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數學教案-定理與證明(二)

數學教案-定理與證明(二)

一、教學目標 

1.了解“證明”的必要性和推理過程中要步步有據.

2.了解綜合法證明的格式和步驟.

3.通過一些簡單命題的證明,初步訓練學生的邏輯推理能力.

4.通過證明步驟中由命題畫出圖形,寫出已知、求證的過程,繼續訓練學生由幾何語句正確畫出幾何圖形的能力.

5.通過舉例判定一個命題是假命題,使學生學會反面思考問題的方法.

二、學法引導

1.教師教法:嘗試指導,引導發現與討論相結合.

2.學生學法:在教師的指導下,積極思維,主動發現.

三、重點·難點及解決辦法

(-)重點

證明的步驟和格式是本節重點.

(二)難點

理解命題,分清其題設和結論,正確對照命題畫出圖形,寫出已知、求證.

(三)解決辦法

通過學生分組討論,教師歸納得出證明的步驟和格式,再以練習加以鞏固,解決重點、難點及疑點.

四、課時安排

l課時

五、教具學具準備

投影儀、三角板、自制膠片.

六、師生互動活動設計

1.通過引例創設情境,點題,引入新課.

2.通過情境教學,學生分組討論,歸納總結及練習鞏固等手段完成新授.

3.通過提問的形式完成小結.

七、教學步驟 

(-)明確目標

使學生嚴密推理過程,掌握推理格式,提高推理能力。

(二)整體感知

以情境設計,引出課題,引導討論,例題示范講解新知,以練習鞏固新知.

(三)教學過程 

創設情境,引出課題

師:上節課我們學習了定理與證明,了解了這兩個概念.并以證明“兩直線平行,內錯角相等”來說明什么是證明.我們再看這一命題的證明(投影出示).

例1  已知:如圖1, , 是截線,求證: .

證明:∵ (已知),∴ (兩直線平行,同位角相等).

∵ (對項角相等),∴ (等量代換).

這節課我們分析這一命題的證明過程,學習命題證明的步驟和格式.

[板書]2.9  定理與證明

探究新知

1.命題證明步驟

學生活動:由學生分組討論以上命題的證明過程,按自己的理解說出證明一個命題都需要哪幾步.

【教法說明】根據上一節“兩直線平行,內錯角相等”這一命題的證明過程讓學生討論、分析、歸納命題證明的一般步驟,一是可以加深對命題證明的理解,二是培養學生歸納總結能力。在總結步驟時,學生所說的層次不一定有邏輯性,或不太嚴密,教師要注意引導,使學生分清命題證明幾個步驟的先后層次.

根據學生討論,回答結果.教師歸納小結,師生共同得出證明命題的步驟(出示投影):

第一步,畫出命題的圖形.

先根據命題的題設即已知條件,畫出圖形,再把命題的結論即求證的內容在圖上標出.還要根據證明的需要,在圖上標出必要的字母或符號,以便于敘述或推理過程的表達.

第二步,結合圖形寫出已知、求證.

把命題的題設化為幾何符號的語言寫在已知中,命題的結論轉化為幾何符號的語言寫在求證中.

第三步,經過分析,找出由已知推得求證的途徑,寫出推理的過程.

學生活動:結合“兩直線平行,內錯角相等”這一命題的證明,理解以上命題證明的一般步驟(給學生一定時間理解記憶).

【教法說明】在以上第二個步驟中,將文字語言轉化為符號語言是教學中的難點,要注意在練習中加強輔導,第三步由學生獨立完成有困難,要逐步培養訓練,現階段暫不要求學生獨立完成.

反饋練習:(1)畫出證明命題“兩直線平行,同旁內角互補”時的圖形,寫出已知、求證.

(2)課本第112頁A組第5題.

【教法說明】由學生依照例1“兩直線平行,內錯角相等”這一命題的證明畫出圖形,寫出已知、求證,鞏固命題證明的第一、二步.

2.命題的證明

例2  證明:鄰補角的平分線互相垂直.

