22．1一元二次方程（精選13篇）

22．1一元二次方程 篇1

　　教學目標

　　1. 了解整式方程和的概念；

　　2. 知道的一般形式，會把化成一般形式。

　　3. 通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學重點和難點：

　　重點：的概念和它的一般形式。

　　難點：對的一般形式的正確理解及其各項系數的確定。

　　教學建議：

　　1.  教材分析：

　　1）知識結構：本小節首先通過實例引出的概念，介紹了的一般形式以及中各項的名稱。

　　2）重點、難點分析

　　理解的定義：

　　是 的重要組成部分。方程 ，只有當 時，才叫做。如果 且 ，它就是了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：

　　（1）的條件是確定的，如方程 （ ），把它化成一般形式為 ，由于 ，所以 ，符合的定義。

　　（2）條件是用“關于 的”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數不為零的條件。如“關于 的 ”，這時題中隱含了 的條件，這在解題中是不能忽略的。

　　（3）方程中含有字母系數的 項，且出現“關于 的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關于 的方程 ”，這就有兩種可能，當 時，它是一元一次方程 ；當 時，它是，解題時就會有不同的結果。

　　教學目的

　　1.了解整式方程和的概念；

　　2.知道的一般形式，會把化成一般形式。

　　3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學難點和難點:

　　重點:

　　1.的有關概念

　　2.會把化成一般形式

　　難點: 的含義.

　　教學過程設計

　　一、引入新課

　　引例：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪?

　　分析：1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。

　　2.這個問題用什么數學方法解決?(間接計算即列方程解應用題。

　　3.讓學生自己列出方程   (     x（x十5）＝150    )

　　深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎?你能叫出這個方程的名字嗎？

　　二、新課

　　1.從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上初中代數研究的主要對象是方程。這部分內容從初一一直貫穿到初三。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)

　　2.什么是—元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區別、也就是說首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個、這還取決于未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做.(板書的定義)

　　3.強化的概念

　　下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是?

　　(1)3x十2＝5x—3：  (2)x2＝4

　　(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；  (4)(x—1)(x—2)＝x2十8

　　從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然后再查看這個方程未知數的最高次數是否是2。

　　4. 概念的延伸

　　提問：很多嗎?你有辦法一下寫出所有的嗎?

　　引導學生回顧的定義，分析項的情況，啟發學生運用字母，找到的一般形式

　　ax2+bx+c=0   (a≠0)

　　1）.提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

　　2）.講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的系數名稱.

　　3）.強調：的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。

　　強化概念（課本P6）

　　1.說出下列的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　（1）x2十3x十2＝O  （2）x2—3x十4＝0；  (3)3x2-5＝0

　　（4）4x2十3x—2＝0；  (5)3x2—5＝0；       (6)6x2—x=0。

　　2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　(1)6x2＝3-7x；  (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2

　　課堂小節

　　(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一（如果方程未知數的最高次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；

　　(2)要知道的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；

　　(3)要很熟練地說出隨便一個中一二次項、一次項、常數項：二次項系數、一次項系數.

　　課外作業 ：略

22．1一元二次方程 篇2

　　22.1  一元二次方程

　　第一課時

　　教學內容

　　一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關概念.

　　教學目標

　　了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應用一元二次方程概念解決一些簡單題目.

　　1.通過設置問題，建立數學模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義.

　　2.一元二次方程的一般形式及其有關概念.

　　3.解決一些概念性的題目.

　　4.態度、情感、價值觀

　　4.通過生活學習數學，并用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情.

　　重難點關鍵

　　1.重點：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關概念并用這些概念解決問題.

　　2.難點關鍵：通過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念.

　　教學過程

　　一、復習引入

　　學生活動：列方程.

　　問題（1）《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”

　　大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？

　　如果假設門的高為x尺，那么，這個門的寬為_______尺，根據題意，得________.

　　整理、化簡，得：__________.

　　問題（2）如圖，如果 ，那么點c叫做線段ab的黃金分割點.

　　如果假設ab=1，ac=x，那么bc=________，根據題意，得：________.

　　整理得：_________.

　　問題（3）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？

　　如果假設剪后的正方形邊長為x，那么原來長方形長是________，寬是_____，根據題意，得：_______.

　　整理，得：________.

　　老師點評并分析如何建立一元二次方程的數學模型，并整理.

　　二、探索新知

　　學生活動：請口答下面問題.

　　（1）上面三個方程整理后含有幾個未知數？

　　（2）按照整式中的多項式的規定，它們最高次數是幾次？

　　（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？

　　老師點評：（1）都只含一個未知數x；（2）它們的最高次數都是2次的；（3）都有等號，是方程.

　　因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.

　　一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）.這種形式叫做一元二次方程的一般形式.

　　一個一元二次方程經過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數；bx是一次項，b是一次項系數；c是常數項.

　　例1.將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數及常數項.

　　分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）.因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等.

　　解：去括號，得：

　　40-16x-10x+4x2=18

　　移項，得：4x2-26x+22=0

　　其中二次項系數為4，一次項系數為-26，常數項為22.

　　例2.（學生活動：請二至三位同學上臺演練）  將方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數；一次項、一次項系數；常數項.

　　分析：通過完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.

　　解：去括號，得：

　　x2+2x+1+x2-4=1

　　移項，合并得：2x2+2x-4=0

　　其中：二次項2x2，二次項系數2；一次項2x，一次項系數2；常數項-4.

　　三、鞏固練習

　　教材p32  練習1、2

　　四、應用拓展

　　例3.求證：關于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

　　分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17≠0即可.

　　證明：m2-8m+17=（m-4）2+1

　　∵（m-4）2≥0

　　∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

　　∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

　　五、歸納小結（學生總結，老師點評）

　　本節課要掌握：

　　（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次項、二次項系數，一次項、一次項系數，常數項的概念及其它們的運用.

　　六、布置作業

　　1.教材p34 習題22.1  1、2.

　　2.選用作業設計.

