三角形的中位線（通用12篇）
三角形的中位線 篇1
教學(xué)建議
知識(shí)結(jié)構(gòu)
重難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是中位線定理.三角形中位線定理和梯形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關(guān)系，而且給出了線段的數(shù)量關(guān)系，為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路.
本節(jié)的難點(diǎn)是中位線定理的證明.中位線定理的證明教材中采用了同一法，同一法學(xué)生初次接觸，思維上不容易理解，而其他證明方法都需要添加2條或2條以上的輔助線，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情況對(duì)比有一定的難度.
教法建議
1. 對(duì)于中位線定理的引入和證明可采用發(fā)現(xiàn)法，由學(xué)生自己觀察、猜想、測(cè)量、論證，實(shí)際掌握效果比應(yīng)用講授法應(yīng)好些，教師可根據(jù)學(xué)生情況參考采用
2.對(duì)于定理的證明，有條件的教師可考慮利用多媒體課件來進(jìn)行演示知識(shí)的形成及證明過程，效果可能會(huì)更直接更易于理解
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握中位線的概念和三角形中位線定理
2.掌握定理“過三角形一邊中點(diǎn)且平行另一邊的直線平分第三邊”
3.能夠應(yīng)用三角形中位線概念及定理進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，進(jìn)一步提高學(xué)生的計(jì)算能力
4.通過定理證明及一題多解，逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力
5. 通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣
二、教學(xué)設(shè)計(jì)
畫圖測(cè)量，猜想討論，啟發(fā)引導(dǎo).
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)：三角形中位線的概論與三角形中位線性質(zhì).
2.教學(xué)難點(diǎn) ：三角形中位線定理的證明.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、常用畫圖工具
六、教學(xué)步驟
【復(fù)習(xí)提問】
1.敘述平行線等分線段定理及推論的內(nèi)容（結(jié)合學(xué)生的敘述，教師畫出草圖，結(jié)合圖形，加以說明）.
2.說明定理的證明思路.
3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、DA中點(diǎn)，AM、CN分別交BD于點(diǎn)E、F，如何證明 ？
分析：要證三條線段相等，一般情況下證兩兩線段相等即可.如要證 ，只要 即可.首先證出四邊形AMCN是平行四邊形，然后用平行線等分線段定理即可證出.
4.什么叫三角形中線？（以上復(fù)習(xí)用投影儀打出）
【引入新課】
1.三角形中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線.
（結(jié)合三角形中線的定義，讓學(xué)生明確兩者區(qū)別，可做一練習(xí)，在 中，畫出中線、中位線）
2.三角形中位線性質(zhì)
了解了三角形中位線的定義后，我們來研究一下，三角形中位線有什么性質(zhì).
如圖所示，DE是 的一條中位線，如果過D作 ，交AC于 ，那么根據(jù)平行線等分線段定理推論2，得 是AC的中點(diǎn)，可見 與DE重合，所以 .由此得到：三角形中位線平行于第三邊.同樣，過D作 ，且DE FC，所以DE .因此，又得出一個(gè)結(jié)論，那就是：三角形中位線等于第三邊的一半.由此得到三角形中位線定理.
三角形中位線定理：三角形中位城平行于第三邊，并且等于它的一半.
應(yīng)注意的兩個(gè)問題：①為便于同學(xué)對(duì)定理能更好的掌握和應(yīng)用，可引導(dǎo)學(xué)生分析此定理的特點(diǎn)，即同一個(gè)題設(shè)下有兩個(gè)結(jié)論，第一個(gè)結(jié)論是表明中位線與第三邊的位置關(guān)系，第二個(gè)結(jié)論是說明中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系，在應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要來選用其中的結(jié)論（可以單獨(dú)用其中結(jié)論）.②這個(gè)定理的證明方法很多，關(guān)鍵在于如何添加輔助線.可以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法來證明以活躍學(xué)生的思維，開闊學(xué)生思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.但也應(yīng)指出，當(dāng)一個(gè)命題有多種證明方法時(shí)，要選用比較簡(jiǎn)捷的方法證明.
由學(xué)生討論，說出幾種證明方法，然后教師總結(jié)如下圖所示（用投影儀演示）.
（l）延長(zhǎng)DE到F，使 ，連結(jié)CF，由 可得AD FC.
（2）延長(zhǎng)DE到F，使 ，利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得AD FC.
（3）過點(diǎn)C作 ，與DE延長(zhǎng)線交于F，通過證 可得AD FC.
上面通過三種不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四邊形DBCF是平行四邊形，DF BC，又因DE ，所以DE .
（證明過程略）
例 求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.
（由學(xué)生根據(jù)命題，說出已知、求證）
已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).
求證：四邊形EFGH是平行四邊形.‘
分析：因?yàn)橐阎c(diǎn)分別是四邊形各邊中點(diǎn)，如果連結(jié)對(duì)角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形EFGH對(duì)邊的關(guān)系，從而證出四邊形EFGH是平行四邊形.
證明：連結(jié)AC.
∴ （三角形中位線定理）.
同理，
∴GH EF
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
【小結(jié)】
1.三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區(qū)別.
2.三角形中位線定理及證明思路.
七、布置作業(yè)
教材P188中1（2）、4、7
九、板書設(shè)計(jì)
三角形的中位線 篇2
教學(xué)目標(biāo)
1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì)及初步應(yīng)用.
2.通過對(duì)問題的探索及進(jìn)一步變式，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)是三角形中位線的性質(zhì)定理.
難點(diǎn)是證明三角形中位線性質(zhì)定理時(shí)輔助線的添法和性質(zhì)的錄活應(yīng)用.
教學(xué)過程 設(shè)計(jì)
一、聯(lián)想，提出問題.
1.（投影）復(fù)習(xí)平行線等分線段定理及兩個(gè)推論（圖4－89）.
(1)請(qǐng)同學(xué)敘述定理及推論的內(nèi)容.
(2)用數(shù)學(xué)表態(tài)式敘述圖4－89（c）中的結(jié)論.
已知在ΔABC中，D為AB中點(diǎn)，DE∥BC，則AE＝EC.
2.逆向思維，探索新結(jié)論.
引導(dǎo)學(xué)生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點(diǎn)，DE與BC有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢？
啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯(lián)想），DE＝ BC（因?yàn)锳D＝ AB，AE＝ AC，類比聯(lián)想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數(shù)關(guān)系）.
由此引出課題.
二、證明猜想，形成定理
1.定義，強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別.
2.證明上述猜想成立，教師重點(diǎn)分析輔助線的作法的思考過程.
教師提示學(xué)生：所證結(jié)論即有平行又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已有知識(shí)，可添加輔助線構(gòu)造平行四邊形，利用對(duì)平行且相等證明結(jié)論成立，或者用書上的同一法.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維后，還要注意比較，選擇最簡(jiǎn)捷的證明方法.
3.板書一種證明過程.
4.將“猜想改成定理，引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹龀鋈切沃形痪�定理的具體內(nèi)容.
三角形中位線定理：平行于第三邊，并且等于它的一半.
5.分析定理成立的條件、結(jié)論及作用.
條件：連結(jié)兩邊中點(diǎn)得到中位線.
結(jié)論有兩個(gè)，即位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目需要選用.
作用：在已知兩邊中點(diǎn)的條件下，證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.
三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據(jù)圖4-91中的條件，回答問題.
（1） 已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點(diǎn)DE=5.BC；
（2） 如圖4-91（b），D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC中點(diǎn)，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；
（3） 如圖4-91（c），①它包含幾個(gè)圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個(gè)平行四邊形？④若ΔDEF周長(zhǎng)為10 cm，求ΔABC的周長(zhǎng).⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關(guān)系？怎樣用語言敘述這結(jié)論？
分析：
（1） 可利用復(fù)合投影片實(shí)現(xiàn)三個(gè)圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學(xué)生建立分解基本圖形的思想.
（2） 通過此題總結(jié)：三角形三和中位線圍成的三角形的周長(zhǎng)等于原三角形周長(zhǎng)的一半，面積等于原三角形面積的14.這個(gè)過程可以無限進(jìn)行下去，如圖4-92.
（3） 從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.
（板書）例2 （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點(diǎn).求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.
分析：
（1） 由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質(zhì)？
（2） 從結(jié)論出發(fā)，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①M(fèi)E=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結(jié)論成立.
讓學(xué)生口述，教師板書證明過程.
例3 構(gòu)造圖4-90問題.
（1） 求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形；
（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？
已知：在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
分析：
(1)已知四條線段的中點(diǎn)，可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.而四邊形ABCD的對(duì)角線可以把四邊形分成兩個(gè)三角形，所以添加輔助線，連結(jié)AC或BD，構(gòu)造的基本圖形.
（2）讓學(xué)生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結(jié)各種特殊四邊形中點(diǎn)得到什么圖形？
投影顯示：
四、師生共同小結(jié)
1.教師提問引起學(xué)生思考：
（1）這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容：
（2）用什么思維方法提出猜想的？
（3）應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別？
2.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點(diǎn)及線段倍分關(guān)系有關(guān)的基
本圖形（如圖4－96）.
