數學教案－定理與證明（精選2篇）
數學教案－定理與證明 篇1
教學建議
（一）教材分析
1、知識結構
2、重點、難點分析
重點：真命題的證明步驟與格式.命題的證明步驟與格式是本節的主要內容，是學習數學必具備的能力，在今后的學習中將會有大量的證明問題；另一方面它還體現了數學的邏輯性和嚴謹性.
難點：推論證明的思路和方法.因為它體現了學生的抽象思維能力，由于學生對邏輯的理解不深刻，往往找不出最優的思維切入點，證明的盲目性很大，因此對學生證明的思路和方法的訓練是教學的難點.
（二） 教學建議
1、四個注意
�。�1）注意：①公理是通過長期實踐反復驗證過的，不需要再進行推理論證而都承認的真命題；②公理可以作為判定其他命題真假的根據.
�。�2）注意：定理都是真命題，但真命題不一定都是定理.一般選擇一些最基本最常用的真命題作為定理，可以以它們為根據推證其他命題.這些被選作定理的真命題，在教科書中是用黑體字排印的.
（3）注意：在幾何問題的研究上，必須經過證明，才能作出真實可靠的判斷.如“兩直線平行，同位角相等”這個命題，如果只采用測量的方法.只能測量有限個兩平行直線的同位角是相等的.但采用推理方法證明兩平行直線的同位角相等，那么就可以確信任意兩平行直線的同位角相等.
（4）注意：證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”.①論據必須是真命題，如：定義、公理、已經學過的定理和巳知條件；②論據的真實性不能依賴于論證的真實性；③論據應是論題的充足理由.
2、逐步滲透數學證明的思想：
（1）加強數學推理(證明)的語言訓練使學生做到，能用準確的語言表述學過的概念和命題，即進行語言準確性訓練；能學會一些基本的推理論證語言，如“因為……，所以……”句式，“如果……，那么……”句式等等；提高符號語言的識別和表達能力，例如，把要證明的命題結合圖形，用已知，求證的形式寫出來.
�。�2）提高學生的“圖形”能力，包括利用大綱允許的工具畫圖(垂線、平行線)的能力和在對要證命題的理解(如分清題設、結論)的基礎上，畫出要證明的命題的圖形的能力，后一點尤其重要，一般通過圖形易于弄清命題并找出證明的方法.
（3）加強各種推理訓練，一般應先使學生從“模仿”教科書的形式開始訓練.首先是用自然語言敘述只有一步推理的過程，然后用簡化的“三段論”方法表述出這一過程，再進行有兩步推理的過程的模仿；最后，在學完“命題、定理、證明”一單元后，總結證明的一般步驟，并進行多至三、四步的推理.在以上訓練中，每一步推理的后面都應要求填注推理根據，這既可訓練良好的推理習慣，又有助于掌握學過的命題.
教學目標 ：
1、了解證明的必要性，知道推理要有依據；熟悉綜合法證明的格式，能說出證明的步驟.
2、能用符號語言寫出一個命題的題設和結論.
3、通過對真命題的分析，加強推理能力的訓練，培養學生邏輯思維能力.
教學重點：證明的步驟與格式.
教學難點 ：將文字語言轉化為幾何符號語言.
教學過程 ：
一、復習提問
1、命題“兩直線平行，內錯角相等”的題設和結論各是什么？
2、根據題設，應畫出什么樣的圖形？（答：兩條平行線a、b被第三條直線c所截）
3、結論的內容在圖中如何表示？（答：在圖中標出一對內錯角，并用符號表示）
二、例題分析
例1、 證明：兩直線平行，內錯角相等.
已知：a∥b，c是截線.
求證：∠1＝∠2.
分析：要證∠1＝∠2，
只要證∠3＝∠2即可，因為
∠3與∠1是對頂角，根據平行線的性質，
易得出∠3＝∠2.
證明：∵a∥b（已知），
∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）.
∵∠1＝∠3（對頂角相等），
∴∠1＝∠2（等量代換）.
例2、 證明：鄰補角的平分線互相垂直.
已知：如圖，∠AOB＋∠BOC＝180°，
OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求證：OE⊥OF.
分析：要證明OE⊥OF，只要證明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可.
證明：∵OE平分∠AOB，
∴∠1＝ ∠AOB，同理 ∠2＝ ∠BOC，
∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC）＝ ∠AOC＝90° ，∴OE⊥OF（垂直定義）.