【教法說明】此例題完全放手讓學生獨立完成有一定困難,但教師也不能包辦代替,最好通過讓學生分步討論,同桌互相磋商,分步完成的方法,使學生對命題證明的每一步都進一步理解,教師可以給學生指明思考步驟.

(1)分析命題的題設與結論,畫出命題證明所需要的圖形.

鄰補角用圖2表示:

 
圖2

添畫鄰補角的平分線,見圖3:


圖3

(2)根據命題的題設與結論寫出已知、求證.鄰補角用幾何符號語言提示: ,角平分線用幾何符號語言表示: , ,求證鄰補角平分錢互相垂直,用符號語言表示: .

(3)分析由已知誰出求證途徑,寫出證明過程.

  有什么結論后可得 ( ),由已知可以推導 嗎?學生討論思考.

【教法說明】以上步驟的完成教師只提供思路,具體結論的得出與操作要由學生獨立完成.找一個學生到黑板上板演,其他同學在練習本上寫出完成整過程.

已知:如圖, , , .

求證:

證明:∵ (已知),又∵ , (已知),∴ .

∴ (垂直定義).

證明完成后提醒學生注意以下幾點:

①要證明的是一個簡單敘述的命題,題設和結論不明顯,可以先根據題意畫出圖形.如例2,結合圖形分析命題的題設和結論.

②在寫已知、求證的內容時,要將文字語言轉化為符號語言來表示,轉化時的寫法也不是惟一的,要根據使用的方便來寫,如: 與 互為鄰補角,在已知中寫為 ,角平分線有幾種表示方法,如 是 的平分線, , ,根據此題寫成 較好,方便于下面的推理計算.

③對命題的分析、畫圖,如何推理的思考過程,證明時不必寫出來,不屬于證明內容.

反饋練習:按證明命題的步驟證明:“兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么內錯角相等.”

【教法說明】由學生獨立完成,找學生板演,發現問題教師及時糾正.

3.判定一個命題是假命題的方法

師:以上我們的推理是說明一個命題是真命題的判定方法.那么如何判定一個命題是假命題呢?如“相等的角是對項角”,同學們都知道這是一個假命題,如何說明它是一個假命題呢?誰能試著說明一下?

  【教法說明】教師先不告訴學生判定一個命題是假命題的方法,而是由很明顯的“相等角是對頂角”這一假命題,讓學生自己嘗試著去說明,體驗從反面去說明一個問題的方法,然后教師歸納小結.

根據學生說明,教師小結:

判定一個命題是假命題,只要舉出一個反例即可,也就是說你所舉命題符合命題的題設,但不滿足結論.如“同位角相等”可如圖, 與 是同位角但不相等就說明“同位角相等是假命題”.

反饋練習:課本第111頁習題2.3A組第4題.

【教法說明】在做以上練習時一定讓學生學會從反面思考問題的方法,再就是要澄清一些錯誤的概念.

反饋練習

投影出示以下練習:

1.指出下列命題的題設和結論

(1)兩條平行線被第三條直線所截,同旁內角互補.

(2)兩個角的和等于直角,這兩個角互為余角.

(3)對項角相等.

(4)同角或等角的余角相等.

2.畫圖,寫出已知,求證(不證明)

(1)同垂直于一條直線的兩條直線平行.

(2)兩條平行直線被第三條直線所截,同位角的平分線互相平行.

  3.抄寫下題并填空

已知:如圖, .

求證: .

證明:∵ ( ),

∴ ( ).

∴ ( ).

【教法說明】以上練習讓學生獨立完成,第1題主要是訓練學生分清命題的題設和結論;第2題是訓練學生把命題轉化為幾何語言、幾何圖形的能力;第3題是讓學生進一步體會命題證明的三個步驟.

總結、擴展

以提問的形式歸納出本節課的知識結構:

八、布置作業 

(-)必做題

課本第110頁習題2.3A組第3(2)、(3)、(4)題.

(二)思考題

課本第112頁B組第l、2題.

作業 答案

A組(略)

B組1.已知兩直線平行,同旁內角互補。

(兩直線平行,同旁內角互補) (同角的補角相等).

2.已知:如圖, , 、 分別平分 與 .求證: .

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