22．1一元二次方程 篇3

　　教學目標 

　　1. 了解整式方程和的概念；

　　2. 知道的一般形式，會把化成一般形式。

　　3. 通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學重點和難點：

　　重點：的概念和它的一般形式。

　　難點：對的一般形式的正確理解及其各項系數的確定。

　　教學建議：

　　1.  教材分析：

　　1）知識結構：本小節首先通過實例引出的概念，介紹了的一般形式以及中各項的名稱。

　　2）重點、難點分析

　　理解的定義：

　　是 的重要組成部分。方程 ，只有當 時，才叫做。如果 且 ，它就是了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：

　　（1）的條件是確定的，如方程 （ ），把它化成一般形式為 ，由于 ，所以 ，符合的定義。

　　（2）條件是用“關于 的”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數不為零的條件。如“關于 的 ”，這時題中隱含了 的條件，這在解題中是不能忽略的。

　　（3）方程中含有字母系數的 項，且出現“關于 的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關于 的方程 ”，這就有兩種可能，當 時，它是一元一次方程 ；當 時，它是，解題時就會有不同的結果。

　　教學目的

　　1.了解整式方程和的概念；

　　2.知道的一般形式，會把化成一般形式。

　　3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學難點 和難點:

　　重點:

　　1.的有關概念

　　2.會把化成一般形式

　　難點: 的含義.

　　教學過程 設計

　　一、引入新課

　　引例：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪?

　　分析：1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。

　　2.這個問題用什么數學方法解決?(間接計算即列方程解應用題。

　　3.讓學生自己列出方程   (     x（x十5）＝150    )

　　深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎?你能叫出這個方程的名字嗎？

　　二、新課

　　1.從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上初中代數研究的主要對象是方程。這部分內容從初一一直貫穿到初三。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)

　　2.什么是—元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區別、也就是說首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個、這還取決于未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做.(板書的定義)

　　3.強化的概念

　　下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是?

　　(1)3x十2＝5x—3：  (2)x2＝4

　　(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；  (4)(x—1)(x—2)＝x2十8

　　從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然后再查看這個方程未知數的最高次數是否是2。

　　4. 概念的延伸

　　提問：很多嗎?你有辦法一下寫出所有的嗎?

　　引導學生回顧的定義，分析項的情況，啟發學生運用字母，找到的一般形式

　　ax2+bx+c=0   (a≠0)

　　1）.提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

　　2）.講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的系數名稱.

　　3）.強調：的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。

　　強化概念（課本P6）

　　1.說出下列的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　（1）x2十3x十2＝O  （2）x2—3x十4＝0；  (3)3x2-5＝0

　　（4）4x2十3x—2＝0；  (5)3x2—5＝0；       (6)6x2—x=0。

　　2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　(1)6x2＝3-7x；  (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2

　　課堂小節

　　(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一（如果方程未知數的最高次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；

　　(2)要知道的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；

　　(3)要很熟練地說出隨便一個中一二次項、一次項、常數項：二次項系數、一次項系數.

　　課外作業 ：略

22．1一元二次方程 篇4

　　教學目標 

　　1. 了解整式方程和的概念；

　　2. 知道的一般形式，會把化成一般形式。

　　3. 通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學重點和難點：

　　重點：的概念和它的一般形式。

　　難點：對的一般形式的正確理解及其各項系數的確定。

　　教學建議：

　　1.  教材分析：

　　1）知識結構：本小節首先通過實例引出的概念，介紹了的一般形式以及中各項的名稱。

　　2）重點、難點分析

　　理解的定義：

　　是 的重要組成部分。方程 ，只有當 時，才叫做。如果 且 ，它就是了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：

　　（1）的條件是確定的，如方程 （ ），把它化成一般形式為 ，由于 ，所以 ，符合的定義。

　　（2）條件是用“關于 的”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數不為零的條件。如“關于 的 ”，這時題中隱含了 的條件，這在解題中是不能忽略的。

　　（3）方程中含有字母系數的 項，且出現“關于 的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關于 的方程 ”，這就有兩種可能，當 時，它是一元一次方程 ；當 時，它是，解題時就會有不同的結果。

　　教學目的

　　1.了解整式方程和的概念；

　　2.知道的一般形式，會把化成一般形式。

　　3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學難點 和難點:

　　重點:

　　1.的有關概念

　　2.會把化成一般形式

　　難點: 的含義.

　　教學過程 設計

　　一、引入新課

　　引例：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪?

　　分析：1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。

　　2.這個問題用什么數學方法解決?(間接計算即列方程解應用題。

　　3.讓學生自己列出方程   (     x（x十5）＝150    )

　　深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎?你能叫出這個方程的名字嗎？

　　二、新課

　　1.從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上初中代數研究的主要對象是方程。這部分內容從初一一直貫穿到初三。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)

　　2.什么是—元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區別、也就是說首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個、這還取決于未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做.(板書的定義)

　　3.強化的概念

　　下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是?

　　(1)3x十2＝5x—3：  (2)x2＝4

　　(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；  (4)(x—1)(x—2)＝x2十8

　　從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然后再查看這個方程未知數的最高次數是否是2。

　　4. 概念的延伸

　　提問：很多嗎?你有辦法一下寫出所有的嗎?

　　引導學生回顧的定義，分析項的情況，啟發學生運用字母，找到的一般形式

　　ax2+bx+c=0   (a≠0)

　　1）.提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

　　2）.講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的系數名稱.

　　3）.強調：的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。

　　強化概念（課本P6）

　　1.說出下列的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　（1）x2十3x十2＝O  （2）x2—3x十4＝0；  (3)3x2-5＝0

　　（4）4x2十3x—2＝0；  (5)3x2—5＝0；       (6)6x2—x=0。

　　2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　(1)6x2＝3-7x；  (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2

　　課堂小節

　　(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一（如果方程未知數的最高次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；

　　(2)要知道的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；

　　(3)要很熟練地說出隨便一個中一二次項、一次項、常數項：二次項系數、一次項系數.

