數學教案－定理與證明(二)

一、教學目標 

1.了解“證明”的必要性和推理過程中要步步有據.

2.了解綜合法證明的格式和步驟.

3.通過一些簡單命題的證明，初步訓練學生的邏輯推理能力.

4.通過證明步驟中由命題畫出圖形，寫出已知、求證的過程，繼續訓練學生由幾何語句正確畫出幾何圖形的能力.

5.通過舉例判定一個命題是假命題，使學生學會反面思考問題的方法.

二、學法引導

1.教師教法：嘗試指導，引導發現與討論相結合.

2.學生學法：在教師的指導下，積極思維，主動發現.

三、重點·難點及解決辦法

（－）重點

證明的步驟和格式是本節重點.

（二）難點

理解命題，分清其題設和結論，正確對照命題畫出圖形，寫出已知、求證.

（三）解決辦法

通過學生分組討論，教師歸納得出證明的步驟和格式，再以練習加以鞏固，解決重點、難點及疑點.

四、課時安排

l課時

五、教具學具準備

投影儀、三角板、自制膠片.

六、師生互動活動設計

1.通過引例創設情境，點題，引入新課.

2.通過情境教學，學生分組討論，歸納總結及練習鞏固等手段完成新授.

3.通過提問的形式完成小結.

七、教學步驟 

（－）明確目標

使學生嚴密推理過程，掌握推理格式，提高推理能力。

（二）整體感知

以情境設計，引出課題，引導討論，例題示范講解新知，以練習鞏固新知.

（三）教學過程 

創設情境，引出課題

師：上節課我們學習了定理與證明，了解了這兩個概念.并以證明“兩直線平行，內錯角相等”來說明什么是證明.我們再看這一命題的證明（投影出示）.

例1  已知：如圖1， ， 是截線，求證： .

證明：∵ （已知），∴ （兩直線平行，同位角相等）.

∵ （對項角相等），∴ （等量代換）.

這節課我們分析這一命題的證明過程，學習命題證明的步驟和格式.

［板書］2.9  定理與證明

探究新知

1.命題證明步驟

學生活動：由學生分組討論以上命題的證明過程，按自己的理解說出證明一個命題都需要哪幾步.

【教法說明】根據上一節“兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明過程讓學生討論、分析、歸納命題證明的一般步驟，一是可以加深對命題證明的理解，二是培養學生歸納總結能力。在總結步驟時，學生所說的層次不一定有邏輯性，或不太嚴密，教師要注意引導，使學生分清命題證明幾個步驟的先后層次.

根據學生討論，回答結果.教師歸納小結，師生共同得出證明命題的步驟（出示投影）：

第一步，畫出命題的圖形.

先根據命題的題設即已知條件，畫出圖形，再把命題的結論即求證的內容在圖上標出.還要根據證明的需要，在圖上標出必要的字母或符號，以便于敘述或推理過程的表達.

第二步，結合圖形寫出已知、求證.

把命題的題設化為幾何符號的語言寫在已知中，命題的結論轉化為幾何符號的語言寫在求證中.

第三步，經過分析，找出由已知推得求證的途徑，寫出推理的過程.

學生活動：結合“兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明，理解以上命題證明的一般步驟（給學生一定時間理解記憶）.

【教法說明】在以上第二個步驟中，將文字語言轉化為符號語言是教學中的難點，要注意在練習中加強輔導，第三步由學生獨立完成有困難，要逐步培養訓練，現階段暫不要求學生獨立完成.

反饋練習：（1）畫出證明命題“兩直線平行，同旁內角互補”時的圖形，寫出已知、求證.

（2）課本第112頁A組第5題.

【教法說明】由學生依照例1“兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明畫出圖形，寫出已知、求證，鞏固命題證明的第一、二步.

2.命題的證明

例2  證明：鄰補角的平分線互相垂直.