（1）注意三角形中線與中位線的區(qū)別，圖4－96（a），（b）.
（2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.
（3）證明線段倍分關(guān)系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），.
3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經(jīng)常得到一些好
的結(jié)論；添輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)的解題方法.
4.有這樣的性質(zhì)，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質(zhì)嗎？（為下節(jié)
課作思維上的準(zhǔn)備）
五、作業(yè)
課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.
補(bǔ)充題：（構(gòu)造）
1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點(diǎn).求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.
（提示：延長(zhǎng)CD交BA延長(zhǎng)線于F.）
2.如圖 4－98，正方形 ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O，E是BO中點(diǎn)，連結(jié)”并延長(zhǎng)交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）
3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng) BA和CD分別交FE的延長(zhǎng)線于 G，H點(diǎn).求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結(jié) AC，取 AC中聲、 M，連結(jié)EM，F(xiàn)M.）
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
本教學(xué)過程 設(shè)計(jì)需1課時(shí)完成.
1.本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求讓學(xué)生通過逆向思維及類比聯(lián)想自己實(shí)踐“分析——猜想——證
明”的過程.變被動(dòng)接受知識(shí)為主動(dòng)應(yīng)用已有知識(shí)，探索新知識(shí)，獲得成功的喜悅.
2.在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，通過一組層次遞進(jìn)的變式題的訓(xùn)練，由直接給出定理的基本圖形
到包含基本圖形，學(xué)生分解圖形后使用性質(zhì)，再到通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)，
學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用性質(zhì)來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.
三角形的中位線 篇3
教學(xué)建議
知識(shí)結(jié)構(gòu)
重難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是中位線定理.三角形中位線定理和梯形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關(guān)系，而且給出了線段的數(shù)量關(guān)系，為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路.
本節(jié)的難點(diǎn)是中位線定理的證明.中位線定理的證明教材中采用了同一法，同一法學(xué)生初次接觸，思維上不容易理解，而其他證明方法都需要添加2條或2條以上的輔助線，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情況對(duì)比有一定的難度.
教法建議
1. 對(duì)于中位線定理的引入和證明可采用發(fā)現(xiàn)法，由學(xué)生自己觀察、猜想、測(cè)量、論證，實(shí)際掌握效果比應(yīng)用講授法應(yīng)好些，教師可根據(jù)學(xué)生情況參考采用
2.對(duì)于定理的證明，有條件的教師可考慮利用多媒體課件來進(jìn)行演示知識(shí)的形成及證明過程，效果可能會(huì)更直接更易于理解
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握中位線的概念和三角形中位線定理
2.掌握定理“過三角形一邊中點(diǎn)且平行另一邊的直線平分第三邊”
3.能夠應(yīng)用三角形中位線概念及定理進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，進(jìn)一步提高學(xué)生的計(jì)算能力
4.通過定理證明及一題多解，逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力
5. 通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣
二、教學(xué)設(shè)計(jì)
畫圖測(cè)量，猜想討論，啟發(fā)引導(dǎo).
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)：三角形中位線的概論與三角形中位線性質(zhì).
2.教學(xué)難點(diǎn) ：三角形中位線定理的證明.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、常用畫圖工具
六、教學(xué)步驟
【復(fù)習(xí)提問】
1.敘述平行線等分線段定理及推論的內(nèi)容（結(jié)合學(xué)生的敘述，教師畫出草圖，結(jié)合圖形，加以說明）.
2.說明定理的證明思路.
3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、DA中點(diǎn)，AM、CN分別交BD于點(diǎn)E、F，如何證明 ？
分析：要證三條線段相等，一般情況下證兩兩線段相等即可.如要證 ，只要 即可.首先證出四邊形AMCN是平行四邊形，然后用平行線等分線段定理即可證出.
4.什么叫三角形中線？（以上復(fù)習(xí)用投影儀打出）
【引入新課】
1.三角形中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線.
（結(jié)合三角形中線的定義，讓學(xué)生明確兩者區(qū)別，可做一練習(xí)，在 中，畫出中線、中位線）
2.三角形中位線性質(zhì)
了解了三角形中位線的定義后，我們來研究一下，三角形中位線有什么性質(zhì).
如圖所示，DE是 的一條中位線，如果過D作 ，交AC于 ，那么根據(jù)平行線等分線段定理推論2，得 是AC的中點(diǎn)，可見 與DE重合，所以 .由此得到：三角形中位線平行于第三邊.同樣，過D作 ，且DE FC，所以DE .因此，又得出一個(gè)結(jié)論，那就是：三角形中位線等于第三邊的一半.由此得到三角形中位線定理.
三角形中位線定理：三角形中位城平行于第三邊，并且等于它的一半.
應(yīng)注意的兩個(gè)問題：①為便于同學(xué)對(duì)定理能更好的掌握和應(yīng)用，可引導(dǎo)學(xué)生分析此定理的特點(diǎn)，即同一個(gè)題設(shè)下有兩個(gè)結(jié)論，第一個(gè)結(jié)論是表明中位線與第三邊的位置關(guān)系，第二個(gè)結(jié)論是說明中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系，在應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要來選用其中的結(jié)論（可以單獨(dú)用其中結(jié)論）.②這個(gè)定理的證明方法很多，關(guān)鍵在于如何添加輔助線.可以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法來證明以活躍學(xué)生的思維，開闊學(xué)生思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.但也應(yīng)指出，當(dāng)一個(gè)命題有多種證明方法時(shí)，要選用比較簡(jiǎn)捷的方法證明.
由學(xué)生討論，說出幾種證明方法，然后教師總結(jié)如下圖所示（用投影儀演示）.
（l）延長(zhǎng)DE到F，使 ，連結(jié)CF，由 可得AD FC.
（2）延長(zhǎng)DE到F，使 ，利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得AD FC.
（3）過點(diǎn)C作 ，與DE延長(zhǎng)線交于F，通過證 可得AD FC.
上面通過三種不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四邊形DBCF是平行四邊形，DF BC，又因DE ，所以DE .
（證明過程略）
例 求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.
（由學(xué)生根據(jù)命題，說出已知、求證）
已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).
求證：四邊形EFGH是平行四邊形.‘
分析：因?yàn)橐阎c(diǎn)分別是四邊形各邊中點(diǎn)，如果連結(jié)對(duì)角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形EFGH對(duì)邊的關(guān)系，從而證出四邊形EFGH是平行四邊形.
證明：連結(jié)AC.
∴ （三角形中位線定理）.
同理，
∴GH EF
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
【小結(jié)】
1.三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區(qū)別.
2.三角形中位線定理及證明思路.
七、布置作業(yè)
教材P188中1（2）、4、7
九、板書設(shè)計(jì)
三角形的中位線 篇4
教學(xué)建議
知識(shí)結(jié)構(gòu)
重難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是中位線定理.三角形中位線定理和梯形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關(guān)系，而且給出了線段的數(shù)量關(guān)系，為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路.
本節(jié)的難點(diǎn)是中位線定理的證明.中位線定理的證明教材中采用了同一法，同一法學(xué)生初次接觸，思維上不容易理解，而其他證明方法都需要添加2條或2條以上的輔助線，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情況對(duì)比有一定的難度.
教法建議
1. 對(duì)于中位線定理的引入和證明可采用發(fā)現(xiàn)法，由學(xué)生自己觀察、猜想、測(cè)量、論證，實(shí)際掌握效果比應(yīng)用講授法應(yīng)好些，教師可根據(jù)學(xué)生情況參考采用
2.對(duì)于定理的證明，有條件的教師可考慮利用多媒體課件來進(jìn)行演示知識(shí)的形成及證明過程，效果可能會(huì)更直接更易于理解
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握中位線的概念和三角形中位線定理
2.掌握定理“過三角形一邊中點(diǎn)且平行另一邊的直線平分第三邊”
3.能夠應(yīng)用三角形中位線概念及定理進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，進(jìn)一步提高學(xué)生的計(jì)算能力
4.通過定理證明及一題多解，逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力
5. 通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣
二、教學(xué)設(shè)計(jì)
畫圖測(cè)量，猜想討論，啟發(fā)引導(dǎo).
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)：三角形中位線的概論與三角形中位線性質(zhì).
2.教學(xué)難點(diǎn)：三角形中位線定理的證明.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、常用畫圖工具
六、教學(xué)步驟
【復(fù)習(xí)提問】
1.敘述平行線等分線段定理及推論的內(nèi)容（結(jié)合學(xué)生的敘述，教師畫出草圖，結(jié)合圖形，加以說明）.
2.說明定理的證明思路.
3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、DA中點(diǎn)，AM、CN分別交BD于點(diǎn)E、F，如何證明 ？
分析：要證三條線段相等，一般情況下證兩兩線段相等即可.如要證 ，只要 即可.首先證出四邊形AMCN是平行四邊形，然后用平行線等分線段定理即可證出.
