初二數學精華（精選2篇）
初二數學精華 篇1
一元一次不等式和一元一次不等式組
不等式和它的基本性質
考點掃描：
1.了解不等式的意義。
2.掌握不等式的三條基本性質，并會運用這些基本性質將不等式變形。
名師精講：
1.不等式的概念：用不等號把兩個代數式連接起來，表示不等關系的式子，叫做不等式。
2.不等式的基本性質
（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變。用式子表示：如果a>b，那a+c>b+c（或a–c>b–c）
（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。用式子表示：如果a>b，且c>0，那么ac>bc(或>)
（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。用式子表示：如果a>b，且c<0，那么ac<bc(或<)
3.不等式的基本性質是對不等式變形的重要依據。不等式的性質與等式的性質類似，但等式的結論是“仍是等式”，而不等式的結論則是“不等號方向不變或改變”。在運用性質（2）和性質（3）時，要特別注意不等式的兩邊乘以或除以同一個數，首先認清這個數的性質符號，從而確定不等號的方向是否改變。
中考典例：
1.（天津市）若a>b，則下列不等式一定成立的是（ ）
A、<1 B、>1 C、–a>–b D、a–b>0
考點：不等式的性質
評析：不等式的性質是：不等式兩邊同時加上或減去同一個數（或整式）不等號不變；不等式兩邊同時乘以或除以正數不等號不變；不等式兩邊同時乘以或除以一個負數，不等號的方向改變。因此a＞b，所以a、b均可為負數也可為正數，所以A、B選項都不對，C選項不等號的方向沒改變，所以也不對，因a＞b，（a、b代表的是任意數）所以根據不等式的性質運用排除法，可知正確選項為D。
真題專練
1.（北京海淀區）比較大小：當實數a<0時，1+a 1–a(填“<”或“>”)
2.（廣東省）已知實數a、b滿足ab＞0，a+b＜0，則滿足條件的實數a、b可分別為 (寫出滿足條件的兩個數即可)。
3.（北京西城區）如果a＞b，那么下列結論中錯誤的是（ ）
A、a–3＞b–3 B、3a＞3b
C、＞ D、–a＞–b
4.（北京海淀區）若a–b＜0，則下列各式中一定正確的是（ ）
A、a＞b B、ab＞0 C、 D、–a＞–b
5.（天津市）若a＞b，且c為實數則下列各式正確的是（ ）
A、ac＞bc B、ac＜bc C、ac2＞bc2 D、ac2≥bc2
6.（荊門市）已知a、b、c是有理數，且a＞b＞c，那么下列式子正確的是（ ）
A、a+b＞b+c B、a–b＞b–c C、ab＞bc D、
答案：
1、< 2、–1，–2 3、D 4、D
5、D（提示：按c＞0、c=0、c＜0三種情況討論）
6、A（提示：a、b、c是任意有理數，所以C、D不對，當C是負數或0時B不對，因a＞c故a+b＞b+c）
不等式的解集
考點掃描：
1.了解不等式的解和解集的概念。
2.會在數軸上表示不等式的解集。
名師精講：
1.不等式的解：能使不等式成立的未知數的值，叫做這個不等式的解。一般地，一個一元一次不等式有無數多個解。
2.不等式的解集：一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集。
“不等式的解”與“不等式的解集”是兩個不同的概念，前者是指能使不等式成立的每一個未知數的值，后者是指能使不等式成立的所有未知數的值的集合。但二者之間也有著密切聯系，即所有解組成了解集，解集中包括了每一個解。
求不等式的解集的過程，叫做解不等式。
3.不等式解集的表示方法。
（1）用不等式表示：如5x>10的解集是x>2，它的解集仍是一個不等式，這種表示法簡單明了，容易知道哪些數不是原不等式的解。
（2）用數軸表示：它的優點是數形結合、直觀形象，尤其是在解較復雜的不等式或解不等式組時，易于找到正確的答案。在數軸上表示不等式的解集時，要注意：當解集包括端點時，在端點處畫實心圓圈，否則，畫空心圓圈。
中考典例：
（龍巖市、寧德市）不等式2x+10＞3的解集是 。
考點：不等式的解集
評析：不等式的解集是使不等式成立的所有未知數的值組成的集合。該題可用不等式的性質兩邊同時減10，然后兩邊再除以2，求得解集為x>。
真題專練
1.（石家莊市）不等式–6x＞4的解集是（ ）
A、x＞ B、x＜ C、x＞ D、x＜
2.（宜昌市）如果不等式（a–1）x＞a–1的解集是x＜1，則a的取值范圍是（ ）
3.（徐州市）不等式5x–4＜6x的解集是 。
4.（西安市）若代數式3x+4的值不大于0，則x的取值范圍是（ ）
A、x＜ B、x≥ C、x≤- D、x＜–
答案：
1、B；
2、a＜1（提示：因為不等號的方向改變了，所以a–1＜0，即a＜1）；
3、x＞–4；
4、C（提示：3x+4的值不大于0，即得不等式3x+4≤0）
初二數學精華 篇2