三、課堂練習：
1、平行于同一條直線的兩條直線平行.
2、兩條平行線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行.
四、歸納小結
主要通過學生回憶本節課所學內容，從知識、技能、數學思想方法等方面加以歸納，有利于學生掌握、運用知識.然后見投影儀.
五、布置作業
課本P143 5、（2）,7.
六、課后思考：
1、垂直于同一條直線的兩條直線的位置關系怎樣？
2、兩條平行線被第三條直線所截，內錯角的平分線位置關系怎樣？
3、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角的平分線位置關系怎樣？
數學教案－定理與證明 篇2
一、教學目標
1.了解“證明”的必要性和推理過程中要步步有據.
2.了解綜合法證明的格式和步驟.
3.通過一些簡單命題的證明，初步訓練學生的邏輯推理能力.
4.通過證明步驟中由命題畫出圖形，寫出已知、求證的過程，繼續訓練學生由幾何語句正確畫出幾何圖形的能力.
5.通過舉例判定一個命題是假命題，使學生學會反面思考問題的方法.
二、學法引導
1.教師教法：嘗試指導，引導發現與討論相結合.
2.學生學法：在教師的指導下，積極思維，主動發現.
三、重點·難點及解決辦法
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證明的步驟和格式是本節重點.
�。ǘ╇y點
理解命題，分清其題設和結論，正確對照命題畫出圖形，寫出已知、求證.
（三）解決辦法
通過學生分組討論，教師歸納得出證明的步驟和格式，再以練習加以鞏固，解決重點、難點及疑點.
四、課時安排
l課時
五、教具學具準備
投影儀、三角板、自制膠片.
六、師生互動活動設計
1.通過引例創設情境，點題，引入新課.
2.通過情境教學，學生分組討論，歸納總結及練習鞏固等手段完成新授.
3.通過提問的形式完成小結.
七、教學步驟
�。ǎ┟鞔_目標
使學生嚴密推理過程，掌握推理格式，提高推理能力。
�。ǘ┱w感知
以情境設計，引出課題，引導討論，例題示范講解新知，以練習鞏固新知.
（三）教學過程
創設情境，引出課題
師：上節課我們學習了定理與證明，了解了這兩個概念.并以證明“兩直線平行，內錯角相等”來說明什么是證明.我們再看這一命題的證明（投影出示）.
例1 已知：如圖1， ， 是截線，求證： .
證明：∵ （已知），∴ （兩直線平行，同位角相等）.
∵ （對項角相等），∴ （等量代換）.
這節課我們分析這一命題的證明過程，學習命題證明的步驟和格式.
�。郯鍟�2.9 定理與證明
探究新知
1.命題證明步驟
學生活動：由學生分組討論以上命題的證明過程，按自己的理解說出證明一個命題都需要哪幾步.
【教法說明】根據上一節“兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明過程讓學生討論、分析、歸納命題證明的一般步驟，一是可以加深對命題證明的理解，二是培養學生歸納總結能力。在總結步驟時，學生所說的層次不一定有邏輯性，或不太嚴密，教師要注意引導，使學生分清命題證明幾個步驟的先后層次.
根據學生討論，回答結果.教師歸納小結，師生共同得出證明命題的步驟（出示投影）：
第一步，畫出命題的圖形.
先根據命題的題設即已知條件，畫出圖形，再把命題的結論即求證的內容在圖上標出.還要根據證明的需要，在圖上標出必要的字母或符號，以便于敘述或推理過程的表達.
第二步，結合圖形寫出已知、求證.
把命題的題設化為幾何符號的語言寫在已知中，命題的結論轉化為幾何符號的語言寫在求證中.
第三步，經過分析，找出由已知推得求證的途徑，寫出推理的過程.
學生活動：結合“兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明，理解以上命題證明的一般步驟（給學生一定時間理解記憶）.
【教法說明】在以上第二個步驟中，將文字語言轉化為符號語言是教學中的難點，要注意在練習中加強輔導，第三步由學生獨立完成有困難，要逐步培養訓練，現階段暫不要求學生獨立完成.
反饋練習：（1）畫出證明命題“兩直線平行，同旁內角互補”時的圖形，寫出已知、求證.
（2）課本第112頁A組第5題.