4.什么叫三角形中線？（以上復(fù)習(xí)用投影儀打出）
【引入新課】
1.三角形中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線.
（結(jié)合三角形中線的定義，讓學(xué)生明確兩者區(qū)別，可做一練習(xí)，在 中，畫出中線、中位線）
2.三角形中位線性質(zhì)
了解了三角形中位線的定義后，我們來研究一下，三角形中位線有什么性質(zhì).
如圖所示，DE是 的一條中位線，如果過D作 ，交AC于 ，那么根據(jù)平行線等分線段定理推論2，得 是AC的中點(diǎn)，可見 與DE重合，所以 .由此得到：三角形中位線平行于第三邊.同樣，過D作 ，且DE FC，所以DE .因此，又得出一個(gè)結(jié)論，那就是：三角形中位線等于第三邊的一半.由此得到三角形中位線定理.
三角形中位線定理：三角形中位城平行于第三邊，并且等于它的一半.
應(yīng)注意的兩個(gè)問題：①為便于同學(xué)對(duì)定理能更好的掌握和應(yīng)用，可引導(dǎo)學(xué)生分析此定理的特點(diǎn)，即同一個(gè)題設(shè)下有兩個(gè)結(jié)論，第一個(gè)結(jié)論是表明中位線與第三邊的位置關(guān)系，第二個(gè)結(jié)論是說明中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系，在應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要來選用其中的結(jié)論（可以單獨(dú)用其中結(jié)論）.②這個(gè)定理的證明方法很多，關(guān)鍵在于如何添加輔助線.可以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法來證明以活躍學(xué)生的思維，開闊學(xué)生思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.但也應(yīng)指出，當(dāng)一個(gè)命題有多種證明方法時(shí)，要選用比較簡(jiǎn)捷的方法證明.
由學(xué)生討論，說出幾種證明方法，然后教師總結(jié)如下圖所示（用投影儀演示）.
（l）延長(zhǎng)DE到F，使 ，連結(jié)CF，由 可得AD FC.
（2）延長(zhǎng)DE到F，使 ，利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得AD FC.
（3）過點(diǎn)C作 ，與DE延長(zhǎng)線交于F，通過證 可得AD FC.
上面通過三種不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四邊形DBCF是平行四邊形，DF BC，又因DE ，所以DE .
（證明過程略）
例 求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.
（由學(xué)生根據(jù)命題，說出已知、求證）
已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).
求證：四邊形EFGH是平行四邊形.‘
分析：因?yàn)橐阎c(diǎn)分別是四邊形各邊中點(diǎn)，如果連結(jié)對(duì)角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形EFGH對(duì)邊的關(guān)系，從而證出四邊形EFGH是平行四邊形.
證明：連結(jié)AC.
∴ （三角形中位線定理）.
同理，
∴GH EF
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
【小結(jié)】
1.三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區(qū)別.
2.三角形中位線定理及證明思路.
七、布置作業(yè)
教材P188中1（2）、4、7
九、板書設(shè)計(jì)
三角形的中位線 篇5
教學(xué)建議
知識(shí)結(jié)構(gòu)
重難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是中位線定理.三角形中位線定理和梯形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關(guān)系，而且給出了線段的數(shù)量關(guān)系，為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路.
本節(jié)的難點(diǎn)是中位線定理的證明.中位線定理的證明教材中采用了同一法，同一法學(xué)生初次接觸，思維上不容易理解，而其他證明方法都需要添加2條或2條以上的輔助線，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情況對(duì)比有一定的難度.
教法建議
1. 對(duì)于中位線定理的引入和證明可采用發(fā)現(xiàn)法，由學(xué)生自己觀察、猜想、測(cè)量、論證，實(shí)際掌握效果比應(yīng)用講授法應(yīng)好些，教師可根據(jù)學(xué)生情況參考采用
2.對(duì)于定理的證明，有條件的教師可考慮利用多媒體課件來進(jìn)行演示知識(shí)的形成及證明過程，效果可能會(huì)更直接更易于理解
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握中位線的概念和三角形中位線定理
2.掌握定理“過三角形一邊中點(diǎn)且平行另一邊的直線平分第三邊”
3.能夠應(yīng)用三角形中位線概念及定理進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，進(jìn)一步提高學(xué)生的計(jì)算能力
4.通過定理證明及一題多解，逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力
5. 通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣
二、教學(xué)設(shè)計(jì)
畫圖測(cè)量，猜想討論，啟發(fā)引導(dǎo).
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)：三角形中位線的概論與三角形中位線性質(zhì).
2.教學(xué)難點(diǎn)：三角形中位線定理的證明.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、常用畫圖工具
六、教學(xué)步驟
【復(fù)習(xí)提問】
1.敘述平行線等分線段定理及推論的內(nèi)容（結(jié)合學(xué)生的敘述，教師畫出草圖，結(jié)合圖形，加以說明）.
2.說明定理的證明思路.
3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、DA中點(diǎn)，AM、CN分別交BD于點(diǎn)E、F，如何證明 ？
分析：要證三條線段相等，一般情況下證兩兩線段相等即可.如要證 ，只要 即可.首先證出四邊形AMCN是平行四邊形，然后用平行線等分線段定理即可證出.
4.什么叫三角形中線？（以上復(fù)習(xí)用投影儀打出）
【引入新課】
1.三角形中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線.
（結(jié)合三角形中線的定義，讓學(xué)生明確兩者區(qū)別，可做一練習(xí)，在 中，畫出中線、中位線）
2.三角形中位線性質(zhì)
了解了三角形中位線的定義后，我們來研究一下，三角形中位線有什么性質(zhì).
如圖所示，DE是 的一條中位線，如果過D作 ，交AC于 ，那么根據(jù)平行線等分線段定理推論2，得 是AC的中點(diǎn)，可見 與DE重合，所以 .由此得到：三角形中位線平行于第三邊.同樣，過D作 ，且DE FC，所以DE .因此，又得出一個(gè)結(jié)論，那就是：三角形中位線等于第三邊的一半.由此得到三角形中位線定理.
三角形中位線定理：三角形中位城平行于第三邊，并且等于它的一半.
應(yīng)注意的兩個(gè)問題：①為便于同學(xué)對(duì)定理能更好的掌握和應(yīng)用，可引導(dǎo)學(xué)生分析此定理的特點(diǎn)，即同一個(gè)題設(shè)下有兩個(gè)結(jié)論，第一個(gè)結(jié)論是表明中位線與第三邊的位置關(guān)系，第二個(gè)結(jié)論是說明中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系，在應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要來選用其中的結(jié)論（可以單獨(dú)用其中結(jié)論）.②這個(gè)定理的證明方法很多，關(guān)鍵在于如何添加輔助線.可以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法來證明以活躍學(xué)生的思維，開闊學(xué)生思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.但也應(yīng)指出，當(dāng)一個(gè)命題有多種證明方法時(shí)，要選用比較簡(jiǎn)捷的方法證明.
由學(xué)生討論，說出幾種證明方法，然后教師總結(jié)如下圖所示（用投影儀演示）.
（l）延長(zhǎng)DE到F，使 ，連結(jié)CF，由 可得AD FC.
（2）延長(zhǎng)DE到F，使 ，利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得AD FC.
（3）過點(diǎn)C作 ，與DE延長(zhǎng)線交于F，通過證 可得AD FC.
上面通過三種不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四邊形DBCF是平行四邊形，DF BC，又因DE ，所以DE .
（證明過程略）
例 求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.
（由學(xué)生根據(jù)命題，說出已知、求證）
已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).
求證：四邊形EFGH是平行四邊形.‘
分析：因?yàn)橐阎c(diǎn)分別是四邊形各邊中點(diǎn)，如果連結(jié)對(duì)角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形EFGH對(duì)邊的關(guān)系，從而證出四邊形EFGH是平行四邊形.
證明：連結(jié)AC.
∴ （三角形中位線定理）.
同理，
∴GH EF
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
【小結(jié)】
1.三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區(qū)別.
2.三角形中位線定理及證明思路.
七、布置作業(yè)
教材P188中1（2）、4、7
九、板書設(shè)計(jì)
三角形的中位線 篇6
教學(xué)建議
知識(shí)結(jié)構(gòu)
重難點(diǎn)分析
本節(jié)的重點(diǎn)是中位線定理.三角形中位線定理和梯形中位線定理不但給出了三角形或梯形中線段的位置關(guān)系，而且給出了線段的數(shù)量關(guān)系，為平面幾何中證明線段平行和線段相等提供了新的思路.
本節(jié)的難點(diǎn)是中位線定理的證明.中位線定理的證明教材中采用了同一法，同一法學(xué)生初次接觸，思維上不容易理解，而其他證明方法都需要添加2條或2條以上的輔助線，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情況對(duì)比有一定的難度.