一元一次不等式（組）（一）
一、全章教學內容及要求
1、理解不等式的概念和基本性質
2、會解一元一次不等式，并能在數軸上表示不等式的解集
3、會解一元一次不等式組，并能在數軸上表示不等式組的解集。
二、技能要求
1、會在數軸上表示不等式的解集。
2、會運用不等式的基本性質（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。
3、掌握一元一次不等式組的解法，會運用數軸確定不等式組的解集。
三、重要的數學思想：
1、通過一元一次不等式解法的學習，領會轉化的數學思想。
2、通過在數軸上表示一元一次不等式的解集與運用數軸確定一元一次不等式組的解集，進一步領會數形結合的思想。
四、主要數學能力
1、通過運用不等式基本性質對不等式進行變形訓練，培養邏輯思維能力。
2、通過一元一次不等式解法的歸納及一元一次方程解法的類比，培養思維能力。
3、在一元一次不等式，一元一次不等式組解法的技能訓練基礎上，通過觀察、分析、靈活運用不等式的基本性質，尋求合理、簡捷的解法，培養運算能力。
五、類比思想：
把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。這種數學思想通常稱為“類比”，它體現了“不同事物之間存在內部聯系”的唯物辯證觀點，是發現數學真理和解題方法的重要手段之一，在數學中有著廣泛的運用。
在本章中，類比思想的突出運用有：
1、不等式與等式的性質類比。
對于等式（例如a=b）的性質，我們比較熟悉。不等式（例如a>b或a2=0，求m為何值時y為正數。
分析：目前我們學習過的兩個非負數問題，一個是絕對值為非負數，另一個是完全平方數是非負數。由非負數的概念可知，兩個非負數的和等于0，則這兩個非負數只能為零。由這個性質此題可轉化為方程組來解。由此求出y的表達式再解關于m的不等式。
解：∵ |3x-6|+(2x-y-m)2=0,
∴ ∴
解方程組得
要使y為正數，即4-m>0, ∴ m<4.
∴ 當m<4時，y為正數。
注意：要明確“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超過”、“至多”、“至少”、“非負數”、“正數”、“負數”、“負整數”……這些描述不等關系的語言所對應的不等號各是什么。求帶有附加條件的不等式時需要先求這個不等式的所有的解，即這個不等式的解集，然后再從中篩選出符合要求的解。
七、字母系數的不等式：
例：解關于x的不等式3(a+1)x+3a≥2ax+3
分析：由于x是未知數，所以應把a看作已知數，又由于a可以是任意有理數，所以在應用同解原理時，要區別情況，進行分類討論。
解：移項，得3(a+1)x-2ax≥3-3a
合并同類項： (a+3)x≥3-3a
(1)當a+3>0，即a>-3時，x≥,
(2)當a+3=0，即a=-3時，0x≥12，不等式無解。
(3)當a+3<0，即a<-3時，x≤。
注意：在處理字母系數的不等式時，首先要弄清哪一個字母是未知數，而把其他字母看作已知數，在運用同解原理把未知數的系數化為1時，應作合理的分類，逐一討論，例題中只有分為a+3>0, a+3=0, a+3<0, 三種情況進行研究，才有完整地解出不等式，這種處理問題的方法叫做“分類討論”。
八、有關大小比較的問題
例1.根據給定條件，分別求出a的取值范圍。
（1）若a2>a，則a的取值范圍是____________；
（2）若a>, 則a的取值范圍是____________。
解：（1）∵ a2>a,
∴ a2－a>0, 即a(a－1)>0,
∴ 或
解得a>1或a<0。
答：a的取值范圍是a<0或a>1。
（2）∵ a>,∴ a－>0, 即>0.
∴ 或
或
解得a>1或－1
答：a的取值范圍是－11.
例2.（1）比較下列各組數的大小，找規律，提出你的猜想：
______; _______; ______;
______; _______; _____.
從上面的各式發現：一個正分數的分子和分母_____________，所得分數的值比原分數的值要_________。
猜想：設a>b>0, m>0, 則_______。
（2）試證明你的猜想：
分析：1.易知：前面的各個空都填 “< ”.
一個正分數的分子和分母都加上同一個正數，所得分數的值比原分數的值要大。
2.欲證<，只要證－<0.
即證 <0,
即證 <0,
證明：∵ a>b>0, b－a<0,
又∵ m>0, ∴ m(b－a)<0,
∵ －=
==<0,
∴ <。
上面這個不等式有很多有意義的應用。
例如，建筑學規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。若同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件變好了。
設窗戶面積為a，地板面積為b，若同時增加相等的窗戶面積和地板面積m，由<可知，住宅的采光條件變好了。