第二十二章“一元二次方程”簡介
課程教材研究所 田載今 一、教科書內容和課程學習目標（一）教科書內容本章的主要內容包括：一元二次方程及其有關概念，一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）以及運用一元二次方程分析和解決實際問題.全章共包括三節：22.1 一元二次方程22.2 降次22.3 實際問題與一元二次方程22.1 節以實際問題為背景，引出一元二次方程的概念，歸納出一元二次方程的一般形式，給出一元二次方程的根的概念，并提出一元二次方程的根不唯一.這些概念是全章后續內容的基礎.22.2節討論一元二次方程的基本解法，其中包括配方法、公式法和因式分解法等，這一節是全章的重點內容之一。本套教科書在本章之前的方程都是一次方程或可化為一次方程的分式方程，一元二次方程是首次出現的一次以上的方程。解二次方程的基本策略是將其轉化為一次方程，這就是“降次”。22.2節首先通過解比較簡單的一元二次方程，引導學生認識直接開平方法解方程；然后討論比較復雜的一元二次方程，通過對比一邊為完全平方形式的方程，使學生認識配方法的基本原理并掌握其具體方法；有了配方法作基礎，再討論如何用配方法解一元二次方程的一般形式，就得到一元二次方程的求根公式，于是有了直接利用公式的公式法。本節最后討論因式分解法解一元二次方程，這種解法要使方程的一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別令每個一次因式為0。這幾種解法都是依降次的思想，將二次方程轉化為一次方程，只是具體的降次手段有所不同。22.3節安排了4個探究內容，結合實際問題，分別討論傳播問題、增長率問題、幾何圖形面積問題和勻變速運動。一元二次方程與許多實際問題都有聯系，本節不是按照實際問題的類型分類和選材的，而是選取幾個具有一定代表性的實際問題來進一步討論如何建立和利用方程模型，重點在分析實際問題中的數量關系并以方程形式進行表示，這種數學建模思想的體現與前面有關方程各章是一致的，只是在問題中數量關系的復雜程度上又有新的發展，數學模型由一次方程或可以化為一次方程的分式方程變為一元二次方程。本章從引言到小結始終保持貼近實際、貼近生活。這樣安排的主要目的是：1.反映客觀世界與數學的密切聯系；2.加強對應用數學知識分析和解決實際問題的意識和能力的培養。課程標準沒有將一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）列為必學內容，因此本章也未在課文中安排有關內容。考慮到部分學有余力的學生可以進一步擴大對一元二次方程的認識，以及這個內容是比較重要的數學知識，教科書在選學欄目“觀察與猜想”中安排了有關內容，希望能提供一些問題給部分學生去探究。在本章小結中，教科書通過本章知識結構圖和思考題，再次強調解一元二次方程與實際問題之間的聯系，突出解一元二次方程的基本思路以及具體方法，這是本章的重點內容。一元二次方程是本套初中數學教科書中所學習的最后一種方程，從某種意義上說，學習本章也具有對方程的學習進行總結的作用。（二）本章知識結構框圖（三）課程學習目標1.以分析實際問題中的等量關系并求解其中的未知數為背景，認識一元二次方程及其有關概念；