數(shù)學(xué)教案－中心對稱和中心對稱圖形

教學(xué)建議

知識歸納

1.中心對稱

把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)對稱也稱中心對稱，這兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)，叫做關(guān)于中心的對稱點(diǎn).

中心對稱的兩個(gè)圖形具有如下性質(zhì)：（1）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形全等；（2）關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)的連線都過對稱中心，并且被對稱中心平分.

判斷兩個(gè)圖形成中心對稱的方法是：如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱.

2.中心對稱圖形

把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn) ，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心.

矩形、菱形、正方形、平行四邊形都是中心對稱圖形，對角錢的交點(diǎn)就是它們的對稱中心；圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心；線段也是中心對稱圖形，線段中點(diǎn)就是它的對稱中心.

知識結(jié)構(gòu)

重點(diǎn)、難點(diǎn)分析：

本節(jié)課的重點(diǎn)是中心對稱的概念、性質(zhì)和作已知點(diǎn)關(guān)于某點(diǎn)的對稱點(diǎn).因?yàn)楦拍钍峭茖?dǎo)三個(gè)性質(zhì)的主要依據(jù)、性質(zhì)是今后解決有關(guān)問題的理論依據(jù)；而作已知點(diǎn)關(guān)于某個(gè)點(diǎn)的對稱點(diǎn)又是作中心對稱圖形的關(guān)鍵.

本節(jié)課的難點(diǎn)是中心對稱與中心對稱圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別.從概念角度來說，中心對稱圖形和中心對稱是兩個(gè)不同而又緊密相聯(lián)的概念.從學(xué)生角度來講，在學(xué)習(xí)軸對稱時(shí)，有相當(dāng)一部分學(xué)生對軸對稱和軸對稱圖形的概念理解上出現(xiàn)誤點(diǎn).因此本節(jié)課的難點(diǎn)是中心對稱與中心對稱圖形之間的聯(lián)系和區(qū)別.

教法建議

本節(jié)內(nèi)容和生活結(jié)合較多，新課導(dǎo)入  可考慮以下方法：

（1）從相似概念引入：中心對稱概念與軸對稱概念比較相似，中心對稱圖形與軸對稱圖形比較相似，可從軸對稱類比引入，

（2）從漢字引入：有許多漢字都是中心對稱圖形，如“田”、“日”、“曰”、“中”、“申”、“王”，等等，可從漢字引入，

（3）從生活實(shí)例引入：生活中有許多中心對稱實(shí)例和中心對稱圖形，如飛機(jī)的螺旋槳，風(fēng)車的風(fēng)輪，紐結(jié)，雪花，等等，可從生活實(shí)例引入，

（4）從商標(biāo)引入：各公司、企業(yè)的商標(biāo)中有許多中心對稱實(shí)例和中心對稱圖形，如聯(lián)想，聯(lián)合證券，湘財(cái)證券，中國工商銀行，中國銀行，等等，可從這些商標(biāo)引入，

（5）從車標(biāo)引入：各品牌汽車的車標(biāo)中有許多都是中心對稱圖形，如奧迪，韓國現(xiàn)代，本田，富康，歐寶，寶馬，等等，可從車標(biāo)引入，

（6）從幾何圖形引入：學(xué)習(xí)過的許多圖形都是中心對稱圖形，如圓，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，等等，可從幾何圖形引入，

（7）從藝術(shù)品引入：藝術(shù)品中有許多都是呈中心對稱或是中心對稱圖形，如下圖，可從藝術(shù)品引入。

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

教學(xué)目標(biāo) 

1.知道中心對稱的概念，能說出中心對稱的定義和關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)。

2.會根據(jù)關(guān)于中心對稱圖形的性質(zhì)定理2的逆定理來判定兩個(gè)圖形關(guān)于一點(diǎn)對稱；會畫與已知圖形關(guān)于一點(diǎn)成中心對稱的圖形。

此外，通過復(fù)習(xí)圖形軸對稱，并與中心對稱比較，滲透類比的思想方法；用運(yùn)動的觀點(diǎn)觀察和認(rèn)識圖形，滲透旋轉(zhuǎn)變換的思想。

引導(dǎo)性材料

想一想：怎樣的兩個(gè)圖形叫做關(guān)于某直線成軸對稱？成軸對稱的兩個(gè)圖形有什么性質(zhì)？

（幫助學(xué)生復(fù)習(xí)軸對稱的有關(guān)知識，為中心對稱教學(xué)作準(zhǔn)備）

畫一畫：如圖4.7-1(1)，已知點(diǎn)P和直線L，畫出點(diǎn)P關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)P′；如圖4.7-1(2)，已知線段MN和直線a,畫出線段MN關(guān)于直線a的對稱線段M′N′。

(通過畫圖形進(jìn)一步鞏固和加深對軸對稱的認(rèn)識)

上述問題由學(xué)生回答，教師作必要的提示，并歸納總結(jié)成下表：

觀察與思考：圖4.7-2所示的圖形關(guān)于某條直線成軸對稱嗎？如果是，畫出對稱軸，如果不是，說明理由。

（教師把圖4.7－2的兩個(gè)圖形制成投影片或教具，學(xué)生仔細(xì)觀察后，能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖形都不是軸對稱。然后，教師適時(shí)提出問題：這兩個(gè)圖形能不能重合？怎樣才能使這兩個(gè)圖形重合呢？讓學(xué)生觀察、探究、討論，教師可以直觀地演示中心對稱變換的過程，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：把其中一個(gè)圖形統(tǒng)一特殊點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個(gè)圖形重合。）