　　課外作業 ：略

22．1一元二次方程 篇5

　　教學目標 ：（1）理解的概念

　　（2）掌握的一般形式，會判斷的二次項系數、一次項系數和常數項。

　　（2）會用因式分解法解

　　教學重點：的概念、的一般形式

　　教學難點 ：因式分解法解

　　教學過程 ：

　　（一）創設情景，引入新課

　　實際例子引入：列出的方程分別為X-7x+8=0,(X-7)(X+1)=89,X+8X-9=0

　　由學生說出這幾個方程的共同特征，從而引出的概念。

　　（二）新授

　　1：的概念。（一個未知數、最高次2次、等式兩邊都是整式）

　　練習

　　2：的一般形式（形如aX+bX+c=0)

　　任一個都可以轉化成一般形式，注意二次項系數不為零

　　3：講解例子

　　4：利用因式分解法解

　　5：講解例子

　　6：一般步驟

　　練習

　　（三）小結

　　（四）布置作業 

　　板書設計 

22．1一元二次方程 篇6

　　[課    題]  §12.1  一元二次方程[教學目的]  使學生了解整式方程、一元二次方程的意義；使學生知道并能認識一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。[教學重點]  使學生知道并能認識一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。[教學難點 ]  使學生掌握什么是一元二次方程的二次項和系數、一次項和系數以及常數項，[教學關鍵]  使學生掌握在指出一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項時，一定要包括它們的符號。[教學用具]  [教學形式]  講練結合法。[教學用時]  45′×1 [教學過程 ][復習提問]  例方程解應用題的一般步驟是什么？[講解新課]引例可由教師提出并分析其中的數量關系，設出未知數，列出代數式，并根據等量關系列出方程：（80－2x）（60－2x）=1500。（這其中應重點復習列方程解應用題的方法、步驟，或講解或提問應視具體情況而定）。提問：如何將上述方程整理？整理后，得：x2－70x+825=0。這里不必多講，只指出：這個方程（什么方程？這里不談）與我們已經學過的一元一次方程不同，我們學了這一章，就可以解這個方程，從而解決上述問題。接著書寫教科書第4頁的問題：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應該怎樣剪？引導學生分析題意，設未知數，列出代數式，找出相等關系，列出方程：x（x+5）=150。去括號，得：  x2+5 x=150。現在來觀察這個方程：它的兩邊都是關于未知數的整式，指出“這樣的方程叫做整式方程。”就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區別，因而，一元一次方程也是整式方程，但一元一次方程未知數的次數是1，而上列方程未知數的最高次數是2，所以，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程。（這樣與一元一次方程對比著講，既使整式方程的內含擴大，以加深學生的印象，也可使學生深刻了解一元二次方程的意義。）下列方程都是整式方程嗎？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？1、3x+2=5x－3；(2x=5)2、x2=4；3、(x－1)(x－2)=x2+8；(3x=－6)4、(x+3)(3x－4)=(x+2)2；(2x2+x－16=0)（上述方程都是整式方程。其中1、3是一元一次方程，2、4是一元二次方程。）上列方程中的4，兩邊展開，得3x2+5x－12=x2+4x+4移項，得    2x2+x－16=0事實上，方程x2+5 x=150移項，得    x2+5 x－150=0這就是說，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都可以化成下面的形式：            ax2+bx+c=0（a≠0）。這種形式叫做一元二次方程的一般形式。這里應強調指出，方程            ax2+bx+c=0只有當a≠0時，才叫一元二次方程。如果a=0，b≠0，就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必須包含a≠0這個條件。隨后指出，在方程中，ax2，bx，c各項的名稱，并舉例說明。（ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項，b叫做一次項系數；c叫做常數項。）例1  把方程3x(x－1)=2(x+2)+8化成一般形式，并寫出它的二次項系數、一次項系數及常數項。解：去括號，得               3x2－3 x=2x+4+8移項，合并同類項，得               x2－5 x－12=0二次項系數是3；一次項系數是－5；常數項是－12。[課堂練習]教科書第5頁練習第1，2題。[課堂小結]通過本節課的學習，我們知道了什么是整式方程，什么叫做一元二次方程和一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）。在這里我們要特別注意a≠0這個條件。同時我們還學習了一元二次方程化成一般形式后，什么是二次項系數，什么是一次項系數，什么是常數項，在指出這三項內容時，要特別注意它們的符號。[課外作業 ]復習教科書第4，5頁的內容，預習教科第6頁上的內容。 [板書設計 ]課題：      例題：輔助板書： [課后記]

　　通過本節課的學習，大部分學生已掌握了什么是整式方程，什么是一元二次方程的概念，對今后學習一元二次方程的解法打下了良好的基礎。

22．1一元二次方程 篇7

　　教學目標

　　1. 了解整式方程和的概念；

　　2. 知道的一般形式，會把化成一般形式。

　　3. 通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學重點和難點：

　　重點：的概念和它的一般形式。

　　難點：對的一般形式的正確理解及其各項系數的確定。

　　教學建議：

　　1.  教材分析：

　　1）知識結構：本小節首先通過實例引出的概念，介紹了的一般形式以及中各項的名稱。

　　2）重點、難點分析

　　理解的定義：

　　是 的重要組成部分。方程 ，只有當 時，才叫做。如果 且 ，它就是了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：

　　（1）的條件是確定的，如方程 （ ），把它化成一般形式為 ，由于 ，所以 ，符合的定義。

　　（2）條件是用“關于 的”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數不為零的條件。如“關于 的 ”，這時題中隱含了 的條件，這在解題中是不能忽略的。

　　（3）方程中含有字母系數的 項，且出現“關于 的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關于 的方程 ”，這就有兩種可能，當 時，它是一元一次方程 ；當 時，它是，解題時就會有不同的結果。

　　教學目的

　　1.了解整式方程和的概念；

　　2.知道的一般形式，會把化成一般形式。

　　3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學難點和難點:

　　重點:

　　1.的有關概念

　　2.會把化成一般形式

　　難點: 的含義.

　　第 1 2 頁  

22．1一元二次方程 篇8

　　教學目標 

　　1. 了解整式方程和的概念；

　　2. 知道的一般形式，會把化成一般形式。

　　3. 通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學重點和難點：

　　重點：的概念和它的一般形式。

　　難點：對的一般形式的正確理解及其各項系數的確定。

　　教學建議：

　　1.  教材分析：

　　1）知識結構：本小節首先通過實例引出的概念，介紹了的一般形式以及中各項的名稱。

　　2）重點、難點分析

　　理解的定義：

　　是 的重要組成部分。方程 ，只有當 時，才叫做。如果 且 ，它就是了。解題時遇到字母系數的方程可能出現以下情況：

　　（1）的條件是確定的，如方程 （ ），把它化成一般形式為 ，由于 ，所以 ，符合的定義。

　　（2）條件是用“關于 的”這樣的語句表述的，那么它就隱含了二次項系數不為零的條件。如“關于 的 ”，這時題中隱含了 的條件，這在解題中是不能忽略的。

　　（3）方程中含有字母系數的 項，且出現“關于 的方程”這樣的語句，就要對方程中的字母系數進行討論。如：“關于 的方程 ”，這就有兩種可能，當 時，它是一元一次方程 ；當 時，它是，解題時就會有不同的結果。

　　教學目的

　　1.了解整式方程和的概念；

　　2.知道的一般形式，會把化成一般形式。

　　3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學難點 和難點:

　　重點:

　　1.的有關概念

　　2.會把化成一般形式

　　難點: 的含義.

