22.2.3 公式法（通用15篇）
22.2.3 公式法 篇1
教學內容
1.一元二次方程求根公式的推導過程；
2.公式法的概念；
3.利用公式法解一元二次方程.
教學目標
理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用公式法解一元二次方程.
復習具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推導公式，并應用公式法解一元二次方程.
重難點關鍵
1.重點：求根公式的推導和公式法的應用.
2.難點與關鍵：一元二次方程求根公式法的推導.
教學過程
一、復習引入
�。▽W生活動）用配方法解下列方程
�。�1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
（老師點評） （1）移項，得：6x2-7x=-1
二次項系數(shù)化為1，得：x2- x=-
配方，得：x2- x+（ ）2=- +（ ）2
�。▁- ）2=
x- =± x1= + = =1
x2=- + = =
�。�2）略
總結用配方法解一元二次方程的步驟（學生總結，老師點評）.
�。�1）移項；
�。�2）化二次項系數(shù)為1；
（3）方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方；
（4）原方程變形為（x+m）2=n的形式；
�。�5）如果右邊是非負數(shù)，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負數(shù)，則一元二次方程無解.
二、探索新知
如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題.
問題：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，試推導它的兩個根x1= ，x2=
分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a、b、c也當成一個具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去.
解：移項，得：ax2+bx=-c
二次項系數(shù)化為1，得x2+ x=-
配方，得：x2+ x+（ ）2=- +（ ）2
即（x+ ）2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0
∴ ≥0
直接開平方，得：x+ =±
即x=
∴x1= ，x2=
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此：
�。�1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b-4ac≥0時，將a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.
�。�2）這個式子叫做一元二次方程的求根公式.
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
�。�4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.
例1.用公式法解下列方程.
�。�1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
�。�3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后代入公式即可.
解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
x=
∴x1= ，x2=
�。�2）將方程化為一般形式
3x2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
x=
x1=2，x2=-
（3）將方程化為一般形式
3x2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴x=
∴x1= ，x2=
�。�3）a=4，b=-3，c=1
b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0
因為在實數(shù)范圍內，負數(shù)不能開平方，所以方程無實數(shù)根.
三、應用拓展
例2.某數(shù)學興趣小組對關于x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0提出了下列問題.
�。�1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.
�。�2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出.
你能解決這個問題嗎？
分析：能.（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+1=2，同時還要滿足（m+1）≠0.
（2）要使它為一元一次方程，必須滿足:① 或② 或③
解：（1）存在.根據(jù)題意，得：m2+1=2
m2=1 m=±1
當m=1時，m+1=1+1=2≠0
當m=-1時，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去）
∴當m=1時，方程為2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=，x2=-
因此，該方程是一元二次方程時，m=1，兩根x1=1，x2=- .
（2）存在.根據(jù)題意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因為當m=0時，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0滿足題意.
�、诋攎2+1=0，m不存在.
�、郛攎+1=0，即m=-1時，m-2=-3≠0
所以m=-1也滿足題意.
當m=0時，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
當m=-1時，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此，當m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當m=0時，其根為x=-1；當m=-1時，其一元一次方程的根為x=- .
四、歸納小結
本節(jié)課應掌握：
�。�1）求根公式的概念及其推導過程；
�。�2）公式法的概念；
�。�3）應用公式法解一元二次方程；
�。�4）初步了解一元二次方程根的情況.
五、作業(yè)
一、選擇題
1.用公式法解方程4x2-12x=3，得到（ ）.
a.x= b.x= c.x= d.x=
2.方程 x2+4 x+6 =0的根是（ ）.
a.x1= ，x2= b.x1=6，x2= c.x1=2 ，x2= d.x1=x2=-
3.（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（ ）.
a.4 b.-2 c.4或-2 d.-4或2
二、填空題
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，條件是________.
2.當x=______時，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4.
3.若關于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_____.
三、綜合提高題
1.用公式法解關于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.
2.設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，（1）試推導x1+x2=- ，x1·x2= ；（2）求代數(shù)式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值.
3.某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民一個月用電量不超過a千瓦時，那么這戶居民這個月只交10元電費，如果超過a千瓦時，那么這個月除了交10元用電費外超過部分還要按每千瓦時 元收費.
（1）若某戶2月份用電90千瓦時，超過規(guī)定a千瓦時，則超過部分電費為多少元？（用a表示）
（2）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況
月份
用電量（千瓦時）
交電費總金額（元）
3
80
25
4
45
10
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求電廠規(guī)定的a值為多少？
答案:
一、1.d 2.d 3.c
二、1.x= ，b2-4ac≥0 2.4 3.-3
三、
1.x= =a±│b│
2.
�。�1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，∴x1= ，x2=
∴x1+x2= =- ，x1·x2= · =
�。�2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的兩根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
=0
3.（1）超過部分電費=（90-a）· =- a2+ a （2）依題意，得：（80-a）· =15，a1=30（舍去），a2=50
22.2.3 公式法 篇2
教學內容： 12.1 用公式解一元二次方程（一）
教學目標 ：
知識與技能目標：1.使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；2.掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.
過程與方法目標： 1.通過一元二次方程的引入，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力；2.通過一元二次方程概念的學習，培養(yǎng)學生對概念理解的完整性和深刻性.
情感與態(tài)度目標：由知識來源于實際，樹立轉化的思想，由設未知數(shù)列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識.。
教學重、難點與關鍵：
重點：一元二次方程的意義及一般形式.
難點：正確識別一般式中的“項”及“系數(shù)”。
教輔工具：
教學程序設計：
程序
教師活動
學生活動
備注
創(chuàng)設
問題
情景
1.用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程.學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養(yǎng)學生手、腦、眼并用的能力.
2.現(xiàn)有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，那么應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？
教師啟發(fā)學生設未知數(shù)、列方程，經整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不會解，說明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題.
板書：“第十二章一元二次方程”.教師恰當?shù)恼Z言，激發(fā)學生的求知欲和學習興趣.
學生看投影并思考問題
通過章前引例和節(jié)前引例，使學生真正認識到知識來源于實際，并且又為實際服務，學習了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數(shù)學的意義；產生用數(shù)學的意識，調動學生積極主動參與數(shù)學活動中.同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.
探
究
新
知
1
1.復習提問
（1）什么叫做方程？曾學過哪些方程？
�。�2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？
�。�3）什么叫做分式方程？
2.引例：剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？
引導，啟發(fā)學生設未知數(shù)列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念.
整式方程：方程的兩邊都是關于未知數(shù)的整式，這樣的方程稱為整式方程.
一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程.
3.練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
�。�1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；
（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；
�。�3）
�。�4）6x2＝x；
（5）2x2＝5y；
�。�6）-x2＝0
4.任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式.
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.ax2稱二次項，bx稱一次項，c稱常數(shù)項，a稱二次項系數(shù)，b稱一次項系數(shù).
一般式中的“a≠0”為什么？如果a＝0，則ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解.
5.例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并寫出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項？
教師邊提問邊引導，板書并規(guī)范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式.
討論后回答
學生設未知數(shù)列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，
獨立完成
加深理解
學生試解
問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊
反饋
訓練
應用
提高
練習1：教材P.5中1，2.
練習2：下列關于x的方程是否是一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項：.
�。�4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx.
教師提問及恰當?shù)囊龑�，對學生回答給出評價，通過此組練習，加強對概念的理解和深化.
要求多數(shù)學生在練習本上筆答，部分學生板書，師生評價.題目答案不唯一，最好二次項系數(shù)化為正數(shù).
小結
提高
（四）總結、擴展
引導學生從下面三方面進行小結.從方法上學到了什么方法？從知識內容上學到了什么內容？分清楚概念的區(qū)別和聯(lián)系？
1.將實際問題用設未知數(shù)列方程轉化為數(shù)學問題，體會知識來源于實際以及轉化為方程的思想方法.
2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.歸納所學過的整式方程.
3.一元二次方程的意義與一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的區(qū)別和聯(lián)系.強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義.
學生討論回答
布置
作業(yè)
1.教材P.6 練習2.
2.思考題：
1）能不能說“關于x的整式方程中，含有x2項的方程叫做一元二次方程？”
2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學有余力的學生思考）.
