運用公式法
教學設計示例
――完全平方公式(1)
教學目標
1.使學生會分析和判斷一個多項式是否為完全平方式,初步掌握運用完全平方式把多項式分解因式的方法;
2.理解完全平方式的意義和特點,培養學生的判斷能力.
3.進一步培養學生全面地觀察問題、分析問題和逆向思維的能力.
4.通過分解因式的教學,使學生進一步體會“把一個代數式看作一個字母”的換元思想。
教學重點和難點
重點:運用完全平方式分解因式.
難點:靈活運用完全平方公式公解因式.
教學過程設計
一、復習
1.問:什么叫把一個多項式因式分解?我們已經學習了哪些因式分解的方法?
答:把一個多項式化成幾個整式乘積形式,叫做把這個多項式因式分解.我們學過的因式分解的方法有提取公因式法及運用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式:
(1)ax4-ax2 (2)16m4-n4.
解 (1) ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1)
(2) 16m4-n4=(4m2)2-(n2)2
=(4m2+n2)(4m2-n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m-n).
問:我們學過的乘法公式除了平方差公式之外,還有哪些公式?
答:有完全平方公式.
請寫出完全平方公式.
完全平方公式是:
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2.
這節課我們就來討論如何運用完全平方公式把多項式因式分解.
二、新課
和討論運用平方差公式把多項式因式分解的思路一樣,把完全平方公式反過來,就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2.
這就是說,兩個數的平方和,加上(或者減去)這兩個數的積的2倍,等于這兩個數的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式,上面的兩個公式就是完全平方公式.運用這兩個式子,可以把形式是完全平方式的多項式分解因式.
問:具備什么特征的多項是完全平方式?
答:一個多項式如果是由三部分組成,其中的兩部分是兩個式子(或數)的平方,并且這兩部分的符號都是正號,第三部分是上面兩個式子(或數)的乘積的二倍,符號可正可負,像這樣的式子就是完全平方式.
問:下列多項式是否為完全平方式?為什么?
(1)x2+6x+9; (2)x2+xy+y2;
(3)25x4-10x2+1; (4)16a2+1.
答:(1)式是完全平方式.因為x2與9分別是x的平方與3的平方,6x=2·x·3,所以
x2+6x+9=(x+3) .
(2)不是完全平方式.因為第三部分必須是2xy.
(3)是完全平方式.25x =(5x ) ,1=1 ,10x =2·5x ·1,所以
25x -10x +1=(5x-1) .
(4)不是完全平方式.因為缺第三部分.
請同學們用箭頭表示完全平方公式中的a,b與多項式9x2+6xy+y2中的對應項,其中a=?b=?2ab=?
答:完全平方公式為:
其中a=3x,b=y,2ab=2·(3x)·y.
例1 把25x4+10x2+1分解因式.
分析:這個多項式是由三部分組成,第一項“25x4”是(5x2)的平方,第三項“1”是1的平方,第二項“10x2”是5x2與1的積的2倍.所以多項式25x4+10x2+1是完全平方式,可以運用完全平方公式分解因式.
解 25x4+10x2+1=(5x2)2+2·5x2·1+12=(5x2+1)2.
例2 把1- m+ 分解因式.
問:請同學分析這個多項式的特點,是否可以用完全平方公式分解因式?有幾種解法?
答:這個多項式由三部分組成,第一項“1”是1的平方,第三項“ ”是 的平方,第二項“- m”是1與m/4的積的2倍的相反數,因此這個多項式是完全平方式,可以用完全平方公式分解因式.
解法1 1- m+ =1-2·1· +( )2=(1- )2.
解法2 先提出 ,則
1- m+ = (16-8m+m2)
= (42-2·4·m+m2)
= (4-m)2.
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