　　教學過程 設計

　　一、引入新課

　　引例：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪?

　　分析：1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。

　　2.這個問題用什么數學方法解決?(間接計算即列方程解應用題。

　　3.讓學生自己列出方程   (     x（x十5）＝150    )

　　深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎?你能叫出這個方程的名字嗎？

　　二、新課

　　1.從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上初中代數研究的主要對象是方程。這部分內容從初一一直貫穿到初三。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)

　　2.什么是—元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區別、也就是說首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個、這還取決于未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做.(板書的定義)

　　3.強化的概念

　　下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是?

　　(1)3x十2＝5x—3：  (2)x2＝4

　　(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；  (4)(x—1)(x—2)＝x2十8

　　從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然后再查看這個方程未知數的最高次數是否是2。

　　4. 概念的延伸

　　提問：很多嗎?你有辦法一下寫出所有的嗎?

　　引導學生回顧的定義，分析項的情況，啟發學生運用字母，找到的一般形式

　　ax2+bx+c=0   (a≠0)

　　1）.提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

　　2）.講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的系數名稱.

　　3）.強調：的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。

　　強化概念（課本P6）

　　1.說出下列的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　（1）x2十3x十2＝O  （2）x2—3x十4＝0；  (3)3x2-5＝0

　　（4）4x2十3x—2＝0；  (5)3x2—5＝0；       (6)6x2—x=0。

　　2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　(1)6x2＝3-7x；  (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2

　　課堂小節

　　(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一（如果方程未知數的最高次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；

　　(2)要知道的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；

　　(3)要很熟練地說出隨便一個中一二次項、一次項、常數項：二次項系數、一次項系數.

　　課外作業 ：略

22．1一元二次方程 篇9

　　教學目的

　　　　1.了解整式方程和一元二次方程的概念；

　　2.知道一元二次方程的一般形式，會把一元二次方程化成一般形式。

　　3.通過本節課引入的教學，初步培養學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辨證唯物主義觀點，激發學生學習數學的興趣。

　　教學難點和難點:

　　　重點:

　　1.一元二次方程的有關概念

　　2.會把一元二次方程化成一般形式

　　難點: 一元二次方程的含義.

　　教學過程設計

　　一、引入新課

　　引例：剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應該怎樣剪?

　　分析：1.要解決這個問題，就要求出鐵片的長和寬。

　　2.這個問題用什么數學方法解決?(間接計算即列方程解應用題。

　　3.讓學生自己列出方程   (     x（x十5）＝150    )

　　深入引導：方程x(x十5)＝150有人會解嗎?你能叫出這個方程的名字嗎？

　　二、新課

　　1.從上面的引例我們有這樣一個感覺：在解決日常生活的計算問題中確需列方程解應用題，但有些方程我們解不了，但必須想辦法解出來。事實上初中代數研究的主要對象是方程。這部分內容從初一一直貫穿到初三。到目前為止我們對方程研究的還很不夠，從今天起我們就開始研究這樣一類方程--------一元一二次方程(板書課題)

　　2.什么是—元二次方程呢？現在我們來觀察上面這個方程：它的左右兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程叫做整式方程，就這一點來說它與一元一次方程沒有什么區別、也就是說一元二次方程首先必須是一個整式方程，但是一個整式方程未必就是一個一元二次方程、這還取決于未知數的最高次數是幾。如果方程未知數的最高次數是2、這樣的整式方程叫做一元二次方程.(板書一元二次方程的定義)

　　3.強化一元二次方程的概念

　　下列方程都是整式方程嗎?其中哪些是一元一次方程?哪些是一元二次方程?

　　(1)3x十2＝5x—3：  (2)x2＝4

　　(2)(x十3)(3x·4)＝(x十2)2；  (4)(x—1)(x—2)＝x2十8

　　從以上4例讓學生明白判斷一個方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化簡必須先化簡、然后再查看這個方程未知數的最高次數是否是2。

　　4. 一元二次方程概念的延伸

　　提問：一元二次方程很多嗎?你有辦法一下寫出所有的一元二次方程嗎?

　　引導學生回顧一元二次方程的定義，分析一元二次方程項的情況，啟發學生運用字母，找到一元二次方程的一般形式

　　ax2+bx+c=0   (a≠0)

　　1）.提問a＝0時方程還是一無二次方程嗎?為什么?(如果a＝0、b≠就成了一元一次方程了)。

　　2）.講解方程中ax2、bx、c各項的名稱及a、b的系數名稱.

　　3）.強調：一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中一次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在、而且左邊通常按x的降冪排列：特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0。

　　強化概念（課本p6）

　　1.說出下列一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　（1）x2十3x十2＝o  （2）x2—3x十4＝0；  (3)3x2-5＝0

　　（4）4x2十3x—2＝0；  (5)3x2—5＝0；       (6)6x2—x=0。

　　2.把下列方程先化成二元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數、常數項：

　　(1)6x2＝3-7x；  (3)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(5)(3x十2)2＝4(x-3)2

　　課堂小節

　　(1)本節課主要介紹了一類很重要的方程—一一元二次方程（如果方程未知數的最高次數為2，這樣的整式方程叫做一元一二次方程）；

　　(2)要知道一元二次方程的一般形式ax2十bx十c＝0(a≠0)并且注意一元二次方程的一般形式中“＝”的左邊最多三項、其中二次項、常數項可以不出現、但二次項必須存在。特別注意的是“＝”的右邊必須整理成0；

　　(3)要很熟練地說出隨便一個一元二次方程中一二次項、一次項、常數項：二次項系數、一次項系數.

　　課外作業：略

22．1一元二次方程 篇10

　　12.1  用公式解一元二次方程（一）

　　一、素質教育目標

　　（一）知識教學點：1.使學生了解一元二次方程及整式方程的意義；2.掌握一元二次方程的一般形式，正確識別二次項系數、一次項系數及常數項.