反
思
22.2.3 公式法 篇3
教學設計示例
運用公式法――完全平方公式(1)
教學目標
1.使學生會分析和判斷一個多項式是否為完全平方式，初步掌握運用完全平方式把多項式分解因式的方法；
2.理解完全平方式的意義和特點，培養(yǎng)學生的判斷能力.
3.進一步培養(yǎng)學生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.
4.通過運用公式法分解因式的教學，使學生進一步體會“把一個代數(shù)式看作一個字母”的換元思想。
教學重點和難點
重點：運用完全平方式分解因式.
難點：靈活運用完全平方公式公解因式.
教學過程 設計
一、復習
1.問：什么叫把一個多項式因式分解?我們已經學習了哪些因式分解的方法?
答：把一個多項式化成幾個整式乘積形式，叫做把這個多項式因式分解.我們學過的因式分解的方法有提取公因式法及運用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式：
(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4.
解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)
(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2
=(4m2+n2)(4m2－n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).
問：我們學過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?
答：有完全平方公式.
請寫出完全平方公式.
完全平方公式是：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.
這節(jié)課我們就來討論如何運用完全平方公式把多項式因式分解.
二、新課
和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2.
這就是說，兩個數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個公式就是完全平方公式.運用這兩個式子，可以把形式是完全平方式的多項式分解因式.
問：具備什么特征的多項是完全平方式?
答：一個多項式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號都是正號，第三部分是上面兩個式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號可正可負，像這樣的式子就是完全平方式.
問：下列多項式是否為完全平方式?為什么?
(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；
(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.
答：(1)式是完全平方式.因為x2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以
x2+6x+9=(x+3) .
(2)不是完全平方式.因為第三部分必須是2xy.
(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以
25x －10x +1=(5x－1) .
(4)不是完全平方式.因為缺第三部分.
請同學們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項式9x2+6xy+y2中的對應項，其中a=?b=?2ab=?
答：完全平方公式為：
其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.
例1 把25x4+10x2+1分解因式.
分析：這個多項式是由三部分組成，第一項“25x4”是(5x2)的平方，第三項“1”是1的平方，第二項“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運用完全平方公式分解因式.
解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.
例2 把1－ m+ 分解因式.
問：請同學分析這個多項式的特點，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?
答：這個多項式由三部分組成，第一項“1”是1的平方，第三項“ ”是 的平方，第二項“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù)，因此這個多項式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.
解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2.
解法2 先提出 ，則
1－ m+ = (16－8m+m2)
= (42－2·4·m+m2)
= (4－m)2.
三、課堂練習(投影)
1.填空：
(1)x2－10x+（ ）2=（ ）2；
(2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2；
(3)1－（ ）+m2/9=（ ）2.
2.下列各多項式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，請把多
項式改變?yōu)橥耆椒绞?
(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；
(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4.
3.把下列各式分解因式：
(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；
(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2.
答案：
1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.
2.(1)不是完全平方式，如果把第二項的“－2x”改為“－4x”，原式就變?yōu)閤2－4x+4，它是完全平方式；或把第三項的“4”改為1，原式就變?yōu)閤2－2x+1，它是完全平方式.
(2)不是完全平方式，如果把第二項“4x”改為“6x”，原式變?yōu)?x2+6x+1，它是完全平方式.
(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.
(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.
(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.
3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；
(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.
四、小結
運用完全平方公式把一個多項式分解因式的主要思路與方法是：
1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項式是否為一個完全平方式，如果這個多項式是一個完全平方式，再運用完全平方公式把它進行因式分解.有時需要先把多項式經過適當變形，得到一個完全平方式，然后再把它因式分解.
2.在選用完全平方公式時，關鍵是看多項式中的第二項的符號，如果是正號，則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是負號，則用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.
五、作業(yè)
把下列各式分解因式：
1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；
(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.
2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；
(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；
(5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4.
3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；
4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3.
答案：
1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；
(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2.
2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；
(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；
(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.
3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2.
4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2.
課堂教學設計說明
1.利用完全平方公式進行多項式的因式分解是在學生已經學習了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎上進行的，因此在教學設計中，重點放在判斷一個多項式是否為完全平方式上，采取啟發(fā)式的教學方法，引導學生積極思考問題，從中培養(yǎng)學生的思維品質.
2.本節(jié)課要求學生掌握完全平方公式的特點和靈活運用公式把多項式進行因式分解的方法.在教學設計中安排了形式多樣的課堂練習，讓學生從不同側面理解完全平方公式的特點.例1和例2的講解可以在老師的引導下，師生共同分析和解答，使學生當堂能夠掌握運用平方公式進行完全因式分解的方法.
22.2.3 公式法 篇4
教學設計示例
――完全平方公式(1)
教學目標
1.使學生會分析和判斷一個多項式是否為完全平方式，初步掌握運用完全平方式把多項式分解因式的方法；
2.理解完全平方式的意義和特點，培養(yǎng)學生的判斷能力.
3.進一步培養(yǎng)學生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.
4.通過分解因式的教學，使學生進一步體會“把一個代數(shù)式看作一個字母”的換元思想。
教學重點和難點
重點：運用完全平方式分解因式.
難點：靈活運用完全平方公式公解因式.
教學過程 設計
一、復習
1.問：什么叫把一個多項式因式分解?我們已經學習了哪些因式分解的方法?
答：把一個多項式化成幾個整式乘積形式，叫做把這個多項式因式分解.我們學過的因式分解的方法有提取公因式法及運用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式：
(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4.
解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)
(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2
=(4m2+n2)(4m2－n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).
問：我們學過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?
答：有完全平方公式.
請寫出完全平方公式.
完全平方公式是：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.
這節(jié)課我們就來討論如何運用完全平方公式把多項式因式分解.
二、新課
和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2.
這就是說，兩個數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個公式就是完全平方公式.運用這兩個式子，可以把形式是完全平方式的多項式分解因式.
問：具備什么特征的多項是完全平方式?
答：一個多項式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號都是正號，第三部分是上面兩個式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號可正可負，像這樣的式子就是完全平方式.
問：下列多項式是否為完全平方式?為什么?
(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；
(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.
答：(1)式是完全平方式.因為x2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以
x2+6x+9=(x+3) .
(2)不是完全平方式.因為第三部分必須是2xy.
(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以
25x －10x +1=(5x－1) .
(4)不是完全平方式.因為缺第三部分.
請同學們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項式9x2+6xy+y2中的對應項，其中a=?b=?2ab=?
答：完全平方公式為：
其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.
例1 把25x4+10x2+1分解因式.
分析：這個多項式是由三部分組成，第一項“25x4”是(5x2)的平方，第三項“1”是1的平方，第二項“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運用完全平方公式分解因式.
解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.
例2 把1－ m+ 分解因式.
問：請同學分析這個多項式的特點，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?
答：這個多項式由三部分組成，第一項“1”是1的平方，第三項“ ”是 的平方，第二項“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù)，因此這個多項式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.
解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2.
解法2 先提出 ，則
1－ m+ = (16－8m+m2)
= (42－2·4·m+m2)
= (4－m)2.
三、課堂練習(投影)
1.填空：
(1)x2－10x+（ ）2=（ ）2；
(2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2；
(3)1－（ ）+m2/9=（ ）2.
2.下列各多項式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，請把多
項式改變?yōu)橥耆椒绞?
(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；
(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4.
3.把下列各式分解因式：
(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；
(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2.
答案：
1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.
2.(1)不是完全平方式，如果把第二項的“－2x”改為“－4x”，原式就變?yōu)閤2－4x+4，它是完全平方式；或把第三項的“4”改為1，原式就變?yōu)閤2－2x+1，它是完全平方式.
(2)不是完全平方式，如果把第二項“4x”改為“6x”，原式變?yōu)?x2+6x+1，它是完全平方式.
(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.
(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.
(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.
3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；
(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.
四、小結
運用完全平方公式把一個多項式分解因式的主要思路與方法是：
1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項式是否為一個完全平方式，如果這個多項式是一個完全平方式，再運用完全平方公式把它進行因式分解.有時需要先把多項式經過適當變形，得到一個完全平方式，然后再把它因式分解.