教法建議
1. 對(duì)于中位線定理的引入和證明可采用發(fā)現(xiàn)法，由學(xué)生自己觀察、猜想、測(cè)量、論證，實(shí)際掌握效果比應(yīng)用講授法應(yīng)好些，教師可根據(jù)學(xué)生情況參考采用
2.對(duì)于定理的證明，有條件的教師可考慮利用多媒體課件來進(jìn)行演示知識(shí)的形成及證明過程，效果可能會(huì)更直接更易于理解
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
一、教學(xué)目標(biāo)
1.掌握中位線的概念和三角形中位線定理
2.掌握定理“過三角形一邊中點(diǎn)且平行另一邊的直線平分第三邊”
3.能夠應(yīng)用三角形中位線概念及定理進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算，進(jìn)一步提高學(xué)生的計(jì)算能力
4.通過定理證明及一題多解，逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力
5. 通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣
二、教學(xué)設(shè)計(jì)
畫圖測(cè)量，猜想討論，啟發(fā)引導(dǎo).
三、重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.教學(xué)重點(diǎn)：三角形中位線的概論與三角形中位線性質(zhì).
2.教學(xué)難點(diǎn) ：三角形中位線定理的證明.
四、課時(shí)安排
1課時(shí)
五、教具學(xué)具準(zhǔn)備
投影儀、膠片、常用畫圖工具
六、教學(xué)步驟
【復(fù)習(xí)提問】
1.敘述平行線等分線段定理及推論的內(nèi)容（結(jié)合學(xué)生的敘述，教師畫出草圖，結(jié)合圖形，加以說明）.
2.說明定理的證明思路.
3.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，M、N分別為BC、DA中點(diǎn)，AM、CN分別交BD于點(diǎn)E、F，如何證明 ？
分析：要證三條線段相等，一般情況下證兩兩線段相等即可.如要證 ，只要 即可.首先證出四邊形AMCN是平行四邊形，然后用平行線等分線段定理即可證出.
4.什么叫三角形中線？（以上復(fù)習(xí)用投影儀打出）
【引入新課】
1.三角形中位線：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形中位線.
（結(jié)合三角形中線的定義，讓學(xué)生明確兩者區(qū)別，可做一練習(xí)，在 中，畫出中線、中位線）
2.三角形中位線性質(zhì)
了解了三角形中位線的定義后，我們來研究一下，三角形中位線有什么性質(zhì).
如圖所示，DE是 的一條中位線，如果過D作 ，交AC于 ，那么根據(jù)平行線等分線段定理推論2，得 是AC的中點(diǎn)，可見 與DE重合，所以 .由此得到：三角形中位線平行于第三邊.同樣，過D作 ，且DE FC，所以DE .因此，又得出一個(gè)結(jié)論，那就是：三角形中位線等于第三邊的一半.由此得到三角形中位線定理.
三角形中位線定理：三角形中位城平行于第三邊，并且等于它的一半.
應(yīng)注意的兩個(gè)問題：①為便于同學(xué)對(duì)定理能更好的掌握和應(yīng)用，可引導(dǎo)學(xué)生分析此定理的特點(diǎn)，即同一個(gè)題設(shè)下有兩個(gè)結(jié)論，第一個(gè)結(jié)論是表明中位線與第三邊的位置關(guān)系，第二個(gè)結(jié)論是說明中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系，在應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要來選用其中的結(jié)論（可以單獨(dú)用其中結(jié)論）.②這個(gè)定理的證明方法很多，關(guān)鍵在于如何添加輔助線.可以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方法來證明以活躍學(xué)生的思維，開闊學(xué)生思路，從而提高分析問題和解決問題的能力.但也應(yīng)指出，當(dāng)一個(gè)命題有多種證明方法時(shí)，要選用比較簡(jiǎn)捷的方法證明.
由學(xué)生討論，說出幾種證明方法，然后教師總結(jié)如下圖所示（用投影儀演示）.
（l）延長(zhǎng)DE到F，使 ，連結(jié)CF，由 可得AD FC.
（2）延長(zhǎng)DE到F，使 ，利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得AD FC.
（3）過點(diǎn)C作 ，與DE延長(zhǎng)線交于F，通過證 可得AD FC.
上面通過三種不同方法得出AD FC，再由 得BD FC，所以四邊形DBCF是平行四邊形，DF BC，又因DE ，所以DE .
（證明過程略）
例 求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形.
（由學(xué)生根據(jù)命題，說出已知、求證）
已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).
求證：四邊形EFGH是平行四邊形.‘
分析：因?yàn)橐阎c(diǎn)分別是四邊形各邊中點(diǎn)，如果連結(jié)對(duì)角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形EFGH對(duì)邊的關(guān)系，從而證出四邊形EFGH是平行四邊形.
證明：連結(jié)AC.
∴ （三角形中位線定理）.
同理，
∴GH EF
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
【小結(jié)】
1.三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區(qū)別.
2.三角形中位線定理及證明思路.
七、布置作業(yè)
教材P188中1（2）、4、7
九、板書設(shè)計(jì)
三角形的中位線 篇7
教學(xué)目標(biāo)
1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì)及初步應(yīng)用.
2.通過對(duì)問題的探索及進(jìn)一步變式，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)是三角形中位線的性質(zhì)定理.
難點(diǎn)是證明三角形中位線性質(zhì)定理時(shí)輔助線的添法和性質(zhì)的錄活應(yīng)用.
教學(xué)過程 設(shè)計(jì)
一、聯(lián)想，提出問題.
1.（投影）復(fù)習(xí)平行線等分線段定理及兩個(gè)推論（圖4－89）.
(1)請(qǐng)同學(xué)敘述定理及推論的內(nèi)容.
(2)用數(shù)學(xué)表態(tài)式敘述圖4－89（c）中的結(jié)論.
已知在ΔABC中，D為AB中點(diǎn)，DE∥BC，則AE＝EC.
2.逆向思維，探索新結(jié)論.
引導(dǎo)學(xué)生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點(diǎn)，DE與BC有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢？
啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯(lián)想），DE＝ BC（因?yàn)锳D＝ AB，AE＝ AC，類比聯(lián)想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數(shù)關(guān)系）.
由此引出課題.
二、證明猜想，形成定理
1.定義三角形的中位線，強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別.
2.證明上述猜想成立，教師重點(diǎn)分析輔助線的作法的思考過程.
教師提示學(xué)生：所證結(jié)論即有平行又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已有知識(shí)，可添加輔助線構(gòu)造平行四邊形，利用對(duì)平行且相等證明結(jié)論成立，或者用書上的同一法.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維后，還要注意比較，選擇最簡(jiǎn)捷的證明方法.
3.板書一種證明過程.
4.將“猜想改成定理，引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹龀鋈切沃形痪�定理的具體內(nèi)容.
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.
5.分析定理成立的條件、結(jié)論及作用.
條件：連結(jié)兩邊中點(diǎn)得到中位線.
結(jié)論有兩個(gè)，即位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目需要選用.
作用：在已知兩邊中點(diǎn)的條件下，證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.
三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據(jù)圖4-91中的條件，回答問題.
（1） 已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點(diǎn)DE=5.BC；
（2） 如圖4-91（b），D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC中點(diǎn)，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；
（3） 如圖4-91（c），①它包含幾個(gè)圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個(gè)平行四邊形？④若ΔDEF周長(zhǎng)為10 cm，求ΔABC的周長(zhǎng).⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關(guān)系？怎樣用語言敘述這結(jié)論？
分析：
（1） 可利用復(fù)合投影片實(shí)現(xiàn)三個(gè)圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學(xué)生建立分解基本圖形的思想.
（2） 通過此題總結(jié)：三角形三和中位線圍成的三角形的周長(zhǎng)等于原三角形周長(zhǎng)的一半，面積等于原三角形面積的14.這個(gè)過程可以無限進(jìn)行下去，如圖4-92.
（3） 從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.
（板書）例2 （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點(diǎn).求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.
分析：
（1） 由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質(zhì)？
（2） 從結(jié)論出發(fā)，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①M(fèi)E=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結(jié)論成立.
讓學(xué)生口述，教師板書證明過程.
例3 構(gòu)造圖4-90問題.
（1） 求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形；
（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？
已知：在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
分析：
(1)已知四條線段的中點(diǎn)，可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.而四邊形ABCD的對(duì)角線可以把四邊形分成兩個(gè)三角形，所以添加輔助線，連結(jié)AC或BD，構(gòu)造“三角形的中位線”的基本圖形.
（2）讓學(xué)生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結(jié)各種特殊四邊形中點(diǎn)得到什么圖形？
投影顯示：
四、師生共同小結(jié)
1.教師提問引起學(xué)生思考：
（1）這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容：
（2）用什么思維方法提出猜想的？
（3）應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別？
2.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點(diǎn)及線段倍分關(guān)系有關(guān)的基
本圖形（如圖4－96）.
（1）注意三角形中線與中位線的區(qū)別，圖4－96（a），（b）.
（2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.
（3）證明線段倍分關(guān)系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），.
3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經(jīng)常得到一些好
的結(jié)論；添輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)的解題方法.
4.三角形的中位線有這樣的性質(zhì)，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質(zhì)嗎？（為下節(jié)
課作思維上的準(zhǔn)備）
五、作業(yè)
課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.