　　（二）能力訓練點：1.通過一元二次方程的引入，培養學生分析問題和解決問題的能力；2.通過一元二次方程概念的學習，培養學生對概念理解的完整性和深刻性.

　　（三）德育滲透點：由知識來源于實際，樹立轉化的思想，由設未知數列方程向學生滲透方程的思想方法，由此培養學生用數學的意識.

　　二、教學重點、難點

　　1.教學重點：一元二次方程的意義及一般形式.

　　2.教學難點 ：正確識別一般式中的“項”及“系數”.

　　三、教學步驟 

　　（一）明確目標

　　1.用電腦演示下面的操作：一塊長方形的薄鋼片，在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，然后把四邊折起來，就成為一個無蓋的長方體盒子，演示完畢，讓學生拿出事先準備好的長方形紙片和剪刀，實際操作一下剛才演示的過程.學生的實際操作，為解決下面的問題奠定基礎，同時培養學生手、腦、眼并用的能力.

　　2.現有一塊長80cm，寬60cm的薄鋼片，在每個角上截去四個相同的小正方形，然后做成底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，那么應該怎樣求出截去的小正方形的邊長？

　　教師啟發學生設未知數、列方程，經整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不會解，說明所學知識不夠用，需要學習新的知識，學了本章的知識，就可以解這個方程，從而解決上述問題.

　　板書：“第十二章一元二次方程”.教師恰當的語言，激發學生的求知欲和學習興趣.

　　（二）整體感知

　　通過章前引例和節前引例，使學生真正認識到知識來源于實際，并且又為實際服務，學習了一元二次方程的知識，可以解決許多實際問題，真正體會學習數學的意義；產生用數學的意識，調動學生積極主動參與數學活動中.同時讓學生感到一元二次方程的解法在本章中處于非常重要的地位.

　　（三）重點、難點的學習及目標完成過程

　　1.復習提問

　　（1）什么叫做方程？曾學過哪些方程？

　　（2）什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含義？

　　（3）什么叫做分式方程？

　　問題的提出及解決，為深刻理解一元二次方程的概念做好鋪墊.

　　2.引例：剪一塊面積為150cm2的長方形鐵片使它的長比寬多5cm，這塊鐵片應怎樣剪？

　　引導，啟發學生設未知數列方程，并整理得方程x2+5x-150=0，此方程和章前引例所得到的方程x2＋70x＋825＝0加以觀察、比較，得到整式方程和一元二次方程的概念.

　　整式方程：方程的兩邊都是關于未知數的整式，這樣的方程稱為整式方程.

　　一元二次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2，這樣的整式方程叫做一元二次方程.

　　一元二次方程的概念是在整式方程的前提下定義的.一元二次方程中的“一元”指的是“只含有一個未知數”，“二次”指的是“未知數的最高次數是2”.“元”和“次”的概念搞清楚則給定義一元三次方程等打下基礎.一元二次方程的定義是指方程進行合并同類項整理后而言的.這實際上是給出要判定方程是一元二次方程的步驟：首先要進行合并同類項整理，再按定義進行判斷.

　　3.練習：指出下列方程，哪些是一元二次方程？

　　（1）x（5x-2）＝x（x＋1）＋4x2；

　　（2）7x2＋6＝2x（3x＋1）；

　　（3）

　　（4）6x2＝x；

　　（5）2x2＝5y；

　　（6）-x2＝0

　　4.任何一個一元二次方程都可以化為一個固定的形式，這個形式就是一元二次方程的一般形式.

　　一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.ax2稱二次項，bx稱一次項，c稱常數項，a稱二次項系數，b稱一次項系數.

　　一般式中的“a≠0”為什么？如果a＝0，則ax2+bx+c＝0就不是一元二次方程，由此加深對一元二次方程的概念的理解.

　　5.例1  把方程3x（x-1）＝2（x＋1）＋8化成一般形式，并寫出二次項系數，一次項系數及常數項？

　　教師邊提問邊引導，板書并規范步驟，深刻理解一元二次方程及一元二次方程的一般形式.

　　6.練習1：教材p.5中1，2.要求多數學生在練習本上筆答，部分學生板書，師生評價.題目答案不唯一，最好二次項系數化為正數.

　　練習2：下列關于x的方程是否是一元二次方程？為什么？若是一元二次方程，請分別指出其二次項系數、一次項系數、常數項.

　　8mx-2m-1＝0；（4）（b2＋1）x2-bx＋b＝2；（5）2tx（x-5）＝7-4tx.

　　教師提問及恰當的引導，對學生回答給出評價，通過此組練習，加強對概念的理解和深化.

　　（四）總結、擴展

　　引導學生從下面三方面進行小結.從方法上學到了什么方法？從知識內容上學到了什么內容？分清楚概念的區別和聯系？

　　1.將實際問題用設未知數列方程轉化為數學問題，體會知識來源于實際以及轉化為方程的思想方法.

　　2.整式方程概念、一元二次方程的概念以及它的一般形式，二次項系數、一次項系數及常數項.歸納所學過的整式方程.

　　3.一元二次方程的意義與一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的區別和聯系.強調“a≠0”這個條件有長遠的重要意義.

　　四、布置作業 

　　1.教材p.6 練習2.

　　2.思考題：

　　1）能不能說“關于x的整式方程中，含有x2項的方程叫做一元二次方程？”

　　2）試說出一元三次方程，一元四次方程的定義及一般形式（學有余力的學生思考）.

　　五、板書設計 

　　第十二章  一元二次方程

　　12.1用公式解一元二次方程

　　1.整式方程：……

　　4.例1：……

　　2.一元二次方程……：

　　……

　　3.一元二次方程的一般形式：

　　……

　　5.練習：……

　　……

　　……

　　六、課后習題參考答案

　　教材p.6a2.

　　教材p.6b1、2.

　　1.（1）二次項系數：ab  一次項系數：c  常數項：d.

　　（2）二次項系數： m-n  一次項系數：0  常數項：m＋n.

　　2.一般形式：（m＋n）x2+（m-n）x＋p-q＝0（m＋n≠0）二次項系數：m＋n，一次項系數：m－n，常數項：p－q.

　　思考題

　　（1）不能.如x3＋2x2－4x＝5.

　　（2）一元三次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是3，這樣的整式方程叫做一元三次方程.一般形式：ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）.