2.在選用完全平方公式時，關鍵是看多項式中的第二項的符號，如果是正號，則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是負號，則用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.
五、作業(yè)
把下列各式分解因式：
1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；
(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.
2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；
(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；
(5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4.
3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；
4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3.
答案：
1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；
(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2.
2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；
(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；
(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.
3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2.
4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2.
課堂教學設計說明
1.利用完全平方公式進行多項式的因式分解是在學生已經學習了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎上進行的，因此在教學設計中，重點放在判斷一個多項式是否為完全平方式上，采取啟發(fā)式的教學方法，引導學生積極思考問題，從中培養(yǎng)學生的思維品質.
2.本節(jié)課要求學生掌握完全平方公式的特點和靈活運用公式把多項式進行因式分解的方法.在教學設計中安排了形式多樣的課堂練習，讓學生從不同側面理解完全平方公式的特點.例1和例2的講解可以在老師的引導下，師生共同分析和解答，使學生當堂能夠掌握運用平方公式進行完全因式分解的方法.
22.2.3 公式法 篇5
一、教材分析
�。ㄒ唬┙滩膬热�
本節(jié)內容是在學生了解了因式分解的基本概念，了解了與整式乘法的相互關系，并學會用提公因式法之后的新的一種因式分解方法。
（二）地位作用
因式分解是進行代數(shù)式恒等變形的重要手段之一，因式分解是在學習整式四則運算的基礎上進行的，它不僅在多項式的除法、簡便運算中等有直接的應用，也為以后學習分式的約分與通分、解一元二次方程及函數(shù)的恒等變形提供了必要的基礎，因此學好因式分解對于代數(shù)知識的后續(xù)學習，具有相當重要的意義。
二、目標分析知識技能：
1、掌握用平方差公式分解因式的方法；
2、掌握提公因式法，平方差公式法分解因式綜合應用；
3、能利用平方差公式法解決實際問題。
數(shù)學思考：
經歷探究分解因式方法的過程，體會整式乘法與分解因式之間的聯(lián)系。
解決問題：
通過對公式的探究，深刻理解公式的應用，并會熟練應用公式解決問題。
情感態(tài)度：
通過探究平方差公式特點，并根據(jù)公式自己解決問題的過程，讓學生獲得成功的體驗，培養(yǎng)合作交流意識。
三、重、難點分析
重點：應用平方差公式分解因式。
難點：平方差公式的推導及高次指數(shù)的轉化、兩種因式分解方法（提公因式法、平方差公式）的靈活應用。
四、教法學法分析
教法設計：以學生的發(fā)展為出發(fā)點，采用引導發(fā)現(xiàn)法進行授課；從學生活動出發(fā)，以舊引新。講練結合，體現(xiàn)教與學的統(tǒng)一。教學過程中采用試一試、想一想、做一做等欄目的設置激發(fā)學生的學習熱情。
學法指導：學生用觀察類比歸納法、合作探究法來學習本節(jié)內容。
22.2.3 公式法 篇6
一、教學目標
1.使學生理解二次三項式的意義；知道二次三項式的因式分解與一元二次方程的關系；
2.使學生會利用一元二次方程的求根公式在實數(shù)范圍內將二次三項式分解因式；
3.通過二次三項式因式分解方法的推導，進一步啟發(fā)學生學習的興趣，提高他們研究問題的能力；
4.通過二次三項式因式分解方法的推導，進一步向學生滲透認識問題和解決問題的一般規(guī)律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；
5.通過利用一元二次方程根的知識來分解因式，滲透知識間是普遍聯(lián)系的數(shù)學美。
二、重點·難點·疑點及解決辦法
1.教學重點：用公式法將二次三項式因式分解。
2.教學難點：一元二次方程的根與二次三項式因式分解的關系。
3.教學疑點：一個二次三項式在實數(shù)范圍內因式分解的條件。
4.解決辦法：二次三項式能分解因式
二次三項式不能分解
二次三項式分解成完全平方式
三、教學步驟
�。ㄒ唬�教學過程
1.復習提問
（1）寫出關于x的二次三項式？
�。�2）將下列二次三項式在實數(shù)范圍因式分解。
�、�；②；③。
由③感覺比較困難，引出本節(jié)課所要解決的問題。
2.新知講解
�。�1）引入：觀察上式①，②，③方程的兩個根與方程左邊的二次三項式的因式分解之關系。
�、�；
解：原式變形為。
∴ ，
②；
解原方程可變?yōu)?/p>
觀察以上各例，可以看出1，2是方程的兩個根，而，……所以我們可以利用一元二次方程的兩個根來分解相應左邊的二次三項式。
�。�2）推導出公式
設方程的兩個根為，那么，
∴
這就是說，在分解二次三項式的因式時，可先用公式求出方程的兩個根，然后寫成
教師引導學生從具體的數(shù)字系數(shù)的例子，觀察、探索結論，再從一般的字母系數(shù)的例子得出一般性的推導，由此可知認識事物的一般規(guī)律是由特殊到一般，再由一般到特殊。
（3）公式的應用
例1 把分解因式
解： ∵ 方程的根是
教師板書，學生回答。
由①到②是把4分解成2×2分別與兩個因式相乘所得到的，目的是化簡①。
練習：將下列各式在實數(shù)范圍因式分解。
（1）；（2）
學生板書、筆答，評價。
例2 用兩種方程把分解因式。
方法一，解：
方法二，解： ，
方法一比方法二簡單，要求學生靈活選擇，擇其簡單的方法。
練習：將下列各式因式分解。
學生練習，板書，選擇恰當?shù)姆椒ǎ?strong>教師引導，注意以下兩點：
（1）要注意一元二次方程與二次三項式的區(qū)別與聯(lián)系，例如方程，可變形為；但將二次三項式分解因式時，就不能將變形為。
例如用求根公式求得的兩個根是后，得出這就錯了，這是因為丟掉了系數(shù)2。
（2）還要注意符號方面的錯誤，比如下面的例子如果寫成也是錯誤的。
�。�3）一元二次方程當時，方程有兩個實根。當時，方程無實根。這就決定了：當時，二次三項式在實數(shù)范圍內可以分解；當時，二次三項式在實數(shù)范圍內不可以分解。
�。ǘ┛偨Y、擴展
1.用公式法將二次三項式因式分解的步驟是先求出方程的兩個根，再將寫成形式。
2.二次三項式因式分解的條件是：當，二次三項式在實數(shù)范圍內可以分解；時，二次三項式在實數(shù)范圍內不可以分解。
3.通過本節(jié)課結論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導、產生的過程，培養(yǎng)學生的探索精神，激發(fā)學生的求知欲望，對學生進行辯證唯物主義思想教育，滲透認識事物的一般規(guī)律。
四、布置作業(yè)
教材P38A1，2。
五、板書設計
22.2.3 公式法 篇7
教學設計示例
――完全平方公式(1)
教學目標
1.使學生會分析和判斷一個多項式是否為完全平方式，初步掌握運用完全平方式把多項式分解因式的方法；
2.理解完全平方式的意義和特點，培養(yǎng)學生的判斷能力.
3.進一步培養(yǎng)學生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.
4.通過分解因式的教學，使學生進一步體會“把一個代數(shù)式看作一個字母”的換元思想。
教學重點和難點
重點：運用完全平方式分解因式.
難點：靈活運用完全平方公式公解因式.
教學過程設計
一、復習
1.問：什么叫把一個多項式因式分解?我們已經學習了哪些因式分解的方法?
答：把一個多項式化成幾個整式乘積形式，叫做把這個多項式因式分解.我們學過的因式分解的方法有提取公因式法及運用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式：
(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4.
解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)
(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2
=(4m2+n2)(4m2－n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).
問：我們學過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?
答：有完全平方公式.
請寫出完全平方公式.
完全平方公式是：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.
這節(jié)課我們就來討論如何運用完全平方公式把多項式因式分解.
二、新課
和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2.
這就是說，兩個數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個公式就是完全平方公式.運用這兩個式子，可以把形式是完全平方式的多項式分解因式.
