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）

　　3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F分別是AD，BC的中點，延長 BA和CD分別交FE的延長線于 G，H點.求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結 AC，取 AC中聲、 M，連結EM，FM.）

　　課堂教學設計說明

　　本教學過程 設計需1課時完成.

　　1.本節課的設計，力求讓學生通過逆向思維及類比聯想自己實踐“分析——猜想——證

　　明”的過程.變被動接受知識為主動應用已有知識，探索新知識，獲得成功的喜悅.

　　2.在應用性質定理時，通過一組層次遞進的變式題的訓練，由直接給出定理的基本圖形

　　到包含基本圖形，學生分解圖形后使用性質，再到通過添加輔助線構造基本圖形來使用性質，

　　學生逐步學會運用性質來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.

三角形的中位線 篇10

　　【學習目標】：                  xx中學   李

　　1. 理解三角形中位線的概念，掌握它的性質.

　　2. 能較熟練地應用三角形中位線性質進行有關的證明和計算.

　　3.經歷探索、猜想、證明的過程，進一步發展推理論證的能力.

　　4.能運用綜合法證明有關三角形中位線性質的結論.理解在證明過程中所運用的歸納、類比、轉化等思想方法.

　　【學習重點、難點】

　　1.重點：掌握和運用三角形中位線的性質.

　　2.難點：三角形中位線性質的證明（輔助線的添加方法）.

　　（1）三角形的中位線與中線的區別

　　（2）三角形中位線性質的應用

　　一、【課前預習】

　　1.預習p30

　　2.預習檢測

　　（1）三角形中位線：                                                  .

　　（2）三角形中位線定理：                                                .

　　定理符號語言的表達：

　　如圖：在△abc中

　　∵d、e分別是ab、ac的中點

　　∴                                 

　　（3）△abc中，d、e、f分別是ab、ac、bc的中點，若ef=5cm，則ab=     cm；若bc=9cm，則de=      cm；

　　（4）一個三角形的周長是15cm，過三角形各頂點作對邊的平行線，則這三條平行線所組成的三角形的周長是          cm.

　　二、【課堂導學】

　　【思考】：

　　（1）想一想：①一個三角形的中位線共有幾條？②三角形的中位線與中線有什么區別？

　　（2）三角形的中位線與第三邊有怎樣的關系？

　　三角形中位線的性質定理：

　　已知： 如圖，點d、e、分別為△abc邊ab、ac的中點

　　求證：de∥bc且de= bc.

　　三、【精講點撥】

　　活動1、如圖，△abc中，d、e、f分別是bc、ab、ac的中點。

　　試判斷四邊形aedf的形狀并說明理由。

　　活動2、如圖：在四邊形abcd中，點e、f、g分別是ad、ab、cd的中點。

　　思考：

　　1、ef是哪個三角形的中位線？eg是哪個三角形的中位線？

　　2、當ac=bd時，請判斷△efg的形狀。

　　四、【課堂檢測】

　　1.如圖，d、e分別為△abc的邊ab、bc的中點，若ac=12 ，∠a=450，則de=     ，∠edb=       

　　2.如圖，在四邊形abcd中，p是對角線bd的中點，e、f分別是ab、cd的中點，ad=bc。若∠pef=180，則∠pfe=          度；

　　3.一個三角形三條中位線的長分別是 ， ， ，則這個三角形的周長為   

　　4.如圖，點o為△abc內一點，d、e、f、g分別為ac、ab、ob、oc的中點。求證：四邊形defg為平行四邊形。

　　檢測

　　反饋 

　　五、【開放題】

　　如圖，a、b兩點被池塘隔開， 在不可直接測量ab的情況下，你能運用你所學習的數學知識測量出a、b兩點的距離嗎？

三角形的中位線 篇11

　　一、設計思路

　　（一）教材分析

　　本課時所要探究的三角形中位線定理是學生以前從未接觸過的內容。因此，在教學中通過創設有趣的情境問題，激發學生的學習興趣，注重新舊知識的聯系，強調直觀與抽象的結合，鼓勵學生大膽猜想，大膽探索新穎獨特的證明方法和思路，讓學生充分經歷“探索—發現—猜想—證明”這一過程，體會合情推理與演繹推理在獲得結論的過程中發揮的作用，同時滲透歸納、類比、轉化等數學思想方法。通過本節課的學習，應使學生理解三角形中位線定理不僅指出了三角形的中位線與第三邊的位置關系和數量關系，而且為證明線段之間的位置關系和數量關系（倍分關系）提供了新的思路，從而提高學生分析問題、解決問題的能力。