　　一元四次方程：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是4，這樣的整式方程叫做一元四次方程.一般形式：ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝0（a≠0）.

22．1一元二次方程 篇11

　　一元二次方程根與系數的關系的知識內容主要是以前一單元中的求根公式為基礎的。教材通過一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、2= 得出一元二次方程根與系數的關系，以及以數x1、x2為根的一元二次方程的求方程模型。然后是通過4個例題介紹了利用根與系數的關系簡化一些計算的知識。例如，求方程中的特定系數，求含有方程根的一些代數式的值等問題，由方程的根確定方程的系數的方法等等。

　　根與系數的關系也稱為韋達定理（韋達是法國數學家）。韋達定理是初中代數中的一個重要定理。這是因為通過韋達定理的學習，把一元二次方程的研究推向了高級階段，運用韋達定理可以進一步研究數學中的許多問題，如二次三項式的因式分解，解二元二次方程組；韋達定理對后面函數的學習研究也是作用非凡。

　　通過近些年的中考數學試卷的分析可以得出：韋達定理及其應用是各地市中考數學命題的熱點之一。出現的題型有選擇題、填空題和解答題，有的將其與三角函數、幾何、二次函數等內容綜合起來，形成難度系數較大的壓軸題。

　　通過韋達定理的教學，可以培養學生的創新意識、創新精神和綜合分析數學問題的能力，也為學生今后學習方程理論打下基礎。

　　（二）重點、難點

　　一元二次方程根與系數的關系是重點，讓學生從具體方程的根發現一元二次方程根與系數之間的關系，并用語言表述，以及由一個已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關系，比較抽象，學生真正掌握有一定的難度，是教學的難點。

　　（三）教學目標 

　　1、知識目標：要求學生在理解的基礎上掌握一元二次方程根與系數的關系式，能運用根與系數的關系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知數，會求一元二次方程兩個根的倒數和與平方數，兩根之差。

　　2、能力目標：通過韋達定理的教學過程 ，使學生經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程 ，發展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，進一步培養學生的創新意識和創新精神。

　　3、情感目標：通過情境教學過程 ，激發學生的求知欲望，培養學生積極學習數學的態度。體驗數學活動中充滿著探索與創造，體驗數學活動中的成功感，建立自信心。

　　二、設計理念

　　根據教材內容和本人研究的課題《初中數學問題引探教學實驗研究》，在教學中滲透新課標的精神，注重過程數學，注重創新教學，注重問題意識，關注學生的學習興趣和經驗，讓學生主動參與學習活動，主動探索并獲取知識，教師是組織者、引導者、參與者。

　　三、教法與學法

　　（一）教法

　　1、充分以學生為主體進行教學，讓學生多實踐，從實踐中反思過程，讓學生經歷韋達定理的發生發展過程，并從中體驗成功的樂趣。

　　2、采用“實踐（練習）——觀察——發現——猜想——證明”的過程教學。引導學生發現問題，師生共同解決問題。

　　3、分小組討論交流，多渠道信息反饋。

　　4、問題引探，啟發誘導，進行創新教學。

　　（二）學法指導

　　1、引導學生實踐、觀察、發現問題、猜想并推理。

　　2、指導學生掌握思考問題的方法及解決問題的途徑。

　　3、指導學生熟練掌握根與系數的關系，并將應用問題和規律歸類。

　　四、課時劃分及教學過程 

　　（一）課時劃分

　　共分3課時

　　第一課時

　　1、根與系數的關系。

　　2、根與系數的關系的應用。

　　（1）求已知方程的兩根的平方和、倒數和、兩根差。

　　第二課時

　　1、已知兩數求作新方程。

　　2、由已知兩根和與積的值或式子，求字母的值。

　　第三課時

　　方程判別式、根與系數的關系的綜合應用。

　　第一課時    一元二次方程根與系數的關系（1）

　　一、教學目標 

　　1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根x1，x2與系數a、b、c之間的關系。

　　2、能根據根與系數的關系式和已知一個根的條件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知數。

　　3、會求已知方程的兩根的倒數和與平方和、兩根的差。

　　4、在推導過程中，培養學生“觀察——發現——猜想——證明”的研究問題的思想與方法。

　　二、重難點

　　根與系數的關系是重點，由于式子的抽象性，兩根之和等于一次項系數除以二次項系數的相反數中的符號是學生理解和掌握的難點。

　　三、教學過程 

　　（一）問題引探

　　問題1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值決定什么？b2-4ac的取值呢？同學們可知道a、b、c的取值與一元二次方程ax2+bx+c=0的根還有其它關系？今天我們進一步研究一元二次方程的這種關系。

　　問題2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，計算兩根的和與積，你能發現什么結論（現象）？

　　問題3.解下列方程：

　　（1）2x2+5x+3=0                              （2）3x2-2x-2=0

　　并根據問題2和以上的求解填寫下表

　　請觀察上表，你能發現兩根之和、兩根之積與方程的系數之間有什么關系嗎？

　　問題4.請根據以上的觀察發現進一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2與a、b、c之間的關系：____________.

　　問題5.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。

　　分小組討論以上的問題，并作出推理證明。

　　若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1=，x2= ,  則

　　x1+x2= + = ;

　　x1 x2= · =  

　　=

　　即：如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根是x1，x2，那么x1+x2=   ，x1x2= 。

　　由此得出一元二次方程的根與系數的關系；還可以讓學生用自己的語言表述這種關系，來加深理解和記憶。

　　這個關系是一個法國數學家韋達發現的，所以也稱之為韋達定理。

　　問題6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用嗎？（引導學生反思性小結）

　　①二次項系數a是否為零，決定著方程是否為二次方程；

　　②當a≠0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數；

　　③當a≠0時，△=b2-4ac可判定根的情況；

　　④當a≠0，b2-4ac≥0時，x1+x2=   ，x1x2= 

　　⑤當a≠0，c=0時，方程有一根為0。

　　說明：1、本設計采用“實踐——觀察——發現——猜想——證明”的過程，使學生既動手又動腦，且又動口，教師引導啟發，避免注入式地講授一元二次方程根與系數的關系，體現學生的主體學習特性，培養了學生的創新意識和創新精神。