補(bǔ)充題：（構(gòu)造三角形的中位線）
1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點(diǎn).求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.
（提示：延長(zhǎng)CD交BA延長(zhǎng)線于F.）
2.如圖 4－98，正方形 ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O，E是BO中點(diǎn)，連結(jié)”并延長(zhǎng)交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）
3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng) BA和CD分別交FE的延長(zhǎng)線于 G，H點(diǎn).求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結(jié) AC，取 AC中聲、 M，連結(jié)EM，F(xiàn)M.）
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
本教學(xué)過程 設(shè)計(jì)需1課時(shí)完成.
1.本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求讓學(xué)生通過逆向思維及類比聯(lián)想自己實(shí)踐“分析——猜想——證
明”的過程.變被動(dòng)接受知識(shí)為主動(dòng)應(yīng)用已有知識(shí)，探索新知識(shí)，獲得成功的喜悅.
2.在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，通過一組層次遞進(jìn)的變式題的訓(xùn)練，由直接給出定理的基本圖形
到包含基本圖形，學(xué)生分解圖形后使用性質(zhì)，再到通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)，
學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用性質(zhì)來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高
三角形的中位線 篇8
【教案背景】
1、面向?qū)W生：初二
2、課時(shí)：
3、學(xué)科：數(shù)學(xué)
4、學(xué)生準(zhǔn)備：提前預(yù)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容，尺規(guī)和練習(xí)本。
【教材分析】
1、教材的地位和作用：
本節(jié)課是初二數(shù)學(xué)下冊(cè)第十八章18.1.2平行四邊形判定中的第三課時(shí)三角形中位線的內(nèi)容。三角形中位線既是前面已學(xué)過的平行線、全等三角形、平行四邊形性質(zhì)等知識(shí)內(nèi)容的應(yīng)用和深化，同時(shí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)梯形、任意四邊形的中位線打下基礎(chǔ)，尤其是在判定兩直線平行和論證線段倍分關(guān)系時(shí)常常用到。在三角形中位線定理的證明及應(yīng)用中，處處滲透了歸納、類比、轉(zhuǎn)化等化歸思想，它是數(shù)學(xué)解題的重要思想方法，對(duì)拓展學(xué)生的思維有著積極的意義。
2、教學(xué)目標(biāo)：
知識(shí)目標(biāo)：
（1）理解三角形中位線的概念
（2）會(huì)證明三角形的中位線定理
（3）能應(yīng)用三角形中位線定理解決相關(guān)的問題；
過程與方法目標(biāo)：
進(jìn)一步經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，發(fā)展推理論證的能力。體會(huì)合情推理與演繹推理在獲得結(jié)論的過程中發(fā)揮的作用。
情感目標(biāo)
畫一個(gè)任意三角形的中位線，用猜測(cè)和度量判斷中位線與第三邊的位置和數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生合作、交流的能力和團(tuán)隊(duì)精神，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、善于觀察、勇于探索、嚴(yán)密細(xì)致的科學(xué)態(tài)度。
3、教學(xué)重難點(diǎn)：
重點(diǎn)：理解并應(yīng)用三角形中位線定理。
難點(diǎn)：三角形中位線定理的證明和運(yùn)用。
【教學(xué)方法】
學(xué)生在前面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，為了讓學(xué)生進(jìn)一步經(jīng)歷、猜測(cè)、證明的過程，我采取：?jiǎn)l(fā)式教學(xué)，在課堂教學(xué)。
【教學(xué)過程】
（一）回顧三角形中位線：
三角形一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)連結(jié)的線段
情感分析：讓學(xué)生首先通過原有知識(shí)三角形中線【端點(diǎn)特征】來引入三角形中位線更加好理解。
（二）概念提取：像（EF、FD、DE）的線段的端點(diǎn)有什么特點(diǎn)？
情感分析：通過問題，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)中位線端點(diǎn)的特點(diǎn)，加深對(duì)中位線定義的提取和理解。
（三）引出三角形的中位線定義：
連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做中位線。
情感分析：直接引出定義，讓學(xué)生更容易去理解中位線的含義并且對(duì)端點(diǎn)特征的理解。快而簡(jiǎn)單且易懂。
（四）概念對(duì)比記憶：
（1）相同之處——都和邊的中點(diǎn)有關(guān)；
（2）不同之處：三角形中位線：中點(diǎn)連線；三角形中線：中點(diǎn)與端點(diǎn)(頂點(diǎn))連線
情感分析：通過對(duì)比記憶，加深兩者的區(qū)別與聯(lián)系，對(duì)中位線的理解進(jìn)一步提升。
（五）探究中位線的性質(zhì)：
一般的三角形的中位線（DE）與第三邊（BC）存在哪些關(guān)系？
問題：①DE與BC存在怎么樣的位置和數(shù)量關(guān)系？
【作圖觀察并猜想】
②結(jié)合圖形，請(qǐng)找出已知部分？要求證部分？
情感分析：對(duì)定義的理解后，方便對(duì)中位線性質(zhì)的一個(gè)探究，在探究過程中，讓學(xué)生通過畫任意三角形的一條中位線，并且通過學(xué)習(xí)工具（量角器、三角板、刻度尺和圓規(guī)），通過量同位角和三角板的`推移來觀察猜測(cè)中位線與第三邊是平行的，再來通過刻度尺測(cè)量是它的二分之一。由于方法的局限性（誤差），所以探究用數(shù)學(xué)客觀的邏輯推理中位線的性質(zhì)。而且通過命題來找出已知和求證部分也是學(xué)生必須掌握的重難點(diǎn)，通過這里也可以讓學(xué)生再次鞏固提升。
（六）證明中位線與第三邊的關(guān)系：
已知：在△ABC中，D、E分別是AB和AC中點(diǎn)
證明：
方法一：證明：延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連結(jié)CF.
方法二：證明：如圖，延長(zhǎng)DE至F,使EF=DE，連接CD、AF、CF
情感分析：通過證明的方法，引導(dǎo)學(xué)生做輔助線時(shí)候的邏輯推理，多問學(xué)生為什么會(huì)想到這樣去做輔助線的。倍長(zhǎng)線段是怎么想到的？為什么會(huì)想到連接CF？為什么會(huì)想到證明四邊形？引發(fā)學(xué)生思考。
（七）歸納：
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。
用符號(hào)語言表示：∵DE是△ABC的中位線
∴
位置關(guān)系且數(shù)量關(guān)系
情感分析：通過剛剛的證明引導(dǎo)學(xué)生最后歸納出今天新課的重點(diǎn)內(nèi)容三角形中位線的性質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)語言的書寫格式進(jìn)行板書，讓學(xué)生更加理解和學(xué)會(huì)書寫格式要求。
（八）練習(xí)鞏固：
1、在△ABC中，E,D,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),AB=6，AC=4，BC=5，則△EDF的周長(zhǎng)是？
情感分析：通過簡(jiǎn)單的運(yùn)用，能夠讓學(xué)生從簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)中位線性質(zhì)的掌握，基本全班學(xué)生都能從中掌握。
變式1：在△ABC中，E,D,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn)，AB=6，AC=4，則四邊形AEDF的周長(zhǎng)是？
情感分析：通過變式1讓學(xué)生在原來題型的變化，掌握異題同解的思想方法，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。
2、如圖，在△ABC中，中線BE，CD交于點(diǎn)O、F、G分別是OB、OC的中點(diǎn)
求證：四邊形DFGE是平行四邊形
情感分析：證明平行四邊形的時(shí)候往往要用三角形去解決，所以引導(dǎo)學(xué)生用平行四邊形判定的時(shí)候一定要主要平行且相等，要學(xué)會(huì)在哪個(gè)三角形找出相應(yīng)的中位線來進(jìn)行運(yùn)用。
（九）鞏固提高：
3、已知：四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).
求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
輔助線：當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形
情感分析：中點(diǎn)四邊形主要?dú)w類為怎么去做輔助線，引導(dǎo)學(xué)生在折線段中的中點(diǎn)，找到相應(yīng)的三角形中位線，主要是攻克三角形中位線的做法。
【動(dòng)點(diǎn)問題】
4、如圖：長(zhǎng)方形ABCD中R、P分別是DC、BC邊上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，線段EF長(zhǎng)
A.逐漸增大
B.逐漸變小
C.不變
D.先增大后變少
情感分析：涉及到動(dòng)點(diǎn)問題
首先要教會(huì)學(xué)生要學(xué)會(huì)找出
哪些是定點(diǎn)，哪些是動(dòng)點(diǎn)的問題，才能解決相應(yīng)的變化問題【通過動(dòng)畫來演示后再進(jìn)行證明講解，讓學(xué)生有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)后，再用客觀推理論證，培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維推理能力】。
5、如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，求證四邊形EFGH是平行四邊形
情感分析：學(xué)會(huì)做輔助線，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)成完整的三角形中位線，直接運(yùn)用定理。
6、已經(jīng)△ABC是銳角三角形，分別以AB、AC為邊向外側(cè)作兩個(gè)等邊△ABM和△CAN，D、E、F分別是MB、BC、CN的中點(diǎn)，連結(jié)DE，F(xiàn)E
求證：DE=EF
情感分析：構(gòu)成完整的三角形中位線后，要證明線段相等，則需要證明三角形的全等，找到相應(yīng)的判定根據(jù)已知的條件，回顧全等三角形的證明。
7、已知：在ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)C與BE交于G。
求證：GF=GC.
