數(shù)學(xué)教案－指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
教 案
課題：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
課型：綜合課
教學(xué)目標(biāo) ：在復(fù)習(xí)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的特性之后，通過圖像對比使學(xué)生較快的學(xué)會不求值比較指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)值的大小及提高對復(fù)合型函數(shù)的定義域與值域的解題技巧。
重點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的特性。
難點(diǎn)：指導(dǎo)學(xué)生如何根據(jù)上述特性解決復(fù)合型函數(shù)的定義域與值域的問題。
教學(xué)方法：多媒體授課。
學(xué)法指導(dǎo)：借助列表與圖像法。
教具：多媒體教學(xué)設(shè)備。
教學(xué)過程 ：
一、 復(fù)習(xí)提問。通過找學(xué)生分別敘述指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的公式及特性，加深學(xué)生的記憶。
二、 展示指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的一覽表。并和學(xué)生們共同復(fù)習(xí)這些性質(zhì)。
指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)關(guān)系一覽表
函數(shù) 性質(zhì) | 指數(shù)函數(shù) y=ax （a＞0且a≠1） | 對數(shù)函數(shù) y=logax（a＞0且a≠1） | |
定義域 | 實(shí)數(shù)集r | 正實(shí)數(shù)集（0，﹢∞） | |
值域 | 正實(shí)數(shù)集（0，﹢∞） | 實(shí)數(shù)集r | |
共同的點(diǎn) | （0，1） | （1，0） | |
單調(diào)性 | a＞1 增函數(shù) | a＞1 增函數(shù) | |
0＜a＜1 減函數(shù) | 0＜a＜1 減函數(shù) | ||
函數(shù)特性
| a＞1 | 當(dāng)x＞0,y＞1 | 當(dāng)x＞1,y＞0 |
當(dāng)x＜0,0＜y＜1 | 當(dāng)0＜x＜1, y＜0 | ||
0＜a＜1 | 當(dāng)x＞0, 0＜y＜1 | 當(dāng)x＞1, y＜0 | |
當(dāng)x＜0,y＞1 | 當(dāng)0＜x＜1, y＞0 | ||
反函數(shù) | y=logax（a＞0且a≠1） | y=ax （a＞0且a≠1） | |
圖像 | y y=(1/2)x y=2x
(0,1) x | y
y=log2x (1,0) x y=log1/2x | |
三、 同一坐標(biāo)系中將指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)進(jìn)行合成， 觀察其特點(diǎn)，并得出y＝log2x與y＝2x、 y＝log1/2x與y＝（1/2）x 的圖像關(guān)于直線y＝x對稱，互為反函數(shù)關(guān)系。所以y＝logax與y＝ax互為反函數(shù)關(guān)系，且y＝logax的定義域與y＝ax的值域相同，y＝logax的值域與y＝ax的定義域相同。
y
y＝(1/2)x y＝2x y＝x
（0，1） y＝log2x
（1，0） x
y＝log1/2x
注意：不能由圖像得到y(tǒng)＝2x與y＝（1/2）x為偶函數(shù)關(guān)系。因?yàn)榕己瘮?shù)是指同一個函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱。此圖雖有y＝2x與y＝（1/2）x圖像對稱，但它們是2個不同的函數(shù)。
四、 利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)去解決含有指數(shù)與對數(shù)的復(fù)合型函數(shù)的定義域、值域問題及比較函數(shù)的大小值。
五、 例題
例⒈比較（л）（－0.1）與（л）（－0.5）的大小。
解：∵ y＝ax中， a＝л＞1
∴ 此函數(shù)為增函數(shù)
又∵ ﹣0.1＞﹣0.5
∴ （л）（－0.1）＞（л）（－0.5）
例⒉比較log67與log76的大小。
解： ∵ log67＞log66＝1
log76＜log77＝1
∴ log67＞log76
注意：當(dāng)2個對數(shù)值不能直接進(jìn)行比較時，可在這2個對數(shù)中間插入一個已知數(shù)，間接比較這2個數(shù)的大小。
例⒊ 求y＝3√4-x2的定義域和值域。
解：∵√4-x2 有意義，須使4-x2≥0
即x2≤4， |x|≤2
∴-2≤x≤2，即定義域?yàn)閇-2，2]
又∵0≤x2≤4， ∴0≤4-x2≤4
∴0≤√4-x2 ≤2，且y＝3x是增函數(shù)
∴30≤y≤32，即值域?yàn)閇1，9]
例⒋ 求函數(shù)y＝√log0.25（log0.25x）的定義域。
解：要函數(shù)有意義，須使log0.25（log0.25x）≥0
又∵ 0＜0.25＜1，∴y＝log0.25x是減函數(shù)
∴ 0＜log0.25x≤1
∴ log0.251＜log0.25x≤log0.250.25
∴ 0.25≤x＜1，即定義域?yàn)閇0.25，1）
六、 課堂練習(xí)
求下列函數(shù)的定義域
1. y＝8[1/（2x-1）]
2. y＝loga（1-x）2 （a＞0，且a≠1）
七、 評講練習(xí)
八、 布置作業(yè)
第113頁，第10、11題。并預(yù)習(xí)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)
在物理、社會科學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用。