充分條件與必要條件

教學目標 

（1）正確理解充分條件、必要條件和充要條件的概念；
（2）能正確判斷是充分條件、必要條件還是充要條件；
（3）培養學生的邏輯思維能力及歸納總結能力；
（4）在充要條件的教學中，培養等價轉化思想. 教學建議

（一）教材分析

1.知識結構

首先給出推斷符號“ ”，并引出的意義，在此基礎上講述了充要條件的初步知識.

2.重點難點分析

本節的重點與難點是關于充要條件的判斷.

（1）充分但不必要條件、必要但不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件是重要的數學概念，主要用來區分命題的條件 和結論 之間的因果關系.

（2）在判斷條件 和結論 之間的因果關系中應該：

①首先分清條件是什么，結論是什么；

②然后嘗試用條件推結論，再嘗試用結論推條件.推理方法可以是直接證法、間接證法（即反證法），也可以舉反例說明其不成立；

③最后再指出條件是結論的什么條件.

（3）在討論條件 和條件 的關系時，要注意：

①若 ，但 ，則 是 的充分但不必要條件；

②若 ，但 ，則 是 的必要但不充分條件；

③若 ，且 ，則 是 的充要條件；

④若 ，且 ，則 是 的充要條件；

⑤若 ，且 ，則 是 的既不充分也不必要條件.

（4）若條件 以集合 的形式出現，結論 以集合 的形式出現，則借助集合知識，有助于充要條件的理解和判斷.

①若 ，則 是 的充分條件；

顯然，要使元素 ，只需 就夠了.類似地還有：

②若 ，則 是 的必要條件；

③若 ，則 是 的充要條件；

④若 ，且 ，則 是 的既不必要也不充分條件.

（5）要證明命題的條件是充要條件，就既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立.證明原命題即證明條件的充分性，證明逆命題即證明條件的必要性.由于原命題 逆否命題，逆命題 否命題，當我們證明某一命題有困難時，可以證明該命題的逆否命題成立，從而得出原命題成立.

（二）教法建議

1.學習充分條件、必要條件和充要條件知識，要注意與前面有關邏輯初步知識內容相聯系.充要條件中的 ， 與四種命題中的 ， 要求是一樣的.它們可以是簡單命題，也可以是不能判斷真假的語句，也可以是含有邏輯聯結詞或“若 則 ”形式的復合命題.

2.由于這節課概念性、理論性較強，一般的教學使學生感到枯燥乏味，為此，激發學生的學習興趣是關鍵.教學中始終要注意以學生為主，讓學生在自我思考、相互交流中去結概念“下定義”，去體會概念的本質屬性.

3.由于“充要條件”與命題的真假、命題的條件與結論的相互關系緊密相關，為此，教學時可以從判斷命題的真假入手，來分析命題的條件對于結論來說，是否充分，從而引入“充分條件”的概念，進而引入“必要條件”的概念.

4.教材中對“充分條件”、“必要條件”的定義沒有作過多的解釋說明，為了讓學生能理解定義的合理性，在教學過程 中，教師可以從一些熟悉的命題的條件與結論之間的關系來認識“充分條件”的概念，從互為逆否命題的等價性來引出“必要條件”的概念.

教學設計示例

充要條件

教學目標 ：

（1）正確理解充分條件、必要條件和充要條件的概念；

（2）能正確判斷是充分條件、必要條件還是充要條件；

（3）培養學生的邏輯思維能力及歸納總結能力；

（4）在充要條件的教學中，培養等價轉化思想.

教學重點難點：關于充要條件的判斷

教學用具：幻燈機或實物投影儀

教學過程 設計

1.復習引入

練習：判斷下列命題是真命題還是假命題（用幻燈投影）：

（1）若 ，則 ；

（2）若 ，則 ；

（3）全等三角形的面積相等；

（4）對角線互相垂直的四邊形是菱形；

（5）若 ，則 ；

（6）若方程 有兩個不等的實數解，則 .