證明：取BE的中點(diǎn)M，連接FM、CM
輔助線：已知中點(diǎn)與選取鄰邊中點(diǎn)的連線，形成中位線。
情感分析：通過前面例題的對(duì)比，很多學(xué)生會(huì)覺得連接兩點(diǎn)就可以構(gòu)成三角形的中位線，從而產(chǎn)生慣性思維，導(dǎo)致這題目解答不出，所以這方面可以通過這題進(jìn)行歸類輔助線的做法，已知中點(diǎn)與選取鄰邊中點(diǎn)的連線，形成中位線。
（十）總結(jié)：
三角形的中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線
三角形的中位線定理
【用途】：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半
本節(jié)課采用“問題—探究—發(fā)現(xiàn)—應(yīng)用”的啟發(fā)性教學(xué)模式，把大部分時(shí)間交給了學(xué)生去思考探究，讓學(xué)生畫出任意三角形的中位線去探究與第三邊的關(guān)系，從而讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦思考。而教師不是一位旁觀者，要積極的作為引導(dǎo)者、合作者，組織者。整節(jié)課教師注意提高學(xué)生的邏輯證明能力，強(qiáng)調(diào)直觀與抽象結(jié)合，以及邏輯思維推理能力的訓(xùn)練，讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)的快樂之旅。
三角形的中位線 篇9
教學(xué)目標(biāo)
1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì)及初步應(yīng)用.
2.通過對(duì)問題的探索及進(jìn)一步變式，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)是三角形中位線的性質(zhì)定理.
難點(diǎn)是證明三角形中位線性質(zhì)定理時(shí)輔助線的添法和性質(zhì)的錄活應(yīng)用.
教學(xué)過程 設(shè)計(jì)
一、聯(lián)想，提出問題.
1.（投影）復(fù)習(xí)平行線等分線段定理及兩個(gè)推論（圖4－89）.
(1)請(qǐng)同學(xué)敘述定理及推論的內(nèi)容.
(2)用數(shù)學(xué)表態(tài)式敘述圖4－89（c）中的結(jié)論.
已知在ΔABC中，D為AB中點(diǎn)，DE∥BC，則AE＝EC.
2.逆向思維，探索新結(jié)論.
引導(dǎo)學(xué)生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點(diǎn)，DE與BC有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢？
啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯(lián)想），DE＝ BC（因?yàn)锳D＝ AB，AE＝ AC，類比聯(lián)想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數(shù)關(guān)系）.
由此引出課題.
二、證明猜想，形成定理
1.定義三角形的中位線，強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別.
2.證明上述猜想成立，教師重點(diǎn)分析輔助線的作法的思考過程.
教師提示學(xué)生：所證結(jié)論即有平行又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已有知識(shí)，可添加輔助線構(gòu)造平行四邊形，利用對(duì)平行且相等證明結(jié)論成立，或者用書上的同一法.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維后，還要注意比較，選擇最簡(jiǎn)捷的證明方法.
3.板書一種證明過程.
4.將“猜想改成定理，引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹龀鋈切沃形痪�定理的具體內(nèi)容.
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.
5.分析定理成立的條件、結(jié)論及作用.
條件：連結(jié)兩邊中點(diǎn)得到中位線.
結(jié)論有兩個(gè)，即位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目需要選用.
作用：在已知兩邊中點(diǎn)的條件下，證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.
三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據(jù)圖4-91中的條件，回答問題.
（1） 已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點(diǎn)DE=5.BC；
（2） 如圖4-91（b），D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC中點(diǎn)，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；
（3） 如圖4-91（c），①它包含幾個(gè)圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個(gè)平行四邊形？④若ΔDEF周長(zhǎng)為10 cm，求ΔABC的周長(zhǎng).⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關(guān)系？怎樣用語言敘述這結(jié)論？
分析：
（1） 可利用復(fù)合投影片實(shí)現(xiàn)三個(gè)圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學(xué)生建立分解基本圖形的思想.
（2） 通過此題總結(jié)：三角形三和中位線圍成的三角形的周長(zhǎng)等于原三角形周長(zhǎng)的一半，面積等于原三角形面積的14.這個(gè)過程可以無限進(jìn)行下去，如圖4-92.
（3） 從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.
（板書）例2 （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點(diǎn).求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.
分析：
（1） 由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質(zhì)？
（2） 從結(jié)論出發(fā)，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①M(fèi)E=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結(jié)論成立.
讓學(xué)生口述，教師板書證明過程.
例3 構(gòu)造圖4-90問題.
（1） 求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形；
（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？
已知：在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
分析：
(1)已知四條線段的中點(diǎn)，可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.而四邊形ABCD的對(duì)角線可以把四邊形分成兩個(gè)三角形，所以添加輔助線，連結(jié)AC或BD，構(gòu)造“三角形的中位線”的基本圖形.
（2）讓學(xué)生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結(jié)各種特殊四邊形中點(diǎn)得到什么圖形？
投影顯示：
四、師生共同小結(jié)
1.教師提問引起學(xué)生思考：
（1）這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容：
（2）用什么思維方法提出猜想的？
（3）應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別？
2.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點(diǎn)及線段倍分關(guān)系有關(guān)的基
本圖形（如圖4－96）.
（1）注意三角形中線與中位線的區(qū)別，圖4－96（a），（b）.
（2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.
（3）證明線段倍分關(guān)系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），.
3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經(jīng)常得到一些好
的結(jié)論；添輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)的解題方法.
4.三角形的中位線有這樣的性質(zhì)，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質(zhì)嗎？（為下節(jié)
課作思維上的準(zhǔn)備）
五、作業(yè)
課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.
補(bǔ)充題：（構(gòu)造三角形的中位線）
1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點(diǎn).求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.
（提示：延長(zhǎng)CD交BA延長(zhǎng)線于F.）
2.如圖 4－98，正方形 ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O，E是BO中點(diǎn)，連結(jié)”并延長(zhǎng)交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）
3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng) BA和CD分別交FE的延長(zhǎng)線于 G，H點(diǎn).求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結(jié) AC，取 AC中聲、 M，連結(jié)EM，F(xiàn)M.）
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
本教學(xué)過程 設(shè)計(jì)需1課時(shí)完成.
1.本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求讓學(xué)生通過逆向思維及類比聯(lián)想自己實(shí)踐“分析——猜想——證
明”的過程.變被動(dòng)接受知識(shí)為主動(dòng)應(yīng)用已有知識(shí)，探索新知識(shí)，獲得成功的喜悅.
2.在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，通過一組層次遞進(jìn)的變式題的訓(xùn)練，由直接給出定理的基本圖形
到包含基本圖形，學(xué)生分解圖形后使用性質(zhì)，再到通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)，
學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用性質(zhì)來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.
教學(xué)目標(biāo)
1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì)及初步應(yīng)用.
2.通過對(duì)問題的探索及進(jìn)一步變式，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)是三角形中位線的性質(zhì)定理.
難點(diǎn)是證明三角形中位線性質(zhì)定理時(shí)輔助線的添法和性質(zhì)的錄活應(yīng)用.
教學(xué)過程 設(shè)計(jì)
一、聯(lián)想，提出問題.
1.（投影）復(fù)習(xí)平行線等分線段定理及兩個(gè)推論（圖4－89）.
(1)請(qǐng)同學(xué)敘述定理及推論的內(nèi)容.
(2)用數(shù)學(xué)表態(tài)式敘述圖4－89（c）中的結(jié)論.
已知在ΔABC中，D為AB中點(diǎn)，DE∥BC，則AE＝EC.
2.逆向思維，探索新結(jié)論.
引導(dǎo)學(xué)生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點(diǎn)，DE與BC有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢？
啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯(lián)想），DE＝ BC（因?yàn)锳D＝ AB，AE＝ AC，類比聯(lián)想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數(shù)關(guān)系）.
由此引出課題.
二、證明猜想，形成定理
1.定義三角形的中位線，強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別.
2.證明上述猜想成立，教師重點(diǎn)分析輔助線的作法的思考過程.
教師提示學(xué)生：所證結(jié)論即有平行又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已有知識(shí)，可添加輔助線構(gòu)造平行四邊形，利用對(duì)平行且相等證明結(jié)論成立，或者用書上的同一法.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維后，還要注意比較，選擇最簡(jiǎn)捷的證明方法.
3.板書一種證明過程.
4.將“猜想改成定理，引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹龀鋈切沃形痪�定理的具體內(nèi)容.
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.
5.分析定理成立的條件、結(jié)論及作用.