　　（二）學情分析

　　本班學生基礎知識比較扎實，接受新知識的意識較強，對于本章有關平行四邊形的性質和判定的內容掌握較好，但知識遷移能力較差，數學思想方法運用不夠靈活。因此，本節課著眼于基礎，注重能力的培養，積極引導學生首先通過實際操作獲得結論，然后借助于平行四邊形的有關知識進行探索和證明。在此過程中注重知識的遷移同時重點滲透轉化、類比、歸納的數學思想方法，使學生的優勢得以發揮，劣勢得以改進，從而提高學生的整體水平。

　　三）教學目標

　　1.知識目標

　　1）了解三角形中位線的概念。

　　2）掌握三角形中位線定理的證明和有關應用。

　　2.能力目標

　　1） 經歷“探索—發現—猜想—證明”的過程，進一步發展推理論證能力。

　　2） 能夠用多種方法證明三角形的中位線定理，體會在證明過程中所運用的歸納、類比、轉化等數學思想方法。

　　3）能夠應用三角形的中位線定理進行有關的論證和計算，逐步提高學生分析問題和解決問題的能力。

　　3.情感目標

　　通過學生動手操作、觀察、實驗、推理、猜想、論證等自主探索與合作交流的過程，激發學生的學習興趣，讓學生真正體驗知識的發生和發展過程，培養學生的創新意識。

　　（四）教學重點與難點

　　教學重點：三角形中位線的概念與三角形中位線定理的證明.

　　教學難點：三角形中位線定理的多種證明。             

　　（五）教學方法與學法指導

　　對于三角形中位線定理的引入采用發現法，在教師的引導下，學生通過探索、猜測等自主探究的方法先獲得結論再去證明。在此過程中，注重對證明思路的啟發和數學思想方法的滲透，提倡證明方法的多樣性，而對于定理的證明過程，則運用多媒體演示。

　　（六）教具和學具的準備

　　教具：多媒體、投影儀、三角形紙片、剪刀、常用畫圖工具。

　　學具：三角形紙片、剪刀、刻度尺、量角器。

　　二、 教學過程

　　1.一道趣題——課堂因你而和諧

　　問題：你能將任意一個三角形分成四個全等的三角形嗎？這四個全等三角形能拼湊成一個平行四邊形嗎？（板書）

　　（這一問題激發了學生的學習興趣，學生積極主動地加入到課堂教學中，課堂氣氛變得較為和諧，課堂也鮮活起來了。）

　　學生想出了這樣的方法：順次連接三角形每兩邊的中點，看上去就得到了四個全等的三角形.

　　如圖中，將△ade繞e點沿順（逆）時針方向旋轉180°可得平行四邊形adfe。

　　問題：你有辦法驗證嗎？

　　2.一種實驗——課堂因你而生動

　　學生的驗證方法較多，其中較為典型的方法如下：

　　生1：沿de、df、ef將畫在紙上的△abc剪開，看四個三角形能否重合。

　　生2：分別測量四個三角形的三邊長度，判斷是否可利用“sss”來判定三角形全等。

　　生3：分別測量四個三角形對應的邊及角，判斷是否可用“sas、asa或aas”判定全等。

　　引導：上述同學都采用了實驗法，存在誤差，那么如何利用推理論證的方法驗證呢？

　　3.一種探索——課堂因你而鮮活

　　師：把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.（板書）

　　問題：三角形的中位線與第三邊有怎樣的關系呢？在前面圖1中你能發現什么結論呢？

　　（學生的思維開始活躍起來，同學之間開始互相討論，積極發言）

　　學生的結果如下：de∥bc，df∥ac，ef∥ab，ae=ec，bf=fc，bd=ad，

　　△ ade≌△dbf≌△efc≌△def，de=bc，df=ac，ef=ab ……

　　猜想：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。（板書）

　　師：如何證明這個猜想的命題呢？

　　生：先將文字問題轉化為幾何問題然后證明。

　　已知：de是abc的中位線，求證：de//bc、de=bc。

　　學生思考后教師啟發：要證明兩條直線平行，可以利用“三線八角”的有關內容進行轉化，而要證明一條線段的長等于另一條線段長度的一半，可采用將較短的線段延長一倍，或者截取較長線段的一半等方法進行轉化歸納。