問：具備什么特征的多項是完全平方式?
答：一個多項式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號都是正號，第三部分是上面兩個式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號可正可負，像這樣的式子就是完全平方式.
問：下列多項式是否為完全平方式?為什么?
(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；
(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.
答：(1)式是完全平方式.因為x2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以
x2+6x+9=(x+3) .
(2)不是完全平方式.因為第三部分必須是2xy.
(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以
25x －10x +1=(5x－1) .
(4)不是完全平方式.因為缺第三部分.
請同學們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項式9x2+6xy+y2中的對應項，其中a=?b=?2ab=?
答：完全平方公式為：
其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.
例1 把25x4+10x2+1分解因式.
分析：這個多項式是由三部分組成，第一項“25x4”是(5x2)的平方，第三項“1”是1的平方，第二項“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運用完全平方公式分解因式.
解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.
例2 把1－ m+ 分解因式.
問：請同學分析這個多項式的特點，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?
答：這個多項式由三部分組成，第一項“1”是1的平方，第三項“ ”是 的平方，第二項“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù)，因此這個多項式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.
解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2.
解法2 先提出 ，則
1－ m+ = (16－8m+m2)
= (42－2·4·m+m2)
= (4－m)2.
第 1 2 頁
22.2.3 公式法 篇8
第1教時
教學內容： 12.1 用公式解一元二次方程（一）
教學目標 ：
知識與技能目標：1.使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；2.掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.
過程與方法目標： 1.通過一元二次方程的引入，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力；2.通過一元二次方程概念的學習，培養(yǎng)學生對概念理解的完整性和深刻性.
情感與態(tài)度目標：由知識來源于實際，樹立轉化的思想，由設未知數(shù)列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識.。
教學重、難點與關鍵：
重點：一元二次方程的意義及一般形式.
難點：正確識別一般式中的“項”及“系數(shù)”。
教輔工具：
教學程序設計：
程序
教師活動
學生活動
備注
創(chuàng)設
問題
情景
1.用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程.學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養(yǎng)學生手、腦、眼并用的能力.
2.現(xiàn)有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，那么應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？
教師啟發(fā)學生設未知數(shù)、列方程，經整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不會解，說明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題.
板書：“第十二章一元二次方程”.教師恰當?shù)恼Z言，激發(fā)學生的求知欲和學習興趣.
學生看投影并思考問題
通過章前引例和節(jié)前引例，使學生真正認識到知識來源于實際，并且又為實際服務，學習了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數(shù)學的意義；產生用數(shù)學的意識，調動學生積極主動參與數(shù)學活動中.同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.
探
究
新
知
1
1.復習提問
�。�1）什么叫做方程？曾學過哪些方程？
（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？
�。�3）什么叫做分式方程？
2.引例：剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？
引導，啟發(fā)學生設未知數(shù)列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念.
整式方程：方程的兩邊都是關于未知數(shù)的整式，這樣的方程稱為整式方程.
一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程.
3.練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
�。�1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；
（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；
（3）
�。�4）6x2＝x；
（5）2x2＝5y；
�。�6）-x2＝0
4.任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式.
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.ax2稱二次項，bx稱一次項，c稱常數(shù)項，a稱二次項系數(shù)，b稱一次項系數(shù).
一般式中的“a≠0”為什么？如果a＝0，則ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解.
5.例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并寫出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項？
教師邊提問邊引導，板書并規(guī)范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式.
討論后回答
學生設未知數(shù)列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，
獨立完成
加深理解
學生試解
問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊
反饋
訓練
應用
提高
練習1：教材P.5中1，2.
練習2：下列關于x的方程是否是一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項：.
�。�4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx.
教師提問及恰當?shù)囊龑В瑢W生回答給出評價，通過此組練習，加強對概念的理解和深化.
要求多數(shù)學生在練習本上筆答，部分學生板書，師生評價.題目答案不唯一，最好二次項系數(shù)化為正數(shù).
小結
提高
�。ㄋ模┛偨Y、擴展
引導學生從下面三方面進行小結.從方法上學到了什么方法？從知識內容上學到了什么內容？分清楚概念的區(qū)別和聯(lián)系？
1.將實際問題用設未知數(shù)列方程轉化為數(shù)學問題，體會知識來源于實際以及轉化為方程的思想方法.
2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.歸納所學過的整式方程.
3.一元二次方程的意義與一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的區(qū)別和聯(lián)系.強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義.
學生討論回答
布置
作業(yè)
1.教材P.6 練習2.
2.思考題：
1）能不能說“關于x的整式方程中，含有x2項的方程叫做一元二次方程？”
2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學有余力的學生思考）.
反
思
22.2.3 公式法 篇9
一、教學目標
1.使學生理解二次三項式的意義；知道二次三項式的因式分解與一元二次方程的關系；
2.使學生會利用一元二次方程的求根公式在實數(shù)范圍內將二次三項式分解因式；
3.通過二次三項式因式分解方法的推導，進一步啟發(fā)學生學習的興趣，提高他們研究問題的能力；
4.通過二次三項式因式分解方法的推導，進一步向學生滲透認識問題和解決問題的一般規(guī)律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；
5.通過利用一元二次方程根的知識來分解因式，滲透知識間是普遍聯(lián)系的數(shù)學美。
二、重點·難點·疑點及解決辦法
1.教學重點：用公式法將二次三項式因式分解。
2.教學難點：一元二次方程的根與二次三項式因式分解的關系。
3.教學疑點：一個二次三項式在實數(shù)范圍內因式分解的條件。
4.解決辦法：二次三項式能分解因式
二次三項式不能分解
二次三項式分解成完全平方式
三、教學步驟
�。ㄒ唬�教學過程
1.復習提問
（1）寫出關于x的二次三項式？
（2）將下列二次三項式在實數(shù)范圍因式分解。
�、伲虎�；③。
由③感覺比較困難，引出本節(jié)課所要解決的問題。
2.新知講解
�。�1）引入：觀察上式①，②，③方程的兩個根與方程左邊的二次三項式的因式分解之關系。
�、伲�
解：原式變形為。
∴ ，
�、冢�
解原方程可變?yōu)?/p>
觀察以上各例，可以看出1，2是方程的兩個根，而，……所以我們可以利用一元二次方程的兩個根來分解相應左邊的二次三項式。
�。�2）推導出公式
設方程的兩個根為，那么，
∴
這就是說，在分解二次三項式的因式時，可先用公式求出方程的兩個根，然后寫成
教師引導學生從具體的數(shù)字系數(shù)的例子，觀察、探索結論，再從一般的字母系數(shù)的例子得出一般性的推導，由此可知認識事物的一般規(guī)律是由特殊到一般，再由一般到特殊。
第 1 2 頁
22.2.3 公式法 篇10
和完全平方公式500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">來分解因式的方法。它是分解因式最基本的方法之一，現(xiàn)將幾種常見思路歸納如下，供同學們學習參考。
一. 直接用公式
例1 （1）（2002江蘇鹽城中考試題）分解因式：500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">；
�。�2）（2003南通中考試題）分解因式：500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">。
分析：（1）此題是兩項式，符合平方差公式的條件。從而500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">；
�。�2）此題是三項式，符合完全平方公式的條件。從而500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">。
二. 提公因式后用公式
例2 （2003長沙中考試題）分解因式:500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">.