【教法說明】此例題完全放手讓學生獨立完成有一定困難，但教師也不能包辦代替，最好通過讓學生分步討論，同桌互相磋商，分步完成的方法，使學生對命題證明的每一步都進一步理解，教師可以給學生指明思考步驟.

（1）分析命題的題設與結論，畫出命題證明所需要的圖形.

鄰補角用圖2表示：

 
圖2

添畫鄰補角的平分線，見圖3：

圖3

（2）根據命題的題設與結論寫出已知、求證.鄰補角用幾何符號語言提示： ，角平分線用幾何符號語言表示： ， ，求證鄰補角平分錢互相垂直，用符號語言表示： .

（3）分析由已知誰出求證途徑，寫出證明過程.

  有什么結論后可得 （ ），由已知可以推導 嗎？學生討論思考.

【教法說明】以上步驟的完成教師只提供思路，具體結論的得出與操作要由學生獨立完成.找一個學生到黑板上板演，其他同學在練習本上寫出完成整過程.

已知：如圖， ， ， .

求證：

證明：∵ （已知），又∵ ， （已知），∴ .

∴ （垂直定義）.

證明完成后提醒學生注意以下幾點：

①要證明的是一個簡單敘述的命題，題設和結論不明顯，可以先根據題意畫出圖形.如例2，結合圖形分析命題的題設和結論.

②在寫已知、求證的內容時，要將文字語言轉化為符號語言來表示，轉化時的寫法也不是惟一的，要根據使用的方便來寫，如： 與 互為鄰補角，在已知中寫為 ，角平分線有幾種表示方法，如 是 的平分線， ， ，根據此題寫成 較好，方便于下面的推理計算.

③對命題的分析、畫圖，如何推理的思考過程，證明時不必寫出來，不屬于證明內容.

反饋練習：按證明命題的步驟證明：“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么內錯角相等.”

【教法說明】由學生獨立完成，找學生板演，發現問題教師及時糾正.

3.判定一個命題是假命題的方法

師：以上我們的推理是說明一個命題是真命題的判定方法.那么如何判定一個命題是假命題呢？如“相等的角是對項角”，同學們都知道這是一個假命題，如何說明它是一個假命題呢？誰能試著說明一下？

  【教法說明】教師先不告訴學生判定一個命題是假命題的方法，而是由很明顯的“相等角是對頂角”這一假命題，讓學生自己嘗試著去說明，體驗從反面去說明一個問題的方法，然后教師歸納小結.

根據學生說明，教師小結：

判定一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可，也就是說你所舉命題符合命題的題設，但不滿足結論.如“同位角相等”可如圖， 與 是同位角但不相等就說明“同位角相等是假命題”.

反饋練習：課本第111頁習題2.3A組第4題.

【教法說明】在做以上練習時一定讓學生學會從反面思考問題的方法，再就是要澄清一些錯誤的概念.

反饋練習

投影出示以下練習：

1.指出下列命題的題設和結論

（1）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補.

（2）兩個角的和等于直角，這兩個角互為余角.

（3）對項角相等.

（4）同角或等角的余角相等.

2.畫圖，寫出已知，求證（不證明）

（1）同垂直于一條直線的兩條直線平行.

（2）兩條平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行.

  3.抄寫下題并填空

已知：如圖， .

求證： .

證明：∵ （ ），

∴ （ ）.

∴ （ ）.

【教法說明】以上練習讓學生獨立完成，第1題主要是訓練學生分清命題的題設和結論；第2題是訓練學生把命題轉化為幾何語言、幾何圖形的能力；第3題是讓學生進一步體會命題證明的三個步驟.

總結、擴展

以提問的形式歸納出本節課的知識結構：

八、布置作業 

（－）必做題

課本第110頁習題2.3A組第3（2）、（3）、（4）題.

（二）思考題

課本第112頁B組第l、2題.

作業 答案

A組（略）

B組1.已知兩直線平行，同旁內角互補。

（兩直線平行，同旁內角互補） （同角的補角相等）.

2.已知：如圖， ， 、 分別平分 與 .求證： .