函數

教學目標 

1.理解的概念，了解的三種表示法，會求的定義域.

（1）了解是特殊的映射，是非空數集A到非空數集B的映射.能理解是由定義域，值域，對應法則三要素構成的整體.

（2）能正確認識和使用的三種表示法：解析法，列表法，和圖象法.了解每種方法的優點.

（3）能正確使用“區間”及相關符號，能正確求解各類的定義域.

2.通過概念的學習，使學生在符號表示，運算等方面的能力有所提高.

（1）對記號 有正確的理解，準確把握其含義，了解 ( 為常數)與 的區別與聯系；

（2）在求定義域中注意運算的合理性與簡潔性.

3.通過定義由變量觀點向映射觀點的過渡，是學生能從發展的角度看待數學的學習.

教學建議

1.教材分析

（1）知識結構

（2）重點難點分析

本小節的重點是在映射的基礎上理解的概念.，主要包括對的定義，表示法，三要素的作用的理解與認識.教學難點 是的定義和符號的認識與使用.

①由于學生在初中已學習了的變量觀點下的定義，并具體研究了幾類最簡單的，對并不陌生，所以在高中重新定義時，重要的是讓學生認識到它的優越性，它從根本上揭示了的本質，由定義域，值域，對應法則三要素構成的整體，讓學生能主動將與解析式區分開來.對這一點的認識對于后面的性質的研究都有很大的幫助.

②在本節中首次引入了抽象的符號 ，學生往往只接受具體的解析式，而不能接受 ，所以應讓學生從符號的含義認識開始，在符號中， 在法則 下對應 ，不是 與 的乘積，符號本身就是三要素的體現.由于 所代表的對應法則不一定能用解析式表示，故表示的方法除了解析法以外，還有列表法和圖象法.此外 本身還指明了誰是誰的，有利于我們分清解析式中的常量與變量.如 ，它應表示以 為自變量的二次，而如果寫成 ，則我們就不能準確了解誰是變量，誰是常量，當 為變量時，它就不代表二次.

2.教法建議

（1）高中對內容的學習是初中內容的深化和延伸.深化首先體現在的定義更具一般性.故教學中可以讓學生舉出自己熟悉的例子，并用變量觀點加以解釋，教師再給出如： 是不是的問題，用變量定義解釋顯得很勉強，而如果從集合與映射的觀點來解釋就十分自然，所以有重新認識的必要.

（2）對是三要素構成的整體的認識，一方面可以通過對符號 的了解與使用來強化，另一方面也可通過判斷兩個是否相同來配合.在這類題目中，可以進一步體現出三要素整體的作用.

（3）關于對分段的認識，首先它的出現是一種需要，可以給出一些實際的例子來說明這一點，對自變量不同取值，用不同的解析式表示同一個關系，所以是一個而不是幾個，其次還可以舉一些數學的例子如 這樣的，若利用絕對值的定義它就可以寫成 ，這就是一個分段，從這個題中也可以看出分段是一個.

教學設計方案

2.2

教學目標 ：

1.理解的概念，了解三要素.

2.通過對抽象符號的認識與使用，使學生在符號表示方面的能力得以提高.

3.通過定義由變量觀點向映射觀點得過渡，使學生能從發展與聯系的角度看待數學學習.

教學重點難點：重點是在映射的基礎上理解的概念；

  難點是對抽象符號的認識與使用.

教學用具：投影儀

教學方法：自學研究與啟發討論式.

教學過程 ：

一、復習與引入

今天我們研究的內容是的概念.并不象前面學習的集合，映射一樣我們一無所知，而是比較熟悉，所以我先找同學說說對的認識，如是什么?學過什么?

(要求學生盡量用自己的話描述初中的定義，并試舉出各類學過的例子)

學生舉出如 等，待學生說完定義后教師打出投影片，給出定義之后教師也舉一個例子，問學生.

提問1. 是嗎?

(由學生討論，發表各自的意見，有的認為它不是，理由是沒有兩個變量，也有的認為是，理由是可以可做 .)

教師由此指出我們爭論的焦點，其實就是定義的不完善的地方，這也正是我們今天研究定義的必要性，新的定義將在與原定義不相違背的基礎上從更高的觀點，將它完善與深化.

二、新課

現在請同學們打開書翻到第50 頁，從這開始閱讀有關的內容，再回答我的問題.(約2-3分鐘或開始提問)

提問2.新的的定義是什么?能否用最簡單的語言來概括一下.

學生的回答往往是把書上的定義念一遍，教師可以板書的形式寫出定義，但還要引導形式發現定義的本質.

(板書)2.2

一、的概念

1.定義：如果A，B都是非空的數集，那么A到B的映射 就叫做A到B的，記作 .其中原象集合A稱為定義域，象集C 稱為值域.

問題3：映射與有何關系?(一定是映射嗎?映射一定是嗎?)

引導學生發現，是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的數集.

2.本質：是非空數集到非空數集的映射.(板書)

然后讓學生試回答剛才關于 是不是的問題，要求從映射的角度解釋.

此時學生可以清楚的看到 滿足映射觀點下的定義，故是一個，這樣解釋就很自然.

教師繼續把問題引向深入，提出在映射的觀點下如何解釋 是個?

從映射角度看可以是 其中定義域是 ，值域是 .

從剛才的分析可以看出，映射觀點下的定義更具一般性，更能揭示的本質.這也是我們后面要對進行理論研究的一種需要.所以我們著重從映射角度再來認識.

3.的三要素及其作用(板書)

是映射，自然是由三件事構成的一個整體，分別稱為定義域.值域和對應法則.當我們認識一個時，應從這三方面去了解認識它.

例1 以下關系式表示嗎?為什么?

(1) ；         (2) .

解：(1)由 有意義得 ，解得 .由于定義域是空集，故它不能表示.

(2) 由 有意義得 ，解得 .定義域為 ，值域為 .

由以上兩題可以看出三要素的作用

(1)判斷一個關系是否存在.(板書)

例2 下列各中，哪一個與 是同一個.

(1) ；  (2)   (3) ；  (4) .

解：先認清 ，它是 (定義域)到 (值域)的映射，其中

  .

再看(1)定義域為 且 ，是不同的；   (2)定義域為 ，是不同的；

(4) ，法則是不同的；

而(3)定義域是 ，值域是 ，法則是乘2減1，與 完全相同.

求解后要求學生明確判斷兩個是否相同應看定義域和對應法則完全一致，這時三要素的又一作用.

(2)判斷兩個是否相同.（板書）

下面我們研究一下如何表示，以前我們學習時雖然會表示，但沒有相系統研究的表示法，其實表示法有很多，不過首先應從記號 說起.

4.對符號 的理解(板書)

首先讓學生知道 與 的含義是一樣的，它們都表示 是 的，其中 是自變量， 是值，連接的紐帶是法則 ，所以這個符號本身也說明是三要素構成的整體.下面我們舉例說明.

例3 已知 試求 (板書)

分析：首先讓學生認清 的含義，要求學生能從變量觀點和映射觀點解釋，再進行計算.

含義1：當自變量 取3時，對應的值即 ；

含義2：定義域中原象3的象 ，根據求象的方法知 .而 應表示原象 的象，即 .

計算之后，要求學生了解 與 的區別， 是常量，而 是變量， 只是 中一個特殊值.

最后指出在剛才的題目中 是用一個具體的解析式表示的，而以后研究的 不一定能用一個解析式表示，此時我們需要用其他的方法表示，具體的方法下節課再進一步研究.

三、小結

1. 的定義

2. 對三要素的認識

3. 對符號的認識

四、作業 ：略

五、板書設計