數學教案－雙曲線的幾何性質

��§8.4  雙曲線的幾何性質（第1課時）
㈠課時目標 
1. 熟悉雙曲線的幾何性質。
2. 能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。
3. 能運用雙曲線的幾何性質或圖形特征，確定焦點的位置，會求雙曲線的標準方程。
㈡教學過程 
 [情景設置] 
  敘述橢圓 的幾何性質，并填寫下表：
方程
性質         
 

圖像 （略） 
范圍 -a≤x≤a，-b≤y≤b 
對稱性 對稱軸、對稱中心 
頂點 （±a,0）、（±b,0） 
離心率 e=(幾何意義)

 [探索研究]
 1.類比橢圓 的幾何性質，探討雙曲線 的幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率。
   雙曲線的實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長及離心率的定義。
雙曲線與橢圓的幾何性質對比如下：
    
方程
性質        
 

圖像 （略）  （略）
范圍 -a≤x≤a，-b≤y≤b x≥a,或x≤-a,y∈R
對稱性 對稱軸、對稱中心 對稱軸、對稱中心
頂點 （±a,0）、（±b,0） （-a,0）、（a,0）
離心率 0＜e=＜1
e=＞1

下面繼續研究離心率的幾何意義：
（a、b、c、e關系：c2=a2+b2, e=＞1）
2.漸近線的發現與論證
根據橢圓的上述四個性質，能較為準確地把 畫出來嗎？（能）
根據上述雙曲線的四個性質，能較為準確地把 畫出來嗎？（不能）
通過列表描點，能把雙曲線的頂點及附近的點，比較精確地畫出來，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。
我們能較為準確地畫出曲線y=,這是為什么？（因為當雙曲線伸向遠處時，它與x軸、y軸無限接近）此時，x軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。
問：雙曲線 有沒有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？
引導猜想：在研究雙曲線的范圍時，由雙曲線的標準方程可解出：
y=± =±
當x無限增大時， 就無限趨近于零，也就是說，這是雙曲線y=±
與直線y=± 無限接近。
這使我們猜想直線y=± 為雙曲線的漸近線。
直線y=± 恰好是過實軸端點A1、A2，虛軸端點B1、B2，作平行于坐標軸的直線x=±a, y=±b所成的矩形的兩條對角線，那么，如何證明雙曲線上的點沿曲線向遠處運動時，與漸近線越來越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。
證法1：如圖，設M（x0,y0）為第一象限內雙曲線 上的仍一點，則
y0=  ，M（x0,y0）到漸近線ay-bx=0的距離為：
∣MQ∣=  =

                  =   .     
點M向遠處運動， x0隨著增大，∣MQ∣就逐漸減小，M點就無限接近于 y=
故把y=± 叫做雙曲線 的漸近線。
3.離心率的幾何意義
∵e=，c＞a, ∴e＞1由等式c2-a2=b2,可得 ===
e越小（接近于1） 越接近于0，雙曲線開口越小（扁狹）
 e越大 越大，雙曲線開口越大（開闊）
 4.鞏固練習
   求下列雙曲線的漸近線方程，并畫出雙曲線。
        ①4x2-y2=4       ②4x2-y2=-4
    已知雙曲線的漸近線方程為x±2y=0，分別求出過以下各點的雙曲線方程
         ①M（4， ）   ②M（4， ）
[知識應用與解題研究]
例 1   求雙曲線9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。
例2    雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當的坐標系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）
㈣提煉總結
1. 雙曲線的幾何性質及a、b、c、e的關系。
2. 漸近線是雙曲線特有的性質，其發現證明蘊含了重要的數學思想與數學方法。
3. 雙曲線的幾何性質與橢圓的幾何性質類似點和不同點。