相交線 —— 初中數學第一冊教案
相交線〈垂線〉
學習目標：
知識目標
了解兩條直線互相垂直的概念；
2.知道過一點有且僅有一條直線垂直于已知直線，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線。
能力目標
培養提高學生觀察、理解能力，幾何語言能力、畫圖能力，抽象思維能力。運用知識解決實際問題能力。
德育目標
培養學生辯證唯物主義思想及不斷發現，探索新知識的精神。
情感目標
通過創設情境，利用變式訓練，多種教學手段來激發學生學習興趣，給學生創造成功的機會，使他們愛學、會學、學會，營造學生可持續發展的機會。
重點：兩直線互相垂直的有關性質 難點：過直線上（外）一點作已知直線的垂線
教具：多媒體、投影儀、自制的可旋轉的兩根木條等
[學習目標是從基礎知識教學、基本技能訓練、數學能力培養和德育目標四個方面，依據《數學課程標準》關于“垂線”的具體教學要求和各種教學原則，以及本節的教材內容與學生的實際確定的。]
互究策略：（教學流程）
一、背景1.[生活背景]旗桿與旗臺邊緣線的垂直關系；紅十字會標志；
2.[知識背景]兩條直線相交，產生兩對對頂角，且對頂角相等。
二、師生互究1.創設問題情境
[學生眾說紛紜，教師應給予充分的肯定]
師：圖甲是兩條直線相交的一種特殊情況，它在生活、生產實際中應用比較廣。請你再舉一些類似的例子。生：……
師：讓我們共同探索圖甲這種特殊情況。
[借助于教具，模型，實物，圖形及幻燈等教學手段，使學生先得到直觀的感性認識，培養學生從感性到理性的認識方式]
2.回顧再現：對頂角相等
兩條直線相交只有一個交點。如圖(1)，直線AB和CD相交，交點為點O，有四個小于平角的角，且∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC
1. 提高：教師演示自制教具，要求學生觀察當一根木條繞著另一根木條旋轉是的變化情況，并用數學語言進行描述。
[教師應鼓勵學生大膽描述自己的觀察結果，并及時予以肯定。]
師：兩直線相交，有兩組分別相等的角，當一個角等于90°時，其它三個角有什么變化？可能產生四個相等的角嗎？如圖(2)[同時演示教具] 將直線CD繞著點O旋轉，當∠BOD=90°時，∠AOC、∠AOD、∠BOC是多少度？生：……師：你們的依據是什么？
生： ……（用度量的方法；利用對頂角相等；互補的概念……學生回答過程中，只要有道理就應予以鼓勵）[這里希望在感性認識的基礎上進行抽象概念的教學，培養學生的抽象思維能力。]
2. 提升：[教師引導學生歸納]兩條直線互相垂直：兩條直線相交所構成的四個角中有一個角是直角時，稱這兩條直線互相垂直。
師：ⅰ）如圖(2)，直線AB和CD相交，交點為O，∠BOC=90°，記為AB⊥CD，垂足為點O。“AB⊥CD”讀作“AB垂直于CD”或“CD垂直于AB”。
ⅱ）兩條直線AB⊥CD， 垂足為點O，則∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°
[實現數學的三大語言：文字語言，符號語言，幾何語言之間的切換，并板書以突出其重要性]
5.再探究：師：請同學們舉一些日常生活中互相垂直的直線的例子；生：……
[希望實現將數學知識在實際生活中的運用，并為后繼數學知識增加感性認知]
師：請同學們用三角尺或量角器：
ⅰ）經過直線AB外一點P，畫直線與已知直線AB垂直，且討論這樣的垂線有幾條？
ⅱ）設這一點在直線AB上，重作上述過程。
[學生分組或獨立探索，教師巡視指導]
[教師引導學生歸納結論]：在同一平面內，經過直線外或直線上一點，有且只有一條直線與已知直線垂直。
[通過學生動手操作畫圖，教師在巡視中及時指出、糾正學生發生的錯誤，訓練學生以嚴謹的科學態度研究問題、解決問題。]
師：請同學們互相門交流且簡單描述一下，上述結論用三角尺的作法過程和“有且只有”的含義
[學生討論交流，教師巡視] 師：[引導歸納]
