運用公式法

教學設計示例

――完全平方公式(1)

教學目標 

1.使學生會分析和判斷一個多項式是否為完全平方式，初步掌握運用完全平方式把多項式分解因式的方法；

2.理解完全平方式的意義和特點，培養學生的判斷能力.

3.進一步培養學生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.

4.通過分解因式的教學，使學生進一步體會“把一個代數式看作一個字母”的換元思想。

教學重點和難點

重點：運用完全平方式分解因式.

難點：靈活運用完全平方公式公解因式.

教學過程 設計

一、復習

1.問：什么叫把一個多項式因式分解?我們已經學習了哪些因式分解的方法?

答：把一個多項式化成幾個整式乘積形式，叫做把這個多項式因式分解.我們學過的因式分解的方法有提取公因式法及運用平方差公式法.

2.把下列各式分解因式：

(1)ax⁴－ax²             (2)16m⁴－n⁴.

解 (1) ax⁴－ax²=ax²(x²－1)=ax²(x+1)(x－1)

   (2) 16m⁴－n⁴=(4m²)²－(n²)²

     =(4m²+n²)(4m²－n²)

     =(4m²+n²)(2m+n)(2m－n).

問：我們學過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?

答：有完全平方公式.

請寫出完全平方公式.

完全平方公式是：

(a+b)²=a²+2ab+b²,   (a－b)²=a²－2ab+b².

這節課我們就來討論如何運用完全平方公式把多項式因式分解.

二、新課

和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到

a²+2ab+b²=(a+b)²；    a²－2ab+b²=(a－b)².

這就是說，兩個數的平方和，加上(或者減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或者差)的平方.式子a²+2ab+b²及a²－2ab+b²叫做完全平方式，上面的兩個公式就是完全平方公式.運用這兩個式子，可以把形式是完全平方式的多項式分解因式.

問：具備什么特征的多項是完全平方式?

答：一個多項式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個式子(或數)的平方，并且這兩部分的符號都是正號，第三部分是上面兩個式子(或數)的乘積的二倍，符號可正可負，像這樣的式子就是完全平方式.

問：下列多項式是否為完全平方式?為什么?

(1)x²+6x+9； (2)x²+xy+y²；

(3)25x⁴－10x²+1； (4)16a²+1.

答：(1)式是完全平方式.因為x²與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以

x²+6x+9=(x+3) .

(2)不是完全平方式.因為第三部分必須是2xy.

(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以

25x －10x +1=(5x－1) .

(4)不是完全平方式.因為缺第三部分.

請同學們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項式9x2+6xy+y2中的對應項，其中a=?b=?2ab=?

答：完全平方公式為：

其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.

例1  把25x⁴+10x²+1分解因式.

分析：這個多項式是由三部分組成，第一項“25x⁴”是(5x²)的平方，第三項“1”是1的平方，第二項“10x²”是5x²與1的積的2倍.所以多項式25x⁴+10x²+1是完全平方式，可以運用完全平方公式分解因式.

解 25x⁴+10x²+1=(5x²)²+2·5x²·1+1²=(5x²+1)².

例2 把1－ m+ 分解因式.

問：請同學分析這個多項式的特點，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?

答：這個多項式由三部分組成，第一項“1”是1的平方，第三項“ ”是 的平方，第二項“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數，因此這個多項式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.

解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）²=（1－ ）².

解法2 先提出 ，則

1－ m+ = (16－8m+m²)

=  (4²－2·4·m+m²)

= (4－m)².
三、課堂練習(投影)

1.填空：

(1)x²－10x+（ ）²=（ ）²；

(2)9x²+（ ）+4y²=（ ）²；

(3)1－（ ）+m²/9=（ ）².

2.下列各多項式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，請把多

項式改變為完全平方式.

(1)x²－2x+4； (2)9x²+4x+1； (3)a²－4ab+4b²；

(4)9m²+12m+4； (5)1－a+a²/4.

3.把下列各式分解因式：

(1)a²－24a+144； (2)4a²b²+4ab+1；

(3)19x²+2xy+9y²； (4)14a²－ab+b².

答案：

1.(1)25，(x－5) ²； (2)12xy，(3x+2y) ²； (3)2m/3，（1－m3）².

2.(1)不是完全平方式，如果把第二項的“－2x”改為“－4x”，原式就變為x²－4x+4，它是完全平方式；或把第三項的“4”改為1，原式就變為x²－2x+1，它是完全平方式.

(2)不是完全平方式，如果把第二項“4x”改為“6x”，原式變為9x²+6x+1，它是完全平方式.

(3)是完全平方式，a²-4ab+4b²=(a－2b)².

(4)是完全平方式，9m²+12m+4=(3m+2) ².

(5)是完全平方式，1－a+a²/4=（1－a²）2.

3.(1)(a－12) ²； (2)(2ab+1) ²；

  (3)(13x+3y) ²； (4)（12a－b）².

四、小結

運用完全平方公式把一個多項式分解因式的主要思路與方法是：

1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項式是否為一個完全平方式，如果這個多項式是一個完全平方式，再運用完全平方公式把它進行因式分解.有時需要先把多項式經過適當變形，得到一個完全平方式，然后再把它因式分解.

2.在選用完全平方公式時，關鍵是看多項式中的第二項的符號，如果是正號，則用公式a²+2ab+b²=(a+b) ²；如果是負號，則用公式a²－2ab+b²=(a－b) ².

五、作業 

把下列各式分解因式：

1.(1)a²+8a+16； (2)1－4t+4t²；

  (3)m²－14m+49； (4)y²+y+1/4.

2.(1)25m²－80m+64； (2)4a²+36a+81；

  (3)4p²－20pq+25q²； (4)16－8xy+x2y2；

(5)a²b²－4ab+4；         (6)25a⁴－40a²b²+16b⁴.

3.(1)m²ⁿ－2mⁿ+1； (2)7a^m+1－14a^m+7a^m－1；

4.(1) x －4x； (2)a⁵+a⁴+ a³.

答案：

1.(1)(a+4)²； (2)(1－2t)²；

(3)(m－7) ²； (4)（y+12）².

2.(1)(5m－8) ²； (2)(2a+9) ²；

(3)(2p－5q) ²； (4)(4－xy) ²；

(5)(ab－2) ²； (6)(5a2－4b2) ².

3.(1)(mⁿ－1) ²； (2)7a^m－1(a－1) ².

4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a³ (2a+1) ².

課堂教學設計說明

1.利用完全平方公式進行多項式的因式分解是在學生已經學習了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎上進行的，因此在教學設計中，重點放在判斷一個多項式是否為完全平方式上，采取啟發式的教學方法，引導學生積極思考問題，從中培養學生的思維品質.

2.本節課要求學生掌握完全平方公式的特點和靈活運用公式把多項式進行因式分解的方法.在教學設計中安排了形式多樣的課堂練習，讓學生從不同側面理解完全平方公式的特點.例1和例2的講解可以在老師的引導下，師生共同分析和解答，使學生當堂能夠掌握運用平方公式進行完全因式分解的方法.