《數系的擴充》高中數學選修2—2教案
【目標】
1. 了解實數系擴充的原因和過程，理解虛單位i的概念，理解復數代數形式、實部、虛部、純虛數、虛數等概念；
2. 理解復數相等概念，了解復數系與實數系的關系；
3. 感受數系的擴充和復數的誕生都是人類思想的創新和大解放，每次都引發對自然界更深層次的認識，推動了科學的進步.
【重點】 復數的誕生及其概念. 復數的分類(實數、虛數、純虛數)和復數相等.
【難點】.虛單位i 的的概念. 虛單位i 的第二條性質.
【程序】
▲1.問題情境
問題1 自然數集n、整數集z、有理數集q. 實數集r之間有怎樣的包含關系呢？
key: n z，z q，q r, 總之 n z q r,（數系擴充之意自見）.
接著問：這些數是怎樣產生的？
key: 為了計數產生了自然數，
為了表示各種具有相反意義的量產生了負數；
為了測量等產生了分數
為了度量正方形對角線的長產生了無理數.
發現1：數集在按照某種“規則”不斷擴充，（實踐的需要、解決數學體系內部矛盾的推動）
數系與運算聯系緊密，（數集無運算，猶無弓之箭；運算離開數系，猶如無米之炊）.
人們總希望數系中的運算能夠在本數系中暢通無阻.
數系的每一次擴充的效果，是解決了在原有數集中某種運算受阻的矛盾，
負數解決了在正數集（如n）中不夠減的矛盾，
分數解決了在整數中不能整除的矛盾，
無理數解決了開方開不盡的矛盾.
接著問：數系一般按照什么樣的“規則”擴充？
key: “規則”就是
在原有數系的基礎上“添加”新的數.
▲2.實數系也面臨著問題（內部矛盾）
數系擴到實數系r以后，因為沒有一個實數的平方等于－1.
問題：這表明什么運算在實數系r中不能暢通無阻？（答：開方運算）
從方程的觀點看，像x2=－1這樣的方程在實數系r還是無解的.
讓我們嘗試來克服這個矛盾.
▲ 3.大膽類比、解放思想
評：自然數n中“添加”新數-1，就“忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開”.
在實數中引入了一個新數 ，也能取到這種效果嗎？
▲4.嚴格定義、理清思路
我們引入一個新數 ，叫做虛數單位，并規定
(1)它的平方等于-1，即 ;
(2)實數可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立.
這就規定了虛數單位i的兩條本質屬性.
▲5. “添加”虛數單位，誕生新的數系
（1） i與實數相乘，得形如b i的數，當b≠0時，稱b i為純虛數. 這就“忽如一夜春風來，千樹萬樹梨花開”
（2） 形如b i的數與實數 相加，得形如 的數叫復數.
復數的定義：形如 的數叫復數， 叫復數的實部， 叫復數的虛部 全體復數所成的集合叫做復數集，用字母c表示
復數通常用字母z表示，即 ，把復數表示成 的形式，叫做復數的代數形式
▲6.復數與實數、虛數、純虛數及0的關系
對于復數 ，
當且僅當b=0時，復數 是實數 ；
當b≠0時，復數 叫做虛數；
當b≠0且 =0時， 叫做純虛數；
當且僅當 =b =0時，z= +b i就是實數0.
▲7.例題解析
例1請說出復數4， 0， ，6 的實部與虛部，并指出哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數？
由學生回答：
例2 實數m取什么數值時，復數z= m （m-1）+(m－1)i是:(1)實數？ (2)虛數？ (3)純虛數？