　　（學生積極討論，得出幾種常用方法，大致思路如下）

　　生1：延長de到f使ef=de，連接cf

　　由     △ade≌△cfe（sas）

　　得    adfc     從而    bdfc

　　所以，四邊形dbcf為平行四邊形

　　得    dfbc

　　可得  debc  （板書）

　　生2：將ade繞e點沿順（逆）時針方向旋轉180°，使得點a與點c重合， 

　　即   ade≌cfe，

　　可得  bdcf，

　　得    平行四邊形dbcf

　　得    dfbc  可得  debc

　　生3：延長de到f使de=ef，連接af、cf、cd, 可得 adcf

　　得   dbcf

　　得    dfbc

　　可得 debc

　　生4：利用△ade∽△abc且相似比為1：2

　　即   

　　可得 debc

　　師：還有其它不同方法嗎？

　　（學生面面相覷，學生5舉手發言）4.一種創新——課堂因你而美麗

　　生5：過點d作df//bc交ac于點f

　　則      adf∽abc

　　可得   

　　又     e是ac中點

　　可得     

　　因此   ae=af    

　　即     e點與f點重合

　　所以   de//bc 且  de=bc

　　（筆者事先只局限于思考利用平行四邊形及三角形相似的性質解決問題，沒想到學生的發言如此精彩，為整個課堂添加了不少亮色。）

　　師：很好，好極了！這種證法在數學中叫做同一法，連老師也沒想到。太棒了，大家要向生5學習，用變化的、動態的、創新的觀點來看問題，努力去尋找更好更簡捷的方法。

　　5.一種思考——課堂因你而添彩

　　問題：三角形的中位線與中線有什么區別與聯系呢？

　　容易得出如下事實：都是三角形內部與邊的中點有關的線段.但中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.（學生交流、探索、思考、驗證）

　　6.一種照應——課堂因你而完整

　　問題：你能利用三角形中位線定理說明本節課開始提出的趣題的合理性嗎？（學生爭先恐后回答，課堂氣氛活躍）

　　7.一種應用——課堂因你而升華

　　做一做：任意一個四邊形，將其四邊的中點依次連接起來所得新四邊形的形狀有什么特征？

　　（學生積極思考發言，師生共同完成此題目的最常見解法。）

　　已知：四邊形abcd，點e、f、g、h

　　分別是四邊的中點，求證：四邊形efgh是平行四邊形。

　　證明：連結ac

　　∵ e、f分別是ab、bc的中點，

　　∴ ef是abc的中位線，

　　∴ ef∥ac且ef=ac，

　　同理可得：gh∥ac 且gh=ac，

　　∴　efgh，

　　∴四邊形efgh為平行四邊形。（板書）

　　其它解法由學生口述完成。

　　8.一種引申——課堂因你而讓人回味無窮

　　問題：如果將上例中的“任意四邊形”改為“平行四邊形、矩形、菱形、正方形”，結論又會怎么樣呢？（學生作為作業完成。）

　　9.一句總結——課堂因你而彰顯無窮魅力

　　學生總結本節內容：三角形的中位線和三角形中位線定理。（另附作業）

　　三、板書設計

　　三角形的中位線

　　1.問題                         

　　2.三角形中位線定義            

　　3.三角形中位線定理證明        

　　4.做一做 　

　　5.練習

　　6.小結 

　　四、課后反思　　

　　本節課以“如何將一個任意三角形分為四個全等的三角形”這一問題為出發點，以平行四邊形的性質定理和判定定理為橋梁，探究了三角形中位線的基本性質和應用。在本節課中，學生親身經歷了“探索—發現—猜想—證明”的探究過程，體會了證明的必要性和證明方法的多樣性。在此過程中，筆者注重新舊知識的聯系，同時強調轉化、類比、歸納等數學思想方法的恰當應用，達到了預期的目的。