a)、靠已知直線——找待過定點——畫已知直線的垂線（一靠、二過、三垂直）。
b)、有一條并且只有一條沒有第二條。
師：如圖(5)請同學們相互比試，誰能更快地過直線CD上一點P作直線AB的垂線。并在小組間進行交流。
[探究性活動是《數學課程標準》的一個重要舉措，并為培養學生的創新意識提供了一些機會。“做一做”進行小組交流，一方面是為了加強對學生動手操作能力的培養，同時也培養了學生的合作意識和競爭意識，使學生更深入理解垂直、垂線的概念。]
6.學生探索：[學生分小組測量，討論，歸納]如圖(6)所示，點A與直線DC上各點的距離長短一樣嗎？誰最短？它具備什么條件？[抽小組代表發言]
7.教師：[總結歸納]只有線段AB最短，且當AB與DC垂直時，才最短。
[教師引導學生得出線段AB特征：A為直線外一點，B為過A向直線DC所引的垂線的垂足，]
提高為：線段AB的長度就是點A到直線DC的距離。
思考：點A到直線DC的距離與點A到點C的距離有什么區別？
點A到直線DC的距離：線段AB的長度，A為直線外一點，B為過A向直線DC所引的垂線的垂足；點A到點C的距離：兩點之間線段的長度。
[從生活實際，從學生感興趣，熟悉的問題引導學生發現垂線的第二個性質，提高學生學數學的興趣，并適當體現學數學——用數學——發現數學的思想。]
三、較量1.P170 1 、 2 、 3 2.應用：[使學生在相互競爭中，實踐應用本節課的知識，分享獲取成功的喜悅，并促進學生積極向上的心理品質]
⑴、某村莊在如圖(7)所示的小河邊，為解決村莊供水問題，需把河中的水引到村莊A處，在河岸CD的什么地方開溝，才能使溝最短？畫出圖來，并說明道理。
⑵、教材P170 做一做⑶、體育課上怎樣測量跳遠成績。
[學以致用，學生做個小小設計師，興趣盎然，把這節課引入高潮。]
四、分享：
a) 兩條直線互相垂直的概念；
b) 如何過已知直線上或已知直線外的一點作唯一的垂線。
五、探索：① P174 1 、 2
③ 學校的位置如圖(8)所示，請設計出學校到兩條公路的最短距離的方案，并在圖上標出來，并說明理由。
相交線〈垂線〉
學習目標：
知識目標
了解兩條直線互相垂直的概念；
2.知道過一點有且僅有一條直線垂直于已知直線，會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線。
能力目標
培養提高學生觀察、理解能力，幾何語言能力、畫圖能力，抽象思維能力。運用知識解決實際問題能力。
德育目標
培養學生辯證唯物主義思想及不斷發現，探索新知識的精神。
情感目標
通過創設情境，利用變式訓練，多種教學手段來激發學生學習興趣，給學生創造成功的機會，使他們愛學、會學、學會，營造學生可持續發展的機會。
重點：兩直線互相垂直的有關性質 難點：過直線上（外）一點作已知直線的垂線
教具：多媒體、投影儀、自制的可旋轉的兩根木條等
[學習目標是從基礎知識教學、基本技能訓練、數學能力培養和德育目標四個方面，依據《數學課程標準》關于“垂線”的具體教學要求和各種教學原則，以及本節的教材內容與學生的實際確定的。]
互究策略：（教學流程）
一、背景1.[生活背景]旗桿與旗臺邊緣線的垂直關系；紅十字會標志；
2.[知識背景]兩條直線相交，產生兩對對頂角，且對頂角相等。
二、師生互究1.創設問題情境
[學生眾說紛紜，教師應給予充分的肯定]
師：圖甲是兩條直線相交的一種特殊情況，它在生活、生產實際中應用比較廣。請你再舉一些類似的例子。生：……
師：讓我們共同探索圖甲這種特殊情況。
[借助于教具，模型，實物，圖形及幻燈等教學手段，使學生先得到直觀的感性認識，培養學生從感性到理性的認識方式]
2.回顧再現：對頂角相等
兩條直線相交只有一個交點。如圖(1)，直線AB和CD相交，交點為點O，有四個小于平角的角，且∠AOC=∠BOD，∠AOD=∠BOC
1. 提高：教師演示自制教具，要求學生觀察當一根木條繞著另一根木條旋轉是的變化情況，并用數學語言進行描述。
[教師應鼓勵學生大膽描述自己的觀察結果，并及時予以肯定。]