分析：先提取公因式a，再運用公式。所以500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">。
三. 化簡后用公式
例3 分解因式：500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">。
分析：先化簡后再運用公式。所以
500)this.style.width=500;" onmousewheel="return bbimg(this)">。
22.2.3 公式法 篇11
一、說教材
1、教材的地位與作用
《一元二次方程》是人教版《義務教育新課程標準實驗教科書，數(shù)學·九年級（上冊）》第22章第1節(jié)的內容，共兩課時。本節(jié)是第一課時，是一元二次方程的導入課，主要內容是介紹一元二次方程的概念和一般形式，它為進一步學習一元二次方程解法及應用起到了鋪墊作用。
一元二次方程是中學數(shù)學的主要內容之一，在初中數(shù)學中占有重要地位。通過一元二次方程的學習，可以對已學過的實數(shù)、一元一次方程、因式分解、二次根式等知識加以鞏固，同時又是今后學習二次函數(shù)等知識的基礎。此外，學習一元二次方程對其它學科也有十分重要的作用。
2、教學目標
根據(jù)本節(jié)課的地位、作用及其內容，結合學生實際和學生認知發(fā)展水平，確定如下教學目標：
[知識目標] 理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，使學生熟練地應用求根公式解一元二次方程。
[能力目標]經歷列方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型，增強學生分折問題和解決問題的能力及應用數(shù)學的意識；通過概念教學，培養(yǎng)學生的觀察類比、歸納能力。
[情感目標]在探索活動中，培養(yǎng)學生合作交流的意識，體驗成功喜悅，增強自信心。
3、教學重點與難點
從以上分析可以看出：
重點：一元二次方程的概念及一般形式
難點：從實際問題中抽象出一元二次方程；正確識別一般式中的“項”及“系數(shù)”
二、說教法與學法
1、學情分析
在此之前，學生已經了解和學習過一元一次方程的概念及一般形式，掌握了一些根據(jù)實際問題列方程的能力，再者，九年級學生的數(shù)學思維已有一定程度的發(fā)展，具有一定分析推理能力，同時，在討論、探索、交流學習等方面有較為豐富的知識和經驗，因此，除利用與生活實際有關的問題導出新知識外，應更多地應用探討、合作交流等方法讓學生去求得新知識，加深和擴展學生對數(shù)學的理解。
根據(jù)教材的特點和學情分析，為了突出重點、突破難點的目的，我采用以下教法與學法：
2、教法
本節(jié)課主要采用引探式教學方法，在活動中教師著眼于“引”盡力激發(fā)學生求知的欲望，引導他們解決問題并掌握解決問題的規(guī)律和方法，學生著眼于“探”通過探索活動發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題，發(fā)展探索能力和創(chuàng)造能力。
3、學法
本課將引導學生親身經歷知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的認知過程，通過觀察、比較、思考、探索、交流應用等活動，靈活的應用舊知識去研究新問題，在潛移默化中領會學習方法。使學生從“學會”到“會學”最后到“樂學”。
4、教學手段
采用電腦多媒體課件輔助教學，讓學生進行集體交流，及時反饋相關信息。
三、說教學過程
在教學過程中，我設計了七個環(huán)節(jié)
1、創(chuàng)設情境、引入新課（5分鐘）
情境1：（由多媒體出示圖片、提出數(shù)學問題）
小區(qū)在每兩幢樓之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，則綠地的長和寬各為多少？
情境2（由多媒體課件展示圖片、講故事提出問題）
從前有一天，一個醉漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都拿不進去，橫著比門框寬4尺，豎著比門框高2尺，怎么辦？他的兒子告訴他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個醉漢一試，不多不少剛好進去了，你知道竹竿有多長？
通過這兩個情境問題的設計，情境1來源于實際生活，是學生熟悉的題型，對于大多數(shù)學生都容易列出方程，目的是為了讓每個學生主動加入到學習數(shù)學活動中，增強學習數(shù)學的興趣和自信心。情境2通過講故事的形式貼近學生，拉近老師和學生之間的距離，吸引學生的好奇心和新鮮感，為進一步探究營造了輕松愉悅的氛圍。
2、合作探究，獲得新知(12分鐘)
通過兩個情境設計，讓學生合作討論，我在討論的過程中精心組織引導并讓學生分別列出如下兩個方程：
情境1設長方形綠地寬為x米，列方程得：
x（x+10）=900 即x²+10x–900=0 ①
情境2設竹竿為x尺，則門框寬為（x–4）尺，門框高為（x–2）尺得方程：
x²=（x-4）²+（x-2）² 即x²+12x-20=0 ②
觀察剛才所得的兩個方程：
x²+10x-900=0 ①
x²+12x-20=0 ②
問題1觀察與討論：（1）方程①中未知數(shù)的個數(shù)和最高數(shù)各是多少？方程②呢？
�。�2）討論這兩個方程有什么特點？
第一個問題讓一位學生回答，第二個問題學生自己討論去尋找方程的特點，我加以引導，目的是培養(yǎng)學生的觀察能力。
師生共同得出方程的特點：①方程兩邊都是整式②方程中只含有一個未知數(shù)③未知數(shù)的最高次數(shù)是2
問題2.對照一元一次方程，讓學生對此類新方程下定義.（板書課題）
通過對舊知識的比較，學生很容易得出這種方程是一元二次方程，此時（板書課題）目的是通過類比培養(yǎng)學生下定義的能力。
問題3.討論：一元二次方程和一元一次方程有什么聯(lián)系和區(qū)別
通過讓學生討論、總結兩者的聯(lián)系和區(qū)別，求同存異，目的是讓學生加深對一元二次方程概念的認識，培養(yǎng)學生的類比、歸納能力。
問題4.探討：你能寫出所有的一元一次方程嗎？如不能，則對照一元一次方程的一般形式，如何一般地表示一元二次方程呢？
通過這個問題讓學生舉例探索，我加以引導得出一元二次方程有無數(shù)個，寫不完，能否用類比一元一次方程的一般形式表示，得出用一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0來表示,目的是讓學生了解特殊到一般的數(shù)學思想,培養(yǎng)學生通過探索活動發(fā)現(xiàn)規(guī)律,解決問題的探索能力和歸納能力.
得出一般形式后師生互動，并引導學生完成下面的問題：
問題5如何識別方程中各項名稱及常數(shù)？
通過這個問題的設計，讓學生認識一元二次方程一般形式的二次項、一次項和常數(shù)項及系數(shù)。
問題6思考：二次項系數(shù)a的取值范圍并回答為什么？（強調a≠0）
通過此問題設計,讓學生意識到二次項系數(shù)a≠0這個條件，培養(yǎng)學生觀察意識。
3、講解例題、體驗新知（8分鐘）
例1 ：下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由。
�。�1）x²+2x–4=0（2）4x²=9 （3） +1=x² (4) 3y²–5x=7 (5) x²–4=(x+2)²
例2：把方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項（邊引導邊板書規(guī)范步驟）
例1主要通過我引導及討論方式，讓學生鞏固新知識，掌握一元二次方程的概念。例2是通過我的邊引導，邊師生互動、邊講解板書規(guī)范步驟的方式，讓學生體驗求方程二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項要先把方程化成一般形式、引導學生整理方程時養(yǎng)成按未知數(shù)的降冪排列習慣，才容易找出項和系數(shù)，目的是讓學生正確識別一般式中項和系數(shù)，培養(yǎng)學生一般到特殊的思想，這也是本節(jié)課難點突破所在。
四、反饋練習、應用拓展（10分鐘）
1、判斷下列方程是否是一元二次方程？并說明理由
(1)x²+3x=0（2）3x+2=5x–3（3）x²=4（4）—–1=x²
�。�5）x²–4=（x+2）²（6）mx²–3x+2=0（m是系數(shù)）
2、將下列方程化為一般形式，并寫出其中而二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。
(1) 3x²–x=2 （2）7x–3=2x² （3）x（2x–1）–3x（x–2）=0
�。�4）2x（x–1）=3（x+5）–4
設計這兩個練習主要通過學生交流合作，教師巡視引導等方式，使學生在學習新知識的同時能加以應用，使學生體驗到學習數(shù)學過程中的成就感，從而提高學生學習數(shù)學的興趣。
五、知識回顧、反思提高（5分鐘）
分組討論：在什么條件下方程（2a-4）x²-2bx+a=0為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？
通過分組討論活動，讓學生掌握一元二次方程ax²+bx=c=0必須滿足的a≠0條件，一元一次方程滿足a=0、b≠0使學生更好地地理解一元二次方程，培養(yǎng)學生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)造能力。
六、課堂小結（3分鐘）
1、通過這節(jié)課的學習你學到什么知識？學生暢所欲言，教師引導。
2、一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），強調“a≠0”這個條件的重要意義。
7、布置作業(yè)、分層落實（2分鐘）
必做題：教科書第34頁習題22、1第1、3、5題
選做題：教科書第34頁習題22、1第6、7題
四、教學反思
本節(jié)課從實際問題引出一元二次方程的概念，并認識一元二次方程的一般形式及各項名稱和系數(shù)，教學設計體現(xiàn)了新課標所倡導的教學模式“問題情境——建立數(shù)學模型——解釋、嘗試應用與拓展”。并配合使用多媒體演示設備輔助教學，突出重點、突破難點做到一氣呵成，符合新課程的教學理念，力求在數(shù)學活動中營造學生自主探究和合作交流的氛圍，讓學生去探索去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題，培養(yǎng)學生的探索能力和創(chuàng)造能力，讓學生在愉快的活動中體驗成功的喜悅、增進學習數(shù)學的自信。