　　2、本設計遵循由特殊到一般，從實踐到理論（即從感性認識上升到理性認識）的認知規律。

　　3、本設計注重了學生的反思過程，使學生將知識系統化、格式化。

　　（二）嘗試發展

　　試一試：根據根與系數的關系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數）

　　（1）2x2-3x+1=0      x1+x2=________      x1x2=_________            

　　（2）3x2+5x=0        x1+x2=________      x1x2=__________            

　　（3）5x2+x-2=0       x1+x2=_________     x1x2=__________           

　　（4）5x2+kx-6=0      x1+x2=_________     x1x2=__________            

　　（此試一試作為鞏固知識而用）

　　嘗試題1、已知方程6x2+kx-5=0的一個根為，求它的另一個根及k的值。

　　組織學生自己分析解決，然后一學生演板，其余學生在草稿本上練習。

　　學生練習：P32 2。

　　嘗試題2、利用根與系數的關系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的兩個根的（1）平方和，（2）倒數和。

　　討論：解上面問題的思路是什么？

　　得出：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;    .(將平方和、倒數和轉化為兩根和與積的代數式)

　　（三）拓展創新

　　1、在嘗試2中能否求（x1－x2）的值？2、已知實數滿足關系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，且a≠b，能否求a+b與ab的值？

　　說明：1、“試一試”是引導學生及時鞏固本節所學的新知“根與系數的關系”，其中第（3）小題是培養學生思維嚴謹性和批判性；第（4）小題是起過渡作用設計。

　　2、嘗試題1、2讓學生討論完成或獨立完成，可以看書完成，其系數與例題有別。

　　3、“拓展創新”中是培養學生思維的發散性教學設計，也是開放性教學，使有的學生的奇異思維得到發展。

　　（四）歸納小結本課主要研究了什么？1、方程的根是由系數決定的。2、a≠0時，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、a≠0，且b2-4ac≥0時，方程ax2+bx+c=0的根為x1、2= 4、b2-4ac的值可判定根的情況。5、a≠0，△≥0時，x1+x2=，x1x2=      。6、方程根與系數關系的有關應用。

　　（1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有關代數式的值。

　　（五）布置作業 

　　P33A 1、2  B  1（1）

　　練習：1.已知三角形的兩邊長a、b是方程x2-kx+12=0的兩個，等腰三角形的另一條邊c=4,求這個等腰三角形的周長。

　　2、已知關于x的方程x2－2mx+ m2=0.其中分別是一個等腰三角形的腰和底邊的長.

　　（1）         求征這個方程有兩個不相等實數根.

　　（2）         若方程的兩個實數根差的絕對值是8，并且等腰三角形的面積是12，求這個三角形的內切圓的面積.

　　3、 已知二次函數y=x2+2ax－2b+1和y=－x2+（a—3）x+b2－1的圖象都經過x軸上兩個不同的點 ,求這兩個函數的解析式.

22．1一元二次方程 篇12

　　教學目標 

　　1.  初步掌握用直接開平方法解一元二次方程，會用直接開平方法解形如 的方程；

　　2.  初步掌握用配方法解一元二次方程，會用配方法解數字系數的一元二次方程；

　　3.  掌握一元二次方程的求根公式的推導，能夠運用求根公式解一元二次方程；

　　4.  會用因式分解法解某些一元二次方程。

　　5.  通過對一元二次方程解法的教學，使學生進一步理解“降次”的數學方法，進一步獲得對事物可以轉化的認識。

　　教學重點和難點

　　重點：一元二次方程的四種解法。

　　難點：選擇恰當的方法解一元二次方程。

　　教學建議：

　　一、教材分析：

　　1.知識結構：

　　2.重點、難點分析

　　（1）熟練掌握開平方法解一元二次方程

　　用開平方法解一元二次方程，一種是直接開平方法，另一種是配方法。

　　如果一元二次方程的一邊是未知數的平方或含有未知數的一次式的平方，另一邊是一個非負數，或完全平方式，如方程 ， 和方程 就可以直接開平方法求解，在開平方時注意取正、負兩個平方根。

　　配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉化為 的形式來求解。配方時要注意把二次項系數化為1和方程兩邊都加上一次項系數一半的平方這兩個關鍵步驟。

　　（2）熟記求根公式 （ ）和公式中字母的意義在使用求根公式時要注意以下三點：

　　1）把方程化為一般形式，并做到 、 、 之間沒有公因數，且二次項系數為正整數，這樣代入公式計算較為簡便。

　　2）把一元二次方程的各項系數 、 、 代入公式時，注意它們的符號。

　　3）當 時，才能求出方程的兩根。

　　（3）抓住方程特點，選用因式分解法解一元二次方程

　　如果一個一元二次方程的一邊是零，另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以用因式分解法求解。這時只要使每個一次因式等于零，分別解兩個一元一次方程，得到兩個根就是一元二次方程的解。

　　我們共學習了四種解一元二次方程的方法：直接開平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程時，要認真觀察方程的特征，選用適當的方法求解。

　　二、教法建議

　　1. 教學方法建議采用啟發引導，講練結合的授課方式，發揮教師主導作用，體現學生主體地位，學生獲取知識必須通過學生自己一系列思維活動完成，啟發誘導學生深入思考問題，有利于培養學生思維靈活、嚴謹、深刻等良好思維品質.

　　2. 注意培養應用意識.教學中應不失時機地使學生認識到數學源于實踐并反作用于實踐.

　　教學設計示例

　　教學目標 

　　1. 使學生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0， b≠0， c≠0)可以轉化為適合于直接開平方法的形式(x+m)2=n;

　　2. 在理解的基礎上，牢牢記住配方的關鍵是“添加的常數項等于一次項系數一半的平方”；

　　3. 在數學思想方法方面，使學生體會“轉化”的思想和掌握配方法。

　　教學重點和難點

　　重點：掌握用配方法解一元二次方程。

　　難點：湊配成完全平方的方法與技巧。

　　教學過程 設計

　　一 復習

　　1.完全的一元二次方程的一般形式是什么樣的?(注意a≠0)

　　2.不完全一元二次方程的哪幾種形式?