師：兩直線相交，有兩組分別相等的角，當一個角等于90°時，其它三個角有什么變化？可能產生四個相等的角嗎？如圖(2)[同時演示教具] 將直線CD繞著點O旋轉，當∠BOD=90°時，∠AOC、∠AOD、∠BOC是多少度？生：……師：你們的依據是什么？
生： ……（用度量的方法；利用對頂角相等；互補的概念……學生回答過程中，只要有道理就應予以鼓勵）[這里希望在感性認識的基礎上進行抽象概念的教學，培養學生的抽象思維能力。]
2. 提升：[教師引導學生歸納]兩條直線互相垂直：兩條直線相交所構成的四個角中有一個角是直角時，稱這兩條直線互相垂直。
師：ⅰ）如圖(2)，直線AB和CD相交，交點為O，∠BOC=90°，記為AB⊥CD，垂足為點O。“AB⊥CD”讀作“AB垂直于CD”或“CD垂直于AB”。
ⅱ）兩條直線AB⊥CD， 垂足為點O，則∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°
[實現數學的三大語言：文字語言，符號語言，幾何語言之間的切換，并板書以突出其重要性]
5.再探究：師：請同學們舉一些日常生活中互相垂直的直線的例子；生：……
[希望實現將數學知識在實際生活中的運用，并為后繼數學知識增加感性認知]
師：請同學們用三角尺或量角器：
ⅰ）經過直線AB外一點P，畫直線與已知直線AB垂直，且討論這樣的垂線有幾條？
ⅱ）設這一點在直線AB上，重作上述過程。
[學生分組或獨立探索，教師巡視指導]
[教師引導學生歸納結論]：在同一平面內，經過直線外或直線上一點，有且只有一條直線與已知直線垂直。
[通過學生動手操作畫圖，教師在巡視中及時指出、糾正學生發生的錯誤，訓練學生以嚴謹的科學態度研究問題、解決問題。]
師：請同學們互相門交流且簡單描述一下，上述結論用三角尺的作法過程和“有且只有”的含義
[學生討論交流，教師巡視] 師：[引導歸納]
a)、靠已知直線——找待過定點——畫已知直線的垂線（一靠、二過、三垂直）。
b)、有一條并且只有一條沒有第二條。
師：如圖(5)請同學們相互比試，誰能更快地過直線CD上一點P作直線AB的垂線。并在小組間進行交流。
[探究性活動是《數學課程標準》的一個重要舉措，并為培養學生的創新意識提供了一些機會。“做一做”進行小組交流，一方面是為了加強對學生動手操作能力的培養，同時也培養了學生的合作意識和競爭意識，使學生更深入理解垂直、垂線的概念。]
6.學生探索：[學生分小組測量，討論，歸納]如圖(6)所示，點A與直線DC上各點的距離長短一樣嗎？誰最短？它具備什么條件？[抽小組代表發言]
7.教師：[總結歸納]只有線段AB最短，且當AB與DC垂直時，才最短。
[教師引導學生得出線段AB特征：A為直線外一點，B為過A向直線DC所引的垂線的垂足，]
提高為：線段AB的長度就是點A到直線DC的距離。
思考：點A到直線DC的距離與點A到點C的距離有什么區別？
點A到直線DC的距離：線段AB的長度，A為直線外一點，B為過A向直線DC所引的垂線的垂足；點A到點C的距離：兩點之間線段的長度。
[從生活實際，從學生感興趣，熟悉的問題引導學生發現垂線的第二個性質，提高學生學數學的興趣，并適當體現學數學——用數學——發現數學的思想。]
三、較量1.P170 1 、 2 、 3 2.應用：[使學生在相互競爭中，實踐應用本節課的知識，分享獲取成功的喜悅，并促進學生積極向上的心理品質]
⑴、某村莊在如圖(7)所示的小河邊，為解決村莊供水問題，需把河中的水引到村莊A處，在河岸CD的什么地方開溝，才能使溝最短？畫出圖來，并說明道理。
⑵、教材P170 做一做⑶、體育課上怎樣測量跳遠成績。
[學以致用，學生做個小小設計師，興趣盎然，把這節課引入高潮。]
四、分享：
a) 兩條直線互相垂直的概念；
b) 如何過已知直線上或已知直線外的一點作唯一的垂線。
五、探索：① P174 1 、 2
③ 學校的位置如圖(8)所示，請設計出學校到兩條公路的最短距離的方案，并在圖上標出來，并說明理由。