五、說板書
在教學中板書應用得好可以引導學生把握教學重點，全面系統(tǒng)地理解教學內容，為了達到這樣的目的，我的板書注意到了重點突出，詳略得當，層次清楚，條理分明，具體設計如下：
板書設計：
一元二次方程
1、一元二次方程的概念
（1）兩邊都是整式
�。�2）只含有一個未知數(shù)
�。�3）未知數(shù)最高次數(shù)是2次
2、 一元二次方程的一般形式
ax²+bx+c=0(a≠0)
ax²是二次項（a是二次項系數(shù)）
bx是一次項（b是一次項系數(shù)）
c是常數(shù)
22.2.3 公式法 篇12
一、教材的地位和作用
因式分解是解析式的一種恒等變形，因式分解不但在解方程等問題中及其重要，在數(shù)學科學其他問題和一般科學研究中也具有廣泛應用，是重要的數(shù)學基礎知識。因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、待定系數(shù)法等。而在本章只學習提公因式法和公式法，這兩種基本知識和方法。它對數(shù)感和符號意識的形成具有重要作用，是進一步學習分式和分式方程的基礎。在中考題中分式化簡求值問題，不可避免地用到因式分解。而利用平方差公式進行因式分解的基本方法。
二、學生的學情分析
學生已經學習了用字母表示數(shù)、整式的概念、整式的加、減、乘、除、乘方，以及用提公因式法分解因式，具備繼續(xù)學習知識的基礎和經驗，但在細節(jié)方面還處在欠缺。
三、教學目標的確定
我認真鉆研教材，在考慮學生的實際水平情況下，我設計如下教學目標。
教學目標：
1、掌握平方差公式的特點，能運用平方差公式進行因式分解。
2、掌握平方差公式分解因式的方法，掌握提公因式法、公式法分解因式綜合應用。
3、經歷探究平方差公式進行因式分解的過程，發(fā)展學生的逆向思維，感受數(shù)學知識的完整性。
4、培養(yǎng)學生良好的互動交流的習慣，體會數(shù)學在實際問題中的應用價值。
教學重點：
熟練運用平方差公式進行因式分解。
教學難點：
1、掌握平方差公式的`特點。
2、熟練運用平方差公式進行因式分解。
四、教學過程的設計
本著學生的認知規(guī)律是由淺入深、由易到難。因此在教學環(huán)節(jié)設計時，我特意設計如下教學環(huán)節(jié)：
為了拉近師生距離，便于營造一個和諧的學習氛圍。我以學生感興趣的話題入手，學生喜歡看浙江衛(wèi)視的跑男欄目，喜歡明星。于是我便以設計Baby做任務時遇到問題：請你在10秒內計算，聰明的你能幫助Baby解決這一難題嗎？根據(jù)學生的回答，引入課題，并板書課題。
第二環(huán)節(jié)讓學生帶著問題自學課本P116例題以前部分，嘗試回答下列問題：
（1）有什么特點？
�。�2）你能將它分解因式嗎？讓學生帶著問題去自學，目的明確，針對性強，通過學生發(fā)現(xiàn)并描述特點，為下面公式剖析做了鋪墊。
第三個環(huán)節(jié)通過小組互學，探討公式。用3個問題，觀察公式回答下列問題：
�。�1）這個公式有什么特點？你能用語言敘述這個公式嗎？
（2）公式中字母a、b可以表示什么？
�。�3）因式分解平方差公式與我們前面所學的乘法公式平方差公式有什么區(qū)別？通過小組合作探究，學生深入探究，教師加以引導，剖析公式，學習難點得以突破。
第四個環(huán)節(jié)，在學生已經掌握公式的基礎上，進行運用平方差公式進行因式分解，由一組簡單基礎題目入手，符合學生認知規(guī)律，同時有利于增強學生的自信心。然后解決課前引入的問題，提出問題，便要解決問題，這樣前后呼應。
第五個環(huán)節(jié)通過教師引導，例題精講，讓學生掌握因式分解的方法。（1）（2）（3）通過例題第一小題的設計目的是讓學生發(fā)現(xiàn)因式分解應分解徹底，第二和第三個題目目的是讓學生能夠總結出因式分解的一般步驟：一提；二用；三查。教師要強調必須進行到每一個多項式都不能分解為止。題目設計層層深入，符合學生認知規(guī)律。然后通過嘗試練習，學生進行展示，便于發(fā)現(xiàn)學生的出現(xiàn)的問題，及時進行糾正。
第六個環(huán)節(jié)，檢驗學生對本節(jié)課的掌握情況，我側重于學生收獲方面的體驗。通過學生暢談收獲，有利于培養(yǎng)學生的自信心。
第七個環(huán)節(jié)，通過四個的代表性的題目，檢測學生本節(jié)課對知識的掌握情況。通過四個題目的設計，旨在讓學生掌握公式的特點，并會熟練地利用平方差公式進行因式分解。其中第四題是實際問題，設計此題是為了讓學生學會用已有的知識解決實際問題。
以上是我對本節(jié)課的整體設計思路，不當之處，敬請專家們批評指正！
22.2.3 公式法 篇13
第1教時
教學內容： 12.1 用公式解一元二次方程（一）
教學目標 ：
知識與技能目標：1.使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；2.掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.
過程與方法目標： 1.通過一元二次方程的引入，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力；2.通過一元二次方程概念的學習，培養(yǎng)學生對概念理解的完整性和深刻性.
情感與態(tài)度目標：由知識來源于實際，樹立轉化的思想，由設未知數(shù)列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識.。
教學重、難點與關鍵：
重點：一元二次方程的意義及一般形式.
難點：正確識別一般式中的“項”及“系數(shù)”。
教輔工具：
教學程序設計：
程序
教師活動
學生活動
備注
創(chuàng)設
問題
情景
1.用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程.學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養(yǎng)學生手、腦、眼并用的能力.
2.現(xiàn)有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，那么應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？
教師啟發(fā)學生設未知數(shù)、列方程，經整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不會解，說明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題.
板書：“第十二章一元二次方程”.教師恰當?shù)恼Z言，激發(fā)學生的求知欲和學習興趣.
學生看投影并思考問題
通過章前引例和節(jié)前引例，使學生真正認識到知識來源于實際，并且又為實際服務，學習了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數(shù)學的意義；產生用數(shù)學的意識，調動學生積極主動參與數(shù)學活動中.同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.
探
究
新
知
1
1.復習提問
�。�1）什么叫做方程？曾學過哪些方程？
�。�2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？
（3）什么叫做分式方程？
2.引例：剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？
引導，啟發(fā)學生設未知數(shù)列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念.
整式方程：方程的兩邊都是關于未知數(shù)的整式，這樣的方程稱為整式方程.
一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程.
3.練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；
（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；
�。�3）
（4）6x2＝x；
�。�5）2x2＝5y；
�。�6）-x2＝0
4.任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式.
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.ax2稱二次項，bx稱一次項，c稱常數(shù)項，a稱二次項系數(shù)，b稱一次項系數(shù).
一般式中的“a≠0”為什么？如果a＝0，則ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解.
5.例1 把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并寫出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項？
教師邊提問邊引導，板書并規(guī)范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式.
討論后回答
學生設未知數(shù)列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，
獨立完成
加深理解
學生試解
問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊
反饋
訓練
應用
提高
練習1：教材P.5中1，2.
練習2：下列關于x的方程是否是一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項：.
（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx.
教師提問及恰當?shù)囊龑В瑢W生回答給出評價，通過此組練習，加強對概念的理解和深化.