（學生口答，教師板書.）

（1）、（3）、（6）是真命題，（2）、（4）、（5）是假命題.

置疑：對于命題“若 ，則 ”，有時是真命題，有時是假命題.如何判斷其真假的？

答：看 能不能推出 ，如果 能推出 ，則原命題是真命題，否則就是假命題.

對于命題“若 ，則 ”，如果由 經過推理能推出 ，也就是說，如果 成立，那么 一定成立.換句話說，只要有條件 就能充分地保證結論 的成立，這時我們稱條件 是 成立的充分條件，記作 .

2.講授新課

（板書充分條件的定義.）

一般地，如果已知 ，那么我們就說 是 成立的充分條件.

提問：請用充分條件來敘述上述（1）、（3）、（6）的條件與結論之間的關系.

（學生口答）

（1）“ ，”是“ ”成立的充分條件；

（2）“三角形全等”是“三角形面積相等”成立的充分條件；

（3）“方程 的有兩個不等的實數解”是“ ”成立的充分條件.

從另一個角度看，如果 成立，那么其逆否命題 也成立，即如果沒有 ，也就沒有 ，亦即 是 成立的必須要有的條件，也就是必要條件.

（板書必要條件的定義.）

提出問題：用“充分條件”和“必要條件”來敘述上述6個命題.

（學生口答）.

（1）因為 ，所以 是 的充分條件， 是 的必要條件；

（2）因為 ，所以 是 的必要條件， 是 的充分條件；

（3）因為“兩三角形全等” “兩三角形面積相等”，所以“兩三角形全等”是“兩三角形面積相等”的充分條件，“兩三角形面積相等”是“兩三角形全等”的必要條件；

（4）因為“四邊形的對角線互相垂直” “四邊形是菱形”，所以“四邊形的對角線互相垂直”是“四邊形是菱形”的必要條件，“四邊形是菱形”是“四邊形的對角線互相垂直”的充分條件；

（5）因為 ，所以 是 的必要條件， 是 的充分條件；

（6）因為“方程 的有兩個不等的實根” “ ”，而且“方程 的有兩個不等的實根” “ ”，所以“方程 的有兩個不等的實根”是“ ”充分條件，而且是必要條件.

總結：如果 是 的充分條件， 又是 的必要條件，則稱 是 的充分必要條件，簡稱充要條件，記作 .

（板書充要條件的定義.）

3.鞏固新課

例1  （用投影儀投影.）

（學生活動，教師引導學生作出下面回答.）

①因為有理數一定是實數，但實數不一定是有理數，所以 是 的充分非必要條件， 是 的必要非充分條件；

② 一定能推出 ，而 不一定推出 ，所以 是 的充分非必要條件， 是 的必要非充分條件；

③ 、 是奇數，那么 一定是偶數； 是偶數， 、 不一定都是奇數（可能都為偶數），所以 是 的充分非必要條件， 是 的必要非充分條件；

④ 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分條件；

⑤由交集的定義可知 且 是 成立的充要條件；

⑥由 知 且 ，所以 是 成立的充分非必要條件；

⑦由 知 或 ，所以 是 ， 成立的必要非充分條件；

⑧易知“ 是4的倍數”是“ 是6的倍數”成立的既非充分又非必要條件；

（通過對上述問題的交流、思辯，在爭論中得到了正確答案，并加深了對充分條件、必要條件的認識.）

例2  已知 是 的充要條件， 是 的必要條件同時又是 的充分條件，試 與 的關系.（投影）

解：由已知得

，

所以 是 的充分條件，或 是 的必要條件.

4.小結回授

今天我們學習了充分條件、必要條件和充要條件的概念，并學會了判斷條件A是B的什么條件，這為我們今后解決數學問題打下了等價轉化的基礎.

課內練習：課本（人教版，試驗修訂本，第一冊（上））第 35頁練習l、2；第36頁練習l、2.

（通過練習，檢查學生掌握情況，有針對性的進行講評.）

5.課外作業 ：教材第36頁      習題1.8    1、2、3.