條件：連結(jié)兩邊中點(diǎn)得到中位線.
結(jié)論有兩個(gè)，即位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目需要選用.
作用：在已知兩邊中點(diǎn)的條件下，證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.
三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據(jù)圖4-91中的條件，回答問題.
（1） 已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點(diǎn)DE=5.BC；
（2） 如圖4-91（b），D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC中點(diǎn)，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；
（3） 如圖4-91（c），①它包含幾個(gè)圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個(gè)平行四邊形？④若ΔDEF周長(zhǎng)為10 cm，求ΔABC的周長(zhǎng).⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關(guān)系？怎樣用語言敘述這結(jié)論？
分析：
（1） 可利用復(fù)合投影片實(shí)現(xiàn)三個(gè)圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學(xué)生建立分解基本圖形的思想.
（2） 通過此題總結(jié)：三角形三和中位線圍成的三角形的周長(zhǎng)等于原三角形周長(zhǎng)的一半，面積等于原三角形面積的14.這個(gè)過程可以無限進(jìn)行下去，如圖4-92.
（3） 從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.
（板書）例2 （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點(diǎn).求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.
分析：
（1） 由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質(zhì)？
（2） 從結(jié)論出發(fā)，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①M(fèi)E=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結(jié)論成立.
讓學(xué)生口述，教師板書證明過程.
例3 構(gòu)造圖4-90問題.
（1） 求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形；
（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？
已知：在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
分析：
(1)已知四條線段的中點(diǎn)，可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.而四邊形ABCD的對(duì)角線可以把四邊形分成兩個(gè)三角形，所以添加輔助線，連結(jié)AC或BD，構(gòu)造“三角形的中位線”的基本圖形.
（2）讓學(xué)生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結(jié)各種特殊四邊形中點(diǎn)得到什么圖形？
投影顯示：
四、師生共同小結(jié)
1.教師提問引起學(xué)生思考：
（1）這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容：
（2）用什么思維方法提出猜想的？
（3）應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別？
2.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點(diǎn)及線段倍分關(guān)系有關(guān)的基
本圖形（如圖4－96）.
（1）注意三角形中線與中位線的區(qū)別，圖4－96（a），（b）.
（2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.
（3）證明線段倍分關(guān)系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），.
3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經(jīng)常得到一些好
的結(jié)論；添輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)的解題方法.
4.三角形的中位線有這樣的性質(zhì)，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質(zhì)嗎？（為下節(jié)
課作思維上的準(zhǔn)備）
五、作業(yè)
課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.
補(bǔ)充題：（構(gòu)造三角形的中位線）
1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點(diǎn).求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.
（提示：延長(zhǎng)CD交BA延長(zhǎng)線于F.）
2.如圖 4－98，正方形 ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O，E是BO中點(diǎn)，連結(jié)”并延長(zhǎng)交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）
3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng) BA和CD分別交FE的延長(zhǎng)線于 G，H點(diǎn).求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結(jié) AC，取 AC中聲、 M，連結(jié)EM，F(xiàn)M.）
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
本教學(xué)過程 設(shè)計(jì)需1課時(shí)完成.
1.本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求讓學(xué)生通過逆向思維及類比聯(lián)想自己實(shí)踐“分析——猜想——證
明”的過程.變被動(dòng)接受知識(shí)為主動(dòng)應(yīng)用已有知識(shí)，探索新知識(shí)，獲得成功的喜悅.
2.在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，通過一組層次遞進(jìn)的變式題的訓(xùn)練，由直接給出定理的基本圖形
到包含基本圖形，學(xué)生分解圖形后使用性質(zhì)，再到通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)，
學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用性質(zhì)來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.
三角形的中位線 篇10
一、教學(xué)目標(biāo)：
1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì).
2.能較熟練地應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.
3.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展推理論證的能力.
4.能運(yùn)用綜合法證明有關(guān)三角形中位線性質(zhì)的結(jié)論.理解在證明過程中所運(yùn)用的歸納、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法.
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)
1.重點(diǎn)：掌握和運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì).
2.難點(diǎn)：三角形中位線性質(zhì)的證明（輔助線的添加方法）.
3.難點(diǎn)的突破方法：
（1）本教材三角形中位線的內(nèi)容是由一道例題從而引出其概念和性質(zhì)的，新教材與老教材在這個(gè)知識(shí)的講解順序安排上是不同的，它這種安排是要降低難度，但由于學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中，添加輔助線的練習(xí)很少，因此無論講解順序怎么安排，證明三角形中位線的性質(zhì)（例1）時(shí)，題中輔助線的添加都是一大難點(diǎn)，因此教師一定要重點(diǎn)分析輔助線的'作法的思考過程.讓學(xué)生理解：所證明的結(jié)論既有平行關(guān)系，又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已學(xué)過的知識(shí)，可添加輔助線構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等來證明結(jié)論成立的思路與方法.
（2）強(qiáng)調(diào)三角形的中位線與中線的區(qū)別：
中位線：中點(diǎn)與中點(diǎn)的連線。中線：頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線.
（3）要把三角形中位線性質(zhì)的特點(diǎn)、條件、結(jié)論及作用交代清楚：
特點(diǎn)：在同一個(gè)題設(shè)下，有兩個(gè)結(jié)論.一個(gè)結(jié)論表明位置關(guān)系，另一個(gè)結(jié)論表明數(shù)量關(guān)系。
條件（題設(shè)）：連接兩邊中點(diǎn)得到中位線。
結(jié)論：有兩個(gè)，一個(gè)表明中位線與第三邊的位置關(guān)系，另一個(gè)表明中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系（在應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)需要選用其中的結(jié)論）。
作用：在已知兩邊中點(diǎn)的條件下，證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.
（4）可通過題組練習(xí)，讓學(xué)生掌握其性質(zhì).
三、課堂引入
1.平行四邊形的性質(zhì)。平行四邊形的判定。它們之間有什么聯(lián)系？
2.你能說說平行四邊形性質(zhì)與判定的用途嗎？
（答：平行四邊形知識(shí)的運(yùn)用包括三個(gè)方面：一是直接運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題.例如求角的度數(shù)，線段的長(zhǎng)度，證明角相等或線段相等等。二是判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，從而判定直線平行等。三是先判定一個(gè)四邊形是平行四邊形，然后再用平行四邊形的性質(zhì)去解決某些問題.）
3.創(chuàng)設(shè)情境
實(shí)驗(yàn)：請(qǐng)同學(xué)們思考：將任意一個(gè)三角形分成四個(gè)全等的三角形，你是如何切割的？
定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.
三角形的中位線 篇11
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】： xx中學(xué) 李
1. 理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì).
2. 能較熟練地應(yīng)用三角形中位線性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算.
3.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進(jìn)一步發(fā)展推理論證的能力.
4.能運(yùn)用綜合法證明有關(guān)三角形中位線性質(zhì)的結(jié)論.理解在證明過程中所運(yùn)用的歸納、類比、轉(zhuǎn)化等思想方法.
【學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)】
1.重點(diǎn)：掌握和運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì).
2.難點(diǎn)：三角形中位線性質(zhì)的證明（輔助線的添加方法）.
（1）三角形的中位線與中線的區(qū)別
（2）三角形中位線性質(zhì)的應(yīng)用
一、【課前預(yù)習(xí)】
1.預(yù)習(xí)p30
2.預(yù)習(xí)檢測(cè)
（1）三角形中位線： .
（2）三角形中位線定理： .
定理符號(hào)語言的表達(dá)：
如圖：在△abc中
∵d、e分別是ab、ac的中點(diǎn)
∴
（3）△abc中，d、e、f分別是ab、ac、bc的中點(diǎn)，若ef=5cm，則ab= cm；若bc=9cm，則de= cm；
（4）一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是15cm，過三角形各頂點(diǎn)作對(duì)邊的平行線，則這三條平行線所組成的三角形的周長(zhǎng)是 cm.
二、【課堂導(dǎo)學(xué)】
【思考】：
（1）想一想：①一個(gè)三角形的中位線共有幾條？②三角形的中位線與中線有什么區(qū)別？
（2）三角形的中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系？
三角形中位線的性質(zhì)定理：
已知： 如圖，點(diǎn)d、e、分別為△abc邊ab、ac的中點(diǎn)
求證：de∥bc且de= bc.
