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定理與證明(二)

定理與證明(二)

一、教學(xué)目標(biāo) 

1.了解“證明”的必要性和推理過(guò)程中要步步有據(jù).

2.了解綜合法證明的格式和步驟.

3.通過(guò)一些簡(jiǎn)單命題的證明,初步訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力.

4.通過(guò)證明步驟中由命題畫(huà)出圖形,寫(xiě)出已知、求證的過(guò)程,繼續(xù)訓(xùn)練學(xué)生由幾何語(yǔ)句正確畫(huà)出幾何圖形的能力.

5.通過(guò)舉例判定一個(gè)命題是假命題,使學(xué)生學(xué)會(huì)反面思考問(wèn)題的方法.

二、學(xué)法引導(dǎo)

1.教師教法:嘗試指導(dǎo),引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)與討論相結(jié)合.

2.學(xué)生學(xué)法:在教師的指導(dǎo)下,積極思維,主動(dòng)發(fā)現(xiàn).

三、重點(diǎn)·難點(diǎn)及解決辦法

(-)重點(diǎn)

證明的步驟和格式是本節(jié)重點(diǎn).

(二)難點(diǎn)

理解命題,分清其題設(shè)和結(jié)論,正確對(duì)照命題畫(huà)出圖形,寫(xiě)出已知、求證.

(三)解決辦法

通過(guò)學(xué)生分組討論,教師歸納得出證明的步驟和格式,再以練習(xí)加以鞏固,解決重點(diǎn)、難點(diǎn)及疑點(diǎn).

四、課時(shí)安排

l課時(shí)

五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

投影儀、三角板、自制膠片.

六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.通過(guò)引例創(chuàng)設(shè)情境,點(diǎn)題,引入新課.

2.通過(guò)情境教學(xué),學(xué)生分組討論,歸納總結(jié)及練習(xí)鞏固等手段完成新授.

3.通過(guò)提問(wèn)的形式完成小結(jié).

七、教學(xué)步驟 

(-)明確目標(biāo)

使學(xué)生嚴(yán)密推理過(guò)程,掌握推理格式,提高推理能力。

(二)整體感知

以情境設(shè)計(jì),引出課題,引導(dǎo)討論,例題示范講解新知,以練習(xí)鞏固新知.

(三)教學(xué)過(guò)程 

創(chuàng)設(shè)情境,引出課題

師:上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了定理與證明,了解了這兩個(gè)概念.并以證明“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”來(lái)說(shuō)明什么是證明.我們?cè)倏催@一命題的證明(投影出示).

例1  已知:如圖1, , 是截線,求證: .

證明:∵ (已知),∴ (兩直線平行,同位角相等).

∵ (對(duì)項(xiàng)角相等),∴ (等量代換).

這節(jié)課我們分析這一命題的證明過(guò)程,學(xué)習(xí)命題證明的步驟和格式.

[板書(shū)]2.9  定理與證明

探究新知

1.命題證明步驟

學(xué)生活動(dòng):由學(xué)生分組討論以上命題的證明過(guò)程,按自己的理解說(shuō)出證明一個(gè)命題都需要哪幾步.

【教法說(shuō)明】根據(jù)上一節(jié)“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”這一命題的證明過(guò)程讓學(xué)生討論、分析、歸納命題證明的一般步驟,一是可以加深對(duì)命題證明的理解,二是培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。在總結(jié)步驟時(shí),學(xué)生所說(shuō)的層次不一定有邏輯性,或不太嚴(yán)密,教師要注意引導(dǎo),使學(xué)生分清命題證明幾個(gè)步驟的先后層次.

根據(jù)學(xué)生討論,回答結(jié)果.教師歸納小結(jié),師生共同得出證明命題的步驟(出示投影):

第一步,畫(huà)出命題的圖形.

先根據(jù)命題的題設(shè)即已知條件,畫(huà)出圖形,再把命題的結(jié)論即求證的內(nèi)容在圖上標(biāo)出.還要根據(jù)證明的需要,在圖上標(biāo)出必要的字母或符號(hào),以便于敘述或推理過(guò)程的表達(dá).

第二步,結(jié)合圖形寫(xiě)出已知、求證.

把命題的題設(shè)化為幾何符號(hào)的語(yǔ)言寫(xiě)在已知中,命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何符號(hào)的語(yǔ)言寫(xiě)在求證中.

第三步,經(jīng)過(guò)分析,找出由已知推得求證的途徑,寫(xiě)出推理的過(guò)程.

學(xué)生活動(dòng):結(jié)合“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”這一命題的證明,理解以上命題證明的一般步驟(給學(xué)生一定時(shí)間理解記憶).

【教法說(shuō)明】在以上第二個(gè)步驟中,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言是教學(xué)中的難點(diǎn),要注意在練習(xí)中加強(qiáng)輔導(dǎo),第三步由學(xué)生獨(dú)立完成有困難,要逐步培養(yǎng)訓(xùn)練,現(xiàn)階段暫不要求學(xué)生獨(dú)立完成.

反饋練習(xí):(1)畫(huà)出證明命題“兩直線平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”時(shí)的圖形,寫(xiě)出已知、求證.

(2)課本第112頁(yè)A組第5題.

【教法說(shuō)明】由學(xué)生依照例1“兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等”這一命題的證明畫(huà)出圖形,寫(xiě)出已知、求證,鞏固命題證明的第一、二步.

2.命題的證明

例2  證明:鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直.