【教法說明】由學生依照例1“兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明畫出圖形，寫出已知、求證，鞏固命題證明的第一、二步.
2.命題的證明
例2 證明：鄰補角的平分線互相垂直.
【教法說明】此例題完全放手讓學生獨立完成有一定困難，但教師也不能包辦代替，最好通過讓學生分步討論，同桌互相磋商，分步完成的方法，使學生對命題證明的每一步都進一步理解，教師可以給學生指明思考步驟.
（1）分析命題的題設與結論，畫出命題證明所需要的圖形.
鄰補角用圖2表示：
圖2
添畫鄰補角的平分線，見圖3：
圖3
（2）根據命題的題設與結論寫出已知、求證.鄰補角用幾何符號語言提示： ，角平分線用幾何符號語言表示： ， ，求證鄰補角平分錢互相垂直，用符號語言表示： .
（3）分析由已知誰出求證途徑，寫出證明過程.
有什么結論后可得 （ ），由已知可以推導 嗎？學生討論思考.
【教法說明】以上步驟的完成教師只提供思路，具體結論的得出與操作要由學生獨立完成.找一個學生到黑板上板演，其他同學在練習本上寫出完成整過程.
已知：如圖， ， ， .
求證：
證明：∵ （已知），又∵ ， （已知），∴ .
∴ （垂直定義）.
證明完成后提醒學生注意以下幾點：
①要證明的是一個簡單敘述的命題，題設和結論不明顯，可以先根據題意畫出圖形.如例2，結合圖形分析命題的題設和結論.
②在寫已知、求證的內容時，要將文字語言轉化為符號語言來表示，轉化時的寫法也不是惟一的，要根據使用的方便來寫，如： 與 互為鄰補角，在已知中寫為 ，角平分線有幾種表示方法，如 是 的平分線， ， ，根據此題寫成 較好，方便于下面的推理計算.
�、蹖γ}的分析、畫圖，如何推理的思考過程，證明時不必寫出來，不屬于證明內容.
反饋練習：按證明命題的步驟證明：“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么內錯角相等.”
【教法說明】由學生獨立完成，找學生板演，發現問題教師及時糾正.
3.判定一個命題是假命題的方法
師：以上我們的推理是說明一個命題是真命題的判定方法.那么如何判定一個命題是假命題呢？如“相等的角是對項角”，同學們都知道這是一個假命題，如何說明它是一個假命題呢？誰能試著說明一下？
【教法說明】教師先不告訴學生判定一個命題是假命題的方法，而是由很明顯的“相等角是對頂角”這一假命題，讓學生自己嘗試著去說明，體驗從反面去說明一個問題的方法，然后教師歸納小結.
根據學生說明，教師小結：
判定一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可，也就是說你所舉命題符合命題的題設，但不滿足結論.如“同位角相等”可如圖， 與 是同位角但不相等就說明“同位角相等是假命題”.
反饋練習：課本第111頁習題2.3A組第4題.
【教法說明】在做以上練習時一定讓學生學會從反面思考問題的方法，再就是要澄清一些錯誤的概念.
反饋練習
投影出示以下練習：
1.指出下列命題的題設和結論
�。�1）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.
（2）兩個角的和等于直角，這兩個角互為余角.
�。�3）對項角相等.
�。�4）同角或等角的余角相等.
2.畫圖，寫出已知，求證（不證明）
�。�1）同垂直于一條直線的兩條直線平行.
（2）兩條平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行.
3.抄寫下題并填空
已知：如圖， .
求證： .
證明：∵ （ ），
∴ （ ）.
∴ （ ）.
【教法說明】以上練習讓學生獨立完成，第1題主要是訓練學生分清命題的題設和結論；第2題是訓練學生把命題轉化為幾何語言、幾何圖形的能力；第3題是讓學生進一步體會命題證明的三個步驟.
總結、擴展
以提問的形式歸納出本節課的知識結構：
八、布置作業
（－）必做題
課本第110頁習題2.3A組第3（2）、（3）、（4）題.
�。ǘ┧伎碱}
課本第112頁B組第l、2題.
作業 答案
A組（略）
B組1.已知兩直線平行，同旁內角互補。
�。▋芍本�平行，同旁內角互補） （同角的補角相等）.
2.已知：如圖， ， 、 分別平分 與 .求證： .