三、【精講點(diǎn)撥】
活動(dòng)1、如圖，△abc中，d、e、f分別是bc、ab、ac的中點(diǎn)。
試判斷四邊形aedf的形狀并說明理由。
活動(dòng)2、如圖：在四邊形abcd中，點(diǎn)e、f、g分別是ad、ab、cd的中點(diǎn)。
思考：
1、ef是哪個(gè)三角形的中位線？eg是哪個(gè)三角形的中位線？
2、當(dāng)ac=bd時(shí)，請(qǐng)判斷△efg的形狀。
四、【課堂檢測(cè)】
1.如圖，d、e分別為△abc的邊ab、bc的中點(diǎn)，若ac=12 ，∠a=450，則de= ，∠edb=
2.如圖，在四邊形abcd中，p是對(duì)角線bd的中點(diǎn)，e、f分別是ab、cd的中點(diǎn)，ad=bc。若∠pef=180，則∠pfe= 度；
3.一個(gè)三角形三條中位線的長(zhǎng)分別是 ， ， ，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為
4.如圖，點(diǎn)o為△abc內(nèi)一點(diǎn)，d、e、f、g分別為ac、ab、ob、oc的中點(diǎn)。求證：四邊形defg為平行四邊形。
檢測(cè)
反饋
五、【開放題】
如圖，a、b兩點(diǎn)被池塘隔開， 在不可直接測(cè)量ab的情況下，你能運(yùn)用你所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量出a、b兩點(diǎn)的距離嗎？
三角形的中位線 篇12
教學(xué)目標(biāo)
1.理解三角形中位線的概念，掌握它的性質(zhì)及初步應(yīng)用.
2.通過對(duì)問題的探索及進(jìn)一步變式，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維及分解構(gòu)造基本圖形解決較復(fù)雜問題的能力.
教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)是三角形中位線的性質(zhì)定理.
難點(diǎn)是證明三角形中位線性質(zhì)定理時(shí)輔助線的添法和性質(zhì)的錄活應(yīng)用.
教學(xué)過程 設(shè)計(jì)
一、聯(lián)想，提出問題.
1.（投影）復(fù)習(xí)平行線等分線段定理及兩個(gè)推論（圖4－89）.
(1)請(qǐng)同學(xué)敘述定理及推論的內(nèi)容.
(2)用數(shù)學(xué)表態(tài)式敘述圖4－89（c）中的結(jié)論.
已知在ΔABC中，D為AB中點(diǎn)，DE∥BC，則AE＝EC.
2.逆向思維，探索新結(jié)論.
引導(dǎo)學(xué)生思考：在圖4－90中，反過來，若D，E分別為AB，AC中點(diǎn)，DE與BC有什么位置和數(shù)量關(guān)系呢？
啟發(fā)學(xué)生逆向類比猜想：DE∥BC（逆向聯(lián)想），DE＝ BC（因?yàn)锳D＝ AB，AE＝ AC，類比聯(lián)想ΔADE的第三邊DE與ΔABC的第三邊也存在相同的倍數(shù)關(guān)系）.
由此引出課題.
二、證明猜想，形成定理
1.定義三角形的中位線，強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別.
2.證明上述猜想成立，教師重點(diǎn)分析輔助線的作法的思考過程.
教師提示學(xué)生：所證結(jié)論即有平行又有數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想已有知識(shí)，可添加輔助線構(gòu)造平行四邊形，利用對(duì)平行且相等證明結(jié)論成立，或者用書上的同一法.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維后，還要注意比較，選擇最簡(jiǎn)捷的證明方法.
3.板書一種證明過程.
4.將“猜想改成定理，引導(dǎo)學(xué)生用文字?jǐn)⑹龀鋈切沃形痪�定理的具體內(nèi)容.
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.
5.分析定理成立的條件、結(jié)論及作用.
條件：連結(jié)兩邊中點(diǎn)得到中位線.
結(jié)論有兩個(gè)，即位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目需要選用.
作用：在已知兩邊中點(diǎn)的條件下，證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.
三、應(yīng)用舉例、變式練習(xí)
（投影）例1（直線給出圖4-90的問題）根據(jù)圖4-91中的條件，回答問題.
（1） 已知：如圖4-91（a），D，E分別為AB和AC的中點(diǎn)DE=5.BC；
（2） 如圖4-91（b），D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，BC中點(diǎn)，AC=8，∠C＝70°，求DF和∠EDF；
（3） 如圖4-91（c），①它包含幾個(gè)圖4-90這樣的基本圖形？②哪些三角形全等？③有幾個(gè)平行四邊形？④若ΔDEF周長(zhǎng)為10 cm，求ΔABC的周長(zhǎng).⑤若ΔABC的面積等于20cm2，求ΔDEF的面積.⑥AF與DE有何關(guān)系？怎樣用語言敘述這結(jié)論？
分析：
（1） 可利用復(fù)合投影片實(shí)現(xiàn)三個(gè)圖的疊加過程，以提高課堂效益并幫助學(xué)生建立分解基本圖形的思想.
（2） 通過此題總結(jié)：三角形三和中位線圍成的三角形的周長(zhǎng)等于原三角形周長(zhǎng)的一半，面積等于原三角形面積的14.這個(gè)過程可以無限進(jìn)行下去，如圖4-92.
（3） 從解題過程可以得到：三角形的一條中位線（DE）與第三邊上的中線（AF）互相平分.
（板書）例2 （包含圖4-90的問題）如圖4-93，AD是ΔABC的高，M，N和E分別為AB，AC，BC的中點(diǎn).求證：（1）四邊形MNDE為等腰梯形；（2）∠MEN＝∠MDN.
分析：
（1） 由條件分析，圖中可分解出“AD是ΔABC的高”，“三角形的中位線是MN，ME，NE”，“直角三角形斜邊上中線MD，ND” .想一想，這些基本圖形都有什么性質(zhì)？
（2） 從結(jié)論出發(fā)，要證四邊形MEDN是等腰梯形，只需證MN∥DE，且MN≠DE及以下三種情況之一成立：①M(fèi)E=ND；②MD=EN；③∠EMN＝∠DNM.從而證得結(jié)論成立.
讓學(xué)生口述，教師板書證明過程.
例3 構(gòu)造圖4-90問題.
（1） 求證：順次連結(jié)四邊形四條邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形；
（2）若已知四邊形為特殊四邊形呢？
已知：在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，如圖4-94.求證：四邊形EFGH是平行四邊形.
分析：
(1)已知四條線段的中點(diǎn)，可設(shè)法應(yīng)用三角形中位線定理，找到四邊形EFGH的邊之間的關(guān)系.而四邊形ABCD的對(duì)角線可以把四邊形分成兩個(gè)三角形，所以添加輔助線，連結(jié)AC或BD，構(gòu)造“三角形的中位線”的基本圖形.
（2）讓學(xué)生畫圖觀察并思考此題的特殊情況，如圖4－95，順次連結(jié)各種特殊四邊形中點(diǎn)得到什么圖形？
投影顯示：
四、師生共同小結(jié)
1.教師提問引起學(xué)生思考：
（1）這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些具體內(nèi)容：
（2）用什么思維方法提出猜想的？
（3）應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別？
2.在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師投影顯示以下與三角形一邊中點(diǎn)及線段倍分關(guān)系有關(guān)的基
本圖形（如圖4－96）.
（1）注意三角形中線與中位線的區(qū)別，圖4－96（a），（b）.
（2）三角線的中位線的判定方法有兩種：定義及判定定理，圖4－96（b），（。）.
（3）證明線段倍分關(guān)系的方法常有三種，圖4－96（b），（d），.
3.先猜想后證明的研究問題方法；逆向思維，探究逆命題是否成立，由此經(jīng)常得到一些好
的結(jié)論；添輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)的解題方法.
4.三角形的中位線有這樣的性質(zhì)，那么梯形有中位線嗎？它有類似的性質(zhì)嗎？（為下節(jié)
課作思維上的準(zhǔn)備）
五、作業(yè)
課本第180頁第4題，第184頁第5，7，8題，第185頁B組第1題.
補(bǔ)充題：（構(gòu)造三角形的中位線）
1.如圖4－97，AD是上ABC的外角平分線，CD上AD于D.E是BC的中點(diǎn).求證：（1）DE ∥/ AB：（2）DE ＝ （AB＋AC）.
（提示：延長(zhǎng)CD交BA延長(zhǎng)線于F.）
2.如圖 4－98，正方形 ABCD對(duì)角線交于點(diǎn)O，E是BO中點(diǎn)，連結(jié)”并延長(zhǎng)交BC于F.求證：BF= CF.（提示：作OG∥EF交于BC于G.）
3.如圖4－99，在四邊形 ABCD中，AB＝CD， E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng) BA和CD分別交FE的延長(zhǎng)線于 G，H點(diǎn).求證：∠BGF＝∠CHF.（提示：連結(jié) AC，取 AC中聲、 M，連結(jié)EM，F(xiàn)M.）
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
本教學(xué)過程 設(shè)計(jì)需1課時(shí)完成.
1.本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求讓學(xué)生通過逆向思維及類比聯(lián)想自己實(shí)踐“分析——猜想——證
明”的過程.變被動(dòng)接受知識(shí)為主動(dòng)應(yīng)用已有知識(shí)，探索新知識(shí)，獲得成功的喜悅.
2.在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，通過一組層次遞進(jìn)的變式題的訓(xùn)練，由直接給出定理的基本圖形
到包含基本圖形，學(xué)生分解圖形后使用性質(zhì)，再到通過添加輔助線構(gòu)造基本圖形來使用性質(zhì)，
學(xué)生逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用性質(zhì)來解決問題，他們的解題能力、思考問題的方法得到逐步提高.