　　(答：只有三種ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))

　　3.對于前兩種不完全的一元二次方程ax2=0 (a≠0)和ax2+c=0 (a≠0),我們已經學會了它們的解法。

　　特別是結合換元法，我們還會解形如(x+m) 2=n(n≥0)的方程。

　　例  解方程：(x-3) 2=4  (讓學生說出過程)。

　　解：方程兩邊開方，得  x-3=±2，移項，得  x=3±2。

　　所以  x1=5,x2=1.      (并代回原方程檢驗，是不是根)

　　4.其實(x-3) 2=4是一個完全的一元二次方程，我們把原方程展開、整理為一元二次方程。(把這個展開過程寫在黑板上)

　　(x-3) 2=4,     ①

　　x2-6x+9=4,   ②

　　x2-6x+5=0.    ③

　　二 新課

　　1.逆向思維

　　我們把上述由方程①→方程②→方程③的變形逆轉過來，可以發現，對于一個完全的一元二次方程，不妨試試把它轉化為(x+m) 2=n的形式。這個轉化的關鍵是在方程左端構造出一個未知數的一次式的完全平方式(x+m) 2。

　　2.通過觀察，發現規律

　　問：在x2+2x上添加一個什么數，能成為一個完全平方(x+?)2。   (添一項+1)

　　即   (x2+2x+1)=(x+1) 2.

　　練習，填空：

　　x2+4x+( )=(x+  ) 2;     y2+6y+(  )=(y+  ) 2.

　　算理  x2+4x=2x·2�d，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3�e，所以添3的平方。

　　總結規律：對于x2+px,再添上一次項系數一半的平方，就能配出一個含未知數的一個次式的完全平方式。即 .+ ( ) ④

　　(讓學生對④式的右邊展開，體會括號內第一項與第二項乘積的2倍，恰是左邊的一次

　　項，括號內第二項的平方，恰是配方時所添的常數項)

　　項固練習(填空配方)

　　總之，左邊的常數項是一次項系數一半的平方。

　　問：如果左邊的一次項系數是負數，那么右邊括號里第二項的正負號怎么取?算理是什么?

　　鞏固練習(填空配方)

　　x2-bx+(  )=(x-  ) 2;            x2-(m+n)x+(  )=(x-  ) 2.

22．1一元二次方程 篇13

　　一、教材分析

　　1、教材所處的地位和作用：本課是閱讀教材P39頁的有關內容，雖然新課程標準沒有要，教材上也作為閱讀教材，但由于其內容太重要了，因而必須把它作為一堂課來上。它的作用在于讓學生能盡快判定一元二次方程根的情況。

　　2、教學內容：本課主要是引導學生通過對一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到的（x+       ）2 =     2                          的觀察，分析，討論，發現，最后得出結論：只有當                                                     2

　　b2－4ac≥ 0    時，才能直接開平方，進一步討論分析得出根的判別式，從而運用它解決實際問題。

　　3、新課程標準的要求：由于根的判別式作為刪去內容，雖然其內容重要，因而在處理這部分內容時，只能要求作了解性深入，練習盡可能簡捷明確。

　　4、教學目標 ：

　　（1）知識能力目標：通過本課的學習，讓學生在知識上了解掌握根的判別式。在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情況；根據根的情況，探求所需的條件。

　　（2）情感目標：學生通過觀察、分析、討論、相互交流、培養與他人交流的能力，通過觀察、分析、感受數學的變化美，激發學生的探求欲望。

　　5、數學思想：由感性認識到理性認識。

　　6、教學重點：

　　（1）發現根的判別式。

　　（2）用根的判別式解決實際問題。

　　7、教學難點 ：

　　根的判別式的發現

　　8、教法：啟導、探究

　　9、學法：合作學習與探究學習

　　10、教學模式：引導——發現式

　　二、教學過程 

　　（一）自習回顧，引入新課

　　1、師生共同回顧：一元二次方程的解法

　　2、解下列一元二次方程。

　　（1）x2 -1=0           （2）x2  -2x =-1

　　（3）(x+1)2- 4=0    （4）x2  +2x+2=0

　　3、為什么會出現無解？

　　（二）探索

　　1、回顧：用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。

　　ax2+bx+c=  －c

　　x2+    x =－

　　x2+    x+(       )2=(       )2 —

　　2

　　(x+      ) 2=           2

　　2                             

　　2、觀察(x+      ) 2=           2     在什么情況下成立？

　　3、學生分組討論。

　　4、猜測？

　　5、發現了什么？

　　6、總結：2（先由學生完成，后由教師補充完整），通過觀察分析發現，只有當 b2－4ac≥ 0時，                 才能直接開平方，也就是說，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)只有當系數a,b,c都是b2－4ac≥ 0時，才有實數根。（注意有根和有實數根的區別）

　　7、進一步觀察發現一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

　　（1）當b2－4ac＞ 0時，_______________________

　　（2）當b2－4ac＝ 0時,_________________________

　　（3）當b2－4ac＜ 0時,_________________________

　　8、總結：

　　（1）比較分析學生的討論分析結果。

　　（2）由學生總結。

　　（3）教師根據學生總結情況補充完整。

　　把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式。

　　（1）當b2－4ac＞ 0時，_______________________

　　（2）當b2－4ac＝ 0時,_________________________

　　（3）當b2－4ac＜ 0時,________________________

　　（三）應用新知：

　　1、不解方程判定下列一元二次方程根的情況。

　　（1）x2-x-6=0        b2－4ac=______          x1=_____     x2=_____

　　（2）x2-2x=1        b2－4ac=______           x1=_____     x2=_____

　　（3）x2-2x+2=0       b2－4ac=______              x1=_____     x2=_____

　　2、根據根的情況，求字母系數的取值范圍。

　　例1：當m取什么值時，關于x的一元二次方程，2x2-(m+2)+2m=0有兩個相等的實數根？并求出方程的根。

　　（1）讀題分析：

　　A、二次項系數是什么？                     a=_______

　　B、一次項系數是什么？                     b=_______

　　C、常數項是什么？                            c=_______

　　(2)建立等式，根據有個常數根   b2－4ac=0

　　（3）由學生完成解題過程后教師評價

　　3、證明

　　例2：說明不論m取什么值時，關于x的一元二次方程（x-1）(x-2)=m2,不論m取代的值都有幾個不相等的實根。

　　（四）練習

　　已知關于x的一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判別式是9，求m的值及方程的根。

　　（五）小結：把_________叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式，并會用它們解決一些實際問題。

　　三、作業 

　　1、把例1、例2整理在作業 本上。

　　2、有余力的同學把練習題整理在作業 本。

　　四、教學后記：