教學(xué)設(shè)計(jì)

問題1：你能舉出1～2個(gè)實(shí)例或?qū)嵨铮�說明它們也具有上面所說的特性嗎？

說明：學(xué)生自己舉例有助于他們感性地認(rèn)識中心對稱的意義。然后，教師指出：具有這種特性的圖形叫做中心對稱圖形，并介紹對稱中心，對稱點(diǎn)等概念。

問題2：你能給“中心對稱”下一個(gè)定義嗎？

說明與建議：學(xué)生下定義會有困難，教師應(yīng)及時(shí)修正，并給出明確的定義，然后指出定義中的三個(gè)要點(diǎn)：（l）有一個(gè)對稱中心——點(diǎn)；（2）圖形繞中心旋轉(zhuǎn)180度；（3）旋轉(zhuǎn)后與另一圖形重合。把這三要點(diǎn)填入引導(dǎo)性材料中的空表內(nèi)，在頂空格內(nèi)寫上“中心對稱”字樣，以利于寫“軸對稱”進(jìn)行比較。

練一練：在圖4.7－3中，已知△ABC和△EFG關(guān)于點(diǎn)O成中心對稱，分別找出圖中的對稱點(diǎn)和對稱線段。

說明與建議：教師可演示△ABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180度后與△EFG重合的過程，讓學(xué)生說出點(diǎn)E和點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)F，點(diǎn)C和點(diǎn)G是對稱點(diǎn)；線段AB和EF、線段AC和EG，線段BC和FG都是對稱線段。教師還可向?qū)W生指出，圖4.7－3中，點(diǎn)A、O、E在一條直線上，點(diǎn)C、O、G在一條直線上，點(diǎn)B、O、F在一條直線上，且AO=EO，BO=FO，CO＝GO。

問題3：從上面的練習(xí)及分析中，可以看出關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形具有哪些性質(zhì)？

說明與建議：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：定理l---關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等形；定理2——關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

問題4：定理2的題設(shè)和結(jié)論各是什么？試說出它的逆命題。

說明與建議：學(xué)生解答此題有困難，教師要及時(shí)引導(dǎo)。特別是敘述命題時(shí)，學(xué)生常常照搬“對稱點(diǎn)”、“對稱中心”這些詞語，教師應(yīng)指出：由于沒有“兩個(gè)圖形關(guān)于中心對稱”的前提，所以不能使用“對稱點(diǎn)”、“對稱中心”這樣的詞語，而要改為“對應(yīng)如”、“某一點(diǎn)”。最后，教師應(yīng)完整地?cái)⑹鲞@個(gè)逆命題---如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)對稱。

問題5：怎樣證明這個(gè)逆命題是正確的？

說明與建議：證明過程應(yīng)在教師的引導(dǎo)下，師生共同完成。由已知條件——對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，可以知道：若把其中一個(gè)圖形繞著這點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，它必定于另一個(gè)圖形重合，因此，根據(jù)定義可以判定這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱。這個(gè)逆命題即為逆定理。根據(jù)這個(gè)逆定理，可以判定兩個(gè)圖形關(guān)于一點(diǎn)對稱，也可以畫出已知圖形關(guān)于一點(diǎn)的對稱圖形。

練一練：訪畫出圖4.7－4中，線段PQ關(guān)于點(diǎn)O的對稱線段P′Q′。

（畫法如下：（1）連結(jié)PO，延長PO到P′，使OP′＝OP，點(diǎn)P′就是點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，（2）連結(jié)QO，延長QO到Q′，使Q′Q=OQ，點(diǎn)Q′就是點(diǎn)Q的對稱點(diǎn)，則PQ′就是線段PQ關(guān)于O點(diǎn)的對稱線段。教師應(yīng)指出：畫一個(gè)圖形關(guān)于某點(diǎn)的中心對稱圖形，關(guān)鍵是畫“對稱點(diǎn)”。比如，畫一個(gè)三角形關(guān)于某點(diǎn)的中心對稱三角形，只要畫出三角形三個(gè)頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)，就可以畫出所要求的三角形。）

例題解析

課本例題

說明：（l）教師應(yīng)讓學(xué)生讀題分析，給每個(gè)學(xué)生印發(fā)一張印有圖4.7-5的紙，讓學(xué)生動手畫圖。（2）畫好圖后讓學(xué)生總結(jié)：畫多邊形的中心對稱圖形只要畫出多邊形各頂點(diǎn)的對稱點(diǎn)，即能畫出所求的對稱圖形。

課堂練習(xí)

課本例后練習(xí)第1、2題。

（對第2題，應(yīng)先畫出圖形，然后按照中心對稱的定義或逆定理來說明理由。第2題的第（1）小題可用定義說明，第2題的第（2）小題可根據(jù)逆定理來說明。這里把平行四邊形的對角頂點(diǎn)和平行四邊形的對邊分別看成兩個(gè)圖形：分別是兩個(gè)點(diǎn)和兩條線段。）

1.

2.中心對稱與軸對稱有什么不同？

中心對稱——圖形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度。

軸對稱——圖形沿軸翻折180度。

作業(yè) 

1.課本習(xí)題4.4A組第1題(1)。

2.課本習(xí)題4.4A組第3、4題。