要求多數(shù)學生在練習本上筆答，部分學生板書，師生評價.題目答案不唯一，最好二次項系數(shù)化為正數(shù).
小結
提高
�。ㄋ模┛偨Y、擴展
引導學生從下面三方面進行小結.從方法上學到了什么方法？從知識內容上學到了什么內容？分清楚概念的區(qū)別和聯(lián)系？
1.將實際問題用設未知數(shù)列方程轉化為數(shù)學問題，體會知識來源于實際以及轉化為方程的思想方法.
2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.歸納所學過的整式方程.
3.一元二次方程的意義與一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的區(qū)別和聯(lián)系.強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義.
學生討論回答
布置
作業(yè)
1.教材P.6 練習2.
2.思考題：
1）能不能說“關于x的整式方程中，含有x2項的方程叫做一元二次方程？”
2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學有余力的學生思考）.
反
思
22.2.3 公式法 篇14
教學設計示例
――完全平方公式(1)
教學目標
1.使學生會分析和判斷一個多項式是否為完全平方式，初步掌握運用完全平方式把多項式分解因式的方法；
2.理解完全平方式的意義和特點，培養(yǎng)學生的判斷能力.
3.進一步培養(yǎng)學生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.
4.通過分解因式的教學，使學生進一步體會“把一個代數(shù)式看作一個字母”的換元思想。
教學重點和難點
重點：運用完全平方式分解因式.
難點：靈活運用完全平方公式公解因式.
教學過程 設計
一、復習
1.問：什么叫把一個多項式因式分解?我們已經學習了哪些因式分解的方法?
答：把一個多項式化成幾個整式乘積形式，叫做把這個多項式因式分解.我們學過的因式分解的方法有提取公因式法及運用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式：
(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4.
解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)
(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2
=(4m2+n2)(4m2－n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).
問：我們學過的乘法公式除了平方差公式之外，還有哪些公式?
答：有完全平方公式.
請寫出完全平方公式.
完全平方公式是：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.
這節(jié)課我們就來討論如何運用完全平方公式把多項式因式分解.
二、新課
和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣，把完全平方公式反過來，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2.
這就是說，兩個數(shù)的平方和，加上(或者減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的兩個公式就是完全平方公式.運用這兩個式子，可以把形式是完全平方式的多項式分解因式.
問：具備什么特征的多項是完全平方式?
答：一個多項式如果是由三部分組成，其中的兩部分是兩個式子(或數(shù))的平方，并且這兩部分的符號都是正號，第三部分是上面兩個式子(或數(shù))的乘積的二倍，符號可正可負，像這樣的式子就是完全平方式.
問：下列多項式是否為完全平方式?為什么?
(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；
(3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1.
答：(1)式是完全平方式.因為x2與9分別是x的平方與3的平方，6x=2·x·3，所以
x2+6x+9=(x+3) .
(2)不是完全平方式.因為第三部分必須是2xy.
(3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以
25x －10x +1=(5x－1) .
(4)不是完全平方式.因為缺第三部分.
請同學們用箭頭表示完全平方公式中的a，b與多項式9x2+6xy+y2中的對應項，其中a=?b=?2ab=?
答：完全平方公式為：
其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y.
例1 把25x4+10x2+1分解因式.
分析：這個多項式是由三部分組成，第一項“25x4”是(5x2)的平方，第三項“1”是1的平方，第二項“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項式25x4+10x2+1是完全平方式，可以運用完全平方公式分解因式.
解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.
例2 把1－ m+ 分解因式.
問：請同學分析這個多項式的特點，是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?
答：這個多項式由三部分組成，第一項“1”是1的平方，第三項“ ”是 的平方，第二項“－ m”是1與m/4的積的2倍的相反數(shù)，因此這個多項式是完全平方式，可以用完全平方公式分解因式.
解法1 1－ m+ =1－2·1· +（ ）2=（1－ ）2.
解法2 先提出 ，則
1－ m+ = (16－8m+m2)
= (42－2·4·m+m2)
= (4－m)2.
三、課堂練習(投影)
1.填空：
(1)x2－10x+（ ）2=（ ）2；
(2)9x2+（ ）+4y2=（ ）2；
(3)1－（ ）+m2/9=（ ）2.
2.下列各多項式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，請把多
項式改變?yōu)橥耆椒绞?
(1)x2－2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2－4ab+4b2；
(4)9m2+12m+4； (5)1－a+a2/4.
3.把下列各式分解因式：
(1)a2－24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；
(3)19x2+2xy+9y2； (4)14a2－ab+b2.
答案：
1.(1)25，(x－5) 2； (2)12xy，(3x+2y) 2； (3)2m/3，（1－m3）2.
2.(1)不是完全平方式，如果把第二項的“－2x”改為“－4x”，原式就變?yōu)閤2－4x+4，它是完全平方式；或把第三項的“4”改為1，原式就變?yōu)閤2－2x+1，它是完全平方式.
(2)不是完全平方式，如果把第二項“4x”改為“6x”，原式變?yōu)?x2+6x+1，它是完全平方式.
(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.
(4)是完全平方式，9m2+12m+4=(3m+2) 2.
(5)是完全平方式，1－a+a2/4=（1－a2）2.
3.(1)(a－12) 2； (2)(2ab+1) 2；
(3)(13x+3y) 2； (4)（12a－b）2.
四、小結
運用完全平方公式把一個多項式分解因式的主要思路與方法是：
1.首先要觀察、分析和判斷所給出的多項式是否為一個完全平方式，如果這個多項式是一個完全平方式，再運用完全平方公式把它進行因式分解.有時需要先把多項式經過適當變形，得到一個完全平方式，然后再把它因式分解.
2.在選用完全平方公式時，關鍵是看多項式中的第二項的符號，如果是正號，則用公式a2+2ab+b2=(a+b) 2；如果是負號，則用公式a2－2ab+b2=(a－b) 2.
五、作業(yè)
把下列各式分解因式：
1.(1)a2+8a+16； (2)1－4t+4t2；
(3)m2－14m+49； (4)y2+y+1/4.
2.(1)25m2－80m+64； (2)4a2+36a+81；
(3)4p2－20pq+25q2； (4)16－8xy+x2y2；
(5)a2b2－4ab+4； (6)25a4－40a2b2+16b4.
3.(1)m2n－2mn+1； (2)7am+1－14am+7am－1；
4.(1) x －4x； (2)a5+a4+ a3.
答案：
1.(1)(a+4)2； (2)(1－2t)2；
(3)(m－7) 2； (4)（y+12）2.
2.(1)(5m－8) 2； (2)(2a+9) 2；
(3)(2p－5q) 2； (4)(4－xy) 2；
(5)(ab－2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.
3.(1)(mn－1) 2； (2)7am－1(a－1) 2.
4.(1) x(x+4)(x－4)； (2)14a3 (2a+1) 2.
課堂教學設計說明
1.利用完全平方公式進行多項式的因式分解是在學生已經學習了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基礎上進行的，因此在教學設計中，重點放在判斷一個多項式是否為完全平方式上，采取啟發(fā)式的教學方法，引導學生積極思考問題，從中培養(yǎng)學生的思維品質.
2.本節(jié)課要求學生掌握完全平方公式的特點和靈活運用公式把多項式進行因式分解的方法.在教學設計中安排了形式多樣的課堂練習，讓學生從不同側面理解完全平方公式的特點.例1和例2的講解可以在老師的引導下，師生共同分析和解答，使學生當堂能夠掌握運用平方公式進行完全因式分解的方法.