【教法說(shuō)明】此例題完全放手讓學(xué)生獨(dú)立完成有一定困難,但教師也不能包辦代替,最好通過(guò)讓學(xué)生分步討論,同桌互相磋商,分步完成的方法,使學(xué)生對(duì)命題證明的每一步都進(jìn)一步理解,教師可以給學(xué)生指明思考步驟.

(1)分析命題的題設(shè)與結(jié)論,畫(huà)出命題證明所需要的圖形.

鄰補(bǔ)角用圖2表示:


圖2

添畫(huà)鄰補(bǔ)角的平分線,見(jiàn)圖3:


圖3

(2)根據(jù)命題的題設(shè)與結(jié)論寫(xiě)出已知、求證.鄰補(bǔ)角用幾何符號(hào)語(yǔ)言提示: ,角平分線用幾何符號(hào)語(yǔ)言表示: , ,求證鄰補(bǔ)角平分錢(qián)互相垂直,用符號(hào)語(yǔ)言表示: .

(3)分析由已知誰(shuí)出求證途徑,寫(xiě)出證明過(guò)程.

有什么結(jié)論后可得 ( ),由已知可以推導(dǎo) 嗎?學(xué)生討論思考.

【教法說(shuō)明】以上步驟的完成教師只提供思路,具體結(jié)論的得出與操作要由學(xué)生獨(dú)立完成.找一個(gè)學(xué)生到黑板上板演,其他同學(xué)在練習(xí)本上寫(xiě)出完成整過(guò)程.

已知:如圖, , , .

求證:

證明:∵ (已知),又∵ , (已知),∴ .

∴ (垂直定義).

證明完成后提醒學(xué)生注意以下幾點(diǎn):

①要證明的是一個(gè)簡(jiǎn)單敘述的命題,題設(shè)和結(jié)論不明顯,可以先根據(jù)題意畫(huà)出圖形.如例2,結(jié)合圖形分析命題的題設(shè)和結(jié)論.

②在寫(xiě)已知、求證的內(nèi)容時(shí),要將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示,轉(zhuǎn)化時(shí)的寫(xiě)法也不是惟一的,要根據(jù)使用的方便來(lái)寫(xiě),如: 與 互為鄰補(bǔ)角,在已知中寫(xiě)為 ,角平分線有幾種表示方法,如 是 的平分線, , ,根據(jù)此題寫(xiě)成 較好,方便于下面的推理計(jì)算.

③對(duì)命題的分析、畫(huà)圖,如何推理的思考過(guò)程,證明時(shí)不必寫(xiě)出來(lái),不屬于證明內(nèi)容.

反饋練習(xí):按證明命題的步驟證明:“兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么內(nèi)錯(cuò)角相等.”

【教法說(shuō)明】由學(xué)生獨(dú)立完成,找學(xué)生板演,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題教師及時(shí)糾正.

3.判定一個(gè)命題是假命題的方法

師:以上我們的推理是說(shuō)明一個(gè)命題是真命題的判定方法.那么如何判定一個(gè)命題是假命題呢?如“相等的角是對(duì)項(xiàng)角”,同學(xué)們都知道這是一個(gè)假命題,如何說(shuō)明它是一個(gè)假命題呢?誰(shuí)能試著說(shuō)明一下?

【教法說(shuō)明】教師先不告訴學(xué)生判定一個(gè)命題是假命題的方法,而是由很明顯的“相等角是對(duì)頂角”這一假命題,讓學(xué)生自己嘗試著去說(shuō)明,體驗(yàn)從反面去說(shuō)明一個(gè)問(wèn)題的方法,然后教師歸納小結(jié).

根據(jù)學(xué)生說(shuō)明,教師小結(jié):

判定一個(gè)命題是假命題,只要舉出一個(gè)反例即可,也就是說(shuō)你所舉命題符合命題的題設(shè),但不滿(mǎn)足結(jié)論.如“同位角相等”可如圖, 與 是同位角但不相等就說(shuō)明“同位角相等是假命題”.

反饋練習(xí):課本第111頁(yè)習(xí)題2.3A組第4題.

【教法說(shuō)明】在做以上練習(xí)時(shí)一定讓學(xué)生學(xué)會(huì)從反面思考問(wèn)題的方法,再就是要澄清一些錯(cuò)誤的概念.

反饋練習(xí)

投影出示以下練習(xí):

1.指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論

(1)兩條平行線被第三條直線所截,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ).

(2)兩個(gè)角的和等于直角,這兩個(gè)角互為余角.

(3)對(duì)項(xiàng)角相等.

(4)同角或等角的余角相等.

2.畫(huà)圖,寫(xiě)出已知,求證(不證明)

(1)同垂直于一條直線的兩條直線平行.

(2)兩條平行直線被第三條直線所截,同位角的平分線互相平行.

3.抄寫(xiě)下題并填空

已知:如圖, .

求證: .

證明:∵ ( ),

∴ ( ).

∴ ( ).

【教法說(shuō)明】以上練習(xí)讓學(xué)生獨(dú)立完成,第1題主要是訓(xùn)練學(xué)生分清命題的題設(shè)和結(jié)論;第2題是訓(xùn)練學(xué)生把命題轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言、幾何圖形的能力;第3題是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)命題證明的三個(gè)步驟.

總結(jié)、擴(kuò)展

以提問(wèn)的形式歸納出本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu):

八、布置作業(yè) 

(-)必做題

課本第110頁(yè)習(xí)題2.3A組第3(2)、(3)、(4)題.

(二)思考題

課本第112頁(yè)B組第l、2題.

作業(yè) 答案

A組(略)

B組1.已知兩直線平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。

(兩直線平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)) (同角的補(bǔ)角相等).

2.已知:如圖, , 、 分別平分 與 .求證: .

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