22.2.3 公式法 篇15
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上課班級：江蘇省如東縣景安初中初二（6）班 郵編：226441
上課教師：唐國棟 e－mail：
設計思路：
教師是學習活動的引導者和組織者，學生是課堂的主人。教師在教學中要充分體現(xiàn)教師的導向作用，尊重學生的個體差異，選擇適合自己的學習方式，鼓勵學生自主探索與合作交流，讓學生經歷數(shù)學知識的形成與應用過程，鼓勵學生的直覺并且運用基本方法進行相關的驗證，指導學生注重數(shù)學知識之間的聯(lián)系，不斷提高解決問題的能力。
教學過程 ：
師生問好，組織上課。
師：我們在初一第二學期就已經學習了乘法完全平方公式,請一位同學用文字語言來描述一下這個公式的內容？
生1：（答略）
師：你能用符號語言來表示這個公式嗎？
生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2 （a－b）2=a2－2ab＋b2
師：不錯，請坐。由此我們可以看出完全平方公式其實包含幾個公式？
生齊答：兩個。
師：接下來有兩道填空題，我們該怎么進行填空？
a2＋ ＋1=(a＋1)2 4a2－4ab＋ =(2a－b)2
生2：（答略）
師：你能否告訴大家，你是根據(jù)什么來進行填空的嗎？
生2：根據(jù)完全平方公式，將等號右邊的展開。
師：很好。（將四個式子分別標上○1○2○3○4）
問題：○1、○2兩個式子由左往右是什么變形？
○3、○4兩個式子由左往右是什么變形？
生3：（答略）
師：剛才的○1和○2是我們以前學過的完全平方公式，那么將這兩個公式反過來就有：
a2＋2ab＋b2=（a＋b）2 a2－2ab＋b2=（a－b）2 （板書）
問題：這兩個式子由左到右的變形又是什么呢？
生齊答：因式分解。
師：可以看出，我們已將左邊多項式寫成完全平方的形式，即將左邊的多項式分解因式了。
這兩個公式我們也將它們稱之為完全平方公式，也是我們今天來共同學習的知識（板書課題）
師：既然這兩個是公式，那么我們以后遇到形如這種類型的多項式可以直接運用這個公式進行分解。這個公式到底有哪些特征呢？請同學們仔細觀察思考一下，同座的或前后的同學可以討論一下。
�。ń涍^討論之后）
生4：左邊是三項，右邊是完全平方的形式。
生5：左邊有兩項能夠寫成平方和的形式。
師：說得很好，其他同學有沒有補充的？
生6：還有一項是兩個數(shù)的乘積的2倍。
師：這“兩個數(shù)的乘積”中“兩個數(shù)”是不是任意的？
生6：不是，而是剛才兩項的底數(shù)。
師：剛才三位同學都回答得不錯，每人都找出了一些特征。再請一位同學來綜合一下。
生7：左邊的多項式要有三項，有兩項是平方和的形式，還有一項是這兩個數(shù)的積的2倍。右邊是兩個數(shù)的和或差的平方。
教師在學生回答的基礎上總結：
1)多項式是三項式
2)有兩項都為正且能夠寫成平方的形式
3)另一項是剛才寫成平方項兩底數(shù)乘積的2倍，但這一項可以是正，也可以是負
4)等號右邊為兩平方項底數(shù)和或差的平方。
師：我們如何將符號語言轉化為文字語言呢？
生8：a、b兩個數(shù)的平方和加上a、b乘積的2倍，等于a與b的和的平方；
a、b兩個數(shù)的平方和減去a、b乘積的2倍，等于a與b的差的平方。
師：如果不用字母a、b，又怎么表達？能否將兩句合并成一句呢？
生9：兩個數(shù)的平方和加上或減去這兩個數(shù)的乘積的2倍，等于這兩個數(shù)的和或差的平方。
師：非常好！我們以后只要遇到這種類型的多項式可以直接利用完全平方公式方便地進行因式分解了。
通過剛才的學習，我們已經初步掌握了利用完全平方公式分解因式的有關知識，下面有幾道練習題向我們同學提出了挑戰(zhàn)，看你掌握知識的情況：
判斷下列各式是不是完全平方式，并說出理由。
（1）a2－4a＋4 (2 )x2＋4x＋4y2 (3 )4a2＋2ab＋ b2
(4 )a2－ab＋b2 (5 )x2－6x－9 (6 )a2＋a＋0.25
生10：第一題是完全平方式。有三項，其中有兩項正且能寫成平方的形式，另一項是減去這兩個數(shù)的積的2倍。
…… ……
生11：第四題不是完全平方式，因為中間一項不是兩個數(shù)的乘積的2倍。
生12：第五題是完全平方式。三項，有兩項能寫成平方的形式，另一項也是兩個數(shù)的積的2倍。
師：其它同學同意他的意見嗎？有沒有補充的？
生13：這一題不是完全平方式，雖然有兩部分能寫成平方的形式，但這兩項不是平方和。
師：同意他的意見嗎？
生齊答：同意。
師：因此我們在觀察一個多項式是否符合完全平方式的特點時，不僅要找有沒有兩項能夠寫成平方的形式，同時還要看這兩項的符號是否同為正，更要看另一項是不是這兩數(shù)的積的2倍。像剛才的第2題和第4題都只滿足特征中的一部分。
引例講解：將下列各式分解因式。
1、x2＋6x＋9 2、4x2－20x＋25
問題：這兩題首先怎么分析？
生14：將9改寫成32，6x正好是x與3的乘積的2倍。（學生回答，教師板書）
生15：將4x2寫成（2x）2，25寫成52，20x寫成2×2x×5
x2＋6x＋9=x2＋2×3＋32=(x＋3)2
4x2－20x＋25=(2x)2－2×2x×5＋52=(2x－5)2
�。�(lián)系字母表達式用箭頭對應表示，加深學生印象。）
師：由剛才的例子，我們同學能否發(fā)現(xiàn)將因式分解為兩數(shù)的和或差的平方，如何確定是兩數(shù)的和還是兩數(shù)的差的平方呢？
生16：由符號來決定。
師：能不能具體點。
生16：由中間一項的符號決定，就是兩個數(shù)乘積2倍這項的符號決定，是正，就是兩個數(shù)的和；是負，就是兩個數(shù)的差。
師：總之，在分解完全平方式時，要根據(jù)第二項的符號來選擇運用哪一個完全平方公式。
例題1：把25x4＋10x2＋1分解因式。
師：這道題目能否運用以前所學的方法分解？就題目本身有什么特點？可以怎么分解？
生17：題目符合完全平方式的特點，可以將25x4改寫成（5x2）2，1就是12，10x2改寫成2×5x2×1。（此學生板演，過程略）
例題2：把－x2－4y2＋4xy分解因式。
師：按照常規(guī)我們首先怎么辦？
生齊答：提取負號。〔教師板書：－（x2＋4y2－4xy） 〕以下過程學生板演。
師：如果是這道題：4xy－x2－4y2 怎么分解呢？（教師改變剛才題型）
提示：從項的特征進行考慮，怎樣轉化比較合理？四人小組討論。
生18：同樣還是將負號提取改變成完全平方式的形式。
師：從這里我們可以發(fā)現(xiàn)，只要三項式中能改寫成平方的兩項是同號，且另一項為兩底數(shù)積的2倍，我們都能利用這個公式分解，若這兩項同為正則可直接分解，若同為負則先提取負號再分解。
練習題：課本p21 練習：第1題，學生板演，教師講解，學生板演的同時，教師提示注意點、多項式的特征；第2題，學生口答。
例題3：把3ax2＋6axy＋3ay2分解因式。
師：先觀察，再選擇適當?shù)姆椒�。（學生板演，教師點評）
練習：課本p22 第3題分兩組學生板演，教師評講、適當提示注意點。
師：這一堂課我們一起研究了完全平方式的有關知識，同學們先自查一下自己的收獲，然后請同學發(fā)表自己的見解。（學生小聲討論）
生甲：我學到了如何將完全平方式分解因式，遇到三項式中有兩項符號相同且能化成平方的形式，另一項為這兩個數(shù)的積的2倍的形式，如果能化成平方項是負的，首先將負號提取再分解。第二項是正的就是兩數(shù)的和的平方，第二項是負的就是兩數(shù)差的平方。
生乙：有公因式可提取的先提取公因式，然后再分解，同時根據(jù)第二項的符號來選用合適的公式。
教師布置課堂作業(yè) ：課本p23 習題8.2 a組 4～5 偶數(shù)題
課外作業(yè) ：課本p23 習題8.2 a組 4～5 奇數(shù)題
下課！
數(shù)學 - 初二數(shù)學利用公式法（完全平方公式